Jay Abramson

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Determinar si una función es continua en un número.
Determinar los números para los cuales una función es discontinua.
Determinar si una función es continua.

Arizona es conocida por su calor seco. En un día determinado, la temperatura puede subir hasta $118^{\circ} F$ y bajar solo rápidamente a $95^{\circ} F .$ La Figura 1 muestra la función $T,$ donde la salida de $T (x)$ es la temperatura en grados Fahrenheit y la entrada $x$ es la hora del día, utilizando un reloj de 24 horas en un día determinado de verano.

Gráfico de la función que asigna el tiempo desde la medianoche a la temperatura. El eje x, identificado como x, representa las horas transcurridas desde la medianoche de 0 a 24. El eje y, identificado como T(x), representa la temperatura de 0 a 120. La función es continua y tiene un pico en (16, 118).

Figura 1 La temperatura como una función de tiempo forma una función continua.

Al analizar este gráfico, observamos una característica específica. No hay interrupciones en el gráfico. Podríamos trazar el gráfico sin levantar el lápiz. Esta única observación nos dice mucho sobre la función. En esta sección investigaremos funciones con y sin interrupciones.

Determinar si una función es continua en un número

Consideremos un ejemplo específico de temperatura en términos de fecha y ubicación, como el 27 de junio de 2013, en Phoenix, AZ. El gráfico en la Figura 1 indica que a las 2 a. m. la temperatura era $96^{∘} F$ . A las 2 p. m., la temperatura había subido a $116^{∘} F,$ y para las 4 p. m. era de $118^{∘} F .$ En algún momento entre las 2 a. m. y las 4 p. m., la temperatura exterior debió ser exactamente ${110,5}^{∘} F .$ De hecho, cualquier temperatura entre $96^{∘} F$ y $118^{∘} F$ se produjo en algún momento de ese día. Esto significa que todos los números reales en la salida entre $96^{∘} F$ y $118^{∘} F$ se generan en algún momento por la función según el teorema del valor intermedio,

Mire de nuevo la Figura 1. No hay interrupciones en el gráfico de la función para este periodo de 24 horas. En ningún momento la temperatura dejó de existir, ni hubo un punto en el que la temperatura saltara instantáneamente varios grados. Una función que no tiene agujeros ni interrupciones en su gráfico se conoce como función continua. La temperatura en función del tiempo es un ejemplo de función continua.

Si la temperatura representa una función continua, ¿qué tipo de función no sería continua? Consideremos un ejemplo de dólares expresados como función de horas de estacionamiento. Vamos a crear la función $D,$ donde $D (x)$ es el resultado que representa el costo en dólares del estacionamiento por $x$ número de horas. Vea la Figura 2.

Supongamos que un estacionamiento tiene una tarifa de 4,00 dólares por hora o fracción de hora, con una tarifa máxima de 25 dólares por día. Si se estaciona durante dos horas y cinco minutos, la tarifa es de 12 dólares. Si se aparca una hora más, la tarifa es de 16 dólares. Nunca nos pueden cobrar 13, 14 o 15 dólares. Hay números reales entre el 12 y el 16 que la función nunca produce. En este periodo de 24 horas, el gráfico de la función presenta interrupciones, puntos en los cuales el precio del estacionamiento salta instantáneamente en varios dólares.

Gráfico de la función que asigna el tiempo desde la medianoche a la temperatura. El eje x representa las horas de estacionamiento de 0 a 24. El eje y representa los montos en dólares que van de 0 a 28. La función es una función escalonada.

Figura 2 Las tarifas de estacionamiento forman una función discontinua.

Una función que permanece nivelada durante un intervalo y luego salta instantáneamente a un valor superior se llama función escalonada. Esta función es un ejemplo.

Una función que tiene algún agujero o interrupción en su gráfico se conoce como función discontinua. La función escalonada, como las tarifas de estacionamiento en función de las horas utilizadas, es un ejemplo de función discontinua.

Entonces, ¿cómo podemos decidir si una función es continua en un número determinado? Podemos comprobar tres condiciones diferentes. Utilicemos la función $y = f (x)$ representada en la Figura 3 como ejemplo.

Gráfico de una función creciente con discontinuidad en (a, f(a)).

Figura 3

Condición 1 Según la condición 1, la función $f (a)$ definida en $x = a$ debe existir. En otras palabras, hay una coordenada y en $x = a$ como en la Figura 4.

Gráfico de una función creciente con discontinuidad en (a, 2). El punto (a, f(a)) está directamente debajo del agujero.

Figura 4

Condición 2 Según la condición 2, en $x = a$ el límite, escrito $\underset{x \to a}{lím} f (x),$ debe existir. Esto significa que en $x = a$ el límite izquierdo debe ser igual al límite derecho. Observe como el gráfico de $f$ en la Figura 3 se acerca a $x = a$ desde la izquierda y la derecha, se acerca a la misma coordenada y. Por lo tanto, se cumple la condición 2. Sin embargo, todavía podría existir un agujero en el gráfico en $x = a$ .

Condición 3 Según la condición 3, la coordenada $y$ coordenadas en $x = a$ rellena el agujero en el gráfico de $f .$ Esto se escribe $\underset{x \to a}{lím} f (x) = f (a) .$

El cumplimiento de las tres condiciones significa que la función es continua. Las tres condiciones se cumplen para la función representada en la Figura 5, por lo que la función es continua, ya que $x = a .$

Gráfico de una función creciente con discontinuidad rellena en (a, f(a)).

Figura 5 Se cumplen las tres condiciones. La función es continua en

x = a

.

De la Figura 6 a la Figura 9 se ofrecen varios ejemplos de gráficos de funciones que no son continuas en $x = a$ y la condición o condiciones que fallan.

Figura 6 Se cumple la condición 2. Las condiciones 1 y 3 fallan.

Figura 7 Se cumplen las condiciones 1 y 2. La condición 3 falla.

Gráfico de una función definida por partes con un segmento creciente desde el infinito negativo hasta (a, f(a)), que es cerrado, y otro segmento creciente desde (a, f(a)-1), que es abierto, hasta el infinito positivo.

Figura 8 Se cumple la condición 1. Las condiciones 2 y 3 fallan.

Gráfico de una función definida por partes con un segmento creciente desde el infinito negativo hasta (a, f(a)) y otro segmento creciente desde (a, f(a) – 1) hasta el infinito positivo. Este gráfico no incluye el punto (a, f(a)).

Figura 9 Las condiciones 1, 2 y 3 fallan.

Definición de continuidad

Una función $f (x)$ es continua en $x = a$ siempre que se cumplan las tres condiciones siguientes:

Condición 1: $f (a)$ .
Condición 2: $\underset{x \to a}{lím} f (x)$ existe en $x = a$ .
Condición 3: $\underset{x \to a}{lím} f (x) = f (a)$

Si una función $f (x)$ no es continua en $x = a,$ la función es discontinua en $x = a$ .

Identificar una discontinuidad de salto

La discontinuidad se genera de diferentes maneras. Hemos visto en la sección anterior que una función puede tener un límite izquierdo y un límite derecho aunque no sean iguales. Si los límites por la izquierda y por la derecha existen pero son diferentes, el gráfico "salta" en $x = a$ . Se dice que la función tiene una discontinuidad de salto.

Como ejemplo, mire el gráfico de la función $y = f (x)$ en la Figura 10. Observe como $x$ se acerca a $a$ cómo la salida se acerca a diferentes valores desde la izquierda y desde la derecha.

Figura 10 Gráfico de una función con una discontinuidad de salto.

Discontinuidad de salto

Una función $f (x)$ tiene una discontinuidad de salto en $x = a$ si los límites izquierdo y derecho existen pero no son iguales: $\underset{x \to a^{-}}{lím} f (x) \neq \underset{x \to a^{+}}{lím} f (x)$ .

Identificar discontinuidad removible

Algunas funciones tienen una discontinuidad, pero es posible redefinir la función en ese punto para hacerla continua. Se dice que este tipo de función tiene una discontinuidad removible. Veamos la función $y = f (x)$ representada por el gráfico en la Figura 11. La función tiene un límite. Sin embargo, hay un agujero en $x = a$ . El agujero se puede rellenar si se amplía el dominio para incluir la entrada $x = a$ y se define la salida correspondiente de la función en ese valor como el límite de la función en $x = a$ .

Gráfico de una función creciente con una discontinuidad removible en (a, f(a)).

Figura 11 Gráfico de la función

f

con una discontinuidad removible en

x = a

.

Discontinuidad removible

Una función $f (x)$ tiene una discontinuidad removible en $x = a$ si el límite, $\underset{x \to a}{lím} f (x),$ existe, pero ya sea que

$f (a)$ no existe o
$f (a),$ el valor de la función en $x = a$ no es igual al límite, $f (a) \neq \underset{x \to a}{lím} f (x) .$

Ejemplo 1

Identificar discontinuidades

Identifique todas las discontinuidades de las siguientes funciones como un salto o una discontinuidad removible.

Ⓐ $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 15}{x - 5}$
Ⓑ $g (x) = {\begin{array}{l} x + 1, & x < 2 \\ - x, & x \geq 2 \end{array}$

Solución

Ⓐ
Observe que la función está definida en todas partes excepto en $x = 5.$

Así, $f (5)$ no existe, la condición 2 no se cumple. Dado que se cumple la condición 1, el límite cuando $x$ se acerca a 5 es 8, y la condición 2 no se cumple. Esto significa que hay una discontinuidad removible en $x = 5.$
Ⓑ
La condición 2 se cumple porque $g (2) = - 2.$

Observe que la función es una función definida por partes, y para cada parte, la función está definida en todas partes de su dominio. Examinemos la condición 1 determinando los límites por la izquierda y por la derecha cuando $x$ se acerca a 2.
Límite por la izquierda: $\underset{x \to 2^{-}}{lím} (x + 1) = 2 + 1 = 3.$ El límite izquierdo existe.
Límite por la derecha: $\underset{x \to 2^{+}}{lím} (- x) = - 2.$ El límite derecho existe. Pero

$\underset{x \to 2^{-}}{lím} f (x) \neq \underset{x \to 2^{+}}{lím} f (x) .$

Así que, $\underset{x \to 2}{lím} f (x)$ no existe y la condición 2 falla: No hay ninguna discontinuidad removible. Sin embargo, como los límites izquierdo y derecho existen pero no son iguales, se cumplen las condiciones para una discontinuidad de salto en $x = 2.$

Inténtelo #1

Identifique todas las discontinuidades de las siguientes funciones como un salto o una discontinuidad removible.

Ⓐ $f (x) = \frac{x^{2} - 6 x}{x - 6}$
Ⓑ $g (x) = {\begin{array}{l} \sqrt{x}, & 0 \leq x < 4 \\ 2 x, & x \geq 4 \end{array}$

Reconocer funciones continuas y discontinuas de números reales

Muchas de las funciones que hemos encontrado en capítulos anteriores son continuas en todas partes. Nunca tienen un agujero y nunca saltan de un valor a otro. Para todas estas funciones, el límite de $f (x)$ cuando $x$ se acerca a $a$ es el mismo que el valor de $f (x)$ cuando $x = a .$ Así que $\underset{x \to a}{lím} f (x) = f (a) .$ Hay algunas funciones que son continuas en todas partes y otras que solo son continuas donde están definidas en su dominio porque no están definidas para todos los números reales.

Ejemplos de funciones continuas

Las siguientes funciones son continuas en todas partes:

Funciones polinómicas	Ej.: $f (x) = x^{4} - 9 x^{2}$
Funciones exponenciales	Ej.: $f (x) = 4^{x + 2} - 5$
Funciones de seno	Ej.: $f (x) = sen (2 x) - 4$
Funciones de coseno	Ej.: $f (x) = - \cos (x + \frac{π}{3})$

Tabla 1

Las siguientes funciones son continuas en todos los lugares en los que están definidas en su dominio:

Funciones logarítmicas	Ej.: $f (x) = 2 \ln (x)$ , $x > 0$
Funciones tangentes	Ej.: $f (x) = \tan (x) + 2,$ $x \neq \frac{π}{2} + k π,$ $k$ es un número entero
Funciones racionales	Ej.: $f (x) = \frac{x^{2} - 25}{x - 7},$ $x \neq 7$

Tabla 2

Cómo

Dada una función $f (x),$ determine si la función es continua en $x = a .$

Compruebe la condición 1: $f (a)$ .
Compruebe la condición 2: $\underset{x \to a}{lím} f (x)$ existe en $x = a .$
Compruebe la condición 3: $\underset{x \to a}{lím} f (x) = f (a) .$
Si se cumplen las tres condiciones, la función es continua en $x = a .$ Si no se cumple alguna de las condiciones, la función no es continua en $x = a .$

Ejemplo 2

Determinar si una función definida por partes es continua en un número dado

Determine si la función $f (x) = {\begin{array}{l} 4 x, & x \leq 3 \\ 8 + x, & x > 3 \end{array}$ es continua en

Ⓐ $x = 3$
Ⓑ $x = \frac{8}{3}$

Solución

Para determinar si la función $f$ es continua en $x = a,$ determinaremos si se cumplen las tres condiciones de continuidad en $x = a$ .

Ⓐ
Condición 1: ¿Existe $f (a)$ ?

$\begin{array}{l} f (3) = 4 (3) = 12 \\ \Rightarrow Se cumple la condición 1 . \end{array}$

Condición 2: ¿Existe el $\underset{x \to 3}{lím} f (x)$ ?

A la izquierda de $x = 3,$ $f (x) = 4 x;$ a la derecha de $x = 3,$ $f (x) = 8 + x .$ Tenemos que evaluar los límites por la izquierda y por la derecha cuando $x$ se acerca a 1.
- Límite por la izquierda: $\underset{x \to 3^{-}}{lím} f (x) = \underset{x \to 3^{-}}{lím} 4 (3) = 12$
- Límite por la derecha: $\underset{x \to 3^{+}}{lím} f (x) = \underset{x \to 3^{+}}{lím} (8 + x) = 8 + 3 = 11$
Dado que $\underset{x \to 3^{-}}{lím} f (x) \neq \underset{x \to 3^{+}}{lím} f (x),$ $\underset{x \to 3}{lím} f (x)$ no existe.

$\Rightarrow La condición 2 no se cumple .$

No es necesario seguir adelante. La condición 2 no se cumple en $x = 3.$ Si alguna de las condiciones de continuidad no se cumple en $x = 3,$ la función $f (x)$ no es continua en $x = 3.$
Ⓑ
$x = \frac{8}{3}$

Condición 1: ¿Existe $f (\frac{8}{3})$ ?

$\begin{array}{l} f (\frac{8}{3}) = 4 (\frac{8}{3}) = \frac{32}{3} \\ \Rightarrow Se cumple la condición 1 . \end{array}$

Condición 2: ¿Existe el $\underset{x \to \frac{8}{3}}{lím} f (x)$ ?

A la izquierda de $x = \frac{8}{3},$ $f (x) = 4 x;$ a la derecha de $x = \frac{8}{3},$ $f (x) = 8 + x .$ Tenemos que evaluar los límites por la izquierda y por la derecha cuando $x$ se acerca a $\frac{8}{3} .$
- Límite por la izquierda: $\underset{x \to {\frac{8}{3}}^{-}}{lím} f (x) = \underset{x \to {\frac{8}{3}}^{-}}{lím} 4 (\frac{8}{3}) = \frac{32}{3}$
- Límite por la derecha: $\underset{x \to {\frac{8}{3}}^{+}}{lím} f (x) = \underset{x \to {\frac{8}{3}}^{+}}{lím} (8 + x) = 8 + \frac{8}{3} = \frac{32}{3}$
Dado que $\underset{x \to \frac{8}{3}}{lím} f (x)$ existe,

$\Rightarrow Se cumple la condición 2 .$

Condición 3: ¿Es $f (\frac{8}{3}) = \underset{x \to \frac{8}{3}}{lím} f (x) ?$

$\begin{array}{l} f (\frac{32}{3}) = \frac{32}{3} = \underset{x \to \frac{8}{3}}{lím} f (x) \\ \Rightarrow Se cumple la condición 3 . \end{array}$

Dado que se cumplen las tres condiciones de continuidad en $x = \frac{8}{3},$ la función $f (x)$ es continua en $x = \frac{8}{3} .$

Inténtelo #2

Determine si la función $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{x}, & x \leq 2 \\ 9 x - 11,5, & x > 2 \end{array}$ es continua en $x = 2.$

Ejemplo 3

Determinar si una función racional es continua en un número dado

Determine si la función $f (x) = \frac{x^{2} - 25}{x - 5}$ es continua en $x = 5.$

Solución

Para determinar si la función $f$ es continua en $x = 5,$ determinaremos si se cumplen las tres condiciones de continuidad en $x = 5.$

Condición 1:

\begin{array}{l} f (5) no existe . \\ \Rightarrow La condición 1 no se cumple . \end{array}

No es necesario seguir adelante. La condición 2 no se cumple en $x = 5.$ Si alguna de las condiciones de continuidad no se cumple en $x = 5,$ la función $f$ no es continua en $x = 5.$

Análisis

Vea la Figura 12. Observe que para la condición 2 tenemos

\begin{array}{l} \underset{x \to 5}{lím} \frac{x^{2} - 25}{x - 5} = \underset{x \to 3}{lím} \frac{(x - 5) (x + 5)}{x - 5} \\ = \underset{x \to 5}{lím} (x + 5) \\ = 5 + 5 = 10 \\ \Rightarrow Se cumple la condición 2 . \end{array}

A $x = 5,$ existe una discontinuidad removible. Vea la Figura 12.

Gráfico de una función creciente con una discontinuidad removible en (5, 10).

Figura 12

Inténtelo #3

Determine si la función $f (x) = \frac{9 - x^{2}}{x^{2} - 3 x}$ es continua en $x = 3.$ En caso contrario, indique el tipo de discontinuidad.

Determinar los valores de entrada para los cuales una función es discontinua

Ahora que podemos identificar funciones continuas, discontinuidades de salto y discontinuidades removibles veremos funciones más complejas para hallar discontinuidades. Aquí analizaremos una función definida por partes para determinar si existe algún número real en el que la función no sea continua. Una función definida por partes puede tener discontinuidades en los puntos límite de la función, así como dentro de las funciones que la componen.

Para determinar los números reales para los que una función definida por partes compuesta por funciones polinómicas no es continua, recordemos que las propias funciones polinómicas son continuas en el conjunto de los números reales. Cualquier discontinuidad estaría en los puntos límite. Por lo tanto, tenemos que explorar las tres condiciones de continuidad en los puntos límite de la función definida por partes.

Cómo

Dada una función definida por partes, determinar si es continua en los puntos límite.

Para cada punto límite $a$ de la función definida por partes, determine los límites izquierdo y derecho cuando $x$ se acerca a $a,$ así como el valor de la función en $a .$
Compruebe cada condición para cada valor para determinar si se cumplen las tres condiciones.
Determine si cada valor satisface la condición 1: $f (a)$ .
Determine si cada valor satisface la condición 2: $\underset{x \to a}{lím} f (x)$ .
Determine si cada valor satisface la condición 3: $\underset{x \to a}{lím} f (x) = f (a) .$
Si se cumplen las tres condiciones, la función es continua en $x = a .$ Si falla alguna de las condiciones, la función no es continua en $x = a .$

Ejemplo 4

Determinar los valores de entrada para los cuales una función definida por partes es discontinua

Determine si la función $f$ es discontinua para cualquier número real.

f (x) = {\begin{array}{l} x + 1, & x < 2 \\ 3, & 2 \leq x < 4 \\ x^{2} - 11, & x \geq 4 \end{array}

Solución

La función definida por partes está definida por tres funciones, todas ellas polinómicas, $f (x) = x + 1$ sobre $x < 2,$ $f (x) = 3$ sobre $2 \leq x < 4,$ y $f (x) = x^{2} - 5$ sobre $x \geq 4.$ Las funciones polinómicas son continuas en todas partes. Las discontinuidades estarían en los puntos límite, $x = 2$ y $x = 4.$

A $x = 2,$ comprobemos las tres condiciones de continuidad.

Condición 1:

\begin{array}{l} f (2) = 3 \\ \Rightarrow Se cumple la condición 1 . \end{array}

Condición 2: Dado que una función diferente define la salida a la izquierda y a la derecha de $x = 2,$ $\underset{x \to 2^{-}}{lím} f (x) = \underset{x \to 2^{+}}{lím} f (x) ?$

Límite por la izquierda: $\underset{x \to 2^{-}}{lím} f (x) = \underset{x \to 2^{-}}{lím} (x + 1) = 2 + 1 = 3$
Límite por la derecha: $\underset{x \to 2^{+}}{lím} f (x) = \underset{x \to 2^{+}}{lím} 3 = 3$

Dado que $3 = 3$ , $\underset{x \to 2^{-}}{lím} f (x) = \underset{x \to 2^{+}}{lím} f (x)$

\Rightarrow Se cumple la condición 2 .

Condición 3:

\begin{array}{l} \underset{x \to 2}{lím} f (x) = 3 = f (2) \\ \Rightarrow Se cumple la condición 3 . \end{array}

Dado que las tres condiciones se cumplen en $x = 2,$ la función $f (x)$ es continua en $x = 2.$

A $x = 4,$ comprobemos las tres condiciones de continuidad.

Condición 2: Dado que una función diferente define la salida a la izquierda y a la derecha de $x = 4,$ $\underset{x \to 4^{-}}{lím} f (x) = \underset{x \to 4^{+}}{lím} f (x) ?$

Límite por la izquierda: $\underset{x \to 4^{-}}{lím} f (x) = \underset{x \to 4^{-}}{lím} 3 = 3$
Límite por la derecha: $\underset{x \to 4^{+}}{lím} f (x) = \underset{x \to 4^{+}}{lím} (x^{2} - 11) = 4^{2} - 11 = 5$

Dado que $3 \neq 5$ , $\underset{x \to 4^{-}}{lím} f (x) \neq \underset{x \to 4^{+}}{lím} f (x),$ por lo que $\underset{x \to 4}{lím} f (x)$ no existe.

\Rightarrow La condición 2 no se cumple .

Dado que una de las tres condiciones no se cumple en $x = 4,$ la función $f (x)$ es discontinuo en $x = 4.$

Análisis

Vea la Figura 13. A $x = 4,$ existe una discontinuidad de salto. Observe que la función es continua en $x = 2.$

Gráfico de una función definida por partes que tiene discontinuidad en (4, 3).

Figura 13 El gráfico es continuo en

x = 2

pero muestra una discontinuidad de salto en

x = 4.

Inténtelo #4

Determine dónde la función $f (x) = {\begin{cases} \frac{π x}{4}, x < 2 \\ \frac{π}{x}, 2 \leq x \leq 6 \\ 2 π x, x > 6 \end{cases}$ es discontinua.

Cómo determinar si una función es continua

Para determinar si una función definida por partes es continua o discontinua, además de comprobar los puntos límite, debemos comprobar si cada una de las funciones que componen la función definida por partes es continua.

Cómo

Dada una función definida por partes, determine si es continua.

Determine si cada función componente de la función definida por partes es continua. Si hay discontinuidades, ¿se producen dentro del dominio donde se aplica esa función componente?
Para cada punto límite $x = a$ de la función definida por partes, determine si se cumple cada una de las tres condiciones.

Ejemplo 5

Determinar si una función definida por partes es continua

Determine si la siguiente función es continua. Si no es así, indique la ubicación y el tipo de cada discontinuidad.

f (x) = {\begin{array}{l} sen (x), & x < 0 \\ x^{3}, & x > 0 \end{array}

Solución

Las dos funciones que componen esta función definida por partes son $f (x) = sen (x)$ sobre $x < 0$ y $f (x) = x^{3}$ sobre $x > 0 .$ La función de seno y todas las funciones polinómicas son continuas en todas partes. Cualquier discontinuidad se produciría en el punto límite,

A $x = 0,$ comprobemos las tres condiciones de continuidad.

Condición 1:

\begin{array}{l} f (0) no existe . \\ \Rightarrow La condición 1 no se cumple . \end{array}

Dado que las tres condiciones no se cumplen en $x = 0,$ la función $f (x)$ es discontinuo en $x = 0 .$

Análisis

Vea la Figura 14. Existe una discontinuidad removible en $x = 0;$ $\underset{x \to 0}{lím} f (x) = 0,$ por lo tanto el límite existe y es finito, pero $f (a)$ no existe.

Gráfico de una función definida por partes donde desde el infinito negativo hasta 0 f(x) = sen(x) y desde 0 hasta el infinito positivo f(x) = x^3.

Figura 14 La función tiene una discontinuidad removible en 0.

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y practicar con continuidad.

12.3 Ejercicios de sección

Verbales

1.

Indique con sus propias palabras lo que significa para una función $f$ ser continua en $x = c .$

2.

Indique con sus propias palabras lo que significa que una función sea continua en el intervalo $(a, b) .$

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, determine por qué la función $f$ es discontinua en un punto determinado $a$ en el gráfico. Indique cuál condición falla.

3.

$f (x) = \ln | x + 3 |, a = - 3$

4.

$f (x) = \ln | 5 x - 2 |, a = \frac{2}{5}$

5.

$f (x) = \frac{x^{2} - 16}{x + 4}, a = - 4$

6.

$f (x) = \frac{x^{2} - 16 x}{x}, a = 0$

7.

$f (x) = {\begin{cases} x, x \neq 3 \\ 2 x, x = 3 \end{cases} a = 3$

8.

$f (x) = {\begin{cases} 5, x \neq 0 \\ 3, x = 0 \end{cases} a = 0$

9.

$f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{2 - x}, & x \neq 2 \\ 3, & x = 2 \end{array} a = 2$

10.

$f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{x + 6}, & x = - 6 \\ x^{2}, & x \neq - 6 \end{array} a = - 6$

11.

$f (x) = {\begin{array}{l} 3 + x, & x < 1 \\ x, & x = 1 \\ x^{2}, & x > 1 \end{array} a = 1$

12.

$f (x) = {\begin{array}{l} 3 - x, & x < 1 \\ x, & x = 1 \\ 2 x^{2}, & x > 1 \end{array} a = 1$

13.

$f (x) = {\begin{array}{l} 3 + 2 x, & x < 1 \\ x, & x = 1 \\ - x^{2}, & x > 1 \end{array} a = 1$

14.

$f (x) = {\begin{array}{l} x^{2}, & x < - 2 \\ 2 x + 1, & x = - 2 \\ x^{3}, & x > - 2 \end{array} a = - 2$

15.

$f (x) = {\begin{array}{l} \frac{x^{2} - 9}{x + 3}, & x < - 3 \\ x - 9, & x = - 3 \\ \frac{1}{x}, & x > - 3 \end{array} a = - 3$

16.

$f (x) = {\begin{array}{l} \frac{x^{2} - 9}{x + 3}, & x < - 3 \\ x - 9, & x = - 3 \\ - 6, & x > - 3 \end{array} a = 3$

17.

$f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x - 2}, a = 2$

18.

$f (x) = \frac{25 - x^{2}}{x^{2} - 10 x + 25}, a = 5$

19.

$f (x) = \frac{x^{3} - 9 x}{x^{2} + 11 x + 24}, a = - 3$

20.

$f (x) = \frac{x^{3} - 27}{x^{2} - 3 x}, a = 3$

21.

$f (x) = \frac{x}{| x |}, a = 0$

22.

$f (x) = \frac{2 | x + 2 |}{x + 2}, a = - 2$

En los siguientes ejercicios, determine si la función dada $f$ es continua en todas partes. Si es continua en todos los lugares en los que está definida, indique para qué rango es continua. Si es discontinua, indique dónde lo es.

23.

$f (x) = x^{3} - 2 x - 15$

24.

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 15}{x - 5}$

25.

$f (x) = 2 \cdot 3^{x + 4}$

26.

$f (x) = -sen (3 x)$

27.

$f (x) = \frac{| x - 2 |}{x^{2} - 2 x}$

28.

$f (x) = \tan (x) + 2$

29.

$f (x) = 2 x + \frac{5}{x}$

30.

$f (x) = \log_{2} (x)$

31.

$f (x) = \ln x^{2}$

32.

$f (x) = e^{2 x}$

33.

$f (x) = \sqrt{x - 4}$

34.

$f (x) = \sec (x) - 3$ .

35.

$f (x) = x^{2} + sen (x)$

36.

Determine los valores de $b$ y $c$ de manera tal que la siguiente función sea continua en toda la línea de los números reales.

$f (x) = {\begin{array}{l} x + 1, & 1 < x < 3 \\ x^{2} + b x + c, & | x - 2 | \geq 1 \end{array}$

Gráficos

En los siguientes ejercicios, consulte la Figura 15. Cada cuadrado representa una unidad cuadrada. Para cada valor de $a,$ determine cuáles de las tres condiciones de continuidad se cumplen en $x = a$ y cuáles no.

Gráfico de una función definida por partes donde en x = –3 la línea está desconectada, en x = 2 hay una discontinuidad removible y en x = 4 hay una discontinuidad removible y f(4) existe.

Figura 15

37.

$x = - 3$

38.

$x = 2$

39.

$x = 4$

En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para graficar la función $f (x) = sen (\frac{12 π}{x})$ como en la Figura 16. Coloque el eje x a una corta distancia antes y después de 0 para ilustrar el punto de discontinuidad.

Gráfico de la función sinusoidal con una ventana de visualización de [–10, 10] por [–1, 1].

Figura 16

40.

¿Cuáles condiciones de continuidad fallan en el punto de discontinuidad?

41.

Evalúe $f (0) .$

42.

Resuelva para $x$ si $f (x) = 0 .$

43.

¿Cuál es el dominio de $f (x) ?$

En los siguientes ejercicios, considere la función mostrada en la Figura 17.

Gráfico de una función definida por partes en la que en x = –1 la línea está desconectada y en x = 1 hay una discontinuidad removible.

Figura 17

44.

¿En qué coordenadas x es discontinua la función?

45.

¿Qué condición de continuidad se viola en estos puntos?

46.

Considere la función mostrada en la Figura 18. ¿En qué coordenadas x es discontinua la función? ¿Cuáles condiciones de continuidad se han violado?

Gráfico de una función definida por partes en la que en x = –1 la línea está desconectada y en la que en x = 1 y x = 2 hay discontinuidades removibles.

Figura 18

47.

Construya una función que pase por el origen con una pendiente constante de 1, con discontinuidades removibles en $x = - 7$ y $x = 1.$

48.

La función $f (x) = \frac{x^{3} - 1}{x - 1}$ se representa gráficamente en la Figura 19. Parece ser continua en el intervalo $[- 3, 3],$ pero hay un valor x en ese intervalo en el cual la función es discontinua. Determine el valor de la $x$ en el que la función es discontinua, y explique la dificultad de utilizar la tecnología al considerar la continuidad de una función al examinar su gráfico.

Gráfico de la función f(x) = (x^3 – 1)/(x – 1).

Figura 19

49.

Calcule el límite $\underset{x \to 1}{lím} f (x)$ y determine si la siguiente función es continua en $x = 1 :$

f x = {\begin{array}{l} x^{2} + 4 & x \neq 1 \\ 2 & x = 1 \end{array}

50.

El gráfico de $f (x) = \frac{sen (2 x)}{x}$ se muestra en la Figura 20. ¿La función $f (x)$ continua en $x = 0 ?$ ¿Por qué sí o por qué no?

Gráfico de la función f(x) = sen(2x)/x con una ventana de visualización de [–4,5, 4,5] por [–1, 2,5]

Figura 20

12.3 Continuidad

Determinar si una función es continua en un número

Identificar una discontinuidad de salto

Identificar discontinuidad removible

Identificar discontinuidades

Solución

Reconocer funciones continuas y discontinuas de números reales

Determinar si una función definida por partes es continua en un número dado

Solución

Determinar si una función racional es continua en un número dado

Solución

Análisis

Determinar los valores de entrada para los cuales una función es discontinua

Determinar los valores de entrada para los cuales una función definida por partes es discontinua

Solución

Análisis

Cómo determinar si una función es continua

Determinar si una función definida por partes es continua

Solución

Análisis

12.3 Ejercicios de sección

Verbales

Algebraicos

Gráficos