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Precálculo 2ed

Capítulo 11

Precálculo 2edCapítulo 11

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Inténtelo

11.1 Secuencias y sus notaciones

1.

Los cinco primeros términos son { 1,6, 11, 16, 21 }. { 1,6, 11, 16, 21 }.

2.

Los cinco primeros términos son { 2 , 2 , - 3 2 , 1,- 5 8 }. { 2 , 2 , - 3 2 , 1,- 5 8 }.

3.

Los seis primeros términos son { 2 ,5,54,10,250,15 }. { 2 ,5,54,10,250,15 }.

4.

a n = (-1) n+1 9 n a n = (-1) n+1 9 n

5.

a n =- 3 n 4n a n =- 3 n 4n

6.

a n = e n-3 a n = e n-3

7.

{ 2 , 5, 11, 23, 47 } { 2 , 5, 11, 23, 47 }

8.

{ 0, 1, 1, 1, 2 , 3,  5 2 , 17 6 }. { 0, 1, 1, 1, 2 , 3,  5 2 , 17 6 }.

9.

Los cinco primeros términos son { 1,  3 2 , 4,15,72 }. { 1,  3 2 , 4,15,72 }.

11.2 Secuencias aritméticas

1.

La secuencia es aritmética. La diferencia común es 2. 2.

2.

La secuencia no es aritmética porque 3-163, 3-163,

3.

{ 1 ,   6 ,   11 ,   16 ,   21 } { 1 ,   6 ,   11 ,   16 ,   21 }

4.

a 2 = 2 a 2 = 2

5.

a 1 = 25 a n = a n 1 + 12 , para  n 2 a 1 = 25 a n = a n 1 + 12 , para  n 2

6.

a n = 53 3 n a n = 53 3 n

7.

Hay 11 términos en la secuencia.

8.

La fórmula es T n =10+4n, T n =10+4n, y le llevará 42 minutos.

11.3 Secuencias geométricas

1.

La secuencia no es geométrica porque 10 5 15 10 10 5 15 10 .

2.

La secuencia es geométrica. La razón común es 1 5 1 5 .

3.

{ 18,6,2 , 2 3 , 2 9 } { 18,6,2 , 2 3 , 2 9 }

4.

a 1 =2 a n = 2 3 a n1 para n2 a 1 =2 a n = 2 3 a n1 para n2

5.

a 6 =16,384 a 6 =16,384

6.

a n =- (-3) n1 a n =- (-3) n1

7.
  1. P n  = 2931,026 a n P n  = 2931,026 a n
  2. El número de visitas será de unas 333.

11.4 Series y sus notaciones

1.

38

2.

260,4 260,4

3.

328 328

4.

280 280

5.

$ 2.025

6.

2,000,00 2,000,00

7.

9.840

8.

$ 275.513,31

9.

La suma no está definida.

10.

La suma de las series infinitas está definida.

11.

La suma de la serie infinita está definida.

12.

3

13.

La serie no es geométrica.

14.

- 3 11 - 3 11

15.

$ 32.775,87

11.5 Principios de conteo

1.

7

2.

Hay 60 desayunos especiales posibles.

3.

120

4.

60

5.

12

6.

P(7,7)=5,040 P(7,7)=5,040

7.

P(7,5)=2 ,520 P(7,5)=2 ,520

8.

C(10,3)=120 C(10,3)=120

9.

64 helados

10.

840

11.6 Teorema del binomio

1.
  1. 35
  2. 330
2.
  1. x 5 -5 x 4 y+10 x 3 y 2 -10 x 2 y 3 +5x y 4 - y 5 x 5 -5 x 4 y+10 x 3 y 2 -10 x 2 y 3 +5x y 4 - y 5
  2. 8 x 3 +60 x 2 y+150x y 2 +125 y 3 8 x 3 +60 x 2 y+150x y 2 +125 y 3
3.

10,206 x 4 y 5 10,206 x 4 y 5

11.7 Probabilidad

1.
Resultado Probabilidad
Cara 12 12
Cruz 12 12
2.

2 3 2 3

3.

7 13 7 13

4.

2 13 2 13

5.

5 6 5 6

6.

a 1 91 ; b 5 91 ; c 86 91 a 1 91 ; b 5 91 ; c 86 91

11.1 Ejercicios de sección

1.

Una secuencia es una lista ordenada de números que puede ser finita o infinita. Cuando una secuencia finita está definida por una fórmula, su dominio es un subconjunto de los enteros no negativos. Cuando una secuencia infinita está definida por una fórmula, su dominio es todos los enteros positivos o todos los enteros no negativos.

3.

Sí, ambos conjuntos continúan indefinidamente, por lo que ambos son secuencias infinitas.

5.

Un factorial es el producto de un entero positivo por todos los enteros positivos inferiores a él. Se utiliza un signo de exclamación para indicar la operación. Las respuestas pueden variar. Un ejemplo de la ventaja de utilizar la notación factorial es cuando se indica el producto. Es mucho más fácil de escribir que 13121110987654321. 13121110987654321.

7.

Los cuatro primeros términos: 8, 16 3 ,-4, 16 5 8, 16 3 ,-4, 16 5

9.

Los cuatro primeros términos: 2, 1 2 , 8 27 , 1 4 2, 1 2 , 8 27 , 1 4 .

11.

Los cuatro primeros términos: 1,25,-5,20,80 1,25,-5,20,80 .

13.

Los cuatro primeros términos: 1 3 , 4 5 , 9 7 , 16 9 1 3 , 4 5 , 9 7 , 16 9 .

15.

Los cuatro primeros términos: 4 5 ,4,20,100 4 5 ,4,20,100

17.

1 3 , 4 5 , 9 7 , 16 9 , 25 11 ,31,44,59 1 3 , 4 5 , 9 7 , 16 9 , 25 11 ,31,44,59

19.

0,6,-3,15,20,375,80,9375,320 0,6,-3,15,20,375,80,9375,320

21.

a n = n 2 +3 a n = n 2 +3

23.

a n = 2 n 2n 2 n1 n a n = 2 n 2n 2 n1 n

25.

a n = ( - 1 2 ) n1 a n = ( - 1 2 ) n1

27.

Los cinco primeros términos: 3,9,27,81,243 3,9,27,81,243

29.

Los cinco primeros términos: 1,1,9, 27 11 , 891 5 1,1,9, 27 11 , 891 5

31.

1 24 ,1,  1 4 , 3 2 , 9 4 , 81 4 , 2187 8 , 531,441 16 1 24 ,1,  1 4 , 3 2 , 9 4 , 81 4 , 2187 8 , 531,441 16

33.

2,10,12, 14 5 , 4 5 ,2 ,10,12 2,10,12, 14 5 , 4 5 ,2 ,10,12

35.

a 1 =-8, a n = a n1 +n a 1 =-8, a n = a n1 +n

37.

a 1 =35, a n = a n1 +3 a 1 =35, a n = a n1 +3

39.

720 720

41.

665,280 665,280

43.

Los cuatro primeros términos: 1, 1 2 , 2 3 , 3 2 1, 1 2 , 2 3 , 3 2

45.

Los cuatro primeros términos: 1,2 , 6 5 , 24 11 1,2 , 6 5 , 24 11

47.
Gráfico de un diagrama de dispersión con puntos en (1, 0), (2, 5/2), (3, 8/3), (4, 17/4) y (5, 24/5). El eje x está marcado como n y el eje y está marcado como a_n.
49.
Gráfico de un diagrama de dispersión con puntos en (1, 2), (2, 1), (3, 0), (4, 1) y (5, 0). El eje x está marcado como n y el eje y está marcado como a_n.
51.
Gráfico de un diagrama de dispersión con puntos marcados: (1, 2), (2, 6), (3, 12), (4, 20) y (5, 30). El eje x está marcado como n y el eje y está marcado como a_n.
53.

a n = 2 n2 a n = 2 n2

55.

a 1 =6, a n =2 a n1 -5 a 1 =6, a n =2 a n1 -5

57.

Los cinco primeros términos: 29 37 29 37 , 152 111 152 111 , 716 333 716 333 , 3188 999 3188 999 , 13724 2997 13724 2997

59.

Los cinco primeros términos: 2, 3, 5, 17, 65537

61.

a 10 =7,257,600 a 10 =7,257,600

63.

Los seis primeros términos: 0,042, 0,146, 0,875, 2,385, 4,708

65.

Los cuatro primeros términos: 5,975, 2,765, 185,743, 1057,25, 6023,521

67.

Si los valores de a n =421 a n =421 es un término de la secuencia, entonces se resuelve la ecuación 421=68n 421=68n para n n dará un número entero no negativo. Sin embargo, si 421=68n, 421=68n, entonces n=51,875 n=51,875 por lo que a n =421 a n =421 no es un término de la secuencia.

69.

a 1 =1, a 2 =0, a n = a n1 - a n2 a 1 =1, a 2 =0, a n = a n1 - a n2

71.

(n+2 )! (n1)! = (n+2 )·(n+1)·(n)·(n1)·...·3·2·1 (n1)·...·3·2·1 =n(n+1)(n+2 )= n 3 +3 n 2 +2n (n+2 )! (n1)! = (n+2 )·(n+1)·(n)·(n1)·...·3·2·1 (n1)·...·3·2·1 =n(n+1)(n+2 )= n 3 +3 n 2 +2n

11.2 Ejercicios de sección

1.

Una secuencia en la que cada término sucesivo de la secuencia aumenta (o disminuye) en un valor constante.

3.

Hallamos si la diferencia entre todos los términos consecutivos es la misma. Esto es lo mismo que decir que la secuencia tiene una diferencia común.

5.

Tanto las secuencias aritméticas como las funciones lineales tienen una tasa de cambio constante. Son diferentes porque sus dominios no son los mismos, las funciones lineales se definen para todos los números reales y las secuencias aritméticas se definen para los números naturales o un subconjunto de los números naturales.

7.

La diferencia común es 1 2 1 2

9.

La secuencia no es aritmética porque 1646416. 1646416.

11.

0, 2 3 , 4 3 ,2 , 8 3 0, 2 3 , 4 3 ,2 , 8 3

13.

0 , - 5 , - 10 , 15 , 20 0 , - 5 , - 10 , 15 , 20

15.

a 4 =19 a 4 =19

17.

a 6 =41 a 6 =41

19.

a 1 =2 a 1 =2

21.

a 1 =5 a 1 =5

23.

a 1 =6 a 1 =6

25.

a 21 =13,5 a 21 =13,5

27.

19,20,4,21,8,23,2,24,6 19,20,4,21,8,23,2,24,6

29.

a 1 =17;  a n = a n1 +9 n2 a 1 =17;  a n = a n1 +9 n2

31.

a 1 =12;  a n = a n1 +5 n2 a 1 =12;  a n = a n1 +5 n2

33.

a 1 =8,9;  a n = a n1 +1,4 n2 a 1 =8,9;  a n = a n1 +1,4 n2

35.

a 1 = 1 5 ;  a n = a n1 + 1 4 n2 a 1 = 1 5 ;  a n = a n1 + 1 4 n2

37.

1 = 1 6 ;  a n = a n1 13 12 n2 1 = 1 6 ;  a n = a n1 13 12 n2

39.

a 1 =4; a n = a n1 +7; a 14 =95 a 1 =4; a n = a n1 +7; a 14 =95

41.

Los cinco primeros términos: 20,16,12,8,4. 20,16,12,8,4.

43.

a n =1+2n a n =1+2n

45.

a n =105+100n a n =105+100n

47.

a n =1,8n a n =1,8n

49.

a n =13,1+2,7n a n =13,1+2,7n

51.

a n = 1 3 n 1 3 a n = 1 3 n 1 3

53.

Hay 10 términos en la secuencia.

55.

Hay 6 términos en la secuencia.

57.

El gráfico no representa una secuencia aritmética.

59.
Gráfico de un diagrama de dispersión con puntos marcados: (1, 9), (2, –1), (3, –11), (4, –21) y (5, –31). El eje x está marcado como n y el eje y está marcado como a_n.
61.

1,4,7,10,13,16,19 1,4,7,10,13,16,19

63.
Gráfico de un diagrama de dispersión con puntos marcados: (1, 1), (2, 4), (3, 7), (4, 10) y (5, 13). El eje x está marcado como n y el eje y está marcado como a_n.
65.
Gráfico de un diagrama de dispersión con puntos marcados: (1, 5,5), (2, 6), (3, 6,5), (4, 7) y (5, 7,5). El eje x está marcado como n y el eje y está marcado como a_n.
67.

Las respuestas variarán. Ejemplos: a n =20,6n a n =20,6n y a n =2 +20,4n. a n =2 +20,4n.

69.

a 11 =17a+38b a 11 =17a+38b

71.

La secuencia comienza a tener valores negativos en el 13.º término, a 13 =- 1 3 a 13 =- 1 3

73.

Las respuestas variarán. Compruebe que la secuencia es aritmética. Ejemplo: Fórmula recursiva: a 1 =3, a n = a n1 3. a 1 =3, a n = a n1 3. Primeros 4 términos: 3,0,-3,6 a 31 =87 3,0,-3,6 a 31 =87

11.3 Ejercicios de sección

1.

Una secuencia en la que la razón entre dos términos consecutivos cualesquiera es constante.

3.

Dividir cada término de una secuencia entre el término anterior. Si los cocientes resultantes son iguales, la secuencia es geométrica.

5.

Tanto las secuencias geométricas como las funciones exponenciales tienen una razón constante. Sin embargo, sus dominios no son los mismos. Las funciones exponenciales se definen para todos los números reales, y las secuencias geométricas se definen solo para los enteros positivos. Otra diferencia es que la base de una secuencia geométrica (la razón común) puede ser negativa, pero la base de una función exponencial debe ser positiva.

7.

La razón común es 2 2

9.

La secuencia es geométrica. La razón común es de 2.

11.

La secuencia es geométrica. La razón común es de 1 2 . 1 2 .

13.

La secuencia es geométrica. La razón común es de 5. 5.

15.

5,1, 1 5 , 1 25 , 1 125 5,1, 1 5 , 1 25 , 1 125

17.

800,400,200,100,50 800,400,200,100,50

19.

a 4 =- 16 27 a 4 =- 16 27

21.

a 7 =- 2 729 a 7 =- 2 729

23.

7,1,4,0,28,0,056,0,0112 7,1,4,0,28,0,056,0,0112

25.

a = 1 -32, a n = 1 2 a n1 a = 1 -32, a n = 1 2 a n1

27.

a 1 =10, a n =0,3 a n1 a 1 =10, a n =0,3 a n1

29.

a 1 = 3 5 , a n = 1 6 a n1 a 1 = 3 5 , a n = 1 6 a n1

31.

a 1 = 1 512 , a n =4 a n1 a 1 = 1 512 , a n =4 a n1

33.

12,6,3,- 3 2 , 3 4 12,6,3,- 3 2 , 3 4

35.

a n n = 3 n1 a n n = 3 n1

37.

a n =0,8 (-5) n1 a n =0,8 (-5) n1

39.

a n =- ( 4 5 ) n1 a n =- ( 4 5 ) n1

41.

a n n =3 ( - 1 3 ) n1 a n n =3 ( - 1 3 ) n1

43.

a 12 = 1 177,147 a 12 = 1 177,147

45.

Hay 12 12 términos en la secuencia.

47.

El gráfico no representa una secuencia geométrica.

49.
Gráfico de un diagrama de dispersión con puntos marcados: (1, 3), (2, 6), (3, 12), (4, 24) y (5, 48). El eje x está marcado como n y el eje y está marcado como a_n.
51.

Las respuestas variarán. Ejemplos: a 1 =800, a n =0,5a n1 a 1 =800, a n =0,5a n1 y a 1 =12,5, a n =4a n1 a 1 =12,5, a n =4a n1

53.

a 5 =256b a 5 =256b

55.

La secuencia supera el 100 100 en el 14.º término, a 14 107. a 14 107.

57.

a 4 = 32 3 a 4 = 32 3 es el primer valor no entero

59.

Las respuestas variarán. Ejemplo: Fórmula explícita con una razón común decimal: a n =400 0,5 n1 ; a n =400 0,5 n1 ; Primeros 4 términos: 400,200,100,50; a 8 =3,125 400,200,100,50; a 8 =3,125

11.4 Ejercicios de sección

1.

Una suma parcial a la nenésimo nenésimo es la suma de los primeros n n de una secuencia.

3.

Una serie geométrica es la suma de los términos de una secuencia geométrica.

5.

Una anualidad es una serie de pagos regulares iguales que ganan un interés compuesto constante.

7.

n=0 4 5n n=0 4 5n

9.

k=1 5 4 k=1 5 4

11.

k=1 20 8k+2 k=1 20 8k+2

13.

S 5 = 5( 3 2 + 7 2 ) 2 S 5 = 5( 3 2 + 7 2 ) 2

15.

S 13 = 13( 3,2+5,6 ) 2 S 13 = 13( 3,2+5,6 ) 2

17.

k=1 7 8 0,5 k-1 k=1 7 8 0,5 k-1

19.

S 5 = 9( 1- ( 1 3 ) 5 ) 1- 1 3 = 121 9 13,44 S 5 = 9( 1- ( 1 3 ) 5 ) 1- 1 3 = 121 9 13,44

21.

S 11 = 64( 1 0,2 11 ) 10,2 = 781,249,984 9,765,625 80 S 11 = 64( 1 0,2 11 ) 10,2 = 781,249,984 9,765,625 80

23.

La serie está definida. S= 2 1-0,8 S= 2 1-0,8

25.

La serie está definida. S= -1 1-( - 1 2 ) S= -1 1-( - 1 2 )

27.
Gráfico de los depósitos de Javier en el que el eje x son los meses del año y el eje y es la suma de los depósitos.
29.

Ejemplo de respuesta: El gráfico de S n S n parece acercarse al 1. Esto tiene sentido porque k=1 ( 1 2 ) k k=1 ( 1 2 ) k es una serie geométrica infinita definida con S= 1 2 1( 1 2 ) =1. S= 1 2 1( 1 2 ) =1.

31.

49

33.

254

35.

S 7 = 147 2 S 7 = 147 2

37.

S 11 = 55 2 S 11 = 55 2

39.

S 7 =5208,4 S 7 =5208,4

41.

S 10 = 1.023 256 S 10 = 1.023 256

43.

S= 4 3 S= 4 3

45.

S=9,2 S=9,2

47.

$ 3.705,42

49.

$ 695.823,97

51.

a k =30k a k =30k

53.

9 términos

55.

r= 4 5 r= 4 5

57.

400 dólares al mes

59.

420 pies

61.

12 pies

11.5 Ejercicios de sección

1.

Hay m+n m+n maneras para que ocurra tanto el evento A A como el evento B B .

3.

El principio de adición se aplica para determinar el total de resultados posibles de cualquiera de los dos eventos. El principio de multiplicación se aplica para determinar el total de resultados posibles de que se produzcan ambos eventos. La palabra "o" suele implicar un problema de adición. La palabra "y" suele implicar un problema de multiplicación.

5.

Una combinación; C(n,r)= n! (nr)!r! C(n,r)= n! (nr)!r!

7.

4+2 =6 4+2 =6

9.

5+4+7=16 5+4+7=16

11.

2×6=12 2×6=12

13.

10 3 =1.000 10 3 =1.000

15.

P(5,2 )=20 P(5,2 )=20

17.

P(3,3)=6 P(3,3)=6

19.

P(11,5)=55,440 P(11,5)=55,440

21.

C(12,4)=495 C(12,4)=495

23.

C(7,6)=7 C(7,6)=7

25.

2 10 =1.024 2 10 =1.024

27.

2 12 =4096 2 12 =4096

29.

2 9 =512 2 9 =512

31.

8! 3! =6720 8! 3! =6720

33.

12! 3!2!3!4! 12! 3!2!3!4!

35.

9

37.

Sí, para los casos triviales r=0 r=0 y r=1. r=1. Si r=0, r=0, entonces C(n,r)=P(n,r)=1.  C(n,r)=P(n,r)=1.  Si r=1, r=1, entonces r=1, r=1, C(n,r)=P(n,r)=n. C(n,r)=P(n,r)=n.

39.

6! 2! ×4!=8640 6! 2! ×4!=8640

41.

6-3+8-3=8 6-3+8-3=8

43.

4×2×5=40 4×2×5=40

45.

4×12×3=144 4×12×3=144

47.

P(15,9)=1,816,214,400 P(15,9)=1,816,214,400

49.

C(10,3)×C(6,5)×C(5,2 )=7,200 C(10,3)×C(6,5)×C(5,2 )=7,200

51.

2 11 =2.048 2 11 =2.048

53.

20! 6!6!8! =116,396,280 20! 6!6!8! =116,396,280

11.6 Ejercicios de sección

1.

Un coeficiente binomial es una forma alternativa de denotar la combinación C(n,r). C(n,r). Se define como ( n r )=C(n,r)= n! r!(nr)! . ( n r )=C(n,r)= n! r!(nr)! .

3.

El teorema del binomio se define como (x+y) n = k=0 n ( n k ) x n-k y k (x+y) n = k=0 n ( n k ) x n-k y k y se puede usar para expandir cualquier binomio.

5.

15

7.

35

9.

10

11.

12.376

13.

64 a 3 48 a 2 b+12a b 2 - b 3 64 a 3 48 a 2 b+12a b 2 - b 3

15.

27 a 3 +54 a 2 b+36a b 2 +8 b 3 27 a 3 +54 a 2 b+36a b 2 +8 b 3

17.

1.024 x 5 +2.560 x 4 y+2.560 x 3 y 2 +1280 x 2 y 3 +320x y 4 +32 y 5 1.024 x 5 +2.560 x 4 y+2.560 x 3 y 2 +1280 x 2 y 3 +320x y 4 +32 y 5

19.

1.024 x 5 3840 x 4 y+5760 x 3 y 2 4320 x 2 y 3 +1620 x y 4 243 y 5 1.024 x 5 3840 x 4 y+5760 x 3 y 2 4320 x 2 y 3 +1620 x y 4 243 y 5

21.

1 x 4 + 8 x 3 y + 24 x 2 y 2 + 32 x y 3 + 16 y 4 1 x 4 + 8 x 3 y + 24 x 2 y 2 + 32 x y 3 + 16 y 4

23.

a 17 +17 a 16 b+136 a 15 b 2 a 17 +17 a 16 b+136 a 15 b 2

25.

a 15 30 a 14 b+420 a 13 b 2 a 15 30 a 14 b+420 a 13 b 2

27.

3,486,784,401 a 20 +23,245,229,340 a 19 b+73,609,892,910 a 18 b 2 3,486,784,401 a 20 +23,245,229,340 a 19 b+73,609,892,910 a 18 b 2

29.

x 24 8 x 21 y +28 x 18 y x 24 8 x 21 y +28 x 18 y

31.

720 x 2 y 3 720 x 2 y 3

33.

220,812,466,875,000 y 7 220,812,466,875,000 y 7

35.

35 x 3 y 4 35 x 3 y 4

37.

1,082,565 a 3 b 16 1,082,565 a 3 b 16

39.

1152 y 2 x 7 1152 y 2 x 7

41.

f 2 (x)= x 4 +12 x 3 f 2 (x)= x 4 +12 x 3

Gráfico de la función f_2.
43.

f 4 (x)= x 4 +12 x 3 +54 x 2 +108x f 4 (x)= x 4 +12 x 3 +54 x 2 +108x

Gráfico de la función f_4.
45.

590,625 x 5 y 2 590,625 x 5 y 2

47.

k-1 k-1

49.

La expresión ( x 3 +2 y 2 -z) 5 ( x 3 +2 y 2 -z) 5 no se puede expandir utilizando el teorema del binomio porque no se puede reescribir como un binomio.

11.7 Ejercicios de sección

1.

probabilidad; la probabilidad de un evento se restringe a valores entre 0 0 y 1, 1, incluso 0 0 y 1. 1.

3.

Un experimento es una actividad con un resultado observable.

5.

La probabilidad de que se produzca la unión de dos eventos es un número que describe la posibilidad de que se produzca, al menos, uno de los eventos de un modelo de probabilidades. En una unión de conjuntos A B A B y una unión de eventos A y B, A y B, la unión incluye A o B A o B o ambos. La diferencia es que una unión de conjuntos da como resultado otro conjunto, mientras que la unión de eventos es una probabilidad, por lo que siempre es un valor numérico entre 0 0 y 1. 1.

7.

1 2 . 1 2 .

9.

5 8 . 5 8 .

11.

1 2 . 1 2 .

13.

3 8 . 3 8 .

15.

1 4 . 1 4 .

17.

3 4 . 3 4 .

19.

3 8 . 3 8 .

21.

1 8 . 1 8 .

23.

15 16 . 15 16 .

25.

5 8 . 5 8 .

27.

1 13 . 1 13 .

29.

1 26 . 1 26 .

31.

12 13 . 12 13 .

33.
1 2 3 4 5 6
1 (1, 1)
2
(1, 2)
3
(1, 3)
4
(1, 4)
5
(1, 5)
6
(1, 6)
7
2 (2, 1)
3
(2, 2)
4
(2, 3)
5
(2, 4)
6
(2, 5)
7
(2, 6)
8
3 (3, 1)
4
(3, 2)
5
(3, 3)
6
(3, 4)
7
(3, 5)
8
(3, 6)
9
4 (4, 1)
5
(4, 2)
6
(4, 3)
7
(4, 4)
8
(4, 5)
9
(4, 6)
10
5 (5, 1)
6
(5, 2)
7
(5, 3)
8
(5, 4)
9
(5, 5)
10
(5, 6)
11
6 (6, 1)
7
(6, 2)
8
(6, 3)
9
(6, 4)
10
(6, 5)
11
(6, 6)
12
35.

5 12 . 5 12 .

37.

0. 0.

39.

4 9 . 4 9 .

41.

1 4 . 1 4 .

43.

5 8 5 8

45.

8 13 8 13

47.

C(12,5) C(48,5) = 1 2.162 C(12,5) C(48,5) = 1 2.162

49.

C(12,3)C(36,2 ) C(48,5) = 175 2.162 C(12,3)C(36,2 ) C(48,5) = 175 2.162

51.

C(20,3)C(60,17) C(80,20) 12,49% C(20,3)C(60,17) C(80,20) 12,49%

53.

C(20,5)C(60,15) C(80,20) 23,33% C(20,5)C(60,15) C(80,20) 23,33%

55.

20,50+23,3312,49=31,34% 20,50+23,3312,49=31,34%

57.

C(40.000.000,1)C(277.000.000,4) C(317.000.000,5) =36,78% C(40.000.000,1)C(277.000.000,4) C(317.000.000,5) =36,78%

59.

C(40.000.000,4)C(277.000.000,1) C(317.000.000,5) =0,11% C(40.000.000,4)C(277.000.000,1) C(317.000.000,5) =0,11%

Ejercicios de repaso

1.

2,4,7,11 2,4,7,11

3.

13,103,1.003 ,10.003 13,103,1.003 ,10.003

5.

La secuencia es aritmética. La diferencia común es d= 5 3 . d= 5 3 .

7.

18,10,2 ,6,14 18,10,2 ,6,14

9.

a 1 =20, a n = a n1 +10 a 1 =20, a n = a n1 +10

11.

a n = 1 3 n+ 13 24 a n = 1 3 n+ 13 24

13.

r=2 r=2

15.

4, 16, 64, 256, 1.024

17.

3,12,48,192,768 3,12,48,192,768

19.

a n =- 1 5 ( 1 3 ) n1 a n =- 1 5 ( 1 3 ) n1

21.

m= 0,0 5 ( 1 2 m+5 ). m= 0,0 5 ( 1 2 m+5 ).

23.

S 11 =110 S 11 =110

25.

S 9 23,95 S 9 23,95

27.

S= 135 4 S= 135 4

29.

5.617,61 dólares.

31.

6

33.

10 4 =10.000 10 4 =10.000

35.

P(18,4)=73,440 P(18,4)=73,440

37.

C( 15,6 )=5005 C( 15,6 )=5005

39.

2 50 =1,13× 10 15 2 50 =1,13× 10 15

41.

8! 3!2! =3360 8! 3!2! =3360

43.

490,314 490,314

45.

131,072 a 17 +1,114,112 a 16 b+4,456,448 a 15 b 2 131,072 a 17 +1,114,112 a 16 b+4,456,448 a 15 b 2

47.
1 2 3 4 5 6
1 1;1 1;2 1;3 1;4 1;5 1;6
2 2;1 2;2 2;3 2;4 2;5 2;6
3 3;1 3;2 3;3 3;4 3;5 3;6
4 4;1 4;2 4;3 4;4 4;5 4;6
5 5;1 5;2 5;3 5;4 5;5 5;6
6 6;1 6;2 6;3 6;4 6;5 6;6
49.

1 6 1 6

51.

5 9 5 9

53.

4 9 4 9

55.

1- C( 350,8 ) C( 500,8 ) 94,4% 1- C( 350,8 ) C( 500,8 ) 94,4%

57.

C( 150,3 )C( 350,5 ) C( 500,8 ) 25,6% C( 150,3 )C( 350,5 ) C( 500,8 ) 25,6%

Examen de práctica

1.

14,6,-2 ,0 14,6,-2 ,0

3.

La secuencia es aritmética. La diferencia común es d=0,9. d=0,9.

5.

a 1 =-2 , a n = a n1 - 3 2 ; a 22 = 67 2 a 1 =-2 , a n = a n1 - 3 2 ; a 22 = 67 2

7.

La secuencia es geométrica. La razón común es r= 1 2 . r= 1 2 .

9.

a 1 =1, a n =- 1 2 a n 1 a 1 =1, a n =- 1 2 a n 1

11.

k=-3 15 ( 3 k 2 - 5 6 k ) k=-3 15 ( 3 k 2 - 5 6 k )

13.

S 7 =2.604,2 S 7 =2.604,2

15.

Total en la cuenta: $140,355,75; $140,355,75; Intereses ganados: $14,355,75 $14,355,75

17.

5×3×2×3×2=180 5×3×2×3×2=180

19.

C( 15,3 )=455 C( 15,3 )=455

21.

10! 2!3!2! =151,200 10! 2!3!2! =151,200

23.

429 x 14 16 429 x 14 16

25.

4 7 4 7

27.

5 7 5 7

29.

C( 14,3 )C( 26,4 ) C( 40,7 ) 29,2% C( 14,3 )C( 26,4 ) C( 40,7 ) 29,2%

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