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Precálculo 2ed

12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos

Precálculo 2ed12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Comprender la notación de límites.
  • Hallar un límite mediante un gráfico.
  • Hallar un límite mediante una tabla.

Intuitivamente, sabemos lo que es un límite. Un automóvil solo puede ir hasta cierta velocidad y no más rápido. Un cubo de basura puede contener 33 galones y no más. Es natural que las cantidades medidas tengan límites. ¿Cuál es, por ejemplo, el límite de la altura de una mujer? La mujer más alta de quien se tiene constancia es Jinlian Zeng, de China, que mide 8 ft, 1 in.1 ¿Este es el límite de altura que pueden alcanzar las mujeres? Tal vez no, pero es probable que haya un límite que podríamos describir en pulgadas si fuéramos capaces de determinar cuál es.

Por decirlo de forma matemática, la función cuya entrada es una mujer y cuya salida es una altura medida en pulgadas tiene un límite. En esta sección examinaremos enfoques numéricos y gráficos para identificar límites.

Comprender la notación de límites

Hemos visto cómo una secuencia puede tener un límite, un valor hacia el que se mueve la secuencia de términos a medida que aumenta el número de términos. Por ejemplo, los términos de la secuencia

1, 1 2 , 1 4 , 1 8 ... 1, 1 2 , 1 4 , 1 8 ...

se acercan cada vez más a 0. Una secuencia es un tipo de función, pero las funciones que no son secuencias también pueden tener límites. Podemos describir el comportamiento de la función a medida que los valores de entrada se acercan a un valor específico. Si el límite de una función f(x)=L, f(x)=L, entonces a medida que la entrada x x se acerca cada vez más a a, a, la coordenada y de salida se acerca cada vez más a L. L. Decimos que la salida "se acerca a" L. L.

La Figura 1 proporciona una representación visual del concepto matemático de límite. A medida que el valor de entrada x x se acerca a a, a, el valor de salida f( x ) f( x ) se acerca a L. L.

Gráfico que representa cómo una función con un agujero en (a, L) se acerca a un límite.
Figura 1 La salida (coordenada y) se acerca a L L a medida que la entrada (coordenada x) se acerca a a. a.

Escribimos la ecuación de un límite como

lím xa f(x)=L. lím xa f(x)=L.

Esta notación indica que a medida que x x se acerca a a a tanto desde la izquierda de x=a x=a y desde la derecha de x=a, x=a, el valor de salida se acerca a L. L.

Considere la función

f(x)= x 2 -6x-7 x-7 . f(x)= x 2 -6x-7 x-7 .

Podemos factorizar la función como se muestra.

f(x)= (x-7) (x+1) x-7 Anule los factores similares en el numerador y el denominador. f(x)=x+1,x7 Simplifique. f(x)= (x-7) (x+1) x-7 Anule los factores similares en el numerador y el denominador. f(x)=x+1,x7 Simplifique.

Observe que x x no puede ser 7, o estaríamos dividiendo entre 0, por lo que 7 no está en el dominio de la función original. Para no cambiar la función cuando simplificamos, ponemos la misma condición, x7, x7, para la función simplificada. Podemos representar la función gráficamente como se muestra en la Figura 2.

Gráfico de una función creciente, f(x) = (x^2 – 6x – 7)/(x –7), con un agujero en (7, 8).
Figura 2 Como el 7 no está permitido como entrada, no hay ningún punto en x=7. x=7.

Lo que sucede en x=7 x=7 es completamente diferente de lo que ocurre en los puntos cercanos a x=7 x=7 a cada lado. La notación

lím x7 f(x)=8 lím x7 f(x)=8

indica que a medida que la entrada x x se acerca a 7 desde la izquierda o desde la derecha, la salida se acerca a 8. La salida puede acercarse tanto a 8 como queramos si la entrada está lo suficientemente cerca de 7.

¿Qué sucede en x=7? x=7? Cuando x=7, x=7, no hay ninguna salida correspondiente. Lo escribimos como

f(7) no existe. f(7) no existe.

Esta notación indica que 7 no está en el dominio de la función. Ya lo habíamos indicado cuando escribimos la función como

f(x)=x+ 1,x7. f(x)=x+ 1,x7.

Observe que el límite de una función puede existir incluso cuando f(x) f(x) no está definida en x=a. x=a. Gran parte de nuestro trabajo posterior consistirá en determinar límites de funciones a medida que x x se acerca a a, a, aunque la salida en x=a x=a no existe.

El límite de una función

Una cantidad L L es el límite de una función f( x ) f( x ) cuando x x se acerca a a a si, a medida que los valores de entrada de x x se acercan a a a (pero no son iguales a a), a), los valores de salida correspondientes de f( x ) f( x ) se acercan a L. L. Observe que el valor del límite no se ve afectado por el valor de salida de f( x ) f( x ) en a. a. Ambos a a y L L deben ser números reales. Lo escribimos como

lím xa f(x)=L lím xa f(x)=L

Ejemplo 1

Entender el límite de una función

Para el siguiente límite, defina a,f(x), a,f(x), y L. L.

lím x2 ( 3x+5 )=11 lím x2 ( 3x+5 )=11

Análisis

Recordemos que y=3x+5 y=3x+5 es una línea sin interrupciones. A medida que los valores de entrada se acerquen a 2, los valores de salida se acercarán a 11. Esto se puede expresar con la ecuación lím x2 (3x+5)=11 , lím x2 (3x+5)=11 , lo que significa que a medida que x x se acerca a 2 (pero no es exactamente 2), la salida de la función f(x)=3x+5 f(x)=3x+5 se acerca todo lo que queramos a 3(2 )+5, 3(2 )+5, u 11, que es el límite L, L, al tomar valores de x x suficientemente cerca de 2 pero no en x=2. x=2.

Inténtelo #1

Para el siguiente límite, defina a,f(x), a,f(x), y L. L.

lím x5 ( 2 x 2 -4 )=46 lím x5 ( 2 x 2 -4 )=46

Comprender los límites izquierdo y derecho

Podemos acercarnos a la entrada de una función desde cualquier lado de un valor, desde la izquierda o la derecha. La Figura 3 muestra los valores de

f(x)=x+1,x7 f(x)=x+1,x7

como se han descrito anteriormente y se han representado en la Figura 2.

Tabla que muestra que f(x) se acerca a 8 desde cualquier lado cuando x se acerca a 7 desde cualquier lado.
Figura 3

Los valores descritos como "desde la izquierda" son menores que el valor de entrada 7 y, por lo tanto, aparecerían a la izquierda del valor en una línea numérica. Los valores de entrada que se acercan a 7 desde la izquierda en la Figura 3 son 6,9, 6,9, 6,99, 6,99, y 6,999. 6,999. Las salidas correspondientes son 7,9,7,99, 7,9,7,99, y 7,999. 7,999. Estos valores se acercan a 8. El límite de los valores de f( x ) f( x ) cuando x x se acerca por la izquierda se conoce como el límite izquierdo. Para esta función, 8 es el límite izquierdo de la función f(x)=x+1,x7 f(x)=x+1,x7 a medida que x x se acerca a 7.

Los valores descritos como "desde la derecha" son mayores que el valor de entrada 7 y, por tanto, aparecerían a la derecha del valor en una línea numérica. Los valores de entrada que se acercan a 7 desde la derecha en la Figura 3 son 7,1, 7,1, 7,01, 7,01, y 7,001. 7,001. Las salidas correspondientes son 8,1, 8,1, 8,01, 8,01, y 8,001. 8,001. Estos valores se acercan a 8. El límite de los valores de f( x ) f( x ) cuando x x se acerca por la derecha se conoce como el límite derecho. Para esta función, 8 es también el límite derecho de la función f(x)=x+1,x7 f(x)=x+1,x7 a medida que x x se acerca a 7.

La Figura 3 muestra que podemos obtener la salida de la función a una distancia de 0,1 de 8 utilizando una entrada a una distancia de 0,1 de 7. En otras palabras, necesitamos una entrada de x x dentro del intervalo 6,9<x<7,1 6,9<x<7,1 para producir un valor de salida de f( x ) f( x ) dentro del intervalo 7,9<f(x)<8,1. 7,9<f(x)<8,1.

También vemos que podemos obtener valores de salida de f(x) f(x) sucesivamente más cerca de 8 al seleccionar valores de entrada más cercanos a 7. De hecho, podemos obtener valores de salida dentro de cualquier intervalo especificado si elegimos los valores de entrada adecuados.

La Figura 4 proporciona una representación visual de los límites izquierdo y derecho de la función. A partir del gráfico de f(x), f(x), observamos que la salida puede acercarse infinitesimalmente a L=8 L=8 a medida que x x se acerca a 7 por la izquierda y a medida que x x se acerca a 7 por la derecha.

Para indicar el límite izquierdo, escribimos

lím x 7 f(x)=8. lím x 7 f(x)=8.

Para indicar el límite derecho, escribimos

lím x 7 + f(x)=8. lím x 7 + f(x)=8.
Gráfico de la función anterior que explica el límite de la función en (7, 8)
Figura 4 Los límites izquierdo y derecho son los mismos para esta función.

Límites izquierdo y derecho

El límite izquierdo de una función f(x) f(x) cuando x x se acerca a a a desde la izquierda es igual a L, L, denotado por

lím x a f(x)=L. lím x a f(x)=L.

Los valores de f(x) f(x) pueden acercarse al límite L L tanto como queramos tomando valores de x x lo suficientemente cerca de a a de manera que x<a x<a y xa. xa.

El límite derecho de una función f(x), f(x), a medida que x x se acerca a a a desde la derecha, es igual a L, L, denotado por

lím x a + f(x)=L. lím x a + f(x)=L.

Los valores de f(x) f(x) pueden acercarse al límite L L tanto como queramos tomando valores de x x lo suficientemente cerca de a a pero mayores que a. a. Ambos a a y L L son números reales.

Comprender los límites laterales

En el ejemplo anterior, los límites izquierdo y derecho a medida que x x se acerca a a a son iguales. Si los límites izquierdo y derecho son iguales, decimos que la función f(x) f(x) tiene un límites laterales a medida que x x se acerca a a. a. Más comúnmente, nos referimos a un límite lateral simplemente como un límite. Si el límite izquierdo no es igual al límite derecho, o si uno de ellos no existe, decimos que el límite no existe.

Los límites laterales de la función a medida que x se acerca a a

El límite de una función f(x), f(x), a medida que x x se acerca a a, a, es igual a L, L, es decir,

lím xa f(x)=L lím xa f(x)=L

si y solo si

lím x a f(x)= lím x a + f(x). lím x a f(x)= lím x a + f(x).

En otras palabras, el límite izquierdo de una función f(x) f(x) cuando x x se acerca a a a es igual al límite derecho de la misma función a medida que x x se acerca a a. a. Si existe tal límite, nos referimos al límite como límites laterales. En caso contrario, diremos que el límite no existe.

Hallar un límite utilizando un gráfico

Para determinar visualmente si existe un límite a medida que x x se acerca a a, a, observamos el gráfico de la función cuando x x está muy cerca de x=a. x=a. En la Figura 5 observamos el comportamiento del gráfico a ambos lados de a. a.

Gráfico de una función que explica el comportamiento de un límite en (a, L) donde la función es creciente cuando x es menor que a y decreciente cuando x es mayor que a.
Figura 5

Para determinar si existe un límite izquierdo, observamos la rama del gráfico a la izquierda de x=a, x=a, pero cerca de x=a. x=a. Aquí es donde x<a. x<a. Vemos que las salidas se acercan a algún número real L L por lo que hay un límite izquierdo.

Para determinar si existe un límite derecho, observe la rama del gráfico a la derecha de x=a, x=a, pero cerca de x=a. x=a. Aquí es donde x>a. x>a. Vemos que las salidas se acercan a algún número real L, L, por lo que hay un límite derecho.

Si el límite izquierdo y el límite derecho son iguales, como ocurre en la Figura 5, entonces sabemos que la función tiene límites laterales. Normalmente, cuando nos referimos a un "límite", nos referimos a límites laterales, a menos que lo llamemos límite de un lado.

Por último, podemos buscar un valor de salida para la función f( x ) f( x ) cuando el valor de entrada x x es igual a a. a. El par de coordenadas del punto sería ( a,f( a ) ). ( a,f( a ) ). Si ese punto existe, entonces f( a ) f( a ) tiene un valor. Si el punto no existe, como en la Figura 5, entonces decimos que f( a ) f( a ) no existe.

Cómo

Dada una función f( x ), f( x ), utilice un gráfico para hallar los límites y el valor de una función a medida que x x se acerca a a. a.

  1. Examine el gráfico para determinar si existe un límite izquierdo.
  2. Examine el gráfico para determinar si existe un límite derecho.
  3. Si los dos límites de un lado existen y son iguales, entonces hay límites laterales, lo que normalmente llamamos "límite".
  4. Si hay un punto en x=a, x=a, entonces f( a ) f( a ) es el valor de la función correspondiente.

Ejemplo 2

Hallar un límite utilizando un gráfico

  1. Determine los siguientes límites y el valor de la función f f como se muestra en la Figura 6.
    1. lím x 2 f(x) lím x 2 f(x)
    2. lím x 2 + f(x) lím x 2 + f(x)
    3. lím x2 f(x) lím x2 f(x)
    4. f(2 ) f(2 )
    Gráfico de una función definida por partes que tiene una parábola positiva centrada en el origen y va desde el infinito negativo hasta (2, 8), un punto abierto, y una línea decreciente desde (2, 3), un punto cerrado, hasta el infinito positivo en el eje x.
    Figura 6
  2. Determine los siguientes límites y el valor de la función f f como se muestra en la Figura 7.
    1. lím x 2 f(x) lím x 2 f(x)
    2. lím x 2 + f(x) lím x 2 + f(x)
    3. lím x2 f(x) lím x2 f(x)
    4. f(2 ) f(2 )
    Gráfico de una función definida por partes que tiene una parábola positiva desde el infinito negativo hasta 2 en el eje x, una línea decreciente desde 2 hasta el infinito positivo en el eje x y un punto en (2, 4).
    Figura 7

Inténtelo #2

Utilizando el gráfico de la función y=f( x ) y=f( x ) que se muestra en la Figura 8, estime los siguientes límites.

  1. límx0 f(x)límx0 f(x)
  2. límx0+f(x)límx0+f(x)
  3. límx0f(x)límx0f(x)
  4. límx2 f(x)límx2 f(x)
  5. límx2+f(x)límx2+f(x)
  6. límx2f(x)límx2f(x)
  7. límx4 f(x)límx4 f(x)
  8. límx4+f(x)límx4+f(x)
  9. límx4f(x)límx4f(x)
Gráfico de una función definida por partes que tiene tres segmentos: 1) del infinito negativo al 0, 2) del 0 al 2 y 3) del 2 al infinito positivo, que tiene una discontinuidad en (4, 4)
Figura 8

Hallar un límite utilizando una tabla

La creación de una tabla es una forma de determinar límites mediante información numérica. Creamos una tabla de valores en la que los valores de entrada de x x se acercan a a a de ambos lados. Luego determinamos si los valores de salida se acercan cada vez más a algún valor real, el límite L. L.

Veamos un ejemplo con la siguiente función:

lím x5 ( x 3 125 x-5 ) lím x5 ( x 3 125 x-5 )

Para crear la tabla, evaluamos la función en valores cercanos a x=5. x=5. Utilizamos algunos valores de entrada menores que 5 y otros mayores que 5 como en la Figura 9. Los valores de la tabla muestran que cuando x>5 x>5 pero acercándose a 5, la salida correspondiente se acerca a 75. Cuando x>5 x>5 pero acercándose a 5, la salida correspondiente también se acerca a 75.

La tabla muestra que a medida que los valores x se acercan a 5 desde la dirección positiva o negativa, f(x) se acerca mucho a 75. Pero cuando x es igual a 5, y es indefinida.
Figura 9

Dado que

lím x 5 f(x)=75= lím x 5 + f(x), lím x 5 f(x)=75= lím x 5 + f(x),

entonces

lím x5 f(x)=75. lím x5 f(x)=75.

Recuerde que f( 5 ) f( 5 ) no existe.

Cómo

Dada una función f, f, utilice una tabla para hallar el límite a medida que x x se acerca a a a y el valor de f(a), f(a), si existe.

  1. Elija varios valores de entrada que se acerquen a a a tanto desde la izquierda como desde la derecha. Anótelos en una tabla.
  2. Evalúe la función en cada valor de entrada. Anótelos en la tabla.
  3. Determine si los valores de la tabla indican un límite izquierdo y un límite derecho.
  4. Si los límites izquierdo y derecho existen y son iguales, hay límites laterales.
  5. Sustituya x x con la a a para calcular el valor de f( a ). f( a ).

Ejemplo 3

Hallar un límite utilizando una tabla

Estime numéricamente el límite de la siguiente expresión mediante una tabla de valores a ambos lados del límite.

lím x0 ( 5sen(x) 3x ) lím x0 ( 5sen(x) 3x )

Preguntas y respuestas

¿Es posible comprobar nuestra respuesta utilizando una herramienta gráfica?

Sí. Anteriormente utilizamos una tabla para hallar un límite de 75 para la función f(x)= x 3 125 x-5 f(x)= x 3 125 x-5 a medida que x x se acerca a 5. Para comprobarlo, graficamos la función en una ventana de visualización como se muestra en la Figura 11. Una comprobación gráfica muestra que ambas ramas del gráfico de la función se acercan a la salida 75 a medida que x x se acerca a 5. Además, podemos utilizar la función de "trace" de una calculadora gráfica. Al acercarse a x=5 x=5 podemos observar numéricamente que las salidas correspondientes se acercan a 75. 75.

Gráfico de una función creciente con una discontinuidad en (5, 75)
Figura 11

Inténtelo #3

Estime numéricamente el límite de la siguiente función mediante una tabla:

lím x0 ( 20sen(x) 4x ) lím x0 ( 20sen(x) 4x )

Preguntas y respuestas

¿Hay un método para determinar un límite mejor que el otro?

No. Ambos métodos tienen ventajas. Los gráficos permiten una inspección rápida. Las tablas se pueden usar cuando no se dispone de herramientas gráficas, y se pueden calcular con una precisión mayor que la que podría verse a simple vista inspeccionando un gráfico.

Ejemplo 4

Usar una herramienta gráfica para determinar un límite

Con el uso de una herramienta gráfica, si es posible, determine los límites izquierdo y derecho de la siguiente función a medida que x x se acerca a 0. Si la función tiene un límite a medida que x x se acerca a 0, indíquelo. Si no es así, discuta por qué no hay límite.

f(x)=3sen( π x ) f(x)=3sen( π x )

Inténtelo #4

Estime numéricamente el siguiente límite lím x0 ( sen( 2 x ) ). lím x0 ( sen( 2 x ) ).

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar el cálculo de límites.

12.1 Ejercicios de sección

Verbales

1.

Explique la diferencia entre un valor en x=a x=a y el límite a medida que x x se acerca a a. a.

2.

Explique por qué decimos que una función no tiene límite a medida que x x se acerca a a a si, a medida que x x se acerca a a, a, el límite izquierdo no es igual al límite derecho.

Gráficos

En los siguientes ejercicios, estime los valores funcionales y los límites a partir del gráfico de la función f f proporcionado en la Figura 14.

Una función definida por partes con discontinuidades en x = –2, x = 1 y x = 4.
Figura 14
3.

lím x- 2 f(x) lím x- 2 f(x)

4.

lím x- 2 + f(x) lím x- 2 + f(x)

5.

lím x-2 f(x) lím x-2 f(x)

6.

f(−2) f(−2)

7.

lím x 1 - f(x) lím x 1 - f(x)

8.

lím x 1 + f(x) lím x 1 + f(x)

9.

lím x1 f(x) lím x1 f(x)

10.

f(1) f(1)

11.

lím x 4 f(x) lím x 4 f(x)

12.

lím x 4 + f(x) lím x 4 + f(x)

13.

lím x4 f(x) lím x4 f(x)

14.

f(4) f(4)

En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de una función a partir de los valores funcionales y los límites proporcionados.

15.

lím x 0 f(x)=2 lím x 0 f(x)=2, lím x 0 + f(x)=3 lím x 0 + f(x)=3, lím x2 f(x)=2 lím x2 f(x)=2, f(0)=4f(0)=4, f(2 )=1f(2 )=1, f(3) no existe. f(3) no existe.

16.

lím x 2 f(x)=0 lím x 2 f(x)=0, lím x 2 + =2 lím x 2 + =2, lím x0 f(x)=3 lím x0 f(x)=3, f(2 )=5f(2 )=5, f(0) f(0)

17.

lím x 2 f(x)=2 lím x 2 f(x)=2, lím x 2 + f(x)=-3 lím x 2 + f(x)=-3, lím x0 f(x)=5 lím x0 f(x)=5, f(0)=1f(0)=1, f(1)=0 f(1)=0

18.

lím x 3 f(x)=0 lím x 3 f(x)=0, lím x 3 + f(x)=5 lím x 3 + f(x)=5, lím x5 f(x)=0 lím x5 f(x)=0, f(5)=4f(5)=4, f(3) no existe. f(3) no existe.

19.

lím x4 f(x)=6 lím x4 f(x)=6, lím x 6 + f(x)=-1 lím x 6 + f(x)=-1, lím x0 f(x)=5 lím x0 f(x)=5, f(4)=6f(4)=6, f(2 )=6 f(2 )=6

20.

lím x3 f(x)=2 lím x3 f(x)=2, lím x 1 + f(x)=-2 lím x 1 + f(x)=-2, lím x3 f(x)=4 lím x3 f(x)=4, f(3)=0f(3)=0, f(0)=0 f(0)=0

21.

lím xπ f(x)= π 2 lím xπ f(x)= π 2 , lím xπ f(x)= π 2 lím xπ f(x)= π 2 , lím x 1 f(x)=0 lím x 1 f(x)=0, f(π)= 2 f(π)= 2 , f(0) no existe. f(0) no existe.

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para determinar el límite con 5 decimales a medida que x x se acerca a 0.

22.

f(x)= ( 1+x ) 1 x f(x)= ( 1+x ) 1 x

23.

g(x)= ( 1+x ) 2 x g(x)= ( 1+x ) 2 x

24.

h(x)= ( 1+x ) 3 x h(x)= ( 1+x ) 3 x

25.

i(x)= ( 1+x ) 4 x i(x)= ( 1+x ) 4 x

26.

j(x)= ( 1+x ) 5 x j(x)= ( 1+x ) 5 x

27.

Basándose en el patrón que ha observado en los ejercicios anteriores, haga una conjetura sobre el límite de f(x)= ( 1+x ) 6 x , f(x)= ( 1+x ) 6 x , g(x)= ( 1+x ) 7 x , g(x)= ( 1+x ) 7 x , h(x)= ( 1+x ) n x . h(x)= ( 1+x ) n x .

En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para hallar pruebas gráficas para determinar los límites izquierdo y derecho de la función dada a medida que x x se acerca a a. a. Si la función tiene un límite a medida que x x se acerca a a, a, indíquelo. Si no es así, discuta por qué no hay límite.

28.

(x)={ | x |-1, si x1 x 3 , si x=1 a=1 (x)={ | x |-1, si x1 x 3 , si x=1 a=1

29.

(x)={ 1 x+1 , si x=-2 (x+1) 2 , si x2 a=-2 (x)={ 1 x+1 , si x=-2 (x+1) 2 , si x2 a=-2

Numéricos

En los siguientes ejercicios, utilice evidencias numéricas para determinar si el límite existe en x=a. x=a. En caso contrario, describa el comportamiento del gráfico de la función cerca de x=a. x=a. Redondee las respuestas a dos decimales.

30.

f(x)= x 2 -4x 16- x 2 ;a=4 f(x)= x 2 -4x 16- x 2 ;a=4

31.

f(x)= x 2 -x-6 x 2 -9 ;a=3 f(x)= x 2 -x-6 x 2 -9 ;a=3

32.

f(x)= x 2 -6x-7 x 2 7x ;a=7 f(x)= x 2 -6x-7 x 2 7x ;a=7

33.

f(x)= x 2 -1 x 2 3x+2 ;a=1 f(x)= x 2 -1 x 2 3x+2 ;a=1

34.

f(x)= 1- x 2 x 2 -3x+2 ;a=1 f(x)= 1- x 2 x 2 -3x+2 ;a=1

35.

f(x)= 1010 x 2 x 2 -3x+2 ;a=1 f(x)= 1010 x 2 x 2 -3x+2 ;a=1

36.

f(x)= x 6 x 2 -5x-6 ;a= 3 2 f(x)= x 6 x 2 -5x-6 ;a= 3 2

37.

f(x)= x 4 x 2 +4x+1 ;a=- 1 2 f(x)= x 4 x 2 +4x+1 ;a=- 1 2

38.

f(x)= 2 x-4 ;a=4 f(x)= 2 x-4 ;a=4

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para estimar el límite preparando una tabla de valores. Si no hay límite, describa el comportamiento de la función a medida que x x se acerca al valor dado.

39.

lím x0 7tanx 3x lím x0 7tanx 3x

40.

lím x4 x 2 x-4 lím x4 x 2 x-4

41.

lím x0 2senx 4tanx lím x0 2senx 4tanx

En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para hallar pruebas numéricas o gráficas para determinar los límites izquierdo y derecho de la función dada a medida que x x se acerca a a. a. Si la función tiene un límite a medida que x x se acerca a a, a, indíquelo. Si no es así, discuta por qué no hay límite.

42.

lím x0 e e 1 x lím x0 e e 1 x

43.

lím x0 e e - 1 x 2 lím x0 e e - 1 x 2

44.

lím x0 | x | x lím x0 | x | x

45.

lím x-1 | x+1 | x+1 lím x-1 | x+1 | x+1

46.

lím x5 | x-5 | 5-x lím x5 | x-5 | 5-x

47.

lím x-1 1 ( x+1 ) 2 lím x-1 1 ( x+1 ) 2

48.

lím x1 1 ( x1 ) 3 lím x1 1 ( x1 ) 3

49.

lím x0 5 1- e 2 x lím x0 5 1- e 2 x

50.

Utilice pruebas numéricas y gráficos para comparar y contrastar los límites de dos funciones cuyas fórmulas parecen similares: f(x)=| 1-x x | f(x)=| 1-x x | y g(x)=| 1+x x | g(x)=| 1+x x | a medida que x x se acerca a 0. Utilice una herramienta gráfica, si es posible, para determinar los límites izquierdo y derecho de las funciones f( x ) f( x ) y g( x ) g( x ) cuando x x se acerca a 0. Si las funciones tienen un límite a medida que x x se acerca a 0, indíquelo. Si no es así, discuta por qué no hay límite.

Extensiones

51.

Según la teoría de la relatividad, la masa m m de una partícula depende de su velocidad v v. Es decir,

m= m i 1-( v 2 / c 2 ) m= m i 1-( v 2 / c 2 )

donde m i m i es la masa cuando la partícula está en reposo y c c es la velocidad de la luz. Halle el límite de la masa, m, m, a medida que v v se acerca a c . c .

52.

Permita que la velocidad de la luz, c, c, sea igual a 1,0. Si la masa, m, m, es 1, ¿qué ocurre con m m a medida que vc? vc? Utilizando los valores que aparecen en la Tabla 1, haga una conjetura sobre cuál es la masa a medida que v v se acerca a 1,00.

vv mm
0,51,15
0,92,29
0,953,20
0,997,09
0,99922,36
0,99999223,61
Tabla 1

Notas a pie de página

  • 1https://en.wikipedia.org/wiki/Human_height y http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_tallest_people
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