Capítulo 11

Una secuencia es una lista ordenada de números que puede ser finita o infinita. Cuando una secuencia finita está definida por una fórmula, su dominio es un subconjunto de los enteros no negativos. Cuando una secuencia infinita está definida por una fórmula, su dominio es todos los enteros positivos o todos los enteros no negativos.

Sí, ambos conjuntos continúan indefinidamente, por lo que ambos son secuencias infinitas.

Un factorial es el producto de un entero positivo por todos los enteros positivos inferiores a él. Se utiliza un signo de exclamación para indicar la operación. Las respuestas pueden variar. Un ejemplo de la ventaja de utilizar la notación factorial es cuando se indica el producto. Es mucho más fácil de escribir que $\text{13}\cdot \text{12}\cdot \text{11}\cdot \text{10}\cdot \text{9}\cdot \text{8}\cdot \text{7}\cdot \text{6}\cdot \text{5}\cdot \text{4}\cdot \text{3}\cdot \text{2}\cdot \text{1}\text{.}$

Los cuatro primeros términos: $-8,-\frac{16}{3},-4,-\frac{16}{5}$

Los cuatro primeros términos: $2,\frac{1}{2},\frac{8}{27},\frac{1}{4}$.

Los cuatro primeros términos: $\mathrm{1,25},-5,20,-80$.

Los cuatro primeros términos: $\frac{1}{3},\frac{4}{5},\frac{9}{7},\frac{16}{9}$.

Los cuatro primeros términos: $-\frac{4}{5},4,-20,100$

$\frac{1}{3},\frac{4}{5},\frac{9}{7},\frac{16}{9},\frac{25}{11},31,44,59$

$-\mathrm{0,6},-3,-15,-20,-375,-80,-9375,-320$

$a_n=n^2+3$

$a_n=\frac{2^n}{2n}\text{o }\frac{2^{n–1}}{n}$

$a_n={\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n–1}$

Los cinco primeros términos: $3,-9,27,-81,243$

Los cinco primeros términos: $-1,1,-9,\frac{27}{11},\frac{891}{5}$

$\frac{1}{24},\text{1, }\frac{1}{4},\frac{3}{2},\frac{9}{4},\frac{81}{4},\frac{2187}{8},\frac{531,441}{16}$

$2,10,12,\frac{14}{5},\frac{4}{5},2,10,12$

$a_1=-8,a_n=a_{n–1}+n$

$a_1=35,a_n=a_{n–1}+3$

$720$

$665,280$

Los cuatro primeros términos: $1,\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{2}$

Los cuatro primeros términos: $-1,2,\frac{6}{5},\frac{24}{11}$

$a_n=2^{n–2}$

$a_1=6,a_n=2a_{n–1}-5$

Los cinco primeros términos: $\frac{29}{37}$, $\frac{152}{111}$, $\frac{716}{333}$, $\frac{3188}{999}$, $\frac{13724}{2997}$

Los cinco primeros términos: 2, 3, 5, 17, 65537

$a_{10}=7,257,600$

Los seis primeros términos: 0,042, 0,146, 0,875, 2,385, 4,708

Los cuatro primeros términos: 5,975, 2,765, 185,743, 1057,25, 6023,521

Si los valores de $a_n=-421$ es un término de la secuencia, entonces se resuelve la ecuación $-421=-6-8n$ para $n$ dará un número entero no negativo. Sin embargo, si $-421=-6-8n,$ entonces $n=\mathrm{51,875}$ por lo que $a_n=-421$ no es un término de la secuencia.

$a_1=1,a_2=0,a_n=a_{n–1}-a_{n–2}$

$\frac{(n+2)!}{(n–1)!}=\frac{(n+2)·(n+1)·(n)·(n–1)·\mathrm{...}·3·2·1}{(n–1)·\mathrm{...}·3·2·1}=n(n+1)(n+2)=n^3+3n^2+2n$

Una secuencia en la que cada término sucesivo de la secuencia aumenta (o disminuye) en un valor constante.

Hallamos si la diferencia entre todos los términos consecutivos es la misma. Esto es lo mismo que decir que la secuencia tiene una diferencia común.

Tanto las secuencias aritméticas como las funciones lineales tienen una tasa de cambio constante. Son diferentes porque sus dominios no son los mismos, las funciones lineales se definen para todos los números reales y las secuencias aritméticas se definen para los números naturales o un subconjunto de los números naturales.

La diferencia común es $\frac{1}{2}$

La secuencia no es aritmética porque $16-4\ne 64-16.$

$0,\frac{2}{3},\frac{4}{3},2,\frac{8}{3}$

$0,-5,-10,-15,-20$

$a_4=19$

$a_6=41$

$a_1=2$

$a_1=5$

$a_1=6$

$a_{21}=-\mathrm{13,5}$

$-19,-\mathrm{20,4},-\mathrm{21,8},-\mathrm{23,2},-\mathrm{24,6}$

$\begin{array}{ll}{a}_1=17; a_n=a_{n–1}+9\hfill & n\ge 2\hfill \end{array}$

$\begin{array}{ll}{a}_1=12; a_n=a_{n–1}+5\hfill & n\ge 2\hfill \end{array}$

$\begin{array}{ll}{a}_1=\mathrm{8,9}; a_n=a_{n–1}+\mathrm{1,4}\hfill & n\ge 2\hfill \end{array}$

$\begin{array}{ll}{a}_1=\frac{1}{5}; a_n=a_{n–1}+\frac{1}{4}\hfill & n\ge 2\hfill \end{array}$

$\begin{array}{ll}{}_1=\frac{1}{6}; a_n=a_{n–1}-\frac{13}{12}\hfill & n\ge 2\hfill \end{array}$

$a_1=4;a_n=a_{n–1}+7;a_{14}=95$

Los cinco primeros términos: $20,16,12,8,4.$

$a_n=1+2n$

$a_n=-105+100n$

$a_n=\mathrm{1,8}n$

$a_n=\mathrm{13,1}+\mathrm{2,7}n$

$a_n=\frac{1}{3}n–\frac{1}{3}$

Hay 10 términos en la secuencia.

Hay 6 términos en la secuencia.

El gráfico no representa una secuencia aritmética.

$1,4,7,10,13,16,19$

Las respuestas variarán. Ejemplos: $a_n=\mathrm{20,6}n$ y $a_n=2+\mathrm{20,4}\mathrm{n.}$

$a_{11}=-17a+38b$

La secuencia comienza a tener valores negativos en el 13.º término, $a_{13}=-\frac{1}{3}$

Las respuestas variarán. Compruebe que la secuencia es aritmética. Ejemplo: Fórmula recursiva: $a_1=3,a_n=a_{n–1}-3.$ Primeros 4 términos: $\begin{array}{ll}3,0,-3,-6\hfill & a_{31}=-87\hfill \end{array}$

Una secuencia en la que la razón entre dos términos consecutivos cualesquiera es constante.

Dividir cada término de una secuencia entre el término anterior. Si los cocientes resultantes son iguales, la secuencia es geométrica.

Tanto las secuencias geométricas como las funciones exponenciales tienen una razón constante. Sin embargo, sus dominios no son los mismos. Las funciones exponenciales se definen para todos los números reales, y las secuencias geométricas se definen solo para los enteros positivos. Otra diferencia es que la base de una secuencia geométrica (la razón común) puede ser negativa, pero la base de una función exponencial debe ser positiva.

La razón común es $-2$

La secuencia es geométrica. La razón común es de 2.

La secuencia es geométrica. La razón común es de $-\frac{1}{2}.$

La secuencia es geométrica. La razón común es de $5.$

$5,1,\frac{1}{5},\frac{1}{25},\frac{1}{125}$

$800,400,200,100,50$

$a_4=-\frac{16}{27}$

$a_7=-\frac{2}{729}$

$7,\mathrm{1,4},\mathrm{0,28},\mathrm{0,056},\mathrm{0,0112}$

$\begin{array}{cc}a{}_1=-32,& a_n=\frac{1}{2}{a}_{n–1}\end{array}$

$\begin{array}{cc}{a}_1=10,& a_n=–\mathrm{0,3}{a}_{n–1}\end{array}$

$\begin{array}{cc}{a}_1=\frac{3}{5},& a_n=\frac{1}{6}{a}_{n–1}\end{array}$

$a_1=\frac{1}{512},a_n=–4a_{n–1}$

$12,-6,3,-\frac{3}{2},\frac{3}{4}$

$a_{n}n\; =3^{n–1}$

$a_n=\mathrm{0,8}\cdot {(-5)}^{n–1}$

$a_n=-{\left(\frac{4}{5}\right)}^{n–1}$

$a_{n}n\; =3\cdot {\left(-\frac{1}{3}\right)}^{n–1}$

$a_{12}=\frac{1}{177,147}$

Hay $12$ términos en la secuencia.

El gráfico no representa una secuencia geométrica.

Las respuestas variarán. Ejemplos: ${\begin{array}{cc}{a}_1=800,& a_n=\mathrm{0,5}a\end{array}}_{n–1}$ y ${\begin{array}{cc}{a}_1=\mathrm{12,5},& a_n=4a\end{array}}_{n–1}$

$a_5=256b$

La secuencia supera el $100$ en el 14.º término, $a_{14}\approx 107.$

$a_4=-\frac{32}{3}$ es el primer valor no entero

Las respuestas variarán. Ejemplo: Fórmula explícita con una razón común decimal: $a_n=400\cdot {\mathrm{0,5}}^{n–1};$ Primeros 4 términos: $\begin{array}{cc}400,200,100,50;& a_8=\mathrm{3,125}\end{array}$

Una suma parcial a la $n\text{enésimo}$ es la suma de los primeros $n$ de una secuencia.

Una serie geométrica es la suma de los términos de una secuencia geométrica.

Una anualidad es una serie de pagos regulares iguales que ganan un interés compuesto constante.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{4}5n}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{5}4}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{20}8k+2}$

$S_5=\frac{5\left(\frac{3}{2}+\frac{7}{2}\right)}{2}$

$S_{13}=\frac{13\left(\mathrm{3,2}+\mathrm{5,6}\right)}{2}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{7}8\cdot {\mathrm{0,5}}^{k-1}}$

$S_5=\frac{9\left(1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^5\right)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{121}{9}\approx \mathrm{13,44}$

$S_{11}=\frac{64\left(1-{\mathrm{0,2}}^{11}\right)}{1-\mathrm{0,2}}=\frac{781,249,984}{9,765,625}\approx 80$

La serie está definida. $S=\frac{2}{1-\mathrm{0,8}}$

La serie está definida. $S=\frac{-1}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}$

Ejemplo de respuesta: El gráfico de $S_n$ parece acercarse al 1. Esto tiene sentido porque ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\left(\frac{1}{2}\right)}^k}$ es una serie geométrica infinita definida con $S=\frac{\frac{1}{2}}{1–\left(\frac{1}{2}\right)}=1.$

49

254

$S_7=\frac{147}{2}$

$S_{11}=\frac{55}{2}$

$S_7=\mathrm{5208,4}$

$S_{10}=-\frac{1.023}{256}$

$S=–\frac{4}{3}$

$S=\mathrm{9,2}$

$ 3.705,42

$ 695.823,97

$a_k=30-k$

9 términos

$r=\frac{4}{5}$

400 dólares al mes

420 pies

12 pies

Hay $m+n$ maneras para que ocurra tanto el evento $A$ como el evento $B$.

El principio de adición se aplica para determinar el total de resultados posibles de cualquiera de los dos eventos. El principio de multiplicación se aplica para determinar el total de resultados posibles de que se produzcan ambos eventos. La palabra "o" suele implicar un problema de adición. La palabra "y" suele implicar un problema de multiplicación.

Una combinación; $C(n,r)=\frac{n!}{(n–r)!r!}$

$4+2=6$

$5+4+7=16$

$2\times 6=12$

${10}^3=1.000$

$P(5,2)=20$

$P(3,3)=6$

$P(11,5)=55,440$

$C(12,4)=495$

$C(7,6)=7$

$2^{10}=1.024$

$2^{12}=4096$

$2^9=512$

$\frac{8!}{3!}=6720$

$\frac{12!}{3!2!3!4!}$

9

Sí, para los casos triviales $r=0$ y $r=1.$ Si $r=0,$ entonces $C(n,r)=P(n,r)=1\text{.\hspace{0.17em}}$ Si $r=1,$ entonces $r=1,$ $C(n,r)=P(n,r)=n.$

$\frac{6!}{2!}\times 4!=8640$

$6-3+8-3=8$

$4\times 2\times 5=40$

$4\times 12\times 3=144$

$P(15,9)=1,816,214,400$

$C(10,3)\times C(6,5)\times C(5,2)=7,200$

$2^{11}=2.048$

$\frac{20!}{6!6!8!}=116,396,280$

Un coeficiente binomial es una forma alternativa de denotar la combinación $C(n,r).$ Se define como $\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)=C(n,r)=\frac{n!}{r!(n–r)!}.$

El teorema del binomio se define como ${(x+y)}^n={\displaystyle \sum _{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)x^{n-k}}{y}^k$ y se puede usar para expandir cualquier binomio.

15

35

10

12.376

$64a^3-48a^{2}b+12a{b}^2-b^3$

$27a^3+54a^{2}b+36a{b}^2+8b^3$

$1.024x^5+2.560x^{4}y+2.560x^3{y}^2+1280x^2{y}^3+320x{y}^4+32y^5$

$1.024x^5-3840x^{4}y+5760x^3{y}^2-4320x^2{y}^3+1620x{y}^4-243y^5$

$\frac{1}{x^4}+\frac{8}{x^{3}y}+\frac{24}{x^2{y}^2}+\frac{32}{x{y}^3}+\frac{16}{y^4}$