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Precálculo 2ed

12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites

Precálculo 2ed12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Hallar el límite de una suma, una diferencia y un producto.
  • Hallar el límite de un polinomio.
  • Hallar el límite de una potencia o una raíz.
  • Hallar el límite de un cociente.

Considere la función racional

f(x)= x 2 -6x-7 x-7 f(x)= x 2 -6x-7 x-7

La función se puede factorizar de la siguiente manera:

f(x)= ( x-7 ) ( x+1 ) x-7 , que nos da f(x)=x+1,x7. f(x)= ( x-7 ) ( x+1 ) x-7 , que nos da f(x)=x+1,x7.

¿Esto significa que la función f f es lo mismo que la función g(x)=x+1? g(x)=x+1?

La respuesta es no. La función f f no tiene x=7 x=7 en su dominio, pero g g sí lo tiene. Gráficamente, observamos que hay un agujero en el gráfico de f( x ) f( x ) en x=7, x=7, como se muestra en la Figura 1 y no hay tal agujero en el gráfico de g( x ), g( x ), como se muestra en la Figura 2.

Gráfico de una función creciente donde f(x) = (x^2 – 6x –7)\(x – 7) con una discontinuidad en (7, 8)
Figura 1 El gráfico de la función f f contiene una interrupción en x=7 x=7 y por lo tanto no es continuo en x=7. x=7.
Gráfico de una función creciente donde g(x) = x + 1
Figura 2 El gráfico de la función g g es continuo.

Entonces, ¿estas dos funciones diferentes también tienen límites diferentes a medida que x x se acerca a 7?

No necesariamente. Recuerde que al determinar el límite de una función a medida que x x se acerca a a, a, lo que importa es si la salida se acerca a un número real a medida que nos acercamos a x=a. x=a. La existencia de un límite no depende de lo que ocurra cuando x x es igual a a. a.

Mire de nuevo la Figura 1 y la Figura 2. Observe que en ambos gráficos, a medida que x x se acerca a 7, los valores de salida se acercan a 8. Esto significa que

lím x7 f(x)= lím x7 g(x). lím x7 f(x)= lím x7 g(x).

Recuerde que cuando se determina un límite, la preocupación es lo que ocurre cerca de x=a, x=a, no en x=a. x=a. En esta sección utilizaremos una variedad de métodos, como reescribir funciones por factorización, para evaluar el límite. Estos métodos nos permitirán verificar formalmente lo que antes conseguíamos por intuición.

Hallar el límite de una suma, una diferencia y un producto

Graficar una función o explorar una tabla de valores para determinar un límite puede ser engorroso y llevar mucho tiempo. Cuando es posible, es más eficiente utilizar las propiedades de los límites, lo cual es una colección de teoremas para hallar límites.

Conocer las propiedades de los límites nos permite calcularlos directamente. Podemos sumar, restar, multiplicar y dividir los límites de las funciones como si estuviéramos realizando las operaciones sobre las propias funciones para hallar el límite del resultado. Del mismo modo, podemos hallar el límite de una función elevada a una potencia llevando el límite a esa potencia. También podemos hallar el límite de la raíz de una función tomando la raíz del límite. Utilizando estas operaciones sobre los límites, podemos hallar los límites de funciones más complejas hallando los límites de sus funciones componentes más simples.

Propiedades de los límites

Supongamos que a,k,A, a,k,A, y B B representan números reales, y f f y g g son funciones, de manera que lím xa f(x)=A lím xa f(x)=A y lím xa g(x)=B. lím xa g(x)=B. Para los límites que existen y son finitos, las propiedades de los límites se resumen en la Tabla 1

Constante k lím xa k=k lím xa k=k
Constante por una función lím xa [ kf(x) ]=k lím xa f(x)=kA lím xa [ kf(x) ]=k lím xa f(x)=kA
Suma de funciones lím xa [ f(x)+g(x) ]= lím xa f(x)+ lím xa g(x)=A+B lím xa [ f(x)+g(x) ]= lím xa f(x)+ lím xa g(x)=A+B
Diferencia de funciones lím xa [ f(x)-g(x) ]= lím xa f(x)- lím xa g(x)=A-B lím xa [ f(x)-g(x) ]= lím xa f(x)- lím xa g(x)=A-B
Producto de funciones lím xa [ f(x)g(x) ]= lím xa f(x) lím xa g(x)=AB lím xa [ f(x)g(x) ]= lím xa f(x) lím xa g(x)=AB
Cociente de funciones lím xa f(x) g(x) = lím xa f(x) lím xa g(x) = A B ,B0 lím xa f(x) g(x) = lím xa f(x) lím xa g(x) = A B ,B0
Función elevada a un exponente lím xa [f(x)] n = [ lím xa f(x) ] n = A n , lím xa [f(x)] n = [ lím xa f(x) ] n = A n , donde n n es un número entero positivo
raíz enésima de una función, donde n es un número entero positivo lím xa f(x) n = lím xa [ f(x) ] n = A n lím xa f(x) n = lím xa [ f(x) ] n = A n
Función polinómica lím xa p(x)=p(a) lím xa p(x)=p(a)
Tabla 1

Ejemplo 1

Evaluar el límite de una función de forma algebraica

Evalúe lím x3 ( 2 x+5 ). lím x3 ( 2 x+5 ).

Inténtelo #1

Evalúe el siguiente límite: lím x12 ( 2 x+2 ). lím x12 ( 2 x+2 ).

Hallar el límite de un polinomio

No todas las funciones o sus límites implican una simple suma, resta o multiplicación. Algunos pueden incluir polinomios. Recordemos que un polinomio es una expresión que consiste en la suma de dos o más términos, cada uno de los cuales está formado por una constante y una variable elevada a una potencia entera no negativa. Para hallar el límite de una función polinómica, podemos encontrar los límites de cada uno de los términos de la función y luego sumarlos. Además, el límite de una función polinómica a medida que x x se acerca a a a equivale a evaluar simplemente la función para a a.

Cómo

Dada una función que contiene un polinomio, halle su límite.

  1. Utilice las propiedades de los límites para descomponer el polinomio en términos individuales.
  2. Halle los límites de los términos individuales.
  3. Sume los límites.
  4. Alternativamente, evalúe la función para a a.

Ejemplo 2

Evaluar el límite de una función de forma algebraica

Evalúe lím x3 ( 5 x 2 ). lím x3 ( 5 x 2 ).

Inténtelo #2

Evalúe lím x4 ( x 3 -5). lím x4 ( x 3 -5).

Ejemplo 3

Evaluar el límite de un polinomio de forma algebraica

Evalúe lím x5 ( 2 x 3 -3x+1 ). lím x5 ( 2 x 3 -3x+1 ).

Inténtelo #3

Evalúe el siguiente límite: lím x-1 ( x 4 -4 x 3 +5 ). lím x-1 ( x 4 -4 x 3 +5 ).

Hallar el límite de una potencia o una raíz

Cuando un límite incluye una potencia o una raíz, necesitamos otra propiedad que nos permita evaluarlo. El cuadrado del límite de una función es igual al límite del cuadrado de la función; lo mismo ocurre con las potencias superiores. Asimismo, la raíz cuadrada del límite de una función es igual al límite de la raíz cuadrada de la función; lo mismo ocurre con las raíces superiores.

Ejemplo 4

Evaluar el límite de una potencia

Evalúe lím x2 ( 3x+1 ) 5 . lím x2 ( 3x+1 ) 5 .

Inténtelo #4

Evalúe el siguiente límite: lím x4 ( 10x+36 ) 3 . lím x4 ( 10x+36 ) 3 .

Preguntas y respuestas

Si no podemos aplicar directamente las propiedades de un límite, por ejemplo en lím x2 ( x 2 +6x+8 x-2 ) lím x2 ( x 2 +6x+8 x-2 ), ¿podemos aún determinar el límite de la función a medida que x x se acerca a a a?

Sí. Algunas funciones se pueden reordenar algebraicamente de modo que se pueda evaluar el límite de una forma equivalente simplificada de la función.

Hallar el límite de un cociente

Hallar el límite de una función expresada como cociente puede ser más complicado. A menudo, tenemos que reescribir la función algebraicamente antes de aplicar las propiedades de un límite. Si el denominador se evalúa a 0 cuando aplicamos las propiedades de un límite directamente, debemos reescribir el cociente en una forma diferente. Un enfoque es escribir el cociente en forma factorizada y simplificar.

Cómo

Dado el límite de una función en forma de cociente, utilice la factorización para evaluarla.

  1. Factorice completamente el numerador y el denominador.
  2. Simplifique dividiendo los factores comunes al numerador y al denominador.
  3. Evalúe el límite resultante, y recuerde utilizar el dominio correcto.

Ejemplo 5

Evaluar el límite de un cociente mediante factorización

Evalúe lím x2 ( x 2 -6x+8 x-2 ). lím x2 ( x 2 -6x+8 x-2 ).

Análisis

Cuando el límite de una función racional no se puede evaluar directamente, las formas factorizadas del numerador y del denominador se pueden simplificar a un resultado que puede ser evaluado.

Observe que la función

f(x)= x 2 -6x+8 x-2 f(x)= x 2 -6x+8 x-2

es equivalente a la función

f(x)=x-4,x2. f(x)=x-4,x2.

Observe que el límite existe aunque la función no esté definida en x = 2. x = 2.

Inténtelo #5

Evalúe el siguiente límite: lím x7 ( x 2 11x+28 7-x ). lím x7 ( x 2 11x+28 7-x ).

Ejemplo 6

Evaluar el límite de un cociente hallando el mínimo común denominador

Evalúe lím x5 ( 1 x 1 5 x-5 ). lím x5 ( 1 x 1 5 x-5 ).

Análisis

Cuando se determina el límite de una función racional que tiene términos sumados o restados en el numerador o en el denominador, el primer paso es hallar el denominador común de los términos sumados o restados; luego, convertir ambos términos para que tengan ese denominador o simplificar la función racional multiplicando numerador y denominador por el mínimo común denominador. Luego compruebe si el numerador y el denominador resultantes tienen algún factor común.

Inténtelo #6

Evalúe lím x5 ( 1 5 + 1 x 10+2 x ). lím x5 ( 1 5 + 1 x 10+2 x ).

Cómo

Dado un límite de una función que contiene una raíz, utilice un conjugado para evaluar.

  1. Si el cociente dado no está en forma indeterminada ( 0 0 ) ( 0 0 ) evalúe directamente.
  2. En caso contrario, reescriba la suma (o diferencia) de dos cocientes como un único cociente, utilizando el mínimo común denominador.
  3. Si el numerador incluye una raíz, racionalice el numerador; multiplique el numerador y el denominador por el conjugado del numerador. Recordemos que a± b a± b son conjugados.
  4. Simplifique.
  5. Evalúe el límite resultante.

Ejemplo 7

Evaluar un límite que contiene una raíz mediante un conjugado

Evalúe lím x0 ( 25-x -5 x ). lím x0 ( 25-x -5 x ).

Análisis

Al determinar un límite de una función con una raíz como uno de los dos términos en los que no podemos evaluar directamente, piense en multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado de los términos.

Inténtelo #7

Evalúe el siguiente límite: lím h0 ( 16h 4 h ). lím h0 ( 16h 4 h ).

Ejemplo 8

Evaluar el límite de un cociente de una función mediante factorización

Evalúe lím x4 ( 4-x x -2 ). lím x4 ( 4-x x -2 ).

Análisis

Multiplicar por un conjugado ampliaría el numerador; busque en cambio factores en el numerador. El cuatro es un cuadrado perfecto por lo que el numerador tiene la forma

a 2 - b 2 a 2 - b 2

y se puede factorizar como

( a+b )( a-b ). ( a+b )( a-b ).

Inténtelo #8

Evalúe el siguiente límite: lím x3 ( x-3 x - 3 ). lím x3 ( x-3 x - 3 ).

Cómo

Dado un cociente con valores absolutos, evalúe su límite.

  1. Intente factorizar o calcular el mínimo común denominador.
  2. Si no se puede hallar el límite, elija varios valores cercanos y a ambos lados de la entrada donde la función es indefinida.
  3. Utilice las pruebas numéricas para calcular los límites de ambos lados.

Ejemplo 9

Evaluar el límite de un cociente con valores absolutos

Evalúe lím x7 | x-7 | x-7 . lím x7 | x-7 | x-7 .

Inténtelo #9

Evalúe lím x 6 + 6-x | x-6 | . lím x 6 + 6-x | x-6 | .

Media

Acceda al siguiente recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con las propiedades de los límites.

12.2 Ejercicios de sección

Verbales

1.

Dé un ejemplo de un tipo de función f f cuyo límite, a medida que x x se acerca a a, a, es f( a ). f( a ).

2.

Cuando se utiliza la sustitución directa para evaluar el límite de una función racional a medida que x x se acerca a a a y el resultado es f( a )= 0 0 , f( a )= 0 0 , ¿esto significa que el límite de f f no existe?

3.

¿Qué significa decir el límite de f( x ) , f( x ) , a medida que x x se acerca a c ,c, es indefinido?

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, evalúe los límites algebraicamente.

4.

lím x0 ( 3 ) lím x0 ( 3 )

5.

lím x2 ( -5x x 2 1 ) lím x2 ( -5x x 2 1 )

6.

lím x2 ( x 2 -5x+6 x+2 ) lím x2 ( x 2 -5x+6 x+2 )

7.

lím x3 ( x 2 -9 x-3 ) lím x3 ( x 2 -9 x-3 )

8.

lím x-1 ( x 2 -2 x-3 x+1 ) lím x-1 ( x 2 -2 x-3 x+1 )

9.

lím x 3 2 ( 6 x 2 -17x+12 2x-3 ) lím x 3 2 ( 6 x 2 -17x+12 2x-3 )

10.

lím x 7 2 ( 8 x 2 +18x35 2x+7 ) lím x 7 2 ( 8 x 2 +18x35 2x+7 )

11.

lím x3 ( x 2 -9 x-5x+6 ) lím x3 ( x 2 -9 x-5x+6 )

12.

lím x3 ( 7 x 4 21 x 3 -12 x 4 +108 x 2 ) lím x3 ( 7 x 4 21 x 3 -12 x 4 +108 x 2 )

13.

lím x3 ( x 2 +2 x-3 x-3 ) lím x3 ( x 2 +2 x-3 x-3 )

14.

lím h0 ( ( 3+h ) 3 27 h ) lím h0 ( ( 3+h ) 3 27 h )

15.

lím h0 ( ( 2 h ) 3 -8 h ) lím h0 ( ( 2 h ) 3 -8 h )

16.

lím h0 ( ( h+3 ) 2 -9 h ) lím h0 ( ( h+3 ) 2 -9 h )

17.

lím h0 ( 5h 5 h ) lím h0 ( 5h 5 h )

18.

lím x0 ( 3-x - 3 x ) lím x0 ( 3-x - 3 x )

19.

lím x9 ( x 2 81 3- x ) lím x9 ( x 2 81 3- x )

20.

lím x1 ( x x 2 1- x ) lím x1 ( x x 2 1- x )

21.

lím x0 ( x 1+2 x 1 ) lím x0 ( x 1+2 x 1 )

22.

lím x 1 2 ( x 2 1 4 2x1 ) lím x 1 2 ( x 2 1 4 2x1 )

23.

lím x4 ( x 3 64 x 2 -16 ) lím x4 ( x 3 64 x 2 -16 )

24.

lím x 2 - ( |x-2 | x-2 ) lím x 2 - ( |x-2 | x-2 )

25.

lím x 2 + ( | x-2 | x-2 ) lím x 2 + ( | x-2 | x-2 )

26.

lím x2 ( | x-2 | x-2 ) lím x2 ( | x-2 | x-2 )

27.

lím x 4 - ( | x-4 | 4-x ) lím x 4 - ( | x-4 | 4-x )

28.

lím x 4 + ( | x-4 | 4-x ) lím x 4 + ( | x-4 | 4-x )

29.

lím x4 ( | x-4 | 4-x ) lím x4 ( | x-4 | 4-x )

30.

lím x2 ( 8+6x x 2 x-2 ) lím x2 ( 8+6x x 2 x-2 )

Para el siguiente ejercicio, utilice la información dada para evaluar los límites: lím xc f(x)=3, lím xc f(x)=3, lím xc g( x )=5 lím xc g( x )=5 .

31.

lím xc [ 2f(x)+ g(x) ] lím xc [ 2f(x)+ g(x) ]

32.

lím xc [ 3f(x)+ g(x) ] lím xc [ 3f(x)+ g(x) ]

33.

lím xc f(x) g(x) lím xc f(x) g(x)

En los siguientes ejercicios, evalúe los siguientes límites.

34.

lím x2 cos( πx ) lím x2 cos( πx )

35.

lím x2 sen( πx ) lím x2 sen( πx )

36.

lím x2 sen( π x ) lím x2 sen( π x )

37.

f(x)={ 2 x 2 +2 x+1, x0 x-3, x>0 lím x 0 + f(x) f(x)={ 2 x 2 +2 x+1, x0 x-3, x>0 lím x 0 + f(x)

38.

f(x)={ 2 x 2 +2 x+1, x0 x-3, x>0 lím x 0 f(x) f(x)={ 2 x 2 +2 x+1, x0 x-3, x>0 lím x 0 f(x)

39.

f(x)={ 2 x 2 +2 x+1, x0 x-3, x>0 lím x0 f(x) f(x)={ 2 x 2 +2 x+1, x0 x-3, x>0 lím x0 f(x)

40.

lím x4 x+5 -3 x-4 lím x4 x+5 -3 x-4

41.

lím x 2 + (2 x[x]) lím x 2 + (2 x[x])

42.

lím x2 x+7 -3 x 2 -x-2 lím x2 x+7 -3 x 2 -x-2

43.

lím x 3 + x 2 x 2 -9 lím x 3 + x 2 x 2 -9

En los siguientes ejercicios, calcule la tasa media de cambio f(x+h)-f(x) h . f(x+h)-f(x) h .

44.

f(x)=x+1 f(x)=x+1

45.

f(x)=2 x 2 1 f(x)=2 x 2 1

46.

f(x)= x 2 +3x+4 f(x)= x 2 +3x+4

47.

f(x)= x 2 +4x100 f(x)= x 2 +4x100

48.

f(x)=3 x 2 +1 f(x)=3 x 2 +1

49.

f(x)=cos(x) f(x)=cos(x)

50.

f(x)=2 x 3 -4x f(x)=2 x 3 -4x

51.

f(x)= 1 x f(x)= 1 x

52.

f(x)= 1 x 2 f(x)= 1 x 2

53.

f(x)= x f(x)= x

Gráficos

54.

Halle una ecuación que se pueda representar por la Figura 3.

Gráfico de la función creciente con una discontinuidad removible en (2, 3).
Figura 3
55.

Halle una ecuación que se pueda representar por la Figura 4.

Gráfico de la función creciente con una discontinuidad removible en (–3, –1).
Figura 4

En los siguientes ejercicios, consulte la Figura 5.

Gráfico de la función creciente de cero a infinito positivo.
Figura 5
56.

¿Cuál es el límite derecho de la función a medida que x x se acerca a 0?

57.

¿Cuál es el límite izquierdo de la función a medida que x x se acerca a 0?

Aplicaciones en el mundo real

58.

La función de posición s(t)=-16 t 2 +144t s(t)=-16 t 2 +144t da la posición de un proyectil como una función de tiempo. Halle la velocidad media (tasa media de cambio) en el intervalo [ 1,2 ] [ 1,2 ] .

59.

La altura de un proyectil está dada por s(t)=64 t 2 +192t s(t)=64 t 2 +192t Halle la tasa media de cambio de la altura de t=1 t=1 segundo a t=1,5 t=1,5 segundos.

60.

La cantidad de dinero en una cuenta después de t t años calculada continuamente a un interés del 4,25 % está dada por la fórmula A= A 0 e 0,0425t , A= A 0 e 0,0425t , donde A 0 A 0 es la cantidad inicial invertida. Halle la tasa media de cambio del saldo de la cuenta de t=1 t=1 año a t=2 t=2 años si la cantidad inicial invertida es de 1.000,00 dólares.

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