Jay Abramson

Examen de práctica

En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación en forma estándar e indique el centro, los vértices y los focos.

1.

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

2.

$9 y^{2} + 16 x^{2} - 36 y + 32 x - 92 = 0$

En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico e identifique el centro, los vértices y los focos.

3.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{36} = 1$

4.

$2 x^{2} + y^{2} + 8 x - 6 y - 7 = 0$

5.

Escriba la ecuación en forma estándar de una elipse con centro en $(1, 2),$ vértice en $(7, 2),$ y el foco en $(4, 2).$

6.

Se va a construir una galería de susurros con una longitud de 150 pies. Si los focos deben situarse a 20 pies de la pared, ¿qué altura debe tener el techo?

En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la hipérbola en forma estándar y dé el centro, los vértices, los focos y las asíntotas.

7.

$\frac{x^{2}}{49} - \frac{y^{2}}{81} = 1$

8.

$16 y^{2} - 9 x^{2} + 128 y + 112 = 0$

En los siguientes ejercicios, grafique la hipérbola y tome en cuenta su centro, los vértices y los focos. Indique las ecuaciones de las asíntotas.

9.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{25} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{1} = 1$

10.

$y^{2} - x^{2} + 4 y - 4 x - 18 = 0$

11.

Escriba la ecuación en forma estándar de una hipérbola con focos en $(1, 0)$ y $(1, 6),$ y un vértice en $(1, 2) .$

En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la parábola en forma estándar y dé el vértice, el foco y la ecuación de la directriz.

12.

$y^{2} + 10 x = 0$

13.

$3 x^{2} - 12 x - y + 11 = 0$

En los siguientes ejercicios, grafique la parábola y marque el vértice, el foco y la directriz.

14.

${(x - 1)}^{2} = -4 (y + 3)$

15.

$y^{2} + 8 x - 8 y + 40 = 0$

16.

Escriba la ecuación de una parábola con foco en $(2, 3)$ y directriz $y = −1.$

17.

Un reflector tiene forma de paraboloide de revolución. Si la fuente de luz está situada a 1,5 pies de la base a lo largo del eje de simetría y la profundidad del reflector es de 3 pies, ¿cuál debería ser el ancho de la apertura?

En los siguientes ejercicios, determine qué sección cónica está representada por la ecuación dada y, luego, determine el ángulo $θ$ que eliminará el término $x y$ .

18.

$3 x^{2} - 2 x y + 3 y^{2} = 4$

19.

$x^{2} + 4 x y + 4 y^{2} + 6 x - 8 y = 0$

En los siguientes ejercicios, reescriba en el sistema $x^{'} y^{'}$ sin el término $x^{'} y^{'}$ , y exprese el gráfico rotado.

20.

$11 x^{2} + 10 \sqrt{3} x y + y^{2} = 4$

21.

$16 x^{2} + 24 x y + 9 y^{2} - 125 x = 0$

En los siguientes ejercicios, identifique la cónica con foco en el origen, y luego dé la directriz y la excentricidad.

22.

$r = \frac{3}{2 - sen θ}$

23.

$r = \frac{5}{4 + 6 \cos θ}$

En los siguientes ejercicios, grafique la sección cónica dada. Si es una parábola, marque el vértice, el foco y la directriz. Si es una elipse o una hipérbola, marque los vértices y los focos.

24.

$r = \frac{12}{4 - 8 sen θ}$

25.

$r = \frac{2}{4 + 4 sen θ}$

26.

Halle una ecuación polar de la cónica con foco en el origen, excentricidad de $e = 2,$ y directriz: $x = 3.$