Jay Abramson

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Hallar el límite de una suma, una diferencia y un producto.
Hallar el límite de un polinomio.
Hallar el límite de una potencia o una raíz.
Hallar el límite de un cociente.

Considere la función racional

f (x) = \frac{x^{2} - 6 x - 7}{x - 7}

La función se puede factorizar de la siguiente manera:

f (x) = \frac{(x - 7) (x + 1)}{x - 7}, que nos da f (x) = x + 1, x \neq 7.

¿Esto significa que la función $f$ es lo mismo que la función $g (x) = x + 1 ?$

La respuesta es no. La función $f$ no tiene $x = 7$ en su dominio, pero $g$ sí lo tiene. Gráficamente, observamos que hay un agujero en el gráfico de $f (x)$ en $x = 7,$ como se muestra en la Figura 1 y no hay tal agujero en el gráfico de $g (x),$ como se muestra en la Figura 2.

Gráfico de una función creciente donde f(x) = (x^2 – 6x –7)\(x – 7) con una discontinuidad en (7, 8)

Figura 1 El gráfico de la función

f

contiene una interrupción en Translation missing: es.screenreader.underline

x = 7

Translation missing: es.screenreader.end Translation missing: es.screenreader.underline y por lo tanto no es continuo en

x = 7.

Gráfico de una función creciente donde g(x) = x + 1

Figura 2 El gráfico de la función

g

es continuo.

Entonces, ¿estas dos funciones diferentes también tienen límites diferentes a medida que $x$ se acerca a 7?

No necesariamente. Recuerde que al determinar el límite de una función a medida que $x$ se acerca a $a,$ lo que importa es si la salida se acerca a un número real a medida que nos acercamos a $x = a .$ La existencia de un límite no depende de lo que ocurra cuando $x$ es igual a $a .$

Mire de nuevo la Figura 1 y la Figura 2. Observe que en ambos gráficos, a medida que $x$ se acerca a 7, los valores de salida se acercan a 8. Esto significa que

\underset{x \to 7}{lím} f (x) = \underset{x \to 7}{lím} g (x) .

Recuerde que cuando se determina un límite, la preocupación es lo que ocurre cerca de $x = a,$ no en $x = a .$ En esta sección utilizaremos una variedad de métodos, como reescribir funciones por factorización, para evaluar el límite. Estos métodos nos permitirán verificar formalmente lo que antes conseguíamos por intuición.

Hallar el límite de una suma, una diferencia y un producto

Graficar una función o explorar una tabla de valores para determinar un límite puede ser engorroso y llevar mucho tiempo. Cuando es posible, es más eficiente utilizar las propiedades de los límites, lo cual es una colección de teoremas para hallar límites.

Conocer las propiedades de los límites nos permite calcularlos directamente. Podemos sumar, restar, multiplicar y dividir los límites de las funciones como si estuviéramos realizando las operaciones sobre las propias funciones para hallar el límite del resultado. Del mismo modo, podemos hallar el límite de una función elevada a una potencia llevando el límite a esa potencia. También podemos hallar el límite de la raíz de una función tomando la raíz del límite. Utilizando estas operaciones sobre los límites, podemos hallar los límites de funciones más complejas hallando los límites de sus funciones componentes más simples.

Propiedades de los límites

Supongamos que $a, k, A,$ y $B$ representan números reales, y $f$ y $g$ son funciones, de manera que $\underset{x \to a}{lím} f (x) = A$ y $\underset{x \to a}{lím} g (x) = B .$ Para los límites que existen y son finitos, las propiedades de los límites se resumen en la Tabla 1

Constante k	$\underset{x \to a}{lím} k = k$
Constante por una función	$\underset{x \to a}{lím} [k \cdot f (x)] = k \underset{x \to a}{lím} f (x) = k A$
Suma de funciones	$\underset{x \to a}{lím} [f (x) + g (x)] = \underset{x \to a}{lím} f (x) + \underset{x \to a}{lím} g (x) = A + B$
Diferencia de funciones	$\underset{x \to a}{lím} [f (x) - g (x)] = \underset{x \to a}{lím} f (x) - \underset{x \to a}{lím} g (x) = A - B$
Producto de funciones	$\underset{x \to a}{lím} [f (x) \cdot g (x)] = \underset{x \to a}{lím} f (x) \cdot \underset{x \to a}{lím} g (x) = A \cdot B$
Cociente de funciones	$\underset{x \to a}{lím} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{\underset{x \to a}{lím} f (x)}{\underset{x \to a}{lím} g (x)} = \frac{A}{B}, B \neq 0$
Función elevada a un exponente	$\underset{x \to a}{lím} {[f (x)]}^{n} = {[\underset{x \to a}{lím} f (x)]}^{n} = A^{n},$ donde $n$ es un número entero positivo
raíz enésima de una función, donde n es un número entero positivo	$\underset{x \to a}{lím} \sqrt[n]{f (x)} = \sqrt[n]{\underset{x \to a}{lím} [f (x)]} = \sqrt[n]{A}$
Función polinómica	$\underset{x \to a}{lím} p (x) = p (a)$

Tabla 1

Ejemplo 1

Evaluar el límite de una función de forma algebraica

Evalúe $\underset{x \to 3}{lím} (2 x + 5) .$

Solución

\begin{array}{l} \underset{x \to 3}{lím} (2 x + 5) = \underset{x \to 3}{lím} (2 x) + \underset{x \to 3}{lím} (5) & Propiedad de la suma de funciones \\ = \underset{x \to 3}{2 lím} (x) + \underset{x \to 3}{lím} (5) & Constante por una propiedad de la función \\ = 2 (3) + 5 & Evalúe \\ = 11 \end{array}

Inténtelo #1

Evalúe el siguiente límite: $\underset{x \to - 12}{lím} (- 2 x + 2) .$

Hallar el límite de un polinomio

No todas las funciones o sus límites implican una simple suma, resta o multiplicación. Algunos pueden incluir polinomios. Recordemos que un polinomio es una expresión que consiste en la suma de dos o más términos, cada uno de los cuales está formado por una constante y una variable elevada a una potencia entera no negativa. Para hallar el límite de una función polinómica, podemos encontrar los límites de cada uno de los términos de la función y luego sumarlos. Además, el límite de una función polinómica a medida que $x$ se acerca a $a$ equivale a evaluar simplemente la función para $a$ .

Cómo

Dada una función que contiene un polinomio, halle su límite.

Utilice las propiedades de los límites para descomponer el polinomio en términos individuales.
Halle los límites de los términos individuales.
Sume los límites.
Alternativamente, evalúe la función para $a$ .

Ejemplo 2

Evaluar el límite de una función de forma algebraica

Evalúe $\underset{x \to 3}{lím} (5 x^{2}) .$

Solución

\begin{array}{l} \underset{x \to 3}{lím} (5 x^{2}) = 5 \underset{x \to 3}{lím} (x^{2}) & Constante por una propiedad de la función \\ = 5 (3^{2}) & Función elevada a una propiedad de exponente \\ = 45 \end{array}

Inténtelo #2

Evalúe $\underset{x \to 4}{lím} (x^{3} - 5) .$

Ejemplo 3

Evaluar el límite de un polinomio de forma algebraica

Evalúe $\underset{x \to 5}{lím} (2 x^{3} - 3 x + 1) .$

Solución

\begin{array}{l} \underset{x \to 5}{lím} (2 x^{3} - 3 x + 1) = \underset{x \to 5}{lím} (2 x^{3}) - \underset{x \to 5}{lím} (3 x) + \underset{x \to 5}{lím} (1) & Suma de funciones \\ = \underset{x \to 5}{2 lím} (x^{3}) - \underset{x \to 5}{3 lím} (x) + \underset{x \to 5}{lím} (1) & Constante por una función \\ = 2 (5^{3}) - 3 (5) + 1 & Función elevada a un exponente \\ = 236 & Evalúe \end{array}

Inténtelo #3

Evalúe el siguiente límite: $\underset{x \to - 1}{lím} (x^{4} - 4 x^{3} + 5) .$

Hallar el límite de una potencia o una raíz

Cuando un límite incluye una potencia o una raíz, necesitamos otra propiedad que nos permita evaluarlo. El cuadrado del límite de una función es igual al límite del cuadrado de la función; lo mismo ocurre con las potencias superiores. Asimismo, la raíz cuadrada del límite de una función es igual al límite de la raíz cuadrada de la función; lo mismo ocurre con las raíces superiores.

Ejemplo 4

Evaluar el límite de una potencia

Evalúe $\underset{x \to 2}{lím} {(3 x + 1)}^{5} .$

Solución

Tomaremos el límite de la función a medida cuando $x$ se acerca a 2 y elevaremos el resultado a la 5.ª potencia.

\begin{array}{l} \underset{x \to 2}{lím} {(3 x + 1)}^{5} = {(\underset{x \to 2}{lím} (3 x + 1))}^{5} \\ = {(3 (2) + 1)}^{5} \\ = 7^{5} \\ = 16.807 \end{array}

Inténtelo #4

Evalúe el siguiente límite: $\underset{x \to - 4}{lím} {(10 x + 36)}^{3} .$

Preguntas y respuestas

Si no podemos aplicar directamente las propiedades de un límite, por ejemplo en $\underset{x \to 2}{lím} (\frac{x^{2} + 6 x + 8}{x - 2})$ , ¿podemos aún determinar el límite de la función a medida que $x$ se acerca a $a$ ?

Sí. Algunas funciones se pueden reordenar algebraicamente de modo que se pueda evaluar el límite de una forma equivalente simplificada de la función.

Hallar el límite de un cociente

Hallar el límite de una función expresada como cociente puede ser más complicado. A menudo, tenemos que reescribir la función algebraicamente antes de aplicar las propiedades de un límite. Si el denominador se evalúa a 0 cuando aplicamos las propiedades de un límite directamente, debemos reescribir el cociente en una forma diferente. Un enfoque es escribir el cociente en forma factorizada y simplificar.

Cómo

Dado el límite de una función en forma de cociente, utilice la factorización para evaluarla.

Factorice completamente el numerador y el denominador.
Simplifique dividiendo los factores comunes al numerador y al denominador.
Evalúe el límite resultante, y recuerde utilizar el dominio correcto.

Ejemplo 5

Evaluar el límite de un cociente mediante factorización

Evalúe $\underset{x \to 2}{lím} (\frac{x^{2} - 6 x + 8}{x - 2}) .$

Solución

Factorice cuando sea posible, y simplifique.

\begin{array}{l} \underset{x \to 2}{lím} (\frac{x^{2} - 6 x + 8}{x - 2}) = \underset{x \to 2}{lím} (\frac{(x - 2) (x - 4)}{x - 2}) & Factorice el numerador . \\ = \underset{x \to 2}{lím} (\frac{(x - 2) (x - 4)}{x - 2}) & Anule los factores comunes . \\ = \underset{x \to 2}{lím} (x - 4) & Evalúe . \\ = 2 - 4 = - 2 \end{array}

Análisis

Cuando el límite de una función racional no se puede evaluar directamente, las formas factorizadas del numerador y del denominador se pueden simplificar a un resultado que puede ser evaluado.

Observe que la función

f (x) = \frac{x^{2} - 6 x + 8}{x - 2}

es equivalente a la función

f (x) = x - 4, x \neq 2.

Observe que el límite existe aunque la función no esté definida en $x = 2 .$

Inténtelo #5

Evalúe el siguiente límite: $\underset{x \to 7}{lím} (\frac{x^{2} - 11 x + 28}{7 - x}) .$

Ejemplo 6

Evaluar el límite de un cociente hallando el mínimo común denominador

Evalúe $\underset{x \to 5}{lím} (\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{5}}{x - 5}) .$

Solución

Halle el mínimo común denominador para los denominadores de los dos términos del numerador y convierta ambas fracciones para que tengan el mínimo común denominador como denominador.

Análisis

Cuando se determina el límite de una función racional que tiene términos sumados o restados en el numerador o en el denominador, el primer paso es hallar el denominador común de los términos sumados o restados; luego, convertir ambos términos para que tengan ese denominador o simplificar la función racional multiplicando numerador y denominador por el mínimo común denominador. Luego compruebe si el numerador y el denominador resultantes tienen algún factor común.

Inténtelo #6

Evalúe $\underset{x \to - 5}{lím} (\frac{\frac{1}{5} + \frac{1}{x}}{10 + 2 x}) .$

Cómo

Dado un límite de una función que contiene una raíz, utilice un conjugado para evaluar.

Si el cociente dado no está en forma indeterminada $(\frac{0}{0})$ evalúe directamente.
En caso contrario, reescriba la suma (o diferencia) de dos cocientes como un único cociente, utilizando el mínimo común denominador.
Si el numerador incluye una raíz, racionalice el numerador; multiplique el numerador y el denominador por el conjugado del numerador. Recordemos que $a \pm \sqrt{b}$ son conjugados.
Simplifique.
Evalúe el límite resultante.

Ejemplo 7

Evaluar un límite que contiene una raíz mediante un conjugado

Evalúe $\underset{x \to 0}{lím} (\frac{\sqrt{25 - x} - 5}{x}) .$

Solución

$\begin{array}{l} \underset{x \to 0}{lím} (\frac{\sqrt{25 - x} - 5}{x}) = \underset{x \to 0}{lím} (\frac{(\sqrt{25 - x} - 5)}{x} \cdot \frac{(\sqrt{25 - x} + 5)}{(\sqrt{25 - x} + 5)}) & Multiplique el numerador y el denominador por el conjugado . \\ = \underset{x \to 0}{lím} (\frac{(25 - x) - 25}{x (\sqrt{25 - x} + 5)}) & Multiplique: (\sqrt{25 - x} - 5) \cdot (\sqrt{25 - x} + 5) = (25 - x) - 25. \\ = \underset{x \to 0}{lím} (\frac{- x}{x (\sqrt{25 - x} + 5)}) & Combine términos similares . \\ = \underset{x \to 0}{lím} (\frac{- x}{x (\sqrt{25 - x} + 5)}) & Simplifique \frac{- x}{x} = - 1. \\ = \frac{- 1}{\sqrt{25 - 0} + 5} & Evalúe . \\ = \frac{- 1}{5 + 5} = - \frac{1}{10} \end{array}$

Análisis

Al determinar un límite de una función con una raíz como uno de los dos términos en los que no podemos evaluar directamente, piense en multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado de los términos.

Inténtelo #7

Evalúe el siguiente límite: $\underset{h \to 0}{lím} (\frac{\sqrt{16 - h} - 4}{h}) .$

Ejemplo 8

Evaluar el límite de un cociente de una función mediante factorización

Evalúe $\underset{x \to 4}{lím} (\frac{4 - x}{\sqrt{x} - 2}) .$

Solución

$\begin{array}{l} \underset{x \to 4}{lím} (\frac{4 - x}{\sqrt{x} - 2}) = \underset{x \to 4}{lím} (\frac{(2 + \sqrt{x}) (2 - \sqrt{x})}{\sqrt{x} - 2}) & Factorice. \\ = \underset{x \to 4}{lím} (\frac{(2 + \sqrt{x}) (2 - \sqrt{x})}{- (2 - \sqrt{x})}) & Factorice −1 fuera del denominador . Simplifique . \\ = \underset{x \to 4}{lím} - (2 + \sqrt{x}) & Evalúe . \\ = - (2 + \sqrt{4}) \\ = - 4 \end{array}$

Análisis

Multiplicar por un conjugado ampliaría el numerador; busque en cambio factores en el numerador. El cuatro es un cuadrado perfecto por lo que el numerador tiene la forma

a^{2} - b^{2}

y se puede factorizar como

(a + b) (a - b) .

Inténtelo #8

Evalúe el siguiente límite: $\underset{x \to 3}{lím} (\frac{x - 3}{\sqrt{x} - \sqrt{3}}) .$

Cómo

Dado un cociente con valores absolutos, evalúe su límite.

Intente factorizar o calcular el mínimo común denominador.
Si no se puede hallar el límite, elija varios valores cercanos y a ambos lados de la entrada donde la función es indefinida.
Utilice las pruebas numéricas para calcular los límites de ambos lados.

Ejemplo 9

Evaluar el límite de un cociente con valores absolutos

Evalúe $\underset{x \to 7}{lím} \frac{| x - 7 |}{x - 7} .$

Solución

La función es indefinida en $x = 7,$ así que probaremos valores cercanos a 7 por la izquierda y por la derecha.

Límite por la izquierda: $\frac{| 6,9 - 7 |}{6,9 - 7} = \frac{| 6,99 - 7 |}{6,99 - 7} = \frac{| 6,999 - 7 |}{6,999 - 7} = - 1$

Límite por la derecha: $\frac{| 7,1 - 7 |}{7,1 - 7} = \frac{| 7,01 - 7 |}{7,01 - 7} = \frac{| 7,001 - 7 |}{7,001 - 7} = 1$

Como los límites izquierdo y derecho no son iguales, no hay límite.

Inténtelo #9

Evalúe $\underset{x \to 6^{+}}{lím} \frac{6 - x}{| x - 6 |} .$

Media

Acceda al siguiente recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con las propiedades de los límites.

Determinar un límite de forma analítica

12.2 Ejercicios de sección

Verbales

1.

Dé un ejemplo de un tipo de función $f$ cuyo límite, a medida que $x$ se acerca a $a,$ es $f (a) .$

2.

Cuando se utiliza la sustitución directa para evaluar el límite de una función racional a medida que $x$ se acerca a $a$ y el resultado es $f (a) = \frac{0}{0},$ ¿esto significa que el límite de $f$ no existe?

3.

¿Qué significa decir el límite de $f (x),$ a medida que $x$ se acerca a $c,$ es indefinido?

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, evalúe los límites algebraicamente.

4.

$\underset{x \to 0}{lím} (3)$

5.

$\underset{x \to 2}{lím} (\frac{- 5 x}{x^{2} - 1})$

6.

$\underset{x \to 2}{lím} (\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x + 2})$

7.

$\underset{x \to 3}{lím} (\frac{x^{2} - 9}{x - 3})$

8.

$\underset{x \to - 1}{lím} (\frac{x^{2} - 2 x - 3}{x + 1})$

9.

$\underset{x \to \frac{3}{2}}{lím} (\frac{6 x^{2} - 17 x + 12}{2 x - 3})$

10.

$\underset{x \to - \frac{7}{2}}{lím} (\frac{8 x^{2} + 18 x - 35}{2 x + 7})$

11.

$\underset{x \to 3}{lím} (\frac{x^{2} - 9}{x - 5 x + 6})$

12.

$\underset{x \to - 3}{lím} (\frac{- 7 x^{4} - 21 x^{3}}{- 12 x^{4} + 108 x^{2}})$

13.

$\underset{x \to 3}{lím} (\frac{x^{2} + 2 x - 3}{x - 3})$

14.

$\underset{h \to 0}{lím} (\frac{{(3 + h)}^{3} - 27}{h})$

15.

$\underset{h \to 0}{lím} (\frac{{(2 - h)}^{3} - 8}{h})$

16.

$\underset{h \to 0}{lím} (\frac{{(h + 3)}^{2} - 9}{h})$

17.

$\underset{h \to 0}{lím} (\frac{\sqrt{5 - h} - \sqrt{5}}{h})$

18.

$\underset{x \to 0}{lím} (\frac{\sqrt{3 - x} - \sqrt{3}}{x})$

19.

$\underset{x \to 9}{lím} (\frac{x^{2} - 81}{3 - \sqrt{x}})$

20.

$\underset{x \to 1}{lím} (\frac{\sqrt{x} - x^{2}}{1 - \sqrt{x}})$

21.

$\underset{x \to 0}{lím} (\frac{x}{\sqrt{1 + 2 x} - 1})$

22.

$\underset{x \to \frac{1}{2}}{lím} (\frac{x^{2} - \frac{1}{4}}{2 x - 1})$

23.

$\underset{x \to 4}{lím} (\frac{x^{3} - 64}{x^{2} - 16})$

24.

$\underset{x \to 2^{-}}{lím} (\frac{| x - 2 |}{x - 2})$

25.

$\underset{x \to 2^{+}}{lím} (\frac{| x - 2 |}{x - 2})$

26.

$\underset{x \to 2}{lím} (\frac{| x - 2 |}{x - 2})$

27.

$\underset{x \to 4^{-}}{lím} (\frac{| x - 4 |}{4 - x})$

28.

$\underset{x \to 4^{+}}{lím} (\frac{| x - 4 |}{4 - x})$

29.

$\underset{x \to 4}{lím} (\frac{| x - 4 |}{4 - x})$

30.

$\underset{x \to 2}{lím} (\frac{- 8 + 6 x - x^{2}}{x - 2})$

Para el siguiente ejercicio, utilice la información dada para evaluar los límites: $\underset{x \to c}{lím} f (x) = 3,$ $\underset{x \to c}{lím} g (x) = 5$ .

31.

$\underset{x \to c}{lím} [2 f (x) + \sqrt{g (x)}]$

32.

$\underset{x \to c}{lím} [3 f (x) + \sqrt{g (x)}]$

33.

$\underset{x \to c}{lím} \frac{f (x)}{g (x)}$

En los siguientes ejercicios, evalúe los siguientes límites.

34.

$\underset{x \to 2}{lím} \cos (π x)$

35.

$\underset{x \to 2}{lím} sen (π x)$

36.

$\underset{x \to 2}{lím} sen (\frac{π}{x})$

37.

$f (x) = {\begin{array}{l} 2 x^{2} + 2 x + 1, & x \leq 0 \\ x - 3, & x > 0 \end{array}; \underset{x \to 0^{+}}{lím} f (x)$

38.

$f (x) = {\begin{array}{l} 2 x^{2} + 2 x + 1, & x \leq 0 \\ x - 3, & x > 0 \end{array}; \underset{x \to 0^{-}}{lím} f (x)$

39.

$f (x) = {\begin{array}{l} 2 x^{2} + 2 x + 1, & x \leq 0 \\ x - 3, & x > 0 \end{array}; \underset{x \to 0}{lím} f (x)$

40.

$\underset{x \to 4}{lím} \frac{\sqrt{x + 5} - 3}{x - 4}$

41.

$\underset{x \to 2^{+}}{lím} (2 x - [x])$

42.

$\underset{x \to 2}{lím} \frac{\sqrt{x + 7} - 3}{x^{2} - x - 2}$

43.

$\underset{x \to 3^{+}}{lím} \frac{x^{2}}{x^{2} - 9}$

En los siguientes ejercicios, calcule la tasa media de cambio $\frac{f (x + h) - f (x)}{h} .$

44.

$f (x) = x + 1$

45.

$f (x) = 2 x^{2} - 1$

46.

$f (x) = x^{2} + 3 x + 4$

47.

$f (x) = x^{2} + 4 x - 100$

48.

$f (x) = 3 x^{2} + 1$

49.

$f (x) = \cos (x)$

50.

$f (x) = 2 x^{3} - 4 x$

51.

$f (x) = \frac{1}{x}$

52.

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

53.

$f (x) = \sqrt{x}$

Gráficos

54.

Halle una ecuación que se pueda representar por la Figura 3.

Gráfico de la función creciente con una discontinuidad removible en (2, 3).

Figura 3

55.

Halle una ecuación que se pueda representar por la Figura 4.

Gráfico de la función creciente con una discontinuidad removible en (–3, –1).

Figura 4

En los siguientes ejercicios, consulte la Figura 5.

Gráfico de la función creciente de cero a infinito positivo.

Figura 5

56.

¿Cuál es el límite derecho de la función a medida que $x$ se acerca a 0?

57.

¿Cuál es el límite izquierdo de la función a medida que $x$ se acerca a 0?

Aplicaciones en el mundo real

58.

La función de posición $s (t) = - 16 t^{2} + 144 t$ da la posición de un proyectil como una función de tiempo. Halle la velocidad media (tasa media de cambio) en el intervalo $[1, 2]$ .

59.

La altura de un proyectil está dada por $s (t) = - 64 t^{2} + 192 t$ Halle la tasa media de cambio de la altura de $t = 1$ segundo a $t = 1,5$ segundos.

60.

La cantidad de dinero en una cuenta después de $t$ años calculada continuamente a un interés del 4,25 % está dada por la fórmula $A = A_{0} e^{0,0425 t},$ donde $A_{0}$ es la cantidad inicial invertida. Halle la tasa media de cambio del saldo de la cuenta de $t = 1$ año a $t = 2$ años si la cantidad inicial invertida es de 1.000,00 dólares.

12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites

Hallar el límite de una suma, una diferencia y un producto

Evaluar el límite de una función de forma algebraica

Solución

Hallar el límite de un polinomio

Evaluar el límite de una función de forma algebraica

Solución

Evaluar el límite de un polinomio de forma algebraica

Solución

Hallar el límite de una potencia o una raíz

Evaluar el límite de una potencia

Solución

Hallar el límite de un cociente

Evaluar el límite de un cociente mediante factorización

Solución

Análisis

Evaluar el límite de un cociente hallando el mínimo común denominador

Solución

Análisis

Evaluar un límite que contiene una raíz mediante un conjugado

Solución

Análisis

Evaluar el límite de un cociente de una función mediante factorización

Solución

Análisis

Evaluar el límite de un cociente con valores absolutos

Solución

12.2 Ejercicios de sección

Verbales

Algebraicos

Gráficos

Aplicaciones en el mundo real