11.1 Secuencias y sus notaciones

Escribir los términos de una secuencia definida por una fórmula explícita

Una forma de describir una lista ordenada de números es como una secuencia. La secuencia es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números del recuento. La secuencia establecida por el número de visitas al sitio web es

La elipsis (...) indica que la secuencia continúa indefinidamente. Cada uno de los números de la secuencia se denomina término. Los cinco primeros términos de esta secuencia son 2, 4, 8, 16 y 32.

Enumerar todos los términos de una secuencia puede ser engorroso. Por ejemplo, para conocer el número de visitas al sitio web a final de mes habría que enumerar hasta 31 términos. La forma más eficaz de determinar un término específico es escribir una fórmula para definir la secuencia.

Un tipo de fórmula es la fórmula explícita, que define los términos de una secuencia utilizando su posición en esta. Las fórmulas explícitas son útiles si queremos hallar un término específico de una secuencia sin hallar todos los términos anteriores. Podemos utilizar la fórmula para hallar el enésimo término de la secuencia, donde $n$ es cualquier número positivo. En nuestro ejemplo, cada número de la secuencia es el doble del anterior, por lo que podemos utilizar potencias de 2 para escribir una fórmula para el $\text{enésimo}$ término.

El primer término de la secuencia es $2^1=2,$ el segundo término es $2^2=4,$ el tercer término es $2^3=8,$ y así sucesivamente. El $\text{enésimo}$ término de la secuencia se puede hallar elevando 2 a la $n$ potencia. Una fórmula explícita para una secuencia se denomina con una letra minúscula $a,b,c\mathrm{...}$ con el subíndice $n.$ La fórmula explícita para esta secuencia es

Ahora que tenemos una fórmula para el $\text{enésimo}$ término de la secuencia, podemos responder la pregunta planteada al principio de esta sección. Se nos pidió que halláramos el número de visitas al final del mes, que tomaremos como 31 días. Para hallar el número de visitas en el último día del mes, tenemos que hallar el 31.º término de la secuencia. Sustituiremos 31 por $n$ en la fórmula.

Si la tendencia de duplicación continúa, la compañía obtendrá $\text{2.147.483.648}$ visitas el último día del mes. ¡Son más de 2.100 millones de visitas! La enorme cifra es probablemente un poco irreal porque no tiene en cuenta el interés de los consumidores ni la competencia. No obstante, ofrece a la compañía un punto de partida desde el que considerar decisiones comerciales.

Otra forma de representar la secuencia es mediante una tabla. Los cinco primeros términos de la secuencia y el $\text{enésimo}$ término de la secuencia se muestran en la Tabla 2.

Los gráficos proporcionan una representación visual de la secuencia como un conjunto de puntos distintos. Podemos ver en el gráfico de la Figura 1 que el número de visitas aumenta a un ritmo exponencial. Esta secuencia particular forma una función exponencial.

Figura 1

Por último, podemos escribir esta secuencia particular como

Una secuencia que continúa indefinidamente se llama secuencia infinita. El dominio de una secuencia infinita es el conjunto de los números que se cuentan. Si consideramos solo los 10 primeros términos de la secuencia, podríamos escribir

Esta secuencia se llama secuencia finita porque no continúa indefinidamente.

Ejemplo 1

Escribir los términos de una secuencia definida por una fórmula explícita

Escriba los cinco primeros términos de la secuencia definida por la fórmula explícita $a_n=-3n+8.$

Solución

Sustituya $n=1$ en la fórmula. Repita con los valores de 2 a 5 para $n.$

$$\begin{array}{llllll}n=1\hfill & \hfill & \hfill & \hfill & \hfill & a_1=-3(1)+8=5\hfill \\ n=2\hfill & \hfill & \hfill & \hfill & \hfill & a_2=-3(2)+8=2\hfill \\ nn\; =3\hfill & \hfill & \hfill & \hfill & \hfill & a_3=-3(3)+8=-1\hfill \\ n=4\hfill & \hfill & \hfill & \hfill & \hfill & a_4=-3(4)+8=–4\hfill \\ n=5\hfill & \hfill & \hfill & \hfill & \hfill & a_5=-3(5)+8=-7\hfill \end{array}$$

Los cinco primeros términos son $\{5,2,\mathrm{–1},-4,\mathrm{-7}\}.$

Análisis

Los valores de la secuencia se pueden enumerar en una tabla. Una tabla, como la Tabla 3, es una forma cómoda de introducir la función en una herramienta gráfica.

$n$	1	2	3	4	5
$a_n$	5	2	-1	-4	–7

Tabla 3

A partir de esta tabla de valores se puede hacer un gráfico. A partir del gráfico de la Figura 2, podemos ver que esta secuencia representa una función lineal, pero observe que el gráfico no es continuo porque el dominio es solo sobre los enteros positivos.

Figura 2

Investigar secuencias alternas

A veces, las secuencias tienen términos que son alternativos. De hecho, los términos pueden alternarse en el signo. Los pasos para hallar los términos de la secuencia son los mismos que si los signos no se alternaran. Sin embargo, los términos resultantes no mostrarán aumento ni disminución como $n$ aumenta. Veamos la siguiente secuencia.

$$\{2,-4,6,\mathrm{-8}\}$$

Observe que el primer término es mayor que el segundo, el segundo es menor que el tercero y el tercero es mayor que el cuarto. Esta tendencia continúa para siempre. No reordene los términos en orden numérico para interpretar la secuencia.

Cómo

Dada una fórmula explícita con términos alternos, escriba el primer término $n$ de una secuencia.

1. Sustituya cada valor de $n$ en la fórmula. Comience con $n=1$ para hallar el primer término, $a_1.$ El signo del término viene dado por el ${\left(-1\right)}^n$ en la fórmula explícita.
2. Para hallar el segundo término, $a_2,$ utilice $n=2.$
3. Continúe de la misma manera hasta que haya identificado todos los $n$ términos.

Ejemplo 2

Escribir los términos de una secuencia alterna definida por una fórmula explícita

Escriba los cinco primeros términos de la secuencia.

$$a_n=\frac{{(-1)}^n{n}^2}{n+1}$$

Solución

Sustituya $n=1,$ $n=2,$ y así sucesivamente en la fórmula.

$$\begin{array}{lll}n=1\hfill & \begin{array}{cc}& \end{array}\hfill & a_1=\frac{{(-1)}^1{1}^2}{1+1}=-\frac{1}{2}\hfill \\ n=2\hfill & \begin{array}{cc}& \end{array}\hfill & a_2=\frac{{(-1)}^2{2}^2}{2+1}=\frac{4}{3}\hfill \\ nn\; =3\hfill & \begin{array}{cc}& \end{array}\hfill & a_3=\frac{{(-1)}^3{3}^2}{3+1}=-\frac{9}{4}\hfill \\ n=4\hfill & \begin{array}{cc}& \end{array}\hfill & a_4=\frac{{(-1)}^4{4}^2}{4+1}=\frac{16}{5}\hfill \\ n=5\hfill & \hfill & a_5=\frac{{(-1)}^5{5}^2}{5+1}=-\frac{25}{6}\hfill \end{array}$$

Los cinco primeros términos son $\left\{-\frac{1}{2},\frac{4}{3},-\frac{9}{4},\frac{16}{5},-\frac{25}{6}\right\}.$

Análisis

El gráfico de esta función que se muestra en la Figura 3 tiene un aspecto diferente a las que hemos visto anteriormente en esta sección porque los términos de la secuencia alternan entre valores positivos y negativos.

Figura 3

Preguntas y respuestas

En el Ejemplo 2, ¿el (–1) elevado a la potencia de $n$ explica las oscilaciones de los signos?

Sí, la potencia puede ser $n,n+1,n–1,$ y así sucesivamente, pero cualquier potencia impar generará un término negativo, y cualquier potencia par ocasionará un término positivo.

Inténtelo #2

Escriba los cinco primeros términos de la secuencia.

$$a_n=\frac{4n}{{(–2)}^n}$$

Investigación de fórmulas explícitas definidas por partes

Hemos aprendido que las secuencias son funciones cuyo dominio está sobre los enteros positivos. Esto es cierto para otros tipos de funciones, incluidas algunas funciones definidas por partes. Recordemos que la función definida por partes es aquella definida por múltiples subsecciones. Una fórmula diferente podría representar cada subsección individual.

Cómo

Dada una fórmula explícita para una función definida por partes, escriba los primeros $n$ términos de una secuencia.

1. Identifique la fórmula a la que $n=1$ aplica.
2. Para hallar el primer término, $a_1,$ utilice $n=1$ en la fórmula correspondiente.
3. Identifique la fórmula a la que $n=2$ aplica.
4. Para hallar el segundo término, $a_2,$ utilice $n=2$ en la fórmula correspondiente.
5. Continúe de la misma manera hasta que haya identificado todos los $n$ términos.

Ejemplo 3

Escribir los términos de una secuencia definida por una fórmula definida por partes explícita

Escriba los seis primeros términos de la secuencia.

$$a_n=\{\begin{array}{ll}{n}^2\hfill & \text{si }n\text{no es divisible entre 3}\hfill \\ \frac{n}{3}\hfill & \text{si }n\text{es divisible entre 3}\hfill \end{array}$$

Solución

Sustituya $n=1,n=2,$ y así sucesivamente en la fórmula correspondiente. Utilice $n^2$ cuando $n$ no es un múltiplo de 3. Utilice $\frac{n}{3}$ cuando $n$ es un múltiplo de 3.

$$\begin{array}{ll}{a}_1=1^2=1\begin{array}{cccc}& & & \end{array}\hfill & \text{1 no es múltiplo de 3}\text{. Uso }{n}^2.\hfill \\ a_2=2^2=4\hfill & \text{2 no es múltiplo de 3}\text{. Uso }{n}^2.\hfill \\ a_3=\frac{3}{3}=1\hfill & \text{3 es un múltiplo de 3}\text{. Uso }\frac{n}{3}.\hfill \\ a_4=4^2=16\hfill & \text{4 no es un múltiplo de 3}\text{. Uso }{n}^2.\hfill \\ a_5=5^2=25\hfill & \text{5 no es un múltiplo de 3}\text{. Uso }{n}^2.\hfill \\ a_6=\frac{6}{3}=2\hfill & \text{6 es un múltiplo de 3}\text{. Uso }\frac{n}{3}.\hfill \end{array}$$

Los seis primeros términos son $\left\{1,4,1,16,25,2\right\}.$

Análisis

Uno de cada tres puntos del gráfico que se muestra en la Figura 4 se distingue de los dos puntos cercanos. Esto ocurre porque la secuencia fue determinada por una función definida por partes.

Figura 4

Inténtelo #3

Escriba los seis primeros términos de la secuencia.

$$a_n=\{\begin{array}{ll}2n^3\hfill & \text{si }n\text{es impar}\hfill \\ \frac{5n}{2}\hfill & \text{si }n\text{es par}\hfill \end{array}$$

Escribir los términos de una secuencia definida por una fórmula recursiva

Las secuencias se dan de forma natural en los patrones de crecimiento de las conchas de los nautilos, las piñas, las ramas de los árboles y muchas otras estructuras naturales. Podemos ver la secuencia en la disposición de las hojas o las ramas, el número de pétalos de una flor o el patrón de las cámaras de una concha de un nautilo. Su crecimiento sigue la secuencia de Fibonacci, una famosa secuencia en la que cada término se puede hallar mediante la suma de los dos anteriores. Los números de la secuencia son 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, .... Otros ejemplos del mundo natural que muestran la secuencia de Fibonacci son el lirio de cala, que tiene un solo pétalo, la Susana de ojos negros con 13 pétalos y diferentes variedades de margaritas que pueden tener 21 o 34 pétalos.

Cada término de la secuencia de Fibonacci depende de los términos que le preceden. La secuencia de Fibonacci no se puede escribir fácilmente mediante una fórmula explícita. En cambio, describimos la secuencia utilizando una fórmula recursiva, una fórmula que define los términos de una secuencia utilizando términos anteriores.

Una fórmula recursiva siempre tiene dos partes: el valor de un término inicial (o términos iniciales) y una ecuación que define $a_n$ según términos anteriores. Por ejemplo, supongamos que sabemos lo siguiente:

Podemos hallar los términos siguientes de la secuencia utilizando el primer término.

Así que los cuatro primeros términos de la secuencia son $\left\{3,5,9,17\right\}$.

La fórmula recursiva de la secuencia de Fibonacci establece los dos primeros términos y define cada término sucesivo como la suma de los dos términos anteriores.

Para hallar el décimo término de la secuencia, por ejemplo, tendríamos que sumar el octavo y el noveno términos. Anteriormente se nos dijo que el octavo y el noveno términos son 21 y 34, por lo que

Ejemplo 5

Escribir los términos de una secuencia definida por una fórmula recursiva

Escriba los cinco primeros términos de la secuencia definida por la fórmula recursiva.

$$\begin{array}{l}\begin{array}{l}\\ a_1=9\end{array}\hfill \\ a_{n}n\; =3a_{n–1}-20\text{, para }n\ge 2\hfill \end{array}$$

Solución

El primer término es dado en la fórmula. Para cada término posterior, sustituimos $a_{n–1}$ con el valor del término anterior.

$$\begin{array}{ll}n=1\begin{array}{lllll}\hfill & \hfill & \hfill & \hfill & \hfill \end{array}\hfill & a_1=9\hfill \\ n=2\hfill & a_2=3a_1-20=3(9)-20=27-20=7\hfill \\ nn\; =3\hfill & a_3=3a_2-20=3(7)-20=21-20=1\hfill \\ n=4\hfill & a_4=3a_3-20=3(1)-20=3-20=-17\hfill \\ n=5\hfill & a_5=3a_4-20=3(-17)-20=-51-20=-71\hfill \end{array}$$

Los cinco primeros términos son $\left\{9,7,1,–17,–71\right\}.$ Vea la Figura 5.

Figura 5

Ejemplo 6

Escribir los términos de una secuencia definida por una fórmula recursiva

Escriba los seis primeros términos de la secuencia definida por la fórmula recursiva.

$$\begin{array}{l}{a}_1=1\\ a_2=2\\ a_{n}n\; =3a_{n–1}+4a_{n–2}\text{, para }n\ge 3\end{array}$$

Solución

Se dan los dos primeros términos. Para cada término posterior, sustituimos $a_{n–1}$ y $a_{n–2}$ con los valores de los dos términos anteriores.

$$\begin{array}{lllllll}nn\; =3\hfill & \hfill & \hfill & \hfill & \hfill & \hfill & a_3=3a_2+4a_1=3(2)+4(1)=10\hfill \\ n=4\hfill & \hfill & \hfill & \hfill & \hfill & \hfill & a_4=3a_3+4a_2=3(10)+4(2)=38\hfill \\ n=5\hfill & \hfill & \hfill & \hfill & \hfill & \hfill & a_5=3a_4+4a_3=3(38)+4(10)=154\hfill \\ n=6\hfill & \hfill & \hfill & \hfill & \hfill & \hfill & a_6=3a_5+4a_4=3(154)+4(38)=614\hfill \end{array}$$

Los seis primeros términos son $\text{{1, 2, 10, 38, 154, 614}}\text{.}$ Vea la Figura 6.

Figura 6

Usar notación factorial

Las fórmulas de algunas secuencias incluyen productos de enteros positivos consecutivos. $n$ factorial, escrito como $n!,$ es el producto de los enteros positivos de 1 a $n.$ Por ejemplo,

Un ejemplo de fórmula que contiene un factorial es $a_n=(n+1)!.$ El sexto término de la secuencia se puede hallar al sustituir 6 por $n.$

El factorial de cualquier número natural $n$ es $n(n–1)!$ Por lo tanto, también podemos pensar en $5!$ cuando $5\cdot 4!\text{.}$

Ejemplo 7

Escribir términos de una secuencia mediante factoriales

Escriba los cinco primeros términos de la secuencia definida por la fórmula explícita $a_n=\frac{5n}{(n+2)!}.$

Solución

Sustituya $n=1,n=2,$ y así sucesivamente en la fórmula.

$$\begin{array}{lllll}n=1\hfill & \hfill & \hfill & \hfill & a_1=\frac{5(1)}{(1+2)!}=\frac{5}{3!}=\frac{5}{3·2·1}=\frac{5}{6}\hfill \\ n=2\hfill & \hfill & \hfill & \hfill & a_2=\frac{5(2)}{(2+2)!}=\frac{10}{4!}=\frac{10}{4·3·2·1}=\frac{5}{12}\hfill \\ n=3\hfill & \hfill & \hfill & \hfill & a_3=\frac{5(3)}{(3+2)!}=\frac{15}{5!}=\frac{15}{5·4·3·2·1}=\frac{1}{8}\hfill \\ n=4\hfill & \hfill & \hfill & \hfill & a_4=\frac{5(4)}{(4+2)!}=\frac{20}{6!}=\frac{20}{6·5·4·3·2·1}=\frac{1}{36}\hfill \\ n=5\hfill & \hfill & \hfill & \hfill & a_5=\frac{5(5)}{(5+2)!}=\frac{25}{7!}=\frac{25}{7·6·5·4·3·2·1}=\frac{5}{1\text{,}008}\hfill \end{array}$$

Los cinco primeros términos son $\{\frac{5}{6},\frac{5}{12},\frac{1}{8},\frac{1}{36},\frac{5}{1.008}\}.$

Análisis

La Figura 7 muestra el gráfico de la secuencia. Tome en cuenta que, dado que los factoriales crecen muy rápidamente, la presencia del término factorial en el denominador hace que el denominador sea mucho mayor que el numerador cuando $n$ aumenta. Esto significa que el cociente se hace más pequeño y, como muestra el gráfico de los términos, los términos disminuyen y se acercan a cero.

Figura 7