Jay Abramson

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Calcular la derivada de una función.
Calcular tasas instantáneas de cambio.
Hallar la ecuación de la línea tangente al gráfico de una función en un punto.
Hallar la velocidad instantánea de una partícula.

El uso de los dispositivos y los medios de comunicación cambia a ritmos diferentes según los grupos de personas. Las empresas de comunicación y tecnología, los comercializadores, los educadores y sus defensores mantienen una estrecha vigilancia sobre las tendencias y preferencias. Según datos del Pew Research Center, la posesión de teléfonos inteligentes por parte de los millennials solo aumentó un 1 % de 2018 a 2019 (del 92 % al 93 %). No obstante, en el caso de los mayores de 74 años, el número pasó del 30 % al 40 % en el mismo periodo.

Las tendencias de propiedad y uso de otros dispositivos pueden ir en direcciones diferentes según la generación. De 2018 a 2019, la posesión de tabletas por parte de los millennials cayó del 64 % al 52 %. Sin embargo, durante el mismo periodo, la generación de los baby boom se mantuvo exactamente igual, con un 52 % de propietarios de tabletas. Además, el grupo de mayores de 74 años ha aumentado la posesión de tabletas del 25 % al 33 %.²

¿Qué tienen en común estas situaciones? Las funciones que los representan han cambiado con el tiempo. En esta sección consideraremos métodos para calcular dichos cambios a lo largo del tiempo.

Hallar la tasa media de cambio de una función

Las funciones que describen los ejemplos anteriores implican un cambio en el tiempo. El cambio dividido entre el tiempo es un ejemplo de tasa. Las tasas de cambio en los ejemplos anteriores son diferentes. En otras palabras, algunos cambiaron más rápido que otros. Si hiciéramos un gráfico de las funciones, podríamos comparar las tasas determinando las pendientes de los gráficos.

Una línea tangente a una curva es una línea que interseca la curva en un solo punto pero no la cruza en él (La línea tangente puede intersecar la curva en otro punto alejado del punto de interés). Si acercamos la curva en ese punto, la curva parece lineal, y la pendiente de la curva en ese punto es cercana a la pendiente de la línea tangente en ese punto.

Figura 1 representa la función $f (x) = x^{3} - 4 x .$ Podemos ver la pendiente en varios puntos de la curva.

pendiente en $x = −2$ es 8
pendiente en $x = −1$ es –1
pendiente en $x = 2$ es 8

Gráfico de f(x) = x^3 – 4x con líneas tangentes en x = –2 con pendiente 8, en x = –3 con pendiente –1 y en x = 2 con pendiente 8.

Figura 1 Gráfico que muestra las tangentes a la curva en –2, –1 y 2.

Imaginemos un punto en la curva de la función $f$ en $x = a$ como se muestra en la Figura 2. Las coordenadas del punto son $(a, f (a)) .$ Conecte este punto con un segundo punto de la curva un poco a la derecha de $x = a,$ con un valor x incrementado en algún pequeño número real $h .$ Las coordenadas de este segundo punto son $(a + h, f (a + h))$ para algún valor positivo $h .$

Gráfico de una función creciente que demuestra la tasa de cambio de la función trazando una línea entre los dos puntos (a, f(a)) y (a, f(a + h)).

Figura 2 Punto de conexión

a

con un punto justo más allá nos permite medir una pendiente cercana a la de una línea tangente en

x = a .

Podemos calcular la pendiente de la línea que conecta los dos puntos $(a, f (a))$ y $(a + h, f (a + h)),$ llamada una línea secante, si aplicamos la fórmula de la pendiente,

$pendiente = \frac{cambio en y}{cambio en x}$

Utilizamos la notación $m_{\sec}$ para representar la pendiente de la línea secante que une dos puntos.

\begin{array}{l} m_{\sec} = \frac{f (a + h) - f (a)}{(a + h) - (a)} \\ = \frac{f (a + h) - f (a)}{a + h - a} \end{array}

La pendiente $m_{\sec}$ es igual a la tasa media de cambio entre dos puntos $(a, f (a))$ y $(a + h, f (a + h)) .$

m_{\sec} = \frac{f (a + h) - f (a)}{h}

La tasa promedio de cambio entre dos puntos en una curva

La tasa media de cambio (Average Rate of Change, AROC) entre dos puntos $(a, f (a))$ y $(a + h, f (a + h))$ en la curva de $f$ es la pendiente de la línea que conecta los dos puntos y está dada por

AROC = \frac{f (a + h) - f (a)}{h}

Ejemplo 1

Hallar la tasa media de cambio

Halle la tasa media de cambio que conecta los puntos $(2, –6)$ y $(–1, 5) .$

Solución

Sabemos que la tasa media de cambio que conecta dos puntos puede estar dada por

AROC = \frac{f (a + h) - f (a)}{h} .

Si un punto es $(2, - 6),$ o $(2, f (2)),$ entonces $f (2) = −6.$

El valor $h$ es el desplazamiento desde $2$ con $- 1,$ que es igual a $- 1 - 2 = –3.$

Para el otro punto, $f (a + h)$ es la coordenada y en $a + h,$ que es $2 + (−3)$ o $−1,$ por lo que $f (a + h) = f (–1) = 5.$

\begin{array}{l} AROC = \frac{f (a + h) - f (a)}{h} \\ = \frac{5 - (- 6)}{- 3} \\ = \frac{11}{- 3} \\ = - \frac{11}{3} \end{array}

Inténtelo #1

Halle la tasa media de cambio que conecta los puntos $(- 5, 1,5)$ y $(- 2,5, 9) .$

Comprender la tasa instantánea de cambio

Ahora que podemos hallar la tasa media de cambio, supongamos que hacemos $h$ en la Figura 2 cada vez más pequeño. Luego $a + h$ se acercarán a $a$ a medida que $h$ se hace más pequeño, acercándose cada vez más a 0. Asimismo, el segundo punto $(a + h, f (a + h))$ se acercará al primer punto, $(a, f (a)) .$ Como consecuencia, la línea de conexión entre los dos puntos, llamada línea secante, se acercará cada vez más a ser una tangente a la función en $x = a,$ y la pendiente de la línea secante se acercará cada vez más a la pendiente de la tangente en $x = a .$ Vea la Figura 3.

Gráfico de una función creciente que contiene un punto, P, en (a, f(a)). En el punto, hay una línea tangente y dos líneas secantes donde una línea secante está conectada Q1 y otra línea secante está conectada a Q2.

Figura 3 La línea de conexión entre dos puntos se acerca a ser una línea tangente en

x = a .

Dado que estamos buscando la pendiente de la tangente en $x = a,$ podemos pensar en la medida de la pendiente de la curva de una función $f$ en un punto determinado como la tasa de cambio en un instante específico. Llamamos a esta pendiente la tasa instantánea de cambio, o la derivada de la función en $x = a .$ Ambas se pueden hallar calculando el límite de la pendiente de una línea que conecta el punto en $x = a$ con un segundo punto infinitesimalmente cercano a lo largo de la curva. Para una función $f$ tanto la tasa instantánea de cambio de la función como la derivada de la función en $x = a$ se escriben como $f' (a),$ y podemos definirlas como límites laterales que tienen el mismo valor tanto si se acercan desde la izquierda como desde la derecha.

f^{'} (a) = \underset{h \to 0}{lím} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}

La expresión por la que se halla el límite se conoce como cociente de diferencia.

Definición de tasa instantánea de cambio y derivada

La derivada, o tasa instantánea de cambio, de una función $f$ en $x = a,$ viene dada por

f' (a) = \underset{h \to 0}{lím} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}

La expresión $\frac{f (a + h) - f (a)}{h}$ se denomina cociente de diferencia.

Utilizamos el cociente de diferencia para evaluar el límite de la tasa de cambio de la función a medida que $h$ se acerca a 0.

Derivadas: interpretaciones y notación

La derivada de una función se puede interpretar de diferentes maneras. Se observa como el comportamiento de un gráfico de la función o se calcula como una tasa de cambio numérica de la función.

La derivada de una función $f (x)$ en un punto $x = a$ es la pendiente de la línea tangente a la curva $f (x)$ en $x = a .$ La derivada de $f (x)$ en $x = a$ se escribe $f^{'} (a) .$
La derivada $f^{'} (a)$ mide cómo cambia la curva en el punto $(a, f (a)) .$
La derivada $f^{'} (a)$ se puede considerar como la tasa instantánea de cambio de la función $f (x)$ en $x = a .$
Si una función mide la distancia como una función de tiempo, la derivada mide la velocidad instantánea en el tiempo $t = a .$

Notaciones para la derivada

La ecuación de la derivada de una función $f (x)$ se escribe como $y^{'} = f^{'} (x),$ donde $y = f (x) .$ La notación $f^{'} (x)$ se lee como " $f primo de x .$ " . Las notaciones alternativas para la derivada son las siguientes:

f^{'} (x) = y^{'} = \frac{d y}{d x} = \frac{d f}{d x} = \frac{d}{d x} f (x) = D f (x)

La expresión $f^{'} (x)$ es ahora una función de $x$ ; esta función da la pendiente de la curva $y = f (x)$ a cualquier valor de $x .$ La derivada de una función $f (x)$ en un punto $x = a$ se denota $f^{'} (a) .$

Cómo

Dada una función $f,$ halle la derivada aplicando la definición de la derivada.

Calcule $f (a + h) .$
Calcule $f (a) .$
Sustituya y simplifique $\frac{f (a + h) - f (a)}{h} .$
Evalúe el límite si existe: $f^{'} (a) = \underset{h \to 0}{lím} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} .$

Ejemplo 2

Hallar la derivada de una función polinómica

Halle la derivada de la función $f (x) = x^{2} - 3 x + 5$ a las $x = a .$

Solución

Tenemos:

\begin{array}{l} f^{'} (a) = \underset{h \to 0}{lím} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} & Definición de una derivada \end{array}

Sustituya $f (a + h) = {(a + h)}^{2} - 3 (a + h) + 5$ y $f (a) = a^{2} - 3 a + 5.$

\begin{array}{l} f^{'} (a) = \underset{h \to 0}{lím} \frac{(a + h) (a + h) - 3 (a + h) + 5 - (a^{2} - 3 a + 5)}{h} \\ = \underset{h \to 0}{lím} \frac{a^{2} + 2 a h + h^{2} - 3 a - 3 h + 5 - a^{2} + 3 a - 5}{h} & Evalúe para eliminar los paréntesis . \\ = \underset{h \to 0}{lím} \frac{a^{2} + 2 a h + h^{2} - 3 a - 3 h + 5 - a^{2} + 3 a - 5}{h} & Simplifique . \\ = \underset{h \to 0}{lím} \frac{2 a h + h^{2} - 3 h}{h} \\ = \underset{h \to 0}{lím} \frac{h (2 a + h - 3)}{h} & Factorice un h . \\ = 2 a + 0 - 3 & Evalúe el límite . \\ = 2 a - 3 \end{array}

Inténtelo #2

Halle la derivada de la función $f (x) = 3 x^{2} + 7 x$ en $x = a .$

Hallar derivadas de funciones racionales

Para hallar la derivada de una función racional, a veces, simplificaremos la expresión utilizando técnicas algebraicas que ya hemos aprendido.

Ejemplo 3

Hallar la derivada de una función racional

Halle la derivada de la función $f (x) = \frac{3 + x}{2 - x}$ en $x = a .$

Solución

$\begin{array}{l} f^{'} (a) = \underset{h \to 0}{lím} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} \\ = \underset{h \to 0}{lím} \frac{\frac{3 + (a + h)}{2 - (a + h)} - (\frac{3 + a}{2 - a})}{h} & Sustituya f (a + h) y f (a) \\ = \underset{h \to 0}{lím} \frac{(2 - (a + h)) (2 - a) [\frac{3 + (a + h)}{2 - (a + h)} - (\frac{3 + a}{2 - a})]}{(2 - (a + h)) (2 - a) (h)} & Multiplique el numerador y el denominador por (2 - (a + h)) (2 - a) \\ = \underset{h \to 0}{lím} \frac{(2 - (a + h)) (2 - a) (\frac{3 + (a + h)}{(2 - (a + h))}) - (2 - (a + h)) (2 - a) (\frac{3 + a}{2 - a})}{(2 - (a + h)) (2 - a) (h)} & Distribuya \\ = \underset{h \to 0}{lím} \frac{6 - 3 a + 2 a - a^{2} + 2 h - a h - 6 + 3 a + 3 h - 2 a + a^{2} + a h}{(2 - (a + h)) (2 - a) (h)} & Multiplique \\ = \underset{h \to 0}{lím} \frac{5 h}{(2 - (a + h)) (2 - a) (h)} & Combine términos similares \\ = \underset{h \to 0}{lím} \frac{5}{(2 - (a + h)) (2 - a)} & Anule factores similares \\ = \frac{5}{(2 - (a + 0)) (2 - a)} = \frac{5}{(2 - a) (2 - a)} = \frac{5}{{(2 - a)}^{2}} & Evalúe el límite \end{array}$

Inténtelo #3

Halle la derivada de la función $f (x) = \frac{10 x + 11}{5 x + 4}$ en $x = a .$

Hallar derivadas de funciones con raíces

Para hallar derivadas de funciones con raíces utilizamos los métodos que hemos aprendido para hallar límites de funciones con raíces, lo que incluye multiplicación por un conjugado.

Ejemplo 4

Hallar la derivada de una función con una raíz

Halle la derivada de la función $f (x) = 4 \sqrt{x}$ en $x = 36.$

Solución

Tenemos

\begin{array}{l} f^{'} (a) = \underset{h \to 0}{lím} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} \\ = \underset{h \to 0}{lím} \frac{4 \sqrt{a + h} - 4 \sqrt{a}}{h} & Sustituya f (a + h) y f (a) \end{array}

Multiplique el numerador y el denominador por el conjugado: $\frac{4 \sqrt{a + h} + 4 \sqrt{a}}{4 \sqrt{a + h} + 4 \sqrt{a}} .$

\begin{array}{l} f^{'} (a) = \underset{h \to 0}{lím} (\frac{4 \sqrt{a + h} - 4 \sqrt{a}}{h}) \cdot (\frac{4 \sqrt{a + h} + 4 \sqrt{a}}{4 \sqrt{a + h} + 4 \sqrt{a}}) \\ = \underset{h \to 0}{lím} (\frac{16 (a + h) - 16 a}{h 4 (\sqrt{a + h} + 4 \sqrt{a})}) & Multiplique . \\ = \underset{h \to 0}{lím} (\frac{16 a + 16 h - 16 a}{h 4 (\sqrt{a + h} + 4 \sqrt{a})}) & Distribuya y combine términos similares . \\ = \underset{h \to 0}{lím} (\frac{16 h}{h (4 \sqrt{a + h} + 4 \sqrt{a})}) & Simplifique . \\ = \underset{h \to 0}{lím} (\frac{16}{4 \sqrt{a + h} + 4 \sqrt{a}}) & Evalúe el límite suponiendo que h = 0 . \\ = \frac{16}{8 \sqrt{a}} = \frac{2}{\sqrt{a}} \\ f^{'} (36) = \frac{2}{\sqrt{36}} & Evalúe la derivada en x = 36. \\ = \frac{2}{6} \\ = \frac{1}{3} \end{array}

Inténtelo #4

Halle la derivada de la función $f (x) = 9 \sqrt{x}$ en $x = 9.$

Hallar tasas instantáneas de cambio

Muchas aplicaciones de la derivada implican la determinación de la tasa de cambio en un instante dado de una función con la variable independiente tiempo, por lo que se utiliza el término instantánea. Consideremos la altura de una pelota lanzada hacia arriba con una velocidad inicial de 64 pies por segundo, dada por $s (t) = –16 t^{2} + 64 t + 6,$ donde $t$ se mide en segundos y $s (t)$ se mide en pies. Sabemos que la trayectoria es la de una parábola. La derivada nos dirá cómo está cambiando la altura en cualquier punto dado en el tiempo. La altura de la pelota se muestra en la Figura 4 como una función de tiempo. En física, lo llamamos "gráfico s-t".

Gráfico de una parábola negativa con vértice en (2, 70) y dos puntos en (1, 55) y (3, 55).

Figura 4

Ejemplo 5

Hallar la tasa instantánea de cambio

Utilizando la función anterior, $s (t) = –16 t^{2} + 64 t + 6,$ ¿cuál es la velocidad instantánea de la pelota a los 1 y 3 segundos de su vuelo?

Solución

La velocidad en $t = 1$ y $t = 3$ es la tasa instantánea de cambio de la distancia por el tiempo, o la velocidad. Observe que la altura inicial es de 6 pies. Para calcular la velocidad instantánea, hallamos la derivada y la evaluamos en $t = 1$ y $t = 3 :$

$\begin{array}{l} f^{'} (a) = \underset{h \to 0}{lím} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} \\ = \underset{h \to 0}{lím} \frac{- 16 {(t + h)}^{2} + 64 (t + h) + 6 - (- 16 t^{2} + 64 t + 6)}{h} & Sustituya s (t + h) y s (t) . \\ = \underset{h \to 0}{lím} \frac{- 16 t^{2} - 32 h t - h^{2} + 64 t + 64 h + 6 + 16 t^{2} - 64 t - 6}{h} & Distribuya . \\ = \underset{h \to 0}{lím} \frac{- 32 h t - h^{2} + 64 h}{h} & Simplifique . \\ = \underset{h \to 0}{lím} \frac{h (- 32 t - h + 64)}{h} & Factorice el numerador . \\ = \underset{h \to 0}{lím} - 32 t - h + 64 & Anule el factor común h . \\ s^{'} (t) = - 32 t + 64 & Evalúe el límite suponiendo que h = 0 . \end{array}$

Para cualquier valor de $t$ , $s^{'} (t)$ nos dice la velocidad en ese valor de $t .$

Evalúe $t = 1$ y $t = 3.$

\begin{array}{l} s^{'} (1) = −32 (1) + 64 = 32 \\ s^{'} (3) = −32 (3) + 64 = −32 \end{array}

La velocidad de la pelota después de 1 segundo es de 32 pies por segundo, ya que va subiendo.

La velocidad de la pelota después de 3 segundos es $−32$ pies por segundo, ya que va bajando.

Inténtelo #5

La posición de la pelota viene dada por $s (t) = –16 t^{2} + 64 t + 6.$ ¿Cuál es su velocidad a los 2 segundos de vuelo?

Usar gráficos para hallar tasas instantáneas de cambio

Podemos estimar una tasa instantánea de cambio en $x = a$ al observar la pendiente de la curva de la función $f (x)$ en $x = a .$ Lo hacemos trazando una línea tangente a la función en $x = a$ y al calcular su pendiente.

Cómo

Dado un gráfico de una función $f (x),$ halle la tasa instantánea de cambio de la función en $x = a .$

Localice $x = a$ en el gráfico de la función $f (x) .$
Dibuje una línea tangente, una línea que pasa por $x = a$ a las $a$ y en ningún otro punto de esa sección de la curva. Extienda la línea lo suficiente para calcular su pendiente a medida que
$\frac{cambio en y}{cambio en x} .$

Ejemplo 6

Estimar la derivada en un punto del gráfico de una función

A partir del gráfico de la función $y = f (x)$ presentado en la Figura 5, estime cada uno de los siguientes:

Ⓐ $f (0)$
Ⓑ $f (2)$
Ⓒ $f' (0)$
Ⓓ $f' (2)$

Gráfico de una función impar con multiplicidad de dos y con dos puntos en (0, 1) y (2, 1).

Figura 5

Solución

Para calcular el valor funcional, $f (a),$ halle la coordenada y en $x = a .$

Para hallar la derivada en $x = a,$ $f^{'} (a),$ dibuje una línea tangente en $x = a,$ y estime la pendiente de esa línea tangente. Vea la Figura 6.

Gráfico de la función anterior con líneas tangentes en los dos puntos (0, 1) y (2, 1). El gráfico muestra las pendientes de las líneas tangentes. La pendiente de la línea tangente en x = 0 es 0, y la pendiente de la línea tangente en x = 2 es 4.

Figura 6

Ⓐ $f (0)$ es la coordenada y en $x = 0 .$ El punto tiene coordenadas $(0, 1),$ por lo tanto $f (0) = 1.$
Ⓑ $f (2)$ es la coordenada y en $x = 2.$ El punto tiene coordenadas $(2, 1),$ por lo tanto $f (2) = 1.$
Ⓒ $f^{'} (0)$ se halla estimando la pendiente de la línea tangente a la curva en $x = 0 .$ La línea tangente a la curva en $x = 0$ aparece en horizontal. Las líneas horizontales tienen una pendiente de 0, por lo tanto $f^{'} (0) = 0 .$
Ⓓ $f^{'} (2)$ se halla estimando la pendiente de la línea tangente a la curva en $x = 2.$ Observe la trayectoria de la línea tangente a la curva en $x = 2.$ A medida que el valor $x$ se desplaza una unidad a la derecha, el valor $y$ se desplaza cuatro unidades a otro punto de la línea. Por lo tanto, la pendiente es 4, así que $f^{'} (2) = 4.$

Inténtelo #6

Utilizando el gráfico de la función $f (x) = x^{3} - 3 x$ que se muestra en la Figura 7, estime: $f (1),$ $f^{'} (1),$ $f (0),$ y $f^{'} (0) .$

Gráfico de la función f(x) = x^3 – 3x con una ventana de visualización de [–4. 4] por [–5, 7

Figura 7

Usar tasas instantáneas de cambio para resolver problemas del mundo real

Otra forma de interpretar una tasa instantánea de cambio en $x = a$ es observar la función en un contexto del mundo real. La unidad de la derivada de una función $f (x)$ es

\frac{unidades de salida}{unidad de entrada}

Esta unidad muestra en cuántas unidades cambia la salida por cada cambio de una unidad de entrada. La tasa instantánea de cambio en un instante dado muestra lo mismo: las unidades de cambio de salida por una unidad de cambio de entrada.

Un ejemplo de tasa instantánea de cambio es el costo marginal. Por ejemplo, supongamos que el costo de producción de una compañía para producir $x$ artículos viene dado por $C (x),$ en miles de dólares. La función derivada nos dice cómo cambia el costo para cualquier valor de $x$ en el dominio de la función. En otras palabras, $C^{'} (x)$ se interpreta como un costo marginal, el costo adicional en miles de dólares de producir un artículo más cuando $x$ artículos se han producido. Por ejemplo, $C^{'} (11)$ es el costo adicional aproximado, en miles de dólares, de producir el 12.º artículo después de producir 11 artículos. $C^{'} (11) = 2,50$ significa que cuando se han producido 11 artículos, la producción del 12.º artículo aumentaría el costo total en aproximadamente $ 2.500,00 dólares.

Ejemplo 7

Hallar un costo marginal

El costo en dólares de producir $x$ computadoras portátiles en dólares es $f (x) = x^{2} - 100 x .$ En el momento en que se han producido 200 computadoras, ¿cuál es el costo aproximado de producir la unidad 201.ª?

Solución

Si los valores de $f (x) = x^{2} - 100 x$ describe el costo de producción de $x$ computadoras, $f^{'} (x)$ describirá el costo marginal. Tenemos que calcular la derivada. Para calcular la derivada, podemos utilizar las siguientes funciones:

\begin{array}{l} f (a + b) = {(x + h)}^{2} - 100 (x + h) \\ f (a) = a^{2} - 100 a \end{array}

$\begin{array}{l} f^{'} (x) = \frac{f (a + h) - f (a)}{h} & Fórmula de una derivada \\ = \frac{{(x + h)}^{2} - 100 (x + h) - (x^{2} - 100 x)}{h} & Sustituya f (a + h) y f (a) . \\ = \frac{x^{2} + 2 x h + h^{2} - 100 x - 100 h - x^{2} + 100 x}{h} & Multiplique polinomios, distribuya . \\ = \frac{2 x h + h^{2} - 100 h}{h} & Recopile términos similares . \\ = \frac{h (2 x + h - 100)}{h} & Factorice y anule términos similares . \\ = 2 x + h - 100 & Simplifique . \\ = 2 x - 100 & Evalúe cuando h = 0 . \\ f^{'} (x) = 2 x - 100 & Fórmula del costo marginal. \\ f^{'} (200) = 2 (200) - 100 = 300 & Evalúe para 200 unidades . \end{array}$

El costo marginal de producir la 201.ª unidad será de aproximadamente 300 dólares.

Ejemplo 8

Interpretar una derivada en su contexto

Un auto sale de un cruce. La distancia que recorre en millas está dada por la función $f (t),$ donde $t$ representa las horas. Explique las siguientes notaciones:

Ⓐ $f (0) = 0$
Ⓑ $f^{'} (1) = 60$
Ⓒ $f (1) = 70$
Ⓓ $f (2,5) = 150$

Solución

Primero tenemos que evaluar la función $f (t)$ y la derivada de la función $f^{'} (t),$ y distinguir entre ambas. Cuando evaluamos la función $f (t),$ estamos hallando la distancia que el auto ha recorrido en $t$ horas. Cuando evaluamos la derivada $f^{'} (t),$ estamos hallando la velocidad del auto después de $t$ horas.

Ⓐ $f (0) = 0$ significa que en cero horas, el auto ha recorrido cero millas.
Ⓑ $f^{'} (1) = 60$ significa que una hora después del viaje, el auto va a 60 millas por hora.
Ⓒ $f (1) = 70$ significa que una hora después del viaje, el auto ha recorrido 70 millas. Por lo tanto, en algún momento de la primera hora, el auto debió viajar más rápido que en la marca de 1 hora.
Ⓓ $f (2,5) = 150$ significa que a las dos horas y treinta minutos de viaje, el auto ha recorrido 150 millas.

Inténtelo #7

Una corredora corre por una carretera recta de este a oeste. La función $f (t)$ da a cuántos pies hacia el este de su punto de partida se encuentra después de $t$ segundos. Interprete cada uno de los siguientes puntos en relación con la corredora.

Ⓐ $f (0) = 0$
Ⓑ $f (10) = 150$
Ⓒ $f^{'} (10) = 15$
Ⓓ $f^{'} (20) = - 10$
Ⓔ $f (40) = -100$

Hallar puntos en los que no existe la derivada de una función

Para entender dónde no existe la derivada de una función, tenemos que recordar lo que ocurre normalmente cuando una función $f (x)$ tiene una derivada en $x = a$ . Supongamos que utilizamos una herramienta gráfica para ampliar en $x = a$ . Si se grafica la función $f (x)$ es diferenciable, es decir, si se trata de una función que puede ser diferenciada, cuanto más amplíe uno, más se acercará el gráfico a una línea recta. Esta característica se llama linealidad.

Mire el gráfico en la Figura 8. Cuanto más ampliamos en el punto, más lineal parece la curva.

Gráfico de una parábola negativa ampliada en un punto para mostrar que la curva se vuelve lineal cuanto más se amplía.

Figura 8

Podríamos suponer que lo mismo ocurriría con cualquier función continua, pero no es así. La función $f (x) = | x |,$ por ejemplo, es continua en $x = 0,$ pero no diferenciable en $x = 0 .$ A medida que ampliamos en el 0 en la Figura 9, el gráfico no se acerca a una línea recta. Por mucho que lo ampliemos, el gráfico mantiene su ángulo agudo.

Figura 9 Gráfico de la función

f (x) = | x |,

con el eje x de –0,1 a 0,1 y el eje y de –0,1 a 0,1.

Ampliamos más al estrechar el rango para producir la Figura 10 y seguimos observando la misma forma. Este gráfico no parece lineal en $x = 0 .$

Figura 10 Gráfico de la función

f (x) = | x |,

con el eje x de –0,001 a 0,001 y el eje y de –0,001 a 0,001.

¿Cuáles son las características de un gráfico que no es diferenciable en un punto? Estos son algunos ejemplos en los que la función $f (x)$ no es diferenciable en $x = a .$

En la Figura 11, vemos el gráfico de

f (x) = {\begin{array}{l} x^{2}, & x \leq 2 \\ 8 - x, & x > 2 \end{array} .

Observe que, a medida que $x$ se acerca a 2 desde la izquierda, se puede observar que el límite izquierdo es 4, mientras que a medida que $x$ se acerca a 2 desde la derecha, se puede observar que el límite derecho es 6. Vemos que tiene una discontinuidad en $x = 2.$

Gráfico de una función definida por partes en la que desde el infinito negativo hasta (2, 4) es una parábola positiva y desde (2, 6) hasta el infinito positivo es una línea lineal.

Figura 11 El gráfico de

f (x)

tiene una discontinuidad en

x = 2.

En la Figura 12, vemos el gráfico de $f (x) = | x | .$ Vemos que el gráfico tiene un vértice en $x = 0 .$

Figura 12 El gráfico de

f (x) = | x |

tiene un vértice en

x = 0

.

En la Figura 13, vemos que el gráfico de $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ tiene una cúspide en $x = 0 .$ Una cúspide tiene una característica única. Al alejarse de la cúspide, tanto el límite izquierdo como el derecho se acercan al infinito o al infinito negativo. Observe las líneas tangentes a medida que $x$ se acerca a 0 tanto desde la izquierda como desde la derecha parece que se hacen cada vez más pronunciadas, pero una tiene una pendiente negativa, la otra tiene una pendiente positiva.

Gráfico de f(x) = x^(2/3) con una ventana de visualización de [–3, 3] por [–2, 3].

Figura 13 El gráfico de

f (x) = x^{\frac{2}{3}}

tiene una cúspide en

x = 0 .

En la Figura 14, vemos que el gráfico de $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ tiene una tangente vertical en $x = 0 .$ Recordemos que las tangentes verticales son líneas verticales, por lo que cuando existe una tangente vertical, la pendiente de la línea es indefinida. Por eso la derivada, que mide la pendiente, no existe allí.

Gráfico de f(x) = x^(1/3) con una ventana de visualización de [–3, 3] por [–3, 3].

Figura 14 El gráfico de

f (x) = x^{\frac{1}{3}}

tiene una tangente vertical en

x = 0 .

Diferenciabilidad

Una función $f (x)$ es diferenciable en $x = a$ si la derivada existe en $x = a,$ lo que significa que $f^{'} (a)$ .

Hay cuatro casos en los que una función $f (x)$ no es diferenciable en un punto $x = a .$

Cuando hay una discontinuidad en $x = a .$
Cuando hay un vértice en $x = a .$
Cuando hay una cúspide en $x = a .$
En cualquier otro momento en que haya una tangente vertical en $x = a .$

Ejemplo 9

Determinar si una función es continua y diferenciable a partir de un gráfico

Utilizando la Figura 15, determine en que parte la función es

continua
discontinua
diferenciable
no diferenciable

En los puntos en los que el gráfico es discontinuo o no diferenciable, indique por qué.

Gráfico de una función definida por partes que tiene una discontinuidad removible en (–2, –1) y es discontinua cuando x = 1.

Figura 15

Solución

El gráfico de $f (x)$ es continuo en $(−∞, −2) \cup (−2, 1) \cup (1, \infty).$ El gráfico de $f (x)$ tiene una discontinuidad removible en $x = −2$ y una discontinuidad de salto en $x = 1.$ Vea la Figura 16.

Gráfico de la función anterior que muestra los intervalos de continuidad.

Figura 16 Tres intervalos en los que la función es continua

El gráfico de f (x) es diferenciable en $(−∞, −2) \cup (–2, −1) \cup (−1, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty) .$ El gráfico de $f (x)$ no es diferenciable en $x = −2$ porque es un punto de discontinuidad, en $x = −1$ a causa de un ángulo agudo, en $x = 1$ porque es un punto de discontinuidad, y en $x = 2$ a causa de un ángulo agudo. Vea la Figura 17.

Gráfico de la función anterior que no solo muestra los intervalos de continuidad, sino que también marca las partes del gráfico que tienen ángulos agudos y discontinuidades. Los ángulos agudos están en (–1, –1) y (2, 3), y las discontinuidades en (–2, –1) y (1, 1).

Figura 17 Cinco intervalos en los que la función es diferenciable

Inténtelo #8

Determine en que parte la función $y = f (x)$ mostrada en la Figura 18 es continua y diferenciable a partir del gráfico.

Gráfico de una función definida por partes con tres partes.

Figura 18

Hallar la ecuación de una línea tangente al gráfico de una función

La ecuación de una línea tangente a una curva de la función $f (x)$ en $x = a$ se deriva de la forma punto-pendiente de una línea, $y = m (x - x_{1}) + y_{1} .$ La pendiente de la línea es la pendiente de la curva en $x = a$ y por lo tanto es igual a $f^{'} (a),$ la derivada de $f (x)$ en $x = a .$ El par de coordenadas del punto de la línea en $x = a$ es $(a, f (a)) .$

Si sustituimos en la forma punto-pendiente, tenemos

La fórmula punto-pendiente que demuestra que m = f(a), x1 = a, y y_1 = f(a).

La ecuación de la línea tangente es

y = f' (a) (x - a) + f (a)

La ecuación de una línea tangente a una curva de la función f

La ecuación de una línea tangente a la curva de una función $f$ en un punto $x = a$ es

y = f' (a) (x - a) + f (a)

Cómo

Dada una función $f,$ halle la ecuación de una línea tangente a la función en $x = a .$

Calcule la derivada de $f (x)$ en $x = a$ utilizando $f^{'} (a) = \underset{h \to 0}{lím} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} .$
Evalúe la función en $x = a .$ Esto es $f (a) .$
Sustituya $(a, f (a))$ y $f^{'} (a)$ en $y = f' (a) (x - a) + f (a) .$
Escriba la ecuación de la línea tangente en la forma $y = m x + b .$

Ejemplo 10

Hallar la ecuación de una línea tangente a una función en un punto

Halle la ecuación de una línea tangente a la curva $f (x) = x^{2} - 4 x$ en $x = 3.$

Solución

Utilizando:

f' (a) = \underset{h \to 0}{lím} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}

Sustituya $f (a + h) = {(a + h)}^{2} - 4 (a + h)$ y $f (a) = a^{2} - 4 a .$

\begin{array}{l} f^{'} (a) = \underset{h \to 0}{lím} \frac{(a + h) (a + h) - 4 (a + h) - (a^{2} - 4 a)}{h} \\ = \underset{h \to 0}{lím} \frac{a^{2} + 2 a h + h^{2} - 4 a - 4 h - a^{2} + 4 a}{h} & Elimine los paréntesis . \\ = \underset{h \to 0}{lím} \frac{a^{2} + 2 a h + h^{2} - 4 a - 4 h - a^{2} + 4 a}{h} & Combine términos similares . \\ = \underset{h \to 0}{lím} \frac{2 a h + h^{2} - 4 h}{h} \\ = \underset{h \to 0}{lím} \frac{h (2 a + h - 4)}{h} & Factorice h . \\ = 2 a + 0 - 4 \\ f^{'} (a) = 2 a - 4 & Evalúe el límite . \\ f^{'} (3) = 2 (3) - 4 = 2 \end{array}

Ecuación de la línea tangente en $x = 3$

\begin{array}{l} y = f' (a) (x - a) + f (a) \\ y = f' (3) (x - 3) + f (3) \\ y = 2 (x - 3) + (- 3) \\ y = 2 x - 9 \end{array}

Análisis

Podemos utilizar una herramienta gráfica para graficar la función y la línea tangente. Al hacerlo, podemos observar el punto de tangencia en $x = 3$ como se muestra en la Figura 19.

Gráfico de f(x) = x^2 – 4x con una línea tangente en x = 3 que tiene la ecuación de y = 2x – 9.

Figura 19 El gráfico confirma el punto de tangencia en

x = 3.

Inténtelo #9

Halle la ecuación de una línea tangente a la curva de la función $f (x) = 5 x^{2} - x + 4$ en $x = 2.$

Hallar la velocidad instantánea de una partícula

Si una función mide la posición en función del tiempo, la derivada mide el desplazamiento en función del tiempo, o la velocidad del objeto. Un cambio en la velocidad o la dirección en relación con un cambio en el tiempo se conoce como velocidad. La velocidad en un instante determinado se conoce como velocidad instantánea.

Al tratar de calcular la velocidad de un objeto en un instante dado, parece que nos encontramos con una contradicción. Normalmente definimos la velocidad como la distancia recorrida dividida entre el tiempo transcurrido. Pero en un instante, no se recorre ninguna distancia ni transcurre ningún tiempo. ¿Cómo vamos a dividir cero entre cero? El uso de una derivada resuelve este problema. Una derivada nos permite decir que, aunque la velocidad del objeto cambia constantemente, tiene una velocidad determinada en un instante dado. Esto significa que si el objeto viajara a esa velocidad exacta durante una unidad de tiempo, recorrería la distancia especificada.

Velocidad instantánea

Supongamos que la función $s (t)$ representa la posición de un objeto en el tiempo $t .$ La velocidad instantánea o velocidad del objeto en el tiempo $t = a$ viene dada por

s^{'} (a) = \underset{h \to 0}{lím} \frac{s (a + h) - s (a)}{h}

Ejemplo 11

Hallar la velocidad instantánea

Una pelota se lanza hacia arriba desde una altura de 200 pies con una velocidad inicial de 36 ft/s. Si la altura de la pelota en pies después de $t$ segundos viene dada por $s (t) = –16 t^{2} + 36 t + 200,$ halle la velocidad instantánea de la pelota en $t = 2.$

Solución

Primero debemos calcular la derivada $s^{'} (t)$ . Luego evaluamos la derivada en $t = 2,$ utilizando $s (a + h) = - 16 {(a + h)}^{2} + 36 (a + h) + 200$ y $s (a) = - 16 a^{2} + 36 a + 200.$

\begin{array}{l} s^{'} (a) = \underset{h \to 0}{lím} \frac{s (a + h) - s (a)}{h} \\ = \underset{h \to 0}{lím} \frac{- 16 {(a + h)}^{2} + 36 (a + h) + 200 - (- 16 a^{2} + 36 a + 200)}{h} \\ = \underset{h \to 0}{lím} \frac{- 16 (a^{2} + 2 a h + h^{2}) + 36 (a + h) + 200 - (- 16 a^{2} + 36 a + 200)}{h} \\ = \underset{h \to 0}{lím} \frac{- 16 a^{2} - 32 a h - 16 h^{2} + 36 a + 36 h + 200 + 16 a^{2} - 36 a - 200}{h} \\ = \underset{h \to 0}{lím} \frac{- 16 a^{2} - 32 a h - 16 h^{2} + 36 a + 36 h + 200 + 16 a^{2} - 36 a - 200}{h} \\ = \underset{h \to 0}{lím} \frac{- 32 a h - 16 h^{2} + 36 h}{h} \\ = \underset{h \to 0}{lím} \frac{h (- 32 a - 16 h + 36)}{h} \\ = \underset{h \to 0}{lím} (- 32 a - 16 h + 36) \\ = - 32 a - 16 \cdot 0 + 36 \\ s^{'} (a) = - 32 a + 36 \\ s^{'} (2) = - 32 (2) + 36 \\ = - 28 \end{array}

Análisis

Este resultado significa que en el tiempo $t = 2$ segundos, la pelota cae a una velocidad de 28 ft/s.

Inténtelo #10

Un cohete de fuegos artificiales es disparado hacia arriba desde un pozo a 12 ft bajo el suelo a una velocidad de 60 ft/s. Su altura en pies después de $t$ segundos viene dada por $s = - 16 t^{2} + 60 t - 12.$ ¿Cuál es su velocidad instantánea después de 4 segundos?

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con las derivadas.

12.4 Ejercicios de sección

Verbales

1.

¿En qué se parece la pendiente de una función lineal a la derivada?

2.

¿Cuál es la diferencia entre la tasa media de cambio de una función en el intervalo $[x, x + h]$ y la derivada de la función en $x ?$

3.

Un auto recorrió 110 millas durante el periodo comprendido entre las 2:00 p. m. y las 4:00 p. m. ¿Cuál fue la velocidad media del auto? A las 2:30 p. m. exactamente, la velocidad del auto registró exactamente 62 millas por hora. ¿Cuál es otro nombre para la velocidad del auto a las 2:30 p. m.? ¿Por qué esta velocidad difiere de la velocidad media?

4.

Explique el concepto de pendiente de una curva en el punto $x .$

5.

Supongamos que el agua entra en un tanque a una tasa media de 45 galones por minuto. Traduzca este enunciado al lenguaje de las matemáticas.

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, utilice la definición de derivada $\underset{h \to 0}{lím} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ para calcular la derivada de cada función.

6.

$f (x) = 3 x - 4$

7.

$f (x) = - 2 x + 1$

8.

$f (x) = x^{2} - 2 x + 1$

9.

$f (x) = 2 x^{2} + x - 3$

10.

$f (x) = 2 x^{2} + 5$

11.

$f (x) = \frac{- 1}{x - 2}$

12.

$f (x) = \frac{2 + x}{1 - x}$

13.

$f (x) = \frac{5 - 2 x}{3 + 2 x}$

14.

$f (x) = \sqrt{1 + 3 x}$

15.

$f (x) = 3 x^{3} - x^{2} + 2 x + 5$

16.

$f (x) = 5$

17.

$f (x) = 5 π$

En los siguientes ejercicios, halle la tasa media de cambio entre los dos puntos.

18.

$(–2, 0)$ y $(-4, 5)$

19.

$(4, −3)$ y $(–2, –1)$

20.

$(0, 5)$ y $(6, 5)$

21.

$(7, –2)$ y $(7, 10)$

En las siguientes funciones polinómicas, halle las derivadas.

22.

$f (x) = x^{3} + 1$

23.

$f (x) = - 3 x^{2} - 7 x = 6$

24.

$f (x) = 7 x^{2}$

25.

$f (x) = 3 x^{3} + 2 x^{2} + x - 26$

En las siguientes funciones, halle la ecuación de la línea tangente a la curva en el punto dado $x$ en la curva.

26.

$\begin{array}{l} f (x) = 2 x^{2} - 3 x & x = 3 \end{array}$

27.

$\begin{array}{l} f (x) = x^{3} + 1 & x = 2 \end{array}$

28.

$\begin{array}{l} f (x) = \sqrt{x} & x = 9 \end{array}$

En el siguiente ejercicio, halle $k$ de tal manera que la línea dada sea tangente al gráfico de la función.

29.

$\begin{array}{l} f (x) = x^{2} - k x, & y = 4 x - 9 \end{array}$

Gráficos

En los siguientes ejercicios, considere el gráfico de la función $f$ y determine en qué parte la función es continua/discontinua y diferenciable/no diferenciable.

30.

Gráfico de una función definida por partes con tres segmentos. El primer segmento va del infinito negativo a (–3, –2), un punto abierto; el segundo segmento va de (–3, 1) a (2, 3), que son ambos puntos abiertos; el último segmento va de (2, 2), un punto abierto, al infinito positivo.

31.

Gráfico de una función definida por partes con tres segmentos. El primer segmento va del infinito negativo a (-2, -1), un punto abierto, el segundo segmento va de (-2, -4), un punto abierto, a (0, 0), un punto cerrado; el último segmento va de (0, 1), un punto abierto, al infinito positivo.

32.

Gráfico de una función definida por partes con dos segmentos y una asíntota en x = 3. El primer segmento, que tiene una discontinuidad removible en x = –2, va del infinito negativo a la asíntota, y el segmento final va de la asíntota al infinito positivo.

33.

Gráfico de una función definida por partes con dos segmentos. El primer segmento va de (–4, 0), un punto abierto, a (5, –2), y el último segmento va de (5, 3), un punto abierto, al infinito positivo.

En los siguientes ejercicios, utilice la Figura 20 para estimar la función en un valor dado de $x$ o la derivada a un valor determinado de $x,$ según se indique.

Gráfico de una función impar con multiplicidad de 2 con punto de inflexión en (0, –2) y (2, –6).

Figura 20

34.

$f (- 1)$

35.

$f (0)$

36.

$f (1)$

37.

$f (2)$

38.

$f (3)$

39.

$f^{'} (- 1)$

40.

$f^{'} (0)$

41.

$f^{'} (1)$

42.

$f^{'} (2)$

43.

$f^{'} (3)$

44.

Dibuje la función a partir de la siguiente información:

$f^{'} (x) = 2 x$ , $f (2) = 4$

En tecnología

45.

Evalúe numéricamente la derivada. Explore el comportamiento del gráfico de $f (x) = x^{2}$ alrededor de $x = 1$ y grafique la función en los siguientes dominios: $[0,9, 1,1]$ , $[0,99, 1,01]$ , $[0,999, 1,001],$ y $[0,9999, 1,0001]$ . Podemos utilizar la función de nuestra calculadora que establece automáticamente Ymin y Ymax a los valores Xmin y Xmax que preestablezcamos (en algunas de las calculadoras gráficas más utilizadas, esta función puede llamarse ZOOM FIT o ZOOM AUTO). Examine los valores de rango correspondientes a esta ventana de visualización y aproxime cómo cambia la curva en $x = 1,$ es decir, aproxime la derivada en $x = 1.$

Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, explique la notación con palabras. El volumen $f (t)$ de un tanque de gasolina, en galones, $t$ minutos después del mediodía.

46.

$f (0) = 600$

47.

$f' (30) = -20$

48.

$f (30) = 0$

49.

$f' (200) = 30$

50.

$f (240) = 500$

En los siguientes ejercicios, explique las funciones con palabras. La altura, $s,$ de un proyectil después de $t$ segundos viene dada por $s (t) = - 16 t^{2} + 80 t .$

51.

$s (2) = 96$

52.

$s' (2) = 16$

53.

$s (3) = 96$

54.

$s' (3) = −16$

55.

$s (0) = 0, s (5) = 0 .$

En los siguientes ejercicios, el volumen $V$ de una esfera con respecto a su radio $r$ viene dado por $V = \frac{4}{3} π r^{3} .$

56.

Halle la tasa media de cambio de $V$ a medida que $r$ cambia de 1 a 2 cm.

57.

Halle la tasa instantánea de cambio de $V$ cuando $r = 3 cm .$

En los siguientes ejercicios, los ingresos generados por la venta de $x$ artículos vienen dados por $R (x) = 2 x^{2} + 10 x .$

58.

Halle la tasa media de cambio de la función de ingresos a medida que $x$ cambia de $x = 10$ con $x = 20.$

59.

Halle $R' (10)$ e interprete.

60.

Halle $R' (15)$ e interprete. Compare $R' (15)$ con $R' (10),$ y explique la diferencia.

En los siguientes ejercicios, el costo de producción de $x$ teléfonos móviles se describe mediante la función $C (x) = x^{2} - 4 x + 1.000.$

61.

Halle la tasa media de cambio del costo total a medida que $x$ cambia de $x = 10 para x = 15.$

62.

Calcule el costo marginal aproximado de producir el 16.º teléfono móvil, cuando se han producido 15 teléfonos móviles.

63.

Calcule el costo marginal aproximado de producir el 21.º teléfono móvil, cuando se han producido 20 teléfonos móviles.

Extensión

En los siguientes ejercicios, utilice la definición de la derivada en un punto $x = a,$ $\underset{x \to a}{lím} \frac{f (x) - f (a)}{x - a},$ para hallar la derivada de las funciones.

64.

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

65.

$f (x) = 5 x^{2} - x + 4$

66.

$f (x) = - x^{2} + 4 x + 7$

67.

$f (x) = \frac{- 4}{3 - x^{2}}$

Notas a pie de página

2https://www.pewresearch.org/fact-tank/2019/09/09/us-generations-technology-use/

12.4 Derivadas

Hallar la tasa media de cambio de una función

Hallar la tasa media de cambio

Solución

Comprender la tasa instantánea de cambio

Derivadas: interpretaciones y notación

Hallar la derivada de una función polinómica

Solución

Hallar derivadas de funciones racionales

Hallar la derivada de una función racional

Solución

Hallar derivadas de funciones con raíces

Hallar la derivada de una función con una raíz

Solución

Hallar tasas instantáneas de cambio

Hallar la tasa instantánea de cambio

Solución

Usar gráficos para hallar tasas instantáneas de cambio

Estimar la derivada en un punto del gráfico de una función

Solución

Usar tasas instantáneas de cambio para resolver problemas del mundo real

Hallar un costo marginal

Solución

Interpretar una derivada en su contexto

Solución

Hallar puntos en los que no existe la derivada de una función

Determinar si una función es continua y diferenciable a partir de un gráfico

Solución

Hallar la ecuación de una línea tangente al gráfico de una función

Hallar la ecuación de una línea tangente a una función en un punto

Solución

Análisis

Hallar la velocidad instantánea de una partícula

Hallar la velocidad instantánea

Solución

Análisis

12.4 Ejercicios de sección

Verbales

Algebraicos

Gráficos

En tecnología

Aplicaciones en el mundo real

Extensión

Notas a pie de página