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Precálculo 2ed

11.3 Secuencias geométricas

Precálculo 2ed11.3 Secuencias geométricas

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Hallar el cociente común de una secuencia geométrica.
  • Enumerar los términos de una secuencia geométrica.
  • Utilizar una fórmula recursiva para una secuencia geométrica.
  • Utilizar una fórmula explícita para una secuencia geométrica.

Muchos puestos de trabajo ofrecen un aumento anual por el costo de vida para mantener los salarios en consonancia con la inflación. Supongamos, por ejemplo, que un recién graduado de educación superior encuentra un puesto de gerente de ventas con un salario anual de 26.000 dólares. Se le promete un aumento del 2 % por el costo de la vida cada año. Su salario anual en un año determinado se puede calcular al multiplicar su salario del año anterior por el 102 %. Su salario será de 26.520 dólares al cabo de un año, 27.050,40 dólares al cabo de dos años, 27.591,41 dólares al cabo de tres años, y así sucesivamente. Cuando un salario se incrementa en una tasa constante cada año, el salario crece en un factor constante. En esta sección veremos secuencias que crecen de esta manera.

Hallar razones comunes

Los valores salariales anuales descritos forman una secuencia geométrica porque cambian por un factor constante cada año. Cada término de una secuencia geométrica aumenta o disminuye en un factor constante llamado razón común. La siguiente secuencia es un ejemplo de secuencia geométrica porque cada término aumenta en un factor constante de 6. La multiplicación de cualquier término de la secuencia por la razón común 6 genera el término siguiente.

Una secuencia {1, 6, 36, 216, 1.296, ...} que muestra que todos los números tienen una razón común de 6.

Definición de secuencia geométrica

La secuencia geométrica es aquella en la que cualquier término dividido entre el anterior es una constante. Esta constante se denomina cociente común de la secuencia. La razón común se puede calcular al dividir cualquier término de la secuencia entre el término anterior. Si los valores de a 1 a 1 es el término inicial de una secuencia geométrica y r r es la razón común, la secuencia será

{ a 1 ,  a 1 r, a 1 r 2 , a 1 r 3 ,...}. { a 1 ,  a 1 r, a 1 r 2 , a 1 r 3 ,...}.

Cómo

Dado un conjunto de números, determine si representan una secuencia geométrica.

  1. Divida cada término entre el término anterior.
  2. Compare los cocientes. Si son iguales, existe una razón común y la secuencia es geométrica.

Ejemplo 1

Hallar razones comunes

¿La secuencia es geométrica? Si es así, halle la razón común.

  1. Ⓐ 1,2 ,4,8,16,... 1,2 ,4,8,16,...
  2. Ⓑ 48,12,4, 2 ,... 48,12,4, 2 ,...

Análisis

El gráfico de cada secuencia se muestra en la Figura 1. A partir de los gráficos parece que tanto (a) como (b) tienen la forma del gráfico de una función exponencial en esta ventana de visualización. Sin embargo, sabemos que (a) es geométrico y, por tanto, esta interpretación es válida, pero (b) no lo es.

Gráfico de dos secuencias donde el gráfico (a) es geométrico y el gráfico (b) es exponencial.
Figura 1

Preguntas y respuestas

Si le dicen que una secuencia es geométrica, ¿tiene que dividir cada término entre el anterior para calcular la razón común?

No. Si sabe que la secuencia es geométrica, puede elegir un término cualquiera de la secuencia y dividirlo entre el término anterior para hallar la razón común.

Inténtelo #1

¿La secuencia es geométrica? Si es así, halle la razón común.

5,10,15,20,... 5,10,15,20,...

Inténtelo #2

¿La secuencia es geométrica? Si es así, halle la razón común.

100,20,4, 4 5 ,... 100,20,4, 4 5 ,...

Escribir términos de secuencias geométricas

Ahora que podemos identificar una secuencia geométrica, aprenderemos a hallar los términos de una secuencia geométrica si nos dan el primer término y la razón común. Los términos de una secuencia geométrica se pueden calcular ao comenzar por el primer término y multiplicar por la razón común repetidamente. Por ejemplo, si el primer término de una secuencia geométrica es a 1 =-2 a 1 =-2 y la razón común es r=4, r=4, podemos hallar los términos posteriores multiplicando −2 ⋅4 −2 ⋅4 para obtener −8 −8 y luego multiplicar el resultado −8⋅4 −8⋅4 para obtener −32 −32 y así sucesivamente.

a 1 =-2 a 2 =(–2 ⋅4)=-8 a 3 =(−8⋅4)=−32 a 4 =(−32⋅4)=−128 a 1 =-2 a 2 =(–2 ⋅4)=-8 a 3 =(−8⋅4)=−32 a 4 =(−32⋅4)=−128

Los cuatro primeros términos son {-2, –8, -32, -128}. {-2, –8, -32, -128}.

Cómo

Dado el primer término y el factor común, halle los cuatro primeros términos de una sucesión geométrica.

  1. Multiplique el término inicial, a 1 , a 1 , por la razón común para hallar el siguiente término, a 2 . a 2 .
  2. Repita el proceso, utilizando a n = a 2 a n = a 2 para calcular a 3 a 3 y luego a 3 a 3 para calcular a 4, a 4, hasta que se hayan identificado los cuatro términos.
  3. Escriba los términos separados por comas entre corchetes.

Ejemplo 2

Escribir los términos de una secuencia geométrica

Enumere los cuatro primeros términos de la secuencia geométrica con a 1 =5 a 1 =5 y r=–2. r=–2.

Inténtelo #3

Enumere los cinco primeros términos de la secuencia geométrica con a 1 =18 a 1 =18 y r= 1 3 . r= 1 3 .

Usar fórmulas recursivas para secuencias geométricas

Una fórmula recursiva nos permite calcular cualquier término de una secuencia geométrica utilizando el término anterior. Cada término es el producto del cociente común y del término anterior. Por ejemplo, supongamos que la razón común es 9. Entonces cada término es nueve veces el término anterior. Como en cualquier fórmula recursiva, hay que dar el término inicial.

Fórmula recursiva para una secuencia geométrica

La fórmula recursiva de una secuencia geométrica con razón común r r y primer término a 1 a 1 es

a n =r a n–1 ,n≥2 a n =r a n–1 ,n≥2

Cómo

Dados los primeros términos de una secuencia geométrica, escriba su fórmula recursiva.

  1. Indique el término inicial.
  2. Halle la razón común dividiendo un término cualquiera entre el término anterior.
  3. Sustituya la razón común en la fórmula recursiva de una secuencia geométrica.

Ejemplo 3

Usar fórmulas recursivas para secuencias geométricas

Escriba una fórmula recursiva para la siguiente secuencia geométrica.

{6, 9, 13,5, 20,25, ...} {6, 9, 13,5, 20,25, ...}

Análisis

La secuencia de puntos de datos sigue un patrón exponencial. La razón común es también la base de una función exponencial, como se muestra en la Figura 2.

Gráfico de la secuencia geométrica.
Figura 2

Preguntas y respuestas

¿Tenemos que dividir el segundo término entre el primero para hallar la razón común?

No. Podemos dividir cualquier término de la secuencia entre el término anterior. Sin embargo, lo más habitual es dividir el segundo término entre el primero porque suele ser el método más sencillo para hallar la razón común.

Inténtelo #4

Escriba una fórmula recursiva para la siguiente secuencia geométrica.

{2 ,  4 3 ,  8 9 ,  16 27 , ...} {2 ,  4 3 ,  8 9 ,  16 27 , ...}

Usar fórmulas explícitas para secuencias geométricas

Como una secuencia geométrica es una función exponencial cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos, y la razón común es la base de la función, podemos escribir fórmulas explícitas que nos permitan hallar términos particulares.

a n = a 1 r n–1 a n = a 1 r n–1

Veamos la secuencia {18, 36, 72, 144, 288, ...}. {18, 36, 72, 144, 288, ...}. Se trata de una secuencia geométrica con una razón común de 2 y una función exponencial de base 2. Una fórmula explícita para esta secuencia es

a n =18· 2 n–1 a n =18· 2 n–1

El gráfico de la secuencia se muestra en la Figura 3.

Gráfico de la secuencia geométrica.
Figura 3

Fórmula explícita para una secuencia geométrica

El nn término de una secuencia geométrica viene dado por la fórmula explícita:

a n = a 1 r n–1 a n = a 1 r n–1

Ejemplo 4

Escribir términos de secuencias geométricas mediante la fórmula explícita

Dada una secuencia geométrica con a 1 =3 a 1 =3 y a 4 =24, a 4 =24, calcule a 2 . a 2 .

Análisis

La razón común se multiplica por el primer término una vez para hallar el segundo término, dos veces para hallar el tercer término, tres veces para hallar el cuarto término, y así sucesivamente. El décimo término podría hallarse multiplicando el primer término por la razón común nueve veces o multiplicando por la razón común elevada a la novena potencia.

Inténtelo #5

Dada una secuencia geométrica con a 2 =4 a 2 =4 y a 3 =32 a 3 =32 , calcule a 6 . a 6 .

Ejemplo 5

Escribir una fórmula explícita para el enésimo término de una secuencia geométrica

Escriba una fórmula explícita para el enésimo enésimo término de la siguiente secuencia geométrica.

{2 , 10, 50, 250, ...} {2 , 10, 50, 250, ...}

Inténtelo #6

Escriba una fórmula explícita para la siguiente secuencia geométrica.

{-1, 3, -9, 27, ...} {-1, 3, -9, 27, ...}

Resolver problemas de aplicación con secuencias geométricas

En escenarios del mundo real que involucran secuencias geométricas podemos necesitar usar un término inicial de a 0 a 0 en vez de a 1 . a 1 . En estos problemas, podemos alterar ligeramente la fórmula explícita utilizando la siguiente fórmula:

a n = a 0 r n a n = a 0 r n

Ejemplo 6

Resolver problemas de aplicación con secuencias geométricas

En 2013, el número de estudiantes de una escuela pequeña es de 284. Se calcula que la población estudiantil aumentará un 4 % cada año.

  1. Ⓐ Escriba una fórmula para la población estudiantil.
  2. Ⓑ Estime la población estudiantil en 2020.

Inténtelo #7

Una empresa pone en marcha un nuevo sitio web. Inicialmente el número de visitas es de 293 debido al factor curiosidad. La empresa estima que el número de visitas aumentará un 2,6 % por semana.

  1. Ⓐ Escriba una fórmula para el número de visitas.
  2. Ⓑ Calcule el número de visitas para dentro de 5 semanas.

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con las secuencias geométricas.

11.3 Ejercicios de sección

Verbales

1.

¿Qué es una secuencia geométrica?

2.

¿Cómo se calcula la razón común de una secuencia geométrica?

3.

¿Cuál es el procedimiento para determinar si una secuencia es geométrica?

4.

¿Cuál es la diferencia entre una secuencia aritmética y una secuencia geométrica?

5.

Describa en qué se parecen las funciones exponenciales y las secuencias geométricas. ¿En qué se diferencian?

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle la razón común de la secuencia geométrica.

6.

1,3,9,27,81,... 1,3,9,27,81,...

7.

−0,125,0,25,−0,5,1,-2 ,... −0,125,0,25,−0,5,1,-2 ,...

8.

-2 ,- 1 2 ,- 1 8 ,- 1 32 ,- 1 128 ,... -2 ,- 1 2 ,- 1 8 ,- 1 32 ,- 1 128 ,...

En los siguientes ejercicios, determine si la secuencia es geométrica. Si es así, halle la razón común.

9.

−6,−12,−24,−48,−96,... −6,−12,−24,−48,−96,...

10.

5,5,2,5,4,5,6,5,8,... 5,5,2,5,4,5,6,5,8,...

11.

-1, 1 2 ,- 1 4 , 1 8 ,- 1 16 ,... -1, 1 2 ,- 1 4 , 1 8 ,- 1 16 ,...

12.

6,8,11,15,20,... 6,8,11,15,20,...

13.

0,8,4,20,100,500,... 0,8,4,20,100,500,...

En los siguientes ejercicios, escriba los cinco primeros términos de la sucesión geométrica, dado el primer término y la razón común.

14.

a 1 =8, r=0,3 a 1 =8, r=0,3

15.

a 1 =5, r= 1 5 a 1 =5, r= 1 5

En los siguientes ejercicios, escriba los cinco primeros términos de la sucesión geométrica, dados dos términos cualesquiera.

16.

a 7 =64, a 10 =512 a 7 =64, a 10 =512

17.

a 6 =25, a 8 =6,25 a 6 =25, a 8 =6,25

En los siguientes ejercicios, halle el término especificado para la secuencia geométrica, dado el primer término y la razón común.

18.

El primer término es 2, 2, y la razón común es de 3. 3. Halle el 5.º término.

19.

El primer término es 16 y la razón común es de − 1 3 . − 1 3 . Halle el 4.º término.

En los siguientes ejercicios, halle el término especificado para la secuencia geométrica, dados los cuatro primeros términos.

20.

a n ={ -1,2 ,-4,8,... }. a n ={ -1,2 ,-4,8,... }. Halle a 12 . a 12 .

21.

a n ={ −2 , 2 3 ,- 2 9 , 2 27 ,... }. a n ={ −2 , 2 3 ,- 2 9 , 2 27 ,... }. Halle a 7 . a 7 .

En los siguientes ejercicios, escriba los cinco primeros términos de la sucesión geométrica.

22.

a 1 =−486, a n =- 1 3 a n–1 a 1 =−486, a n =- 1 3 a n–1

23.

a 1 =7, a n =0,2 a n–1 a 1 =7, a n =0,2 a n–1

En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula recursiva para cada secuencia geométrica.

24.

a n ={ -1,5,−25,125,... } a n ={ -1,5,−25,125,... }

25.

a n ={ −32,−16,−8,-4,... } a n ={ −32,−16,−8,-4,... }

26.

a n ={ 14,56,224,896,... } a n ={ 14,56,224,896,... }

27.

a n ={ 10,-3,0,9,−0,27,... } a n ={ 10,-3,0,9,−0,27,... }

28.

a n ={ 0,61,1,83,5,49,16,47,... } a n ={ 0,61,1,83,5,49,16,47,... }

29.

a n ={ 3 5 , 1 10 , 1 60 , 1 360 ,... } a n ={ 3 5 , 1 10 , 1 60 , 1 360 ,... }

30.

a n ={ −2 , 4 3 ,− 8 9 , 16 27 ,... } a n ={ −2 , 4 3 ,− 8 9 , 16 27 ,... }

31.

a n ={ 1 512 ,- 1 128 , 1 32 ,- 1 8 ,... } a n ={ 1 512 ,- 1 128 , 1 32 ,- 1 8 ,... }

En los siguientes ejercicios, escriba los cinco primeros términos de la sucesión geométrica.

32.

a n =–4⋅ 5 n–1 a n =–4⋅ 5 n–1

33.

a n =12⋅ ( - 1 2 ) n–1 a n =12⋅ ( - 1 2 ) n–1

En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula explícita para cada secuencia geométrica.

34.

a n ={ −2 ,-4,−8,−16,... } a n ={ −2 ,-4,−8,−16,... }

35.

a n ={ 1,3,9,27,... } a n ={ 1,3,9,27,... }

36.

a n ={ −4,−12,−36,−108,... } a n ={ −4,−12,−36,−108,... }

37.

a n ={ 0,8,-4,20,−100,... } a n ={ 0,8,-4,20,−100,... }

38.

a n ={−1,25,-5,−20,−80,...} a n ={−1,25,-5,−20,−80,...}

39.

a n ={ -1,- 4 5 ,− 16 25 ,− 64 125 ,... } a n ={ -1,- 4 5 ,− 16 25 ,− 64 125 ,... }

40.

a n ={ 2 , 1 3 , 1 18 , 1 108 ,... } a n ={ 2 , 1 3 , 1 18 , 1 108 ,... }

41.

a n ={ 3,-1, 1 3 ,- 1 9 ,... } a n ={ 3,-1, 1 3 ,- 1 9 ,... }

En los siguientes ejercicios, halle el término especificado para la secuencia geométrica dada.

42.

Supongamos que a 1 =4, a 1 =4, a n =-3 a n–1 . a n =-3 a n–1 . Halle a 8 . a 8 .

43.

Supongamos que a n =- ( - 1 3 ) n–1 . a n =- ( - 1 3 ) n–1 . Halle a 12 . a 12 .

En los siguientes ejercicios, halle el número de términos de la secuencia geométrica finita dada.

44.

a n ={ -1,3,−9,...,2187 } a n ={ -1,3,−9,...,2187 }

45.

a n ={ 2 ,1, 1 2 ,..., 1 1.024 } a n ={ 2 ,1, 1 2 ,..., 1 1.024 }

Gráficos

En los siguientes ejercicios, determine si el gráfico mostrado representa una secuencia geométrica.

46.
Gráfico de un diagrama de dispersión con puntos marcados: (1, –3), (2, –1), (3, 1), (4, 3) y (5, 5). El eje x está marcado como n y el eje y está marcado como a_n.
47.
Gráfico de un diagrama de dispersión con puntos marcados: (1, –0,5), (2, 0,25), (3, 1,375), (4, 3,0625) y (5, 5,5938). El eje x está marcado como n y el eje y está marcado como a_n.

En los siguientes ejercicios, utilice la información proporcionada para graficar los primeros cinco términos de la secuencia geométrica.

48.

a 1 =1, r= 1 2 a 1 =1, r= 1 2

49.

a 1 =3, a n =2 a n–1 a 1 =3, a n =2 a n–1

50.

a n =27⋅ 0,3 n–1 a n =27⋅ 0,3 n–1

Extensiones

51.

Utilice fórmulas recursivas para dar dos ejemplos de secuencias geométricas cuyos 3.º términos son 200. 200.

52.

Utilice fórmulas explícitas para dar dos ejemplos de secuencias geométricas cuyos 7.º términos son 1.024. 1.024.

53.

Halle el 5.º término de la secuencia geométrica {b,4b,16b,...}. {b,4b,16b,...}.

54.

Halle el 7.º término de la secuencia geométrica {64a(−b),32a(-3b),16a(−9b),...}. {64a(−b),32a(-3b),16a(−9b),...}.

55.

¿En qué término la secuencia {10,12,14,4,17,28,...} {10,12,14,4,17,28,...} supera el 100? 100?

56.

¿En qué término la secuencia { 1 2187 , 1 729 , 1 243 , 1 81 ... } { 1 2187 , 1 729 , 1 243 , 1 81 ... } comienza a tener valores enteros?

57.

¿Para cuál término la secuencia geométrica a n =−36 ( 2 3 ) n–1 a n =−36 ( 2 3 ) n–1 tiene el primer valor no entero?

58.

Utilice la fórmula recursiva para escribir una secuencia geométrica cuya razón común sea un número entero. Muestre los cuatro primeros términos, y luego halle el 10.º término.

59.

Utilice la fórmula explícita para escribir una secuencia geométrica cuya razón común sea un número decimal entre 0 y 1. Muestre los 4 primeros términos y luego halle el 8.º término.

60.

¿Es posible que una secuencia sea a la vez aritmética y geométrica? Si es así, dé un ejemplo.

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