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Precálculo 2ed

11.1 Secuencias y sus notaciones

Precálculo 2ed11.1 Secuencias y sus notaciones

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Escribir los términos de una secuencia definida por una fórmula explícita.
  • Escribir los términos de una secuencia definida por una fórmula recursiva.
  • Utilizar la notación factorial.

Una compañía de videojuegos lanza una nueva y emocionante campaña publicitaria. Prevén que el número de visitas en línea a su sitio web, o hits, se duplicará cada día. El modelo que utilizan muestra 2 visitas el primer día, 4 visitas el segundo día, 8 visitas el tercer día, y así sucesivamente. Vea la Tabla 1.

Día 1 2 3 4 5
Visitas 2 4 8 16 32
Tabla 1

Si su modelo continúa, ¿cuántas visitas habrá al final del mes? Para responder esta pregunta, primero tendremos que saber cómo determinar una lista de números escritos en un orden específico. En esta sección exploraremos estos tipos de listas ordenadas.

Escribir los términos de una secuencia definida por una fórmula explícita

Una forma de describir una lista ordenada de números es como una secuencia. La secuencia es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números del recuento. La secuencia establecida por el número de visitas al sitio web es

{2 ,4,8,16,32,}. {2 ,4,8,16,32,}.

La elipsis (...) indica que la secuencia continúa indefinidamente. Cada uno de los números de la secuencia se denomina término. Los cinco primeros términos de esta secuencia son 2, 4, 8, 16 y 32.

Enumerar todos los términos de una secuencia puede ser engorroso. Por ejemplo, para conocer el número de visitas al sitio web a final de mes habría que enumerar hasta 31 términos. La forma más eficaz de determinar un término específico es escribir una fórmula para definir la secuencia.

Un tipo de fórmula es la fórmula explícita, que define los términos de una secuencia utilizando su posición en esta. Las fórmulas explícitas son útiles si queremos hallar un término específico de una secuencia sin hallar todos los términos anteriores. Podemos utilizar la fórmula para hallar el enésimo término de la secuencia, donde n n es cualquier número positivo. En nuestro ejemplo, cada número de la secuencia es el doble del anterior, por lo que podemos utilizar potencias de 2 para escribir una fórmula para el enésimo enésimo término.

Secuencia de {2, 4, 8, 16, 32, ...} expresada en forma exponencial (es decir, {2^1, 2^2, 2^3, ..., 2^n, ...}

El primer término de la secuencia es 2 1 =2 , 2 1 =2 , el segundo término es 2 2 =4, 2 2 =4, el tercer término es 2 3 =8, 2 3 =8, y así sucesivamente. El enésimo enésimo término de la secuencia se puede hallar elevando 2 a la n n potencia. Una fórmula explícita para una secuencia se denomina con una letra minúscula a,b,c... a,b,c... con el subíndice n. n. La fórmula explícita para esta secuencia es

a n = 2 n . a n = 2 n .

Ahora que tenemos una fórmula para el enésimo enésimo término de la secuencia, podemos responder la pregunta planteada al principio de esta sección. Se nos pidió que halláramos el número de visitas al final del mes, que tomaremos como 31 días. Para hallar el número de visitas en el último día del mes, tenemos que hallar el 31.º término de la secuencia. Sustituiremos 31 por n n en la fórmula.

a 31 = 2 31      =2.147.483.648 a 31 = 2 31      =2.147.483.648

Si la tendencia de duplicación continúa, la compañía obtendrá 2.147.483.648 2.147.483.648 visitas el último día del mes. ¡Son más de 2.100 millones de visitas! La enorme cifra es probablemente un poco irreal porque no tiene en cuenta el interés de los consumidores ni la competencia. No obstante, ofrece a la compañía un punto de partida desde el que considerar decisiones comerciales.

Otra forma de representar la secuencia es mediante una tabla. Los cinco primeros términos de la secuencia y el enésimo enésimo término de la secuencia se muestran en la Tabla 2.

n n 1 2 3 4 5 n n
enésimo enésimo término de la secuencia, a n a n 2 4 8 16 32 2 n 2 n
Tabla 2

Los gráficos proporcionan una representación visual de la secuencia como un conjunto de puntos distintos. Podemos ver en el gráfico de la Figura 1 que el número de visitas aumenta a un ritmo exponencial. Esta secuencia particular forma una función exponencial.

Gráfico de una función exponencial trazado, f(n) = 2^n, donde el eje x está marcado como n y el eje y está marcado como a_n.
Figura 1

Por último, podemos escribir esta secuencia particular como

{2 ,4,8,16,32,, 2 n ,}. {2 ,4,8,16,32,, 2 n ,}.

Una secuencia que continúa indefinidamente se llama secuencia infinita. El dominio de una secuencia infinita es el conjunto de los números que se cuentan. Si consideramos solo los 10 primeros términos de la secuencia, podríamos escribir

{2 ,4,8,16,32,, 2 n ,,1.024}. {2 ,4,8,16,32,, 2 n ,,1.024}.

Esta secuencia se llama secuencia finita porque no continúa indefinidamente.

Secuencia

La secuencia es una función cuyo dominio son el conjunto de enteros positivos. La secuencia finita es una secuencia cuyo dominio se compone solamente de los primeros n n enteros positivos. Los números de una secuencia se llaman términos. La variable a a con un subíndice numérico se utiliza para representar los términos de una secuencia y para indicar la posición del término en la secuencia.

a 1 , a 2 , a 3 ,, a n , a 1 , a 2 , a 3 ,, a n ,

Llamamos a 1 a 1 el primer término de la secuencia, a 2 a 2 el segundo término de la secuencia, a 3 a 3 el tercer término de la secuencia, y así sucesivamente. El término a n a n se llama el enésimo término de la secuencia, o el término general de la secuencia. La fórmula explícita define el enésimo término de una secuencia utilizando la posición del término. Una secuencia que continúa indefinidamente es una secuencia infinita.

Preguntas y respuestas

¿Una secuencia tiene que empezar siempre por a 1 ? a 1 ?

No. En ciertos problemas, puede ser útil definir el término inicial como a 0 a 0 en vez de a 1 . a 1 . En estos problemas, el dominio de la función incluye 0.

Cómo

Dada una fórmula explícita, escriba el primer término. n n de una secuencia.

  1. Sustituya cada valor de n n en la fórmula. Comience con n=1 n=1 para hallar el primer término, a 1 . a 1 .
  2. Para hallar el segundo término, a 2 , a 2 , utilice n=2. n=2.
  3. Continúe de la misma manera hasta que haya identificado todos los n n términos.

Ejemplo 1

Escribir los términos de una secuencia definida por una fórmula explícita

Escriba los cinco primeros términos de la secuencia definida por la fórmula explícita a n =-3n+8. a n =-3n+8.

Análisis

Los valores de la secuencia se pueden enumerar en una tabla. Una tabla, como la Tabla 3, es una forma cómoda de introducir la función en una herramienta gráfica.

n n 1 2 3 4 5
a n a n 5 2 -1 -4 –7
Tabla 3

A partir de esta tabla de valores se puede hacer un gráfico. A partir del gráfico de la Figura 2, podemos ver que esta secuencia representa una función lineal, pero observe que el gráfico no es continuo porque el dominio es solo sobre los enteros positivos.

Gráfico de un diagrama de dispersión donde el eje x está marcado como n y el eje y está marcado como a_n.
Figura 2

Inténtelo #1

Escriba los cinco primeros términos de la secuencia definida por la fórmula explícita t n =5n4. t n =5n4.

Investigar secuencias alternas

A veces, las secuencias tienen términos que son alternativos. De hecho, los términos pueden alternarse en el signo. Los pasos para hallar los términos de la secuencia son los mismos que si los signos no se alternaran. Sin embargo, los términos resultantes no mostrarán aumento ni disminución como n n aumenta. Veamos la siguiente secuencia.

{2 ,-4,6,−8} {2 ,-4,6,−8}

Observe que el primer término es mayor que el segundo, el segundo es menor que el tercero y el tercero es mayor que el cuarto. Esta tendencia continúa para siempre. No reordene los términos en orden numérico para interpretar la secuencia.

Cómo

Dada una fórmula explícita con términos alternos, escriba el primer término n n de una secuencia.

  1. Sustituya cada valor de n n en la fórmula. Comience con n=1 n=1 para hallar el primer término, a 1 . a 1 . El signo del término viene dado por el ( -1 ) n ( -1 ) n en la fórmula explícita.
  2. Para hallar el segundo término, a 2 , a 2 , utilice n=2. n=2.
  3. Continúe de la misma manera hasta que haya identificado todos los n n términos.

Ejemplo 2

Escribir los términos de una secuencia alterna definida por una fórmula explícita

Escriba los cinco primeros términos de la secuencia.

a n = (-1) n n 2 n+1 a n = (-1) n n 2 n+1

Análisis

El gráfico de esta función que se muestra en la Figura 3 tiene un aspecto diferente a las que hemos visto anteriormente en esta sección porque los términos de la secuencia alternan entre valores positivos y negativos.

Gráfico de un diagrama de dispersión con puntos marcados: (1, –1/2), (2, 4/3), (3, –9/4), (4, 16/5) y (5, –25/6). El eje x está marcado como n y el eje y está marcado como a_n.
Figura 3

Preguntas y respuestas

En el Ejemplo 2, ¿el (–1) elevado a la potencia de n n explica las oscilaciones de los signos?

Sí, la potencia puede ser n,n+1,n1, n,n+1,n1, y así sucesivamente, pero cualquier potencia impar generará un término negativo, y cualquier potencia par ocasionará un término positivo.

Inténtelo #2

Escriba los cinco primeros términos de la secuencia.

a n = 4n (2 ) n a n = 4n (2 ) n

Investigación de fórmulas explícitas definidas por partes

Hemos aprendido que las secuencias son funciones cuyo dominio está sobre los enteros positivos. Esto es cierto para otros tipos de funciones, incluidas algunas funciones definidas por partes. Recordemos que la función definida por partes es aquella definida por múltiples subsecciones. Una fórmula diferente podría representar cada subsección individual.

Cómo

Dada una fórmula explícita para una función definida por partes, escriba los primeros n n términos de una secuencia.

  1. Identifique la fórmula a la que n=1 n=1 aplica.
  2. Para hallar el primer término, a 1 , a 1 , utilice n=1 n=1 en la fórmula correspondiente.
  3. Identifique la fórmula a la que n=2 n=2 aplica.
  4. Para hallar el segundo término, a 2 , a 2 , utilice n=2 n=2 en la fórmula correspondiente.
  5. Continúe de la misma manera hasta que haya identificado todos los n n términos.

Ejemplo 3

Escribir los términos de una secuencia definida por una fórmula definida por partes explícita

Escriba los seis primeros términos de la secuencia.

a n ={ n 2 si nno es divisible entre 3 n 3 si nes divisible entre 3 a n ={ n 2 si nno es divisible entre 3 n 3 si nes divisible entre 3

Análisis

Uno de cada tres puntos del gráfico que se muestra en la Figura 4 se distingue de los dos puntos cercanos. Esto ocurre porque la secuencia fue determinada por una función definida por partes.

Gráfico de un diagrama de dispersión donde el eje x está marcado como n y el eje y está marcado como a_n.
Figura 4

Inténtelo #3

Escriba los seis primeros términos de la secuencia.

a n ={ 2 n 3 si nes impar 5n 2 si nes par a n ={ 2 n 3 si nes impar 5n 2 si nes par

Hallar una fórmula explícita

Hasta ahora, se nos ha dado la fórmula explícita y se nos ha pedido que calculemos un número de términos de la secuencia. A veces, la fórmula explícita del enésimo enésimo término de una secuencia no se da. En cambio, se nos dan varios términos de la secuencia. Cuando esto ocurre, podemos trabajar a la inversa para hallar una fórmula explícita a partir de los primeros términos de una secuencia. La clave para hallar una fórmula explícita es buscar un patrón en los términos. Tenga en cuenta que el patrón puede involucrar términos alternos, fórmulas para numeradores, fórmulas para denominadores, exponentes o bases.

Cómo

Dados los primeros términos de una secuencia, halle una fórmula explícita para la secuencia.

  1. Busque un patrón entre los términos.
  2. Si los términos son fracciones, busque un patrón separado entre los numeradores y los denominadores.
  3. Busque un patrón entre los signos de los términos.
  4. Escriba una fórmula para a n a n en términos de n. n. Pruebe su fórmula para n=1,n=2 , n=1,n=2 , y n=3. n=3.

Ejemplo 4

Escribir una fórmula explícita para el enésimo término de una secuencia

Escriba una fórmula explícita para el enésimo enésimo término de cada secuencia.

  1. { 2 11 , 3 13 ,- 4 15 , 5 17 , 6 19 , } { 2 11 , 3 13 ,- 4 15 , 5 17 , 6 19 , }
  2. { 2 25 ,- 2 125 ,- 2 625 ,- 2 3,125 ,- 2 15,625 ,} { 2 25 ,- 2 125 ,- 2 625 ,- 2 3,125 ,- 2 15,625 ,}
  3. { e 4 , e 5 , e 6 , e 7 , e 8 ,} { e 4 , e 5 , e 6 , e 7 , e 8 ,}

Inténtelo #4

Escriba una fórmula explícita para el enésimo enésimo término de la secuencia.

{9,81,729,6.561,59.049,…} {9,81,729,6.561,59.049,…}

Inténtelo #5

Escriba una fórmula explícita para el enésimo enésimo término de la secuencia.

{ 3 4 , 9 8 ,- 27 12 , 81 16 , 243 20 ,... } { 3 4 , 9 8 ,- 27 12 , 81 16 , 243 20 ,... }

Inténtelo #6

Escriba una fórmula explícita para el enésimo enésimo término de la secuencia.

{ 1 e 2 ,  1 e , 1, e,  e 2 ,... } { 1 e 2 ,  1 e , 1, e,  e 2 ,... }

Escribir los términos de una secuencia definida por una fórmula recursiva

Las secuencias se dan de forma natural en los patrones de crecimiento de las conchas de los nautilos, las piñas, las ramas de los árboles y muchas otras estructuras naturales. Podemos ver la secuencia en la disposición de las hojas o las ramas, el número de pétalos de una flor o el patrón de las cámaras de una concha de un nautilo. Su crecimiento sigue la secuencia de Fibonacci, una famosa secuencia en la que cada término se puede hallar mediante la suma de los dos anteriores. Los números de la secuencia son 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, .... Otros ejemplos del mundo natural que muestran la secuencia de Fibonacci son el lirio de cala, que tiene un solo pétalo, la Susana de ojos negros con 13 pétalos y diferentes variedades de margaritas que pueden tener 21 o 34 pétalos.

Cada término de la secuencia de Fibonacci depende de los términos que le preceden. La secuencia de Fibonacci no se puede escribir fácilmente mediante una fórmula explícita. En cambio, describimos la secuencia utilizando una fórmula recursiva, una fórmula que define los términos de una secuencia utilizando términos anteriores.

Una fórmula recursiva siempre tiene dos partes: el valor de un término inicial (o términos iniciales) y una ecuación que define a n a n según términos anteriores. Por ejemplo, supongamos que sabemos lo siguiente:

a 1 =3 a n =2 a n1 -1 para n2 a 1 =3 a n =2 a n1 -1 para n2

Podemos hallar los términos siguientes de la secuencia utilizando el primer término.

a 1 =3 a 2 =2 a 1 -1=2 (3)-1=5 a 3 =2 a 2 1=2 (5)-1=9 a 4 =2 a 3 -1=2 (9)-1=17 a 1 =3 a 2 =2 a 1 -1=2 (3)-1=5 a 3 =2 a 2 1=2 (5)-1=9 a 4 =2 a 3 -1=2 (9)-1=17

Así que los cuatro primeros términos de la secuencia son { 3,5,9,17 } { 3,5,9,17 } .

La fórmula recursiva de la secuencia de Fibonacci establece los dos primeros términos y define cada término sucesivo como la suma de los dos términos anteriores.

a 1 =1 a 2 =1 a n = a n1 + a n2  para  n3 a 1 =1 a 2 =1 a n = a n1 + a n2  para  n3

Para hallar el décimo término de la secuencia, por ejemplo, tendríamos que sumar el octavo y el noveno términos. Anteriormente se nos dijo que el octavo y el noveno términos son 21 y 34, por lo que

a 10 = a 9 + a 8 =34+21=55 a 10 = a 9 + a 8 =34+21=55

Fórmula recursiva

Una fórmula recursiva es una fórmula que define cada término de una secuencia utilizando el término anterior (o términos anteriores). Las fórmulas recursivas deben indicar siempre el término o términos iniciales de la secuencia.

Preguntas y respuestas

¿Siempre se deben dar los dos primeros términos en una fórmula recursiva?

No. La secuencia de Fibonacci define cada término utilizando los dos términos anteriores, pero muchas fórmulas recursivas definen cada término utilizando solo un término anterior. Estas secuencias solo necesitan que se defina el primer término.

Cómo

Dada una fórmula recursiva con solo el primer término proporcionado, escriba los primeros n n términos de una secuencia.

  1. Identifique el término inicial, a 1 , a 1 , que se da como parte de la fórmula. Este es el primer término.
  2. Para hallar el segundo término, a 2 , a 2 , sustituya el término inicial en la fórmula de a n1 . a n1 . Resuelva.
  3. Para hallar el tercer término, a 3 , a 3 , sustituya el segundo término en la fórmula. Resuelva.
  4. Repita la operación hasta que haya resuelto el enésimo enésimo término.

Ejemplo 5

Escribir los términos de una secuencia definida por una fórmula recursiva

Escriba los cinco primeros términos de la secuencia definida por la fórmula recursiva.

a 1 =9 a n n =3 a n1 20, para n2 a 1 =9 a n n =3 a n1 20, para n2

Inténtelo #7

Escriba los cinco primeros términos de la secuencia definida por la fórmula recursiva.

a 1 =2 a n =2 a n1 +1, para n2 a 1 =2 a n =2 a n1 +1, para n2

Cómo

Dada una fórmula recursiva con dos términos iniciales, escriba los primeros n n términos de una secuencia.

  1. Identifique el término inicial, a 1 , a 1 , que se da como parte de la fórmula.
  2. Identifique el segundo término, a 2 , a 2 , que se da como parte de la fórmula.
  3. Para hallar el tercer término, sustituya el término inicial y el segundo término en la fórmula. Evalúe.
  4. Repita la operación hasta que haya evaluado el enésimo enésimo término.

Ejemplo 6

Escribir los términos de una secuencia definida por una fórmula recursiva

Escriba los seis primeros términos de la secuencia definida por la fórmula recursiva.

a 1 =1 a 2 =2 a n n =3 a n1 +4 a n2 , para n3 a 1 =1 a 2 =2 a n n =3 a n1 +4 a n2 , para n3

Inténtelo #8

Escriba los 8 primeros términos de la secuencia definida por la fórmula recursiva.

a 1 =0 a 2 =1 a 3 =1 a n = a n1 a n2 + a n-3 , para n4 a 1 =0 a 2 =1 a 3 =1 a n = a n1 a n2 + a n-3 , para n4

Usar notación factorial

Las fórmulas de algunas secuencias incluyen productos de enteros positivos consecutivos. n n factorial, escrito como n!, n!, es el producto de los enteros positivos de 1 a n. n. Por ejemplo,

4!=4321=24 5!=54321=120 4!=4321=24 5!=54321=120

Un ejemplo de fórmula que contiene un factorial es a n =(n+1)!. a n =(n+1)!. El sexto término de la secuencia se puede hallar al sustituir 6 por n. n.

a 6 =(6+1)!=7!=7·6·5·4·3·2·1=5040 a 6 =(6+1)!=7!=7·6·5·4·3·2·1=5040

El factorial de cualquier número natural n n es n(n1)! n(n1)! Por lo tanto, también podemos pensar en 5! 5! cuando 54!. 54!.

factorial n

factorial n es una operación matemática que se puede definir mediante una fórmula recursiva. El factorial de n, n, denotado n!, n!, se define para un número entero positivo n n como:

0!=1 1!=1 n!=n( n1 )( n2 )( 2 )( 1 ), para n2 0!=1 1!=1 n!=n( n1 )( n2 )( 2 )( 1 ), para n2

El caso especial 0! 0! se define como 0!=1. 0!=1.

Preguntas y respuestas

¿Siempre se pueden hallar los factoriales utilizando una calculadora?

No. Los factoriales se hacen grandes muy rápidamente, ¡más rápido incluso que las funciones exponenciales! Si la salida es demasiado grande para la calculadora, esta no podrá calcular el factorial.

Ejemplo 7

Escribir términos de una secuencia mediante factoriales

Escriba los cinco primeros términos de la secuencia definida por la fórmula explícita a n = 5n (n+2 )! . a n = 5n (n+2 )! .

Análisis

La Figura 7 muestra el gráfico de la secuencia. Tome en cuenta que, dado que los factoriales crecen muy rápidamente, la presencia del término factorial en el denominador hace que el denominador sea mucho mayor que el numerador cuando n n aumenta. Esto significa que el cociente se hace más pequeño y, como muestra el gráfico de los términos, los términos disminuyen y se acercan a cero.

Gráfico de un diagrama de dispersión con puntos marcados: (1, 5/6), (2, 5/12), (3, 1/8), (4, 1/36) y (5, 5/1.008). El eje x está marcado como n y el eje y está marcado como a_n.
Figura 7

Inténtelo #9

Escriba los cinco primeros términos de la secuencia definida por la fórmula explícita a n = (n+1)! 2n . a n = (n+1)! 2n .

Media

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar las secuencias.

11.1 Ejercicios de sección

Verbales

1.

Analizar el significado de una secuencia. Si una secuencia finita está definida por una fórmula, ¿cuál es su dominio? ¿Y una secuencia infinita?

2.

Describa tres formas de definir una secuencia.

3.

¿El conjunto ordenado de números pares es una secuencia infinita? ¿Y el conjunto ordenado de números impares? Explique por qué sí o por qué no.

4.

¿Qué pasa con los términos a n a n de una secuencia cuando hay un factor negativo en la fórmula que se eleva a una potencia que incluye n? n? ¿Cuál es el término utilizado para describir este fenómeno?

5.

¿Qué es un factorial y cómo se denota? Utilice un ejemplo para ilustrar cómo la notación factorial puede ser beneficiosa.

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, escriba los cuatro primeros términos de la secuencia.

6.

a n = 2 n 2 a n = 2 n 2

7.

a n =- 16 n+1 a n =- 16 n+1

8.

a n =- ( -5 ) n1 a n =- ( -5 ) n1

9.

a n = 2 n n 3 a n = 2 n n 3

10.

a n = 2n+1 n 3 a n = 2n+1 n 3

11.

a n =1,25 ( -4 ) n1 a n =1,25 ( -4 ) n1

12.

a n =4 ( 6 ) n1 a n =4 ( 6 ) n1

13.

a n = n 2 2n+1 a n = n 2 2n+1

14.

a n = ( 10 ) n +1 a n = ( 10 ) n +1

15.

a n =-( 4 (-5) n1 5 ) a n =-( 4 (-5) n1 5 )

En los siguientes ejercicios, escriba los ocho primeros términos de la secuencia definida por partes.

16.

a n ={ (2 ) n 2 si nes par (3) n1 si nes impar a n ={ (2 ) n 2 si nes par (3) n1 si nes impar

17.

a n ={ n 2 2n+1 si n5 n 2 -5 si n>5 a n ={ n 2 2n+1 si n5 n 2 -5 si n>5

18.

a n ={ (2 n+1) 2 si nes divisible entre 4 2 n si nno es divisible entre 4 a n ={ (2 n+1) 2 si nes divisible entre 4 2 n si nno es divisible entre 4

19.

a n ={ 0,6 5 n1 si nes primo o 1 2,5 (2 ) n1 si nes compuesto a n ={ 0,6 5 n1 si nes primo o 1 2,5 (2 ) n1 si nes compuesto

20.

a n ={ 4( n 2 -2 ) si n3n> 6 n 2 -2 4 si 3<n6 a n ={ 4( n 2 -2 ) si n3n> 6 n 2 -2 4 si 3<n6

En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula explícita para cada secuencia.

21.

4, 7, 12, 19, 28, 4, 7, 12, 19, 28,

22.

-4,2 ,-10,14,34, -4,2 ,-10,14,34,

23.

1,1, 4 3 ,2 , 16 5 , 1,1, 4 3 ,2 , 16 5 ,

24.

0, 1- e 1 1+ e 2 , 1- e 2 1+ e 3 , 1- e 3 1+ e 4 , 1- e 4 1+ e 5 , 0, 1- e 1 1+ e 2 , 1- e 2 1+ e 3 , 1- e 3 1+ e 4 , 1- e 4 1+ e 5 ,

25.

1,- 1 2 , 1 4 ,- 1 8 , 1 16 , 1,- 1 2 , 1 4 ,- 1 8 , 1 16 ,

En los siguientes ejercicios, escriba los cinco primeros términos de la secuencia.

26.

a 1 =9, a n = a n1 +n a 1 =9, a n = a n1 +n

27.

a 1 =3, a n =( -3 ) a n1 a 1 =3, a n =( -3 ) a n1

28.

a 1 =4, a n = a n1 +2n a n1 -1 a 1 =4, a n = a n1 +2n a n1 -1

29.

a 1 =-1, a n = ( -3 ) n1 a n1 -2 a 1 =-1, a n = ( -3 ) n1 a n1 -2

30.

a 1 =30, a n =( 2 + a n1 ) ( 1 2 ) n a 1 =30, a n =( 2 + a n1 ) ( 1 2 ) n

En los siguientes ejercicios, escriba los ocho primeros términos de la secuencia.

31.

a 1 = 1 24 , a 2 =1, a n =( 2 a n2 )( 3 a n1 ) a 1 = 1 24 , a 2 =1, a n =( 2 a n2 )( 3 a n1 )

32.

a 1 =-1, a 2 =5, a n = a n2 ( 3 a n1 ) a 1 =-1, a 2 =5, a n = a n2 ( 3 a n1 )

33.

a 1 =2 , a 2 =10, a n = 2 ( a n1 +2 ) a n2 a 1 =2 , a 2 =10, a n = 2 ( a n1 +2 ) a n2

En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula recursiva para cada secuencia.

34.

2,5,-5,-10,20,-40, 2,5,-5,-10,20,-40,

35.

8,6,-3,1,6, 8,6,-3,1,6,

36.

2,4,12,48,240, 2,4,12,48,240,

37.

35,38,41,44,47, 35,38,41,44,47,

38.

15,3, 3 5 , 3 25 , 3 125 , 15,3, 3 5 , 3 25 , 3 125 ,

En los siguientes ejercicios, evalúe el factorial.

39.

6! 6!

40.

( 12 6 )! ( 12 6 )!

41.

12! 6! 12! 6!

42.

100! 99! 100! 99!

En los siguientes ejercicios, escriba los cuatro primeros términos de la secuencia.

43.

a n = n! n 2 a n = n! n 2

44.

a n n = 3n! 4n! a n n = 3n! 4n!

45.

a n = n! n 2 -n1 a n = n! n 2 -n1

46.

a n = 100n n(n1)! a n = 100n n(n1)!

Gráficos

En los siguientes ejercicios, grafique los cinco primeros términos de la secuencia indicada

47.

a n = ( -1 ) n n +n a n = ( -1 ) n n +n

48.

a n ={ 4+n 2n si nes par 3+n si nes impar a n ={ 4+n 2n si nes par 3+n si nes impar

49.

a 1 =2 , a n = ( - a n1 +1 ) 2 a 1 =2 , a n = ( - a n1 +1 ) 2

50.

a 1 =1, a n = a n1 +8 a 1 =1, a n = a n1 +8

51.

a n = ( n+1 )! ( n1 )! a n = ( n+1 )! ( n1 )!

En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula explícita para la secuencia utilizando los cinco primeros puntos mostrados en el gráfico.

52.
Gráfico de un diagrama de dispersión con puntos marcados: (1, 5), (2, 7), (3, 9), (4, 11) y (5, 13). El eje x está marcado como n y el eje y está marcado como a_n.
53.
Gráfico de un diagrama de dispersión con puntos marcados: (1, 0,5), (2, 1), (3, 2), (4, 4) y (5, 8). El eje x está marcado como n y el eje y está marcado como a_n.
54.
Gráfico de un diagrama de dispersión con puntos marcados: (1, 12), (2, 9), (3, 6), (4, 3) y (5, 0). El eje x está marcado como n y el eje y está marcado como a_n.

En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula recursiva para la secuencia utilizando los cinco primeros puntos mostrados en el gráfico.

55.
Gráfico de un diagrama de dispersión con puntos marcados: (1, 6), (2, 7), (3, 9), (4, 13) y (5, 21). El eje x está marcado como n y el eje y está marcado como a_n.
56.
Gráfico de un diagrama de dispersión con puntos marcados: (1, 16), (2, 8), (3, 4), (4, 2) y (5, 1). El eje x está marcado como n y el eje y está marcado como a_n.

En tecnología

Siga estos pasos para evaluar una secuencia definida recursivamente utilizando una calculadora gráfica:

  • En la pantalla de inicio, introduzca el valor del término inicial a 1 a 1 y presione [ENTER].
  • Introduzca la fórmula recursiva tecleando todos los valores numéricos dados en la fórmula, al pulsar las teclas [2ND] ANS para el término anterior a n1 . a n1 . Presione [ENTER].
  • Continúe pulsando [ENTER] para calcular los valores de cada término sucesivo.

En los siguientes ejercicios, utilice los pasos anteriores para hallar el término indicado o los términos indicados para la secuencia.

57.

Halle los cinco primeros términos de la secuencia a 1 = 87 111 a 1 = 87 111 , a n = 4 3 a n1 + 12 37 . a n = 4 3 a n1 + 12 37 . Utilice la función >Frac para dar resultados fraccionados.

58.

Halle el 15.º término de la secuencia a 1 =625 a 1 =625, a n =0,8 a n1 +18. a n =0,8 a n1 +18.

59.

Halle los cinco primeros términos de la secuencia a 1 =2 a 1 =2, a n = 2 [( a n 1)-1] +1. a n = 2 [( a n 1)-1] +1.

60.

Halle los diez primeros términos de la secuencia a 1 =8 a 1 =8, a n = ( a n1 +1 )! a n1 ! . a n = ( a n1 +1 )! a n1 ! .

61.

Halle el décimo término de la secuencia a 1 =2 a 1 =2, a n =n a n1 a n =n a n1

Siga estos pasos para evaluar una secuencia finita definida por una fórmula explícita. Utilizando una TI-84, haga lo siguiente.

  • En la pantalla de inicio, presione [2ND] LIST.
  • Desplácese hasta OPS y elija "seq(" en la lista desplegable. Presione [ENTER].
  • En la línea titulada "Expr:" escriba la fórmula explícita, utilizando la tecla [X,T,θ,n] [X,T,θ,n] para n n
  • En la línea titulada "Variable:" introduzca la variable utilizada en el paso anterior.
  • En la línea titulada "start”: (inicio) introduzca el valor de n n que inicia la secuencia.
  • En la línea titulada "end:" (fin) introduzca el valor de n n que termina la secuencia.
  • Presione [ENTER] 3 veces para volver a la pantalla de inicio. Verá la sintaxis de la secuencia en la pantalla. Presione [ENTER] para ver la lista de términos de la secuencia finita definida. Utilice la tecla de flecha derecha para desplazarse por la lista de términos.

Utilizando una TI-83, haga lo siguiente.

  • En la pantalla de inicio, presione [2ND] LIST.
  • Desplácese hasta OPS y elija "seq(" en la lista desplegable. Presione [ENTER].
  • Introduzca los elementos en el orden "Expr", "Variable", “start", “end" separados por comas. Consulte las instrucciones anteriores para ver la descripción de cada elemento.
  • Presione [ENTER] para ver la lista de términos de la secuencia finita definida. Utilice la tecla de flecha derecha para desplazarse por la lista de términos.

En los siguientes ejercicios, utilice los pasos anteriores para hallar los términos indicados para la secuencia. Redondea a la milésima más cercana cuando sea necesario.

62.

Enumere los cinco primeros términos de la secuencia a n = 28 9 n+ 5 3 . a n = 28 9 n+ 5 3 .

63.

Enumere los seis primeros términos de la secuencia a n = n 3 3,5 n 2 + 4,1n1,5 2,4n . a n = n 3 3,5 n 2 + 4,1n1,5 2,4n .

64.

Enumere los cinco primeros términos de la secuencia a n = 15n ( 2 ) n1 47 a n = 15n ( 2 ) n1 47

65.

Enumere los cuatro primeros términos de la secuencia a n = 5,7 n +0,275( n1 )! a n = 5,7 n +0,275( n1 )!

66.

Enumere los seis primeros términos de la secuencia a n = n! n . a n = n! n .

Extensiones

67.

Consideremos la secuencia definida por a n =68n. a n =68n. ¿Es a n =421 a n =421 un término de la secuencia? Compruebe el resultado.

68.

¿Qué término de la secuencia a n = n 2 +4n+4 2 ( n+2 ) a n = n 2 +4n+4 2 ( n+2 ) tiene el valor 41? 41? Compruebe el resultado.

69.

Halle una fórmula recursiva para la secuencia 1, 0, –1, –1, 0, 1, 1, 0, –1, –1, 0, 1, 1, .... (Pista: busque un patrón para a n a n basado en los dos primeros términos).

70.

Calcule los ocho primeros términos de las secuencias a n = ( n+2 )! ( n1 )! a n = ( n+2 )! ( n1 )! y b n = n 3 +3 n 2 +2n, b n = n 3 +3 n 2 +2n, y luego haga una conjetura sobre la relación entre estas dos secuencias.

71.

Demuestre la conjetura hecha en el ejercicio anterior.

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