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Precálculo 2ed

Capítulo 12

Precálculo 2edCapítulo 12

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Inténtelo

12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos

1.

a=5, a=5, f( x )=2 x 2 -4, f( x )=2 x 2 -4, y L=46. L=46.

2.

a. 0; b. 2; c. no existe; d. 2 ; 2 ; e. 0; f. no existe; g. 4; h. 4; i. 4

3.

lím x0 ( 20sen(x) 4x )=5 lím x0 ( 20sen(x) 4x )=5

Tabla que muestra que f(x) se acerca a 5 desde cualquier lado cuando x se acerca a 0 desde cualquier lado.
4.

no existe

12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites

1.

26

2.

59

3.

10

4.

64 64

5.

-3 -3

6.

- 1 50 - 1 50

7.

- 1 8 - 1 8

8.

2 3 2 3

9.

−1 −1

12.3 Continuidad

1.
  1. discontinuidad removible en x=6; x=6;
  2. discontinuidad de salto en x=4 x=4
2.

No. La función no es continua en x=2x=2 porque el límite izquierdo es 1212 y el límite derecho es 6.56.5.

3.

No, la función no es continua en x=3. x=3. Existe una discontinuidad removible en x=3. x=3.

4.

x=6 x=6

12.4 Derivadas

1.

3

2.

f (a)=6a+7 f (a)=6a+7

3.

f (a)= -15 ( 5a+4 ) 2 f (a)= -15 ( 5a+4 ) 2

4.

3 2 3 2

5.

0

6.

-2 , -2 , 0, 0, 3 3

7.
  1. Después de cero segundos, se ha movido 0 pies.
  2. Después de 10 segundos, se ha movido 150 pies al este.
  3. Después de 10 segundos, se mueve hacia el este a una tasa de 15 ft/s.
  4. Después de 20 segundos, se mueve hacia el oeste a una tasa de 10 ft/s.
  5. Después de 40 segundos, está a 100 pies al oeste de su punto de partida.
8.

El gráfico de f f es continuo en ( -,1 )( 1,3 )( 3, ). ( -,1 )( 1,3 )( 3, ). El gráfico de f f es discontinuo en x=1 x=1 y x=3. x=3. El gráfico de f f es diferenciable en ( -,1 )( 1,3 )( 3, ). ( -,1 )( 1,3 )( 3, ). El gráfico de f f no es diferenciable en x=1 x=1 y x=3. x=3.

9.

y=19x16 y=19x16

10.

–68 ft/s, está cayendo a la Tierra a una velocidad de 68 ft/s.

12.1 Ejercicios de sección

1.

El valor de la función, la salida, en x=a x=a es f( a ). f( a ). Cuando el lím xa f( x ) lím xa f( x ) se toma, los valores de x x se acercan infinitamente a a a pero nunca son iguales a a. a. A medida que los valores de x x se acercan a a a desde la izquierda y desde la derecha, el límite es el valor al que se acerca la función.

3.

-4

5.

-4

7.

2

9.

no existe

11.

4

13.

no existe

15.

Las respuestas variarán.

16.

Las respuestas variarán.

17.

Las respuestas variarán.

18.

Las respuestas variarán.

19.

Las respuestas variarán.

20.

Las respuestas variarán.

21.

Las respuestas variarán.

23.

7,38906

25.

54,59815

27.

e 6 403,428794, e 6 403,428794, e 7 1.096,633158, e 7 1.096,633158, e n e n

29.

lím x-2 f(x)=1 lím x-2 f(x)=1

31.

lím x3 ( x 2 -x-6 x 2 -9 )= 5 6 0,83 lím x3 ( x 2 -x-6 x 2 -9 )= 5 6 0,83

33.

lím x1 ( x 2 1 x 2 -3x+2 )=-2,00 lím x1 ( x 2 1 x 2 -3x+2 )=-2,00

35.

lím x1 ( 1010 x 2 x 2 -3x+2 )=20,00 lím x1 ( 1010 x 2 x 2 -3x+2 )=20,00

37.

lím x -1 2 ( x 4 x 2 +4x+1 ) lím x -1 2 ( x 4 x 2 +4x+1 ) no existe. Los valores de la función disminuyen sin límite a medida que x x se acerca a –0,5 desde la izquierda o desde la derecha.

39.

lím x0 7tanx 3x = 7 3 lím x0 7tanx 3x = 7 3

La tabla muestra que a medida que la función se acerca a 0, el valor es 7 sobre 3, pero la función es indefinida en 0.
40.
La tabla muestra que a medida que la función se acerca a 4, el valor no existe, ya que acercarse al valor límite por la izquierda es infinito negativo y acercarse al valor límite por la derecha es infinito positivo.
43.

lím x0 e e - 1 x 2 =1,0 lím x0 e e - 1 x 2 =1,0

45.

lím x- 1 | x+1 | x+1 = -(x+1) (x+1) =-1 lím x- 1 | x+1 | x+1 = -(x+1) (x+1) =-1 y lím x- 1 + | x+1 | x+1 = (x+1) (x+1) =1; lím x- 1 + | x+1 | x+1 = (x+1) (x+1) =1; ya que el límite derecho no es igual al límite izquierdo, lím x-1 | x+1 | x+1 lím x-1 | x+1 | x+1 no existe.

47.

lím x-1 1 ( x+1 ) 2 lím x-1 1 ( x+1 ) 2 no existe. La función aumenta sin límite a medida que x x se acerca a 1 1 desde cualquier lado.

49.

lím x0 5 1- e 2 x lím x0 5 1- e 2 x no existe. Los valores de la función se acercan a 5 por la izquierda y se acercan a 0 por la derecha.

51.

Mediante el examen de los postulados y la comprensión de la física relativista, a medida que vc, vc, m. m. Lleve esto un paso más allá de la solución,

lím v c m= lím v c m i 1-( v 2 / c 2 ) = lím v c m= lím v c m i 1-( v 2 / c 2 ) =

12.2 Ejercicios de sección

1.

Si f f es una función polinómica, el límite de una función polinómica a medida que x x se acerca a a a siempre será f( a ). f( a ).

3.

Puede significar (1) que los valores de la función aumentan o disminuyen sin límite a medida que x x se acerca a c, c, o (2) los límites izquierdo y derecho no son iguales.

5.

10 3 10 3

7.

6

9.

1 2 1 2

11.

6

13.

no existe

15.

12 12

17.

- 5 10 - 5 10

19.

108 108

21.

1

23.

6

25.

1

27.

1

29.

no existe

31.

6+ 5 6+ 5

33.

3 5 3 5

35.

0

37.

-3 -3

39.

no existe; el límite derecho no es el mismo que el límite izquierdo.

41.

2

43.

El límite no existe; el límite se acerca al infinito.

45.

4x+2 h 4x+2 h

47.

2 x+h+4 2 x+h+4

49.

cos(x+h)-cos(x) h cos(x+h)-cos(x) h

51.

-1 x(x+h) -1 x(x+h)

53.

-1 x+h + x -1 x+h + x

55.

f( x )= x 2 +5x+6 x+3 f( x )= x 2 +5x+6 x+3

57.

no existe

59.

52

12.3 Ejercicios de sección

1.

Informalmente, si una función es continua en x=c , x=c , entonces no hay interrupción en el gráfico de la función en f( c ), f( c ), y f( c ) f( c ) está definida.

3.

discontinua en a=-3 a=-3 ; f(-3) f(-3) no existe

5.

discontinuidad removible en a=4 a=4 ; f(-4) f(-4) no está definida

7.

Discontinua en a=3 a=3 ; lím x3 f(x)=3 , lím x3 f(x)=3 , pero f(3)=6 , f(3)=6 , lo cual no es igual al límite.

9.

lím x2 f(x) lím x2 f(x) no existe.

11.

lím x 1 - f(x)=4; lím x 1 + f(x)=1 lím x 1 - f(x)=4; lím x 1 + f(x)=1 . Por lo tanto, lím x1 f(x) lím x1 f(x) no existe.

13.

lím x 1 - f(x)=5 lím x 1 + f(x)=-1 lím x 1 - f(x)=5 lím x 1 + f(x)=-1 . Por lo tanto, lím x1 f(x) lím x1 f(x) no existe.

15.

lím x 3 f(x)=6 lím x 3 f(x)=6 , lím x 3 + f(x)=- 1 3 lím x 3 + f(x)=- 1 3

Por lo tanto, lím x3 f(x) lím x3 f(x) no existe.

17.

f( 2 ) f( 2 ) no está definido.

19.

f( -3 ) f( -3 ) no está definido.

21.

f( 0 ) f( 0 ) no está definido.

23.

Continua en (-,) (-,)

25.

Continua en (-,) (-,)

27.

Discontinua en x=0 x=0 y x=2 x=2

29.

Discontinua en x=0 x=0

31.

Continua en (0,) (0,)

33.

Continua en [4,) [4,)

35.

Continua en (-,) (-,) .

37.

1, pero no 2 ni 3

39.

1 y 2, pero no 3

41.

f( 0 ) f( 0 ) es indefinida.

43.

(-,0)(0,) (-,0)(0,)

45.

A x=-1, x=-1, el límite no existe. A x=1, x=1, f( 1 ) f( 1 ) no existe.

A x=2 , x=2 , parece ser una asíntota vertical, y el límite no existe.

47.

x 3 +6 x 2 -7x ( x+7 )( x1 ) x 3 +6 x 2 -7x ( x+7 )( x1 )

49.

La función es discontinua en x=1 x=1 porque el límite cuando x x se acerca a 1 es 5 y f( 1 )=2. f( 1 )=2.

12.4 Ejercicios de sección

1.

La pendiente de una función lineal se mantiene igual. La derivada de una función general varía según x. x. Tanto la pendiente de una línea como la derivada en un punto miden la tasa de cambio de la función.

3.

La velocidad media es de 55 millas por hora. La velocidad instantánea a las 2:30 p. m. es de 62 millas por hora. La velocidad instantánea mide la velocidad del auto en un instante de tiempo mientras que la velocidad media da la velocidad del auto a lo largo de un intervalo.

5.

La tasa media de cambio de la cantidad de agua en el tanque es de 45 galones por minuto. Si los valores de f( x ) f( x ) es la función que da la cantidad de agua en el tanque en cualquier tiempo t ,t, entonces la tasa media de cambio de f( x ) f( x ) entre t=a t=a y t=b t=b es f(a)+45(ba). f(a)+45(ba).

7.

f (x)=-2 f (x)=-2

9.

f (x)=4x+1 f (x)=4x+1

11.

f (x)= 1 (x-2 ) 2 f (x)= 1 (x-2 ) 2

13.

16 ( 3+2 x ) 2 16 ( 3+2 x ) 2

15.

f (x)=9 x 2 -2 x+2 f (x)=9 x 2 -2 x+2

17.

f (x)=0 f (x)=0

19.

- 1 3 - 1 3

21.

indefinida

23.

f (x)=6x-7 f (x)=6x-7

25.

f (x)=9 x 2 +4x+1 f (x)=9 x 2 +4x+1

27.

y=12x-15 y=12x-15

29.

k=10 k=10 o k=2 k=2

31.

Discontinua en x=-2 x=-2 y x=0. x=0. No es diferenciable en –2, 0, 2.

33.

Discontinua en x=5. x=5. No es diferenciable en –4, –2, 0, 1, 3, 4, 5.

35.

f( 0 )=-2 f( 0 )=-2

37.

f( 2 )=6 f( 2 )=6

39.

f ( -1 )=9 f ( -1 )=9

41.

f ( 1 )=-3 f ( 1 )=-3

43.

f ( 3 )=9 f ( 3 )=9

45.

Las respuestas varían. La pendiente de la línea tangente cerca de x=1 x=1 es 2.

47.

A las 12:30 p. m., la tasa de cambio del número de galones en el tanque es de –20 galones por minuto. Es decir, el tanque está perdiendo 20 galones por minuto.

49.

A los 200 minutos después del mediodía, el volumen de galones en el tanque está cambiando a una tasa de 30 galones por minuto.

51.

La altura del proyectil después de 2 segundos es de 96 pies.

53.

La altura del proyectil en t=3 t=3 segundos son 96 pies.

55.

La altura del proyectil es cero en t=0 t=0 y de nuevo en t=5. t=5. En otras palabras, el proyectil comienza en el suelo y vuelve a caer a la Tierra después de 5 segundos.

57.

36π 36π

59.

50,00 dólares por unidad, que es la tasa instantánea de cambio de los ingresos cuando se venden exactamente 10 unidades.

61.

21 dólares por unidad

63.

$ 36 dólares

65.

f'(x)=10a-1 f'(x)=10a-1

67.

4 ( 3-x ) 2 4 ( 3-x ) 2

Ejercicios de repaso

1.

2

3.

no existe

5.

Discontinua en x=-1( lím xa f(x)x=-1( lím xa f(x) no existe ),x=3(),x=3(discontinuidad de salto)), yx=7( lím xa f(x)x=7( lím xa f(x) no existe). ).

7.

lím x-2 f(x)=0 lím x-2 f(x)=0

9.

No existe

11.

35 35

13.

11

15.

66

17.

500500

19.

67 67

21.

A x=4, x=4, la función tiene una asíntota vertical.

23.

A x=3, x=3, la función tiene una asíntota vertical.

25.

Discontinuidad removible en a=9a=9

27.

Discontinuidad removible en x=5x=5

29.

Discontinuidad removible en x=5x=5, discontinuidad en x=1x=1

31.

Discontinuidad removible en x= 2x= 2, discontinuidad en x=5x=5

33.

33

35.

1 (x+ 1)(x+h+1) 1 (x+ 1)(x+h+1)

37.

e2x+2 h e2x h e2x+2 h e2x h

39.

10x 3 10x 3

41.

La función no sería diferenciable en 0, sin embargo, 0 no está en su dominio. Por lo tanto, es diferenciable en todo su dominio.

Examen de práctica

1.

3

3.

0

5.

−1 −1

7.

lím x 2 f(x)=- 5 2 a lím x 2 f(x)=- 5 2 a y lím x 2 + f(x)=9 lím x 2 + f(x)=9 Por lo tanto, el límite de la función a medida que x x se acerca a 2 no existe.

10.

150 150

12.

1 1

14.

Discontinuidad removible en x=3 x=3

16.

f'(x)= 3 2a32 f'(x)= 3 2a32

18.

Discontinua en –2, 0, no diferenciable en –2, 0, 2

20.

No es diferenciable en x=0 x=0 (sin límite)

22.

La altura del proyectil en t=2 t=2 Segundos

24.

La velocidad media de t=1 t=1 t=2 t=2

26.

13 13

28.

0 0

29.

2

30.

x=1 x=1

32.

y=14x18 y=14x18

34.

El gráfico no es diferenciable en x=1 x=1 (cúspide).

36.

f ' (x)=8x f ' (x)=8x

38.

f ' (x)=- 1 ( 2 +x ) 2 f ' (x)=- 1 ( 2 +x ) 2

40.

f ' (x)=-3 x 2 f ' (x)=-3 x 2

42.

f'(x)= 1 2 x1 f'(x)= 1 2 x1

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