Omitir e ir al contenidoIr a la página de accesibilidadMenú de atajos de teclado
Logo de OpenStax
Precálculo 2ed

12.3 Continuidad

Precálculo 2ed12.3 Continuidad

Menú
Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Determinar si una función es continua en un número.
  • Determinar los números para los cuales una función es discontinua.
  • Determinar si una función es continua.

Arizona es conocida por su calor seco. En un día determinado, la temperatura puede subir hasta 118 F 118 F y bajar solo rápidamente a 95 F. 95 F. La Figura 1 muestra la función T ,T, donde la salida de T( x ) T( x ) es la temperatura en grados Fahrenheit y la entrada x x es la hora del día, utilizando un reloj de 24 horas en un día determinado de verano.

Gráfico de la función que asigna el tiempo desde la medianoche a la temperatura. El eje x, identificado como x, representa las horas transcurridas desde la medianoche de 0 a 24. El eje y, identificado como T(x), representa la temperatura de 0 a 120. La función es continua y tiene un pico en (16, 118).
Figura 1 La temperatura como una función de tiempo forma una función continua.

Al analizar este gráfico, observamos una característica específica. No hay interrupciones en el gráfico. Podríamos trazar el gráfico sin levantar el lápiz. Esta única observación nos dice mucho sobre la función. En esta sección investigaremos funciones con y sin interrupciones.

Determinar si una función es continua en un número

Consideremos un ejemplo específico de temperatura en términos de fecha y ubicación, como el 27 de junio de 2013, en Phoenix, AZ. El gráfico en la Figura 1 indica que a las 2 a. m. la temperatura era 96  ∘ F 96  ∘ F . A las 2 p. m., la temperatura había subido a 116  ∘ F, 116  ∘ F, y para las 4 p. m. era de 118  ∘ F. 118  ∘ F. En algún momento entre las 2 a. m. y las 4 p. m., la temperatura exterior debió ser exactamente 110,5  ∘ F. 110,5  ∘ F. De hecho, cualquier temperatura entre 96  ∘ F 96  ∘ F y 118  ∘ F 118  ∘ F se produjo en algún momento de ese día. Esto significa que todos los números reales en la salida entre 96  ∘ F 96  ∘ F y 118  ∘ F 118  ∘ F se generan en algún momento por la función según el teorema del valor intermedio,

Mire de nuevo la Figura 1. No hay interrupciones en el gráfico de la función para este periodo de 24 horas. En ningún momento la temperatura dejó de existir, ni hubo un punto en el que la temperatura saltara instantáneamente varios grados. Una función que no tiene agujeros ni interrupciones en su gráfico se conoce como función continua. La temperatura en función del tiempo es un ejemplo de función continua.

Si la temperatura representa una función continua, ¿qué tipo de función no sería continua? Consideremos un ejemplo de dólares expresados como función de horas de estacionamiento. Vamos a crear la función D ,D, donde D( x ) D( x ) es el resultado que representa el costo en dólares del estacionamiento por x x número de horas. Vea la Figura 2.

Supongamos que un estacionamiento tiene una tarifa de 4,00 dólares por hora o fracción de hora, con una tarifa máxima de 25 dólares por día. Si se estaciona durante dos horas y cinco minutos, la tarifa es de 12 dólares. Si se aparca una hora más, la tarifa es de 16 dólares. Nunca nos pueden cobrar 13, 14 o 15 dólares. Hay números reales entre el 12 y el 16 que la función nunca produce. En este periodo de 24 horas, el gráfico de la función presenta interrupciones, puntos en los cuales el precio del estacionamiento salta instantáneamente en varios dólares.

Gráfico de la función que asigna el tiempo desde la medianoche a la temperatura. El eje x representa las horas de estacionamiento de 0 a 24. El eje y representa los montos en dólares que van de 0 a 28. La función es una función escalonada.
Figura 2 Las tarifas de estacionamiento forman una función discontinua.

Una función que permanece nivelada durante un intervalo y luego salta instantáneamente a un valor superior se llama función escalonada. Esta función es un ejemplo.

Una función que tiene algún agujero o interrupción en su gráfico se conoce como función discontinua. La función escalonada, como las tarifas de estacionamiento en función de las horas utilizadas, es un ejemplo de función discontinua.

Entonces, ¿cómo podemos decidir si una función es continua en un número determinado? Podemos comprobar tres condiciones diferentes. Utilicemos la función y=f( x ) y=f( x ) representada en la Figura 3 como ejemplo.

Gráfico de una función creciente con discontinuidad en (a, f(a)).
Figura 3

Condición 1 Según la condición 1, la función f( a ) f( a ) definida en x=a x=a debe existir. En otras palabras, hay una coordenada y en x=a x=a como en la Figura 4.

Gráfico de una función creciente con discontinuidad en (a, 2). El punto (a, f(a)) está directamente debajo del agujero.
Figura 4

Condición 2 Según la condición 2, en x=a x=a el límite, escrito lím xa f(x) , lím xa f(x) , debe existir. Esto significa que en x=a x=a el límite izquierdo debe ser igual al límite derecho. Observe como el gráfico de f f en la Figura 3 se acerca a x=a x=a desde la izquierda y la derecha, se acerca a la misma coordenada y. Por lo tanto, se cumple la condición 2. Sin embargo, todavía podría existir un agujero en el gráfico en x=a x=a .

Condición 3 Según la condición 3, la coordenada y y coordenadas en x=a x=a rellena el agujero en el gráfico de f. f. Esto se escribe lím xa f(x)=f(a). lím xa f(x)=f(a).

El cumplimiento de las tres condiciones significa que la función es continua. Las tres condiciones se cumplen para la función representada en la Figura 5, por lo que la función es continua, ya que x=a. x=a.

Gráfico de una función creciente con discontinuidad rellena en (a, f(a)).
Figura 5 Se cumplen las tres condiciones. La función es continua en x=a x=a .

De la Figura 6 a la Figura 9 se ofrecen varios ejemplos de gráficos de funciones que no son continuas en x=a x=a y la condición o condiciones que fallan.

Gráfico de una función creciente con discontinuidad en (a, f(a)).
Figura 6 Se cumple la condición 2. Las condiciones 1 y 3 fallan.
Gráfico de una función creciente con discontinuidad en (a, 2). El punto (a, f(a)) está directamente debajo del agujero.
Figura 7 Se cumplen las condiciones 1 y 2. La condición 3 falla.
Gráfico de una función definida por partes con un segmento creciente desde el infinito negativo hasta (a, f(a)), que es cerrado, y otro segmento creciente desde (a, f(a)-1), que es abierto, hasta el infinito positivo.
Figura 8 Se cumple la condición 1. Las condiciones 2 y 3 fallan.
Gráfico de una función definida por partes con un segmento creciente desde el infinito negativo hasta (a, f(a)) y otro segmento creciente desde (a, f(a) – 1) hasta el infinito positivo. Este gráfico no incluye el punto (a, f(a)).
Figura 9 Las condiciones 1, 2 y 3 fallan.

Definición de continuidad

Una función f( x ) f( x ) es continua en x=a x=a siempre que se cumplan las tres condiciones siguientes:

  • Condición 1: f(a) f(a) .
  • Condición 2: lím xa f(x) lím xa f(x) existe en x=a x=a .
  • Condición 3: lím xa f(x)=f(a) lím xa f(x)=f(a)

Si una función f( x ) f( x ) no es continua en x=a , x=a , la función es discontinua en x=a x=a .

Identificar una discontinuidad de salto

La discontinuidad se genera de diferentes maneras. Hemos visto en la sección anterior que una función puede tener un límite izquierdo y un límite derecho aunque no sean iguales. Si los límites por la izquierda y por la derecha existen pero son diferentes, el gráfico "salta" en x=a x=a . Se dice que la función tiene una discontinuidad de salto.

Como ejemplo, mire el gráfico de la función y=f( x ) y=f( x ) en la Figura 10. Observe como x x se acerca a a a cómo la salida se acerca a diferentes valores desde la izquierda y desde la derecha.

Gráfico de una función definida por partes con un segmento creciente desde el infinito negativo hasta (a, f(a)), que es cerrado, y otro segmento creciente desde (a, f(a)-1), que es abierto, hasta el infinito positivo.
Figura 10 Gráfico de una función con una discontinuidad de salto.

Discontinuidad de salto

Una función f( x ) f( x ) tiene una discontinuidad de salto en x=a x=a si los límites izquierdo y derecho existen pero no son iguales: lím x a f(x) lím x a + f(x) lím x a f(x) lím x a + f(x) .

Identificar discontinuidad removible

Algunas funciones tienen una discontinuidad, pero es posible redefinir la función en ese punto para hacerla continua. Se dice que este tipo de función tiene una discontinuidad removible. Veamos la función y=f( x ) y=f( x ) representada por el gráfico en la Figura 11. La función tiene un límite. Sin embargo, hay un agujero en x=a x=a . El agujero se puede rellenar si se amplía el dominio para incluir la entrada x=a x=a y se define la salida correspondiente de la función en ese valor como el límite de la función en x=a x=a .

Gráfico de una función creciente con una discontinuidad removible en (a, f(a)).
Figura 11 Gráfico de la función f f con una discontinuidad removible en x=a x=a .

Discontinuidad removible

Una función f( x ) f( x ) tiene una discontinuidad removible en x=a x=a si el límite, lím xa f(x) , lím xa f(x) , existe, pero ya sea que

  1. f( a ) f( a ) no existe o
  2. f( a ), f( a ), el valor de la función en x=a x=a no es igual al límite, f(a) lím xa f(x). f(a) lím xa f(x).

Ejemplo 1

Identificar discontinuidades

Identifique todas las discontinuidades de las siguientes funciones como un salto o una discontinuidad removible.

  1. f(x)= x 2 -2 x-15 x-5 f(x)= x 2 -2 x-15 x-5
  2. g(x)={ x+1, x<2 -x, x2 g(x)={ x+1, x<2 -x, x2

Inténtelo #1

Identifique todas las discontinuidades de las siguientes funciones como un salto o una discontinuidad removible.

  1. f(x)= x 2 -6x x-6 f(x)= x 2 -6x x-6
  2. g(x)={ x , 0x<4 2x, x4 g(x)={ x , 0x<4 2x, x4

Reconocer funciones continuas y discontinuas de números reales

Muchas de las funciones que hemos encontrado en capítulos anteriores son continuas en todas partes. Nunca tienen un agujero y nunca saltan de un valor a otro. Para todas estas funciones, el límite de f( x ) f( x ) cuando x x se acerca a a a es el mismo que el valor de f( x ) f( x ) cuando x=a. x=a. Así que lím xa f(x)=f(a). lím xa f(x)=f(a). Hay algunas funciones que son continuas en todas partes y otras que solo son continuas donde están definidas en su dominio porque no están definidas para todos los números reales.

Ejemplos de funciones continuas

Las siguientes funciones son continuas en todas partes:

Funciones polinómicas Ej.: f(x)= x 4 -9 x 2 f(x)= x 4 -9 x 2
Funciones exponenciales Ej.: f(x)= 4 x+2 -5 f(x)= 4 x+2 -5
Funciones de seno Ej.: f(x)=sen( 2 x )-4 f(x)=sen( 2 x )-4
Funciones de coseno Ej.: f(x)=-cos( x+ π 3 ) f(x)=-cos( x+ π 3 )
Tabla 1

Las siguientes funciones son continuas en todos los lugares en los que están definidas en su dominio:

Funciones logarítmicas Ej.: f(x)=2ln( x ) f(x)=2ln( x ) , x>0 x>0
Funciones tangentes Ej.: f(x)=tan( x )+2 , f(x)=tan( x )+2 , x π 2 +kπ, x π 2 +kπ, k k es un número entero
Funciones racionales Ej.: f(x)= x 2 -25 x-7 , f(x)= x 2 -25 x-7 , x7 x7
Tabla 2

Cómo

Dada una función f( x ), f( x ), determine si la función es continua en x=a. x=a.

  1. Compruebe la condición 1: f(a) f(a) .
  2. Compruebe la condición 2: lím xa f(x) lím xa f(x) existe en x=a. x=a.
  3. Compruebe la condición 3: lím xa f(x)=f(a). lím xa f(x)=f(a).
  4. Si se cumplen las tres condiciones, la función es continua en x=a. x=a. Si no se cumple alguna de las condiciones, la función no es continua en x=a. x=a.

Ejemplo 2

Determinar si una función definida por partes es continua en un número dado

Determine si la función f(x)={ 4x, x3 8+x, x>3 f(x)={ 4x, x3 8+x, x>3 es continua en

  1. x=3 x=3
  2. x= 8 3 x= 8 3

Inténtelo #2

Determine si la función f(x)={ 1 x , x2 9x11,5, x>2 f(x)={ 1 x , x2 9x11,5, x>2 es continua en x=2. x=2.

Ejemplo 3

Determinar si una función racional es continua en un número dado

Determine si la función f(x)= x 2 -25 x-5 f(x)= x 2 -25 x-5 es continua en x=5. x=5.

Análisis

Vea la Figura 12. Observe que para la condición 2 tenemos

lím x5 x 2 -25 x-5 = lím x3 (x-5) (x+5) x-5                     = lím x5 (x+5)                     =5+5=10                     Se cumple la condición 2. lím x5 x 2 -25 x-5 = lím x3 (x-5) (x+5) x-5                     = lím x5 (x+5)                     =5+5=10                     Se cumple la condición 2.

A x=5, x=5, existe una discontinuidad removible. Vea la Figura 12.

Gráfico de una función creciente con una discontinuidad removible en (5, 10).
Figura 12

Inténtelo #3

Determine si la función f(x)= 9- x 2 x 2 -3x f(x)= 9- x 2 x 2 -3x es continua en x=3. x=3. En caso contrario, indique el tipo de discontinuidad.

Determinar los valores de entrada para los cuales una función es discontinua

Ahora que podemos identificar funciones continuas, discontinuidades de salto y discontinuidades removibles veremos funciones más complejas para hallar discontinuidades. Aquí analizaremos una función definida por partes para determinar si existe algún número real en el que la función no sea continua. Una función definida por partes puede tener discontinuidades en los puntos límite de la función, así como dentro de las funciones que la componen.

Para determinar los números reales para los que una función definida por partes compuesta por funciones polinómicas no es continua, recordemos que las propias funciones polinómicas son continuas en el conjunto de los números reales. Cualquier discontinuidad estaría en los puntos límite. Por lo tanto, tenemos que explorar las tres condiciones de continuidad en los puntos límite de la función definida por partes.

Cómo

Dada una función definida por partes, determinar si es continua en los puntos límite.

  1. Para cada punto límite a a de la función definida por partes, determine los límites izquierdo y derecho cuando x x se acerca a a, a, así como el valor de la función en a. a.
  2. Compruebe cada condición para cada valor para determinar si se cumplen las tres condiciones.
  3. Determine si cada valor satisface la condición 1: f(a) f(a) .
  4. Determine si cada valor satisface la condición 2: lím xa f(x) lím xa f(x) .
  5. Determine si cada valor satisface la condición 3: lím xa f(x)=f(a). lím xa f(x)=f(a).
  6. Si se cumplen las tres condiciones, la función es continua en x=a. x=a. Si falla alguna de las condiciones, la función no es continua en x=a. x=a.

Ejemplo 4

Determinar los valores de entrada para los cuales una función definida por partes es discontinua

Determine si la función f f es discontinua para cualquier número real.

f(x)={ x+1, x<2 3, 2x<4 x 2 11, x4 f(x)={ x+1, x<2 3, 2x<4 x 2 11, x4

Análisis

Vea la Figura 13. A x=4, x=4, existe una discontinuidad de salto. Observe que la función es continua en x=2. x=2.

Gráfico de una función definida por partes que tiene discontinuidad en (4, 3).
Figura 13 El gráfico es continuo en x=2 x=2 pero muestra una discontinuidad de salto en x=4. x=4.

Inténtelo #4

Determine dónde la función f(x)={ πx 4 ,x<2 π x ,    2x6 2πx,x>6 f(x)={ πx 4 ,x<2 π x ,    2x6 2πx,x>6 es discontinua.

Cómo determinar si una función es continua

Para determinar si una función definida por partes es continua o discontinua, además de comprobar los puntos límite, debemos comprobar si cada una de las funciones que componen la función definida por partes es continua.

Cómo

Dada una función definida por partes, determine si es continua.

  1. Determine si cada función componente de la función definida por partes es continua. Si hay discontinuidades, ¿se producen dentro del dominio donde se aplica esa función componente?
  2. Para cada punto límite x=a x=a de la función definida por partes, determine si se cumple cada una de las tres condiciones.

Ejemplo 5

Determinar si una función definida por partes es continua

Determine si la siguiente función es continua. Si no es así, indique la ubicación y el tipo de cada discontinuidad.

f(x)={ sen(x), x<0 x 3 , x>0 f(x)={ sen(x), x<0 x 3 , x>0

Análisis

Vea la Figura 14. Existe una discontinuidad removible en x=0; x=0; lím x0 f(x)=0, lím x0 f(x)=0, por lo tanto el límite existe y es finito, pero f( a ) f( a ) no existe.

Gráfico de una función definida por partes donde desde el infinito negativo hasta 0 f(x) = sen(x) y desde 0 hasta el infinito positivo f(x) = x^3.
Figura 14 La función tiene una discontinuidad removible en 0.

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y practicar con continuidad.

12.3 Ejercicios de sección

Verbales

1.

Indique con sus propias palabras lo que significa para una función f f ser continua en x=c. x=c.

2.

Indique con sus propias palabras lo que significa que una función sea continua en el intervalo ( a,b ). ( a,b ).

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, determine por qué la función f f es discontinua en un punto determinado a a en el gráfico. Indique cuál condición falla.

3.

f(x)=ln|x+3|,a=-3 f(x)=ln|x+3|,a=-3

4.

f(x)=ln|5x-2 |,a= 2 5 f(x)=ln|5x-2 |,a= 2 5

5.

f(x)= x 2 -16 x+4 ,a=4 f(x)= x 2 -16 x+4 ,a=4

6.

f(x)= x 2 -16x x ,a=0 f(x)= x 2 -16x x ,a=0

7.

f( x )={ x,x3 2 x,x=3 a=3 f( x )={ x,x3 2 x,x=3 a=3

8.

f( x )={ 5,x0 3,x=0 a=0 f( x )={ 5,x0 3,x=0 a=0

9.

f( x )={ 1 2 -x , x2 3, x=2 a=2 f( x )={ 1 2 -x , x2 3, x=2 a=2

10.

f( x )={ 1 x+6 , x=6 x 2 , x6 a=6 f( x )={ 1 x+6 , x=6 x 2 , x6 a=6

11.

f( x )={ 3+x, x<1 x, x=1 x 2 , x>1     a=1 f( x )={ 3+x, x<1 x, x=1 x 2 , x>1     a=1

12.

f( x )={ 3-x, x<1 x, x=1 2 x 2 , x>1     a=1 f( x )={ 3-x, x<1 x, x=1 2 x 2 , x>1     a=1

13.

f( x )={ 3+2 x, x<1 x, x=1 - x 2 , x>1     a=1 f( x )={ 3+2 x, x<1 x, x=1 - x 2 , x>1     a=1

14.

f( x )={ x 2 , x<2 2 x+1, x=-2 x 3 , x>2     a=-2 f( x )={ x 2 , x<2 2 x+1, x=-2 x 3 , x>2     a=-2

15.

f( x )={ x 2 -9 x+3 , x<3 x-9, x=-3 1 x , x>3     a=-3 f( x )={ x 2 -9 x+3 , x<3 x-9, x=-3 1 x , x>3     a=-3

16.

f( x )={ x 2 -9 x+3 , x<3 x-9, x=-3 -6, x>3     a=3 f( x )={ x 2 -9 x+3 , x<3 x-9, x=-3 -6, x>3     a=3

17.

f( x )= x 2 -4 x-2 ,a=2 f( x )= x 2 -4 x-2 ,a=2

18.

f( x )= 25- x 2 x 2 -10x+25 ,a=5 f( x )= 25- x 2 x 2 -10x+25 ,a=5

19.

f( x )= x 3 -9x x 2 +11x+24 ,a=-3 f( x )= x 3 -9x x 2 +11x+24 ,a=-3

20.

f( x )= x 3 27 x 2 -3x ,a=3 f( x )= x 3 27 x 2 -3x ,a=3

21.

f(x)= x |x| ,a=0 f(x)= x |x| ,a=0

22.

f( x )= 2 | x+2 | x+2 ,a=-2 f( x )= 2 | x+2 | x+2 ,a=-2

En los siguientes ejercicios, determine si la función dada f f es continua en todas partes. Si es continua en todos los lugares en los que está definida, indique para qué rango es continua. Si es discontinua, indique dónde lo es.

23.

f( x )= x 3 -2 x-15 f( x )= x 3 -2 x-15

24.

f( x )= x 2 -2 x-15 x-5 f( x )= x 2 -2 x-15 x-5

25.

f( x )=2 3 x+4 f( x )=2 3 x+4

26.

f( x )=-sen( 3x ) f( x )=-sen( 3x )

27.

f( x )= | x-2 | x 2 -2 x f( x )= | x-2 | x 2 -2 x

28.

f( x )=tan( x )+2 f( x )=tan( x )+2

29.

f( x )=2 x+ 5 x f( x )=2 x+ 5 x

30.

f( x )= log 2 ( x ) f( x )= log 2 ( x )

31.

f(x)=ln x 2 f(x)=ln x 2

32.

f( x )= e 2x f( x )= e 2x

33.

f(x)= x-4 f(x)= x-4

34.

f( x )=sec( x )-3 f( x )=sec( x )-3 .

35.

f( x )= x 2 +sen( x ) f( x )= x 2 +sen( x )

36.

Determine los valores de b b y c c de manera tal que la siguiente función sea continua en toda la línea de los números reales.

f(x)= { x+1, 1<x<3 x 2 +bx+c, | x-2 |1 f(x)= { x+1, 1<x<3 x 2 +bx+c, | x-2 |1

Gráficos

En los siguientes ejercicios, consulte la Figura 15. Cada cuadrado representa una unidad cuadrada. Para cada valor de a ,a, determine cuáles de las tres condiciones de continuidad se cumplen en x=a x=a y cuáles no.

Gráfico de una función definida por partes donde en x = –3 la línea está desconectada, en x = 2 hay una discontinuidad removible y en x = 4 hay una discontinuidad removible y f(4) existe.
Figura 15
37.

x=-3 x=-3

38.

x=2 x=2

39.

x=4 x=4

En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para graficar la función f(x)=sen( 12π x ) f(x)=sen( 12π x ) como en la Figura 16. Coloque el eje x a una corta distancia antes y después de 0 para ilustrar el punto de discontinuidad.

Gráfico de la función sinusoidal con una ventana de visualización de [–10, 10] por [–1, 1].
Figura 16
40.

¿Cuáles condiciones de continuidad fallan en el punto de discontinuidad?

41.

Evalúe f(0). f(0).

42.

Resuelva para x x si f(x)=0. f(x)=0.

43.

¿Cuál es el dominio de f( x )? f( x )?

En los siguientes ejercicios, considere la función mostrada en la Figura 17.

Gráfico de una función definida por partes en la que en x = –1 la línea está desconectada y en x = 1 hay una discontinuidad removible.
Figura 17
44.

¿En qué coordenadas x es discontinua la función?

45.

¿Qué condición de continuidad se viola en estos puntos?

46.

Considere la función mostrada en la Figura 18. ¿En qué coordenadas x es discontinua la función? ¿Cuáles condiciones de continuidad se han violado?

Gráfico de una función definida por partes en la que en x = –1 la línea está desconectada y en la que en x = 1 y x = 2 hay discontinuidades removibles.
Figura 18
47.

Construya una función que pase por el origen con una pendiente constante de 1, con discontinuidades removibles en x=-7 x=-7 y x=1. x=1.

48.

La función f(x)= x 3 -1 x1 f(x)= x 3 -1 x1 se representa gráficamente en la Figura 19. Parece ser continua en el intervalo [ 3,3 ], [ 3,3 ], pero hay un valor x en ese intervalo en el cual la función es discontinua. Determine el valor de la x x en el que la función es discontinua, y explique la dificultad de utilizar la tecnología al considerar la continuidad de una función al examinar su gráfico.

Gráfico de la función f(x) = (x^3 – 1)/(x – 1).
Figura 19
49.

Calcule el límite lím x1 f(x) lím x1 f(x) y determine si la siguiente función es continua en x=1: x=1:

fx={ x 2 +4 x1 2 x=1 fx={ x 2 +4 x1 2 x=1
50.

El gráfico de f(x)= sen(2 x) x f(x)= sen(2 x) x se muestra en la Figura 20. ¿La función f( x ) f( x ) continua en x=0? x=0? ¿Por qué sí o por qué no?

Gráfico de la función f(x) = sen(2x)/x con una ventana de visualización de [–4,5, 4,5] por [–1, 2,5]
Figura 20
Do you know how you learn best?
Kinetic by OpenStax offers access to innovative study tools designed to help you maximize your learning potential.
Solicitar una copia impresa

As an Amazon Associate we earn from qualifying purchases.

Cita/Atribución

¿Desea citar, compartir o modificar este libro? Este libro utiliza la Creative Commons Attribution License y debe atribuir a OpenStax.

Información de atribución
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato impreso, debe incluir en cada página física la siguiente atribución:
    Acceso gratis en https://openstax.org/books/prec%C3%A1lculo-2ed/pages/1-introduccion
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato digital, debe incluir en cada vista de la página digital la siguiente atribución:
    Acceso gratuito en https://openstax.org/books/prec%C3%A1lculo-2ed/pages/1-introduccion
Información sobre citas

© 27 abr. 2022 OpenStax. El contenido de los libros de texto que produce OpenStax tiene una licencia de Creative Commons Attribution License . El nombre de OpenStax, el logotipo de OpenStax, las portadas de libros de OpenStax, el nombre de OpenStax CNX y el logotipo de OpenStax CNX no están sujetos a la licencia de Creative Commons y no se pueden reproducir sin el previo y expreso consentimiento por escrito de Rice University.