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Precálculo 2ed

11.5 Principios de conteo

Precálculo 2ed11.5 Principios de conteo

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Resolver problemas de recuento mediante el principio de adición.
  • Resolver problemas de conteo mediante el principio de multiplicación.
  • Resolver problemas de conteo mediante permutaciones con n objetos distintos.
  • Resolver problemas de conteo mediante combinaciones.
  • Calcular el número de subconjuntos de un conjunto dado.
  • Resolver problemas de conteo mediante permutaciones que incluyan n objetos no distintos.

Una nueva compañía vende fundas personalizables para tabletas y teléfonos inteligentes. Cada funda está disponible en varios colores y se puede personalizar por un precio adicional con imágenes o un monograma. El cliente puede elegir no personalizar o puede elegir una, dos o tres imágenes o un monograma. El cliente puede elegir el orden de las imágenes y las letras del monograma. La compañía está trabajando con una agencia para desarrollar una campaña de marketing centrada en el gran número de opciones que ofrecen. ¡Contar las posibilidades es un reto!

Todos los días nos encontramos con una gran variedad de problemas de conteo. Existe una rama de las matemáticas dedicada al estudio de problemas de conteo como este. Otras aplicaciones del conteo son las contraseñas seguras, los resultados de las carreras de caballos y la elección de los horarios de las universidades. En esta sección examinaremos este tipo de matemáticas.

Utilizar el principio de adición

La compañía que vende fundas personalizables ofrece fundas para tabletas y teléfonos inteligentes. Hay 3 modelos de tabletas y 5 de teléfonos inteligentes compatibles. El principio de adición nos dice que podemos sumar el número de opciones de la tableta al número de opciones del teléfono inteligente para hallar el número total de opciones. Por el principio de adición, hay 8 opciones en total, como podemos ver en la Figura 1.

La adición de 3 iPods y 4 iPhones.
Figura 1

El principio de adición

Según el principio de adición, si un evento puede ocurrir de m m maneras y un segundo evento sin resultados comunes puede ocurrir en n n maneras, entonces el primer o el segundo evento puede ocurrir de m+n m+n maneras.

Ejemplo 1

Utilizar el principio de adición

En el menú de la cena hay 2 opciones de plato principal vegetariano y 5 de carne. ¿Cuál es el número total de opciones de plato principal?

Inténtelo #1

Un estudiante está comprando una computadora nueva. Está decidiendo entre 3 computadoras de escritorio y 4 portátiles. ¿Cuál es el número total de opciones de computadora?

Utilización del principio de multiplicación

El principio de multiplicación se aplica cuando hacemos más de una selección. Supongamos que elegimos una entrada, un plato principal y un postre. Si hay 2 opciones de entradas, 3 opciones de plato principal y 2 opciones de postre en un menú de cena de precio fijo, hay un total de 12 opciones posibles de cada una, como se muestra en el diagrama de árbol en la Figura 2.

Un diagrama de árbol de las diferentes combinaciones de menús.
Figura 2

Las opciones posibles son:

  1. sopa, pollo, pastel
  2. sopa, pollo, pudín
  3. sopa, pescado, pastel
  4. sopa, pescado, pudín
  5. sopa, filete, pastel
  6. sopa, filete, pudín
  7. ensalada, pollo, pastel
  8. ensalada, pollo, pudín
  9. ensalada, pescado, pastel
  10. ensalada, pescado, pudín
  11. ensalada, filete, pastel
  12. ensalada, filete, pudín

También podemos hallar el número total de cenas posibles mediante la multiplicación.

También podríamos llegar a la conclusión de que hay 12 posibles opciones de cena simplemente aplicando el principio de multiplicación.

N.º dede opciones de entradas × N.º dede opciones de platos principales × N.º dede opciones de postres               2                  ×              3              ×               2 =12 N.º dede opciones de entradas × N.º dede opciones de platos principales × N.º dede opciones de postres               2                  ×              3              ×               2 =12

El principio de multiplicación

Según el principio de multiplicación, si un evento puede ocurrir de m m maneras y un segundo evento puede ocurrir en n n maneras después de que el primer evento haya ocurrido, entonces los dos eventos pueden ocurrir en m×n m×n maneras. Esto también se conoce como el principio fundamental de conteo.

Ejemplo 2

Utilización del principio de multiplicación

Diane empacó 2 faldas, 4 blusas y un suéter para su viaje de negocios. Tendrá que elegir una falda y una blusa para cada conjunto y decidir si se pone el suéter. Utilice el principio de multiplicación para hallar el número total de conjuntos posibles.

Inténtelo #2

Un restaurante ofrece un desayuno especial que incluye un sándwich de desayuno, una guarnición y una bebida. Hay 3 tipos de sándwiches de desayuno, 4 opciones de guarniciones y 5 opciones de bebidas. Calcule el número total de desayunos especiales posibles.

Calcular el número de permutaciones de n objetos distintos

El principio de multiplicación se puede usar para resolver diversos tipos de problemas. Un tipo de problema consiste en colocar objetos en orden. Ordenamos las letras en palabras y los dígitos en números, nos alineamos para las fotografías, decoramos las habitaciones y mucho más. Ordenar los objetos se llama una permutación.

Hallar el número de permutaciones de n objetos distintos mediante el principio de multiplicación

Para resolver problemas de permutación, suele ser útil dibujar segmentos de línea para cada opción. Eso nos permite determinar el número de cada opción para poder multiplicar. Por ejemplo, supongamos que tenemos cuatro cuadros y queremos hallar el número de maneras en que podemos colgar tres de los cuadros en orden en la pared. Podemos dibujar tres líneas para representar los tres lugares de la pared.

Hay cuatro opciones para el primer lugar, así que escribimos un 4 en la primera línea.

Cuatro por dos espacios en blanco.

Una vez ocupado el primer lugar, hay tres opciones para el segundo lugar, así que escribimos un 3 en la segunda línea.

Cuatro por tres por un espacio en blanco.

Una vez ocupado el segundo lugar, hay dos opciones para el tercer lugar, así que escribimos un 2 en la tercera línea. Por último, calculamos el producto.

Hay 24 permutaciones posibles de los cuadros.

Cómo

Dadas. n n opciones distintas, determine cuántas permutaciones hay.

  1. Determine cuántas opciones hay para la primera situación.
  2. Determine cuántas opciones quedan para la segunda situación.
  3. Continúe hasta que todos los espacios estén llenos.
  4. Multiplique los números juntos.

Ejemplo 3

Hallar el número de permutaciones mediante el principio de multiplicación

En una competencia de natación, nueve nadadores participan en una carrera.

  1. ¿De cuántas maneras se pueden ubicar de primero, segundo y tercero?
  2. ¿De cuántas maneras se pueden ubicar de primero, segundo y tercero si un nadador llamado Ariel gana el primer puesto? (Supongamos que solo hay un participante llamado Ariel).
  3. ¿De cuántas maneras se pueden alinear los nueve nadadores para una foto?

Análisis

Observe que en la parte c, hallaremos que hay 9! maneras de que 9 personas se alineen. El número de permutaciones de n n objetos distintos siempre puede ser calculado por n!. n!.

Una familia de cinco personas se está retratando. Utilice el principio de multiplicación para hallar lo siguiente.

Inténtelo #3

¿De cuántas maneras puede alinearse la familia para el retrato?

Inténtelo #4

¿De cuántas maneras el fotógrafo puede alinear a 3 miembros de la familia?

Inténtelo #5

¿De cuántas maneras se puede alinear la familia para el retrato si los padres deben situarse en cada extremo?

Hallar el número de permutaciones de n objetos distintos mediante una fórmula

Para algunos problemas de permutación es inconveniente utilizar el principio de multiplicación porque hay muchos números que multiplicar. Afortunadamente, podemos resolver estos problemas mediante una fórmula. Antes de aprender la fórmula, veamos dos notaciones comunes para las permutaciones. Si tenemos un conjunto de n n objetos y queremos elegir r r objetos del conjunto en orden, escribimos P(n,r). P(n,r). Otra forma de escribir esto es n P r , n P r , una notación comúnmente vista en computadoras y calculadoras. Para calcular P(n,r), P(n,r), comenzamos por hallar n!, n!, el número de maneras de alinear todos los n n objetos. A continuación, dividimos entre ( nr )! ( nr )! para anular los elementos ( nr ) ( nr ) que no deseamos alinear.

Veamos cómo funciona con un ejemplo sencillo. Imagine un club de seis personas. Tienen que elegir un presidente, un vicepresidente y un tesorero. Seis personas pueden ser elegidas presidente, cualquiera de las cinco restantes puede ser elegida vicepresidente y cualquiera de las cuatro restantes podría ser elegida tesorero. El número de maneras en que esto se puede hacer es 6×5×4=120. 6×5×4=120. Utilizando los factoriales, obtenemos el mismo resultado.

6! 3! = 6·5·4·3! 3! =6·5·4=120 6! 3! = 6·5·4·3! 3! =6·5·4=120

Hay 120 maneras de seleccionar 3 ejecutivos en orden de un club con 6 miembros. Nos referimos a esto como una permutación de 6 tomada de 3 en 3. La fórmula general es la siguiente.

P(n,r)= n! (nr)! P(n,r)= n! (nr)!

Observe que la fórmula sigue funcionando si elegimos todos los n n objetos y los colocamos en orden. En ese caso estaríamos dividiendo entre ( n-n )! ( n-n )! o 0!, 0!, que dijimos antes es igual a 1. Por lo tanto, el número de permutaciones de n n objetos tomados n n a la vez es n! 1 n! 1 o simplemente n!. n!.

Fórmula para permutaciones de n objetos distintos

Dados n n objetos distintos, el número de maneras de seleccionar r r objetos del conjunto en orden es

P(n,r)= n! (nr)! P(n,r)= n! (nr)!

Cómo

Dado un problema de palabras, evalúe las posibles permutaciones.

  1. Identifique n n a partir de la información dada.
  2. Identifique r r a partir de la información dada.
  3. Sustituya n n y r r en la fórmula con los valores dados.
  4. Evalúe.

Ejemplo 4

Calcular el número de permutaciones mediante la fórmula

Una profesora está creando un examen de 9 preguntas a partir de un banco de pruebas de 12 preguntas. ¿De cuántas maneras puede seleccionar y ordenar las preguntas?

Análisis

También podemos utilizar una calculadora para hallar permutaciones. Para este problema, introducimos 12, pulsamos la función n P r n P r , introducimos 9 y luego pulsamos el signo de igual. La función n P r n P r se encuentra en el menú MATH con los comandos de probabilidad.

Preguntas y respuestas

¿Podríamos resolver el Ejemplo 4 utilizando el principio de multiplicación?

Sí. Podríamos multiplicar 12 1110987654 12 1110987654 para hallar la misma respuesta.

Una obra de teatro tiene un elenco de 7 actores que se preparan para subir el telón. Use la fórmula de permutación para calcular lo siguiente.

Inténtelo #6

¿De cuántas maneras se pueden alinear los 7 actores?

Inténtelo #7

¿De cuántas maneras se puede elegir la alineación de 5 de los 7 actores?

Calcular el número de combinaciones mediante la fórmula

Hasta ahora, hemos visto problemas que nos piden que pongamos los objetos en orden. Hay muchos problemas en los que queremos seleccionar algunos objetos de un grupo de objetos, pero no nos importa el orden. Cuando estamos seleccionando objetos y el orden no importa, estamos tratando con combinaciones. Una selección de r r objetos de un conjunto de n n objetos en los que no importa el orden se puede escribir como C(n,r). C(n,r). Al igual que con las permutaciones, C(n,r) C(n,r) también puede escribirse como n C r . n C r . En este caso, la fórmula general es la siguiente.

C(n,r)= n! r!(nr)! C(n,r)= n! r!(nr)!

En un problema anterior se trataba de elegir 3 de 4 cuadros posibles para colgar en una pared. Hallamos que había 24 maneras de seleccionar 3 de los 4 cuadros en orden. Pero, ¿y si no nos importa el orden? Esperaríamos un número menor porque seleccionar los cuadros 1, 2, 3 sería lo mismo que seleccionar los cuadros 2, 3, 1. Para hallar el número de maneras de seleccionar 3 de los 4 cuadros, sin tener en cuenta el orden, divida el número de permutaciones entre el número de maneras de ordenar 3 cuadros. Hay 3!=3·2·1=6 3!=3·2·1=6 maneras de ordenar 3 cuadros. Hay 24 6 , 24 6 , o 4 maneras de seleccionar 3 de los 4 cuadros. Este número tiene sentido porque cada vez que seleccionamos 3 cuadros, no estamos seleccionando 1 cuadro. Hay 4 cuadros que podríamos elegir no seleccionar, por lo que hay 4 maneras de seleccionar 3 de los 4 cuadros.

Fórmula para combinaciones de n objetos distintos

Dados n n objetos distintos, el número de maneras de seleccionar r r objetos del conjunto es

C(n,r)= n! r!(nr)! C(n,r)= n! r!(nr)!

Cómo

Dado un número de opciones, determine el número posible de combinaciones.

  1. Identifique n n a partir de la información dada.
  2. Identifique r r a partir de la información dada.
  3. Sustituya n n y r r en la fórmula con los valores dados.
  4. Evalúe.

Ejemplo 5

Calcular el número de combinaciones utilizando la fórmula

Un restaurante de comida rápida ofrece cinco opciones de guarniciones. Su comida viene con dos guarniciones.

  1. ¿De cuántas maneras puede seleccionar sus guarniciones?
  2. ¿De cuántas maneras puede seleccionar 3 guarniciones?

Análisis

También podemos utilizar una calculadora gráfica para hallar combinaciones. Introduzca 5 y presione n C r , n C r , introduzca 3 y luego presione el signo de igual. La función n C r , n C r , se encuentra en el menú MATH con los comandos de probabilidad.

Preguntas y respuestas

¿Es una coincidencia que las partes (a) y (b) del Ejemplo 5 tengan las mismas respuestas?

No. Cuando elegimos r objetos entre n objetos, no estamos eligiendo (nr) (nr) objetos. Por lo tanto, C(n,r)=C(n,nr). C(n,r)=C(n,nr).

Inténtelo #8

Una heladería ofrece 10 sabores de helado. ¿De cuántas maneras se pueden elegir 3 sabores para un banana split?

Hallar el número de subconjuntos de un conjunto

Solo hemos visto problemas de combinación en los que elegimos exactamente r r objetos. En algunos problemas, queremos considerar la elección de todos los números posibles de objetos. Pensemos, por ejemplo, en una pizzería que ofrece 5 ingredientes. Se puede pedir cualquier número de ingredientes. ¿Cuántas pizzas diferentes son posibles?

Para responder esta pregunta tenemos que considerar las pizzas con cualquier número de ingredientes. Hay C(5,0)=1 C(5,0)=1 maneras de pedir una pizza sin ingredientes. Hay C(5,1)=5 C(5,1)=5 maneras de pedir una pizza con exactamente un ingrediente. Si continuamos este proceso, obtenemos

C(5,0)+C(5,1)+C(5,2 )+C(5,3)+C(5,4)+C(5,5)=32 C(5,0)+C(5,1)+C(5,2 )+C(5,3)+C(5,4)+C(5,5)=32

Hay 32 pizzas posibles. Este resultado es igual a 2 5 . 2 5 .

Se nos presenta una secuencia de opciones. Para cada uno de los n n objetos tenemos dos opciones: incluirlo en el subconjunto o no. Así que para todo el subconjunto hemos hecho n n elecciones, cada una con dos opciones. Así que hay un total de 2·2·2··2 2·2·2··2 posibles subconjuntos resultantes, desde el subconjunto vacío, que obtenemos al decir "no" cada vez, hasta el propio conjunto original, que obtenemos al decir "sí" cada vez.

Fórmula del número de subconjuntos de un conjunto

Un conjunto que contiene n objetos distintos tiene 2 n 2 n subconjuntos.

Ejemplo 6

Hallar el número de subconjuntos de un conjunto

Un restaurante ofrece mantequilla, queso, cebolla de verdeo y crema agria como aderezos para una papa al horno. ¿De cuántas maneras diferentes se puede pedir una papa?

Inténtelo #9

Una barra de helados en una boda tiene 6 ingredientes para elegir. Se puede elegir cualquier número de ingredientes. ¿Cuántos helados diferentes son posibles?

Hallar el número de permutaciones de n objetos no distintos

Hemos estudiado permutaciones en las que todos los objetos implicados eran distintos. ¿Qué ocurre si algunos de los objetos no son diferentes? Por ejemplo, supongamos que hay una hoja de 12 pegatinas. Si todas las pegatinas fueran distintas, habría 12!12! maneras de ordenarlas. Sin embargo, 4 de las pegatinas son estrellas idénticas y 3 son lunas idénticas. Debido a que todos los objetos no son diferentes, muchas de las 12! 12! permutaciones que hemos contado son duplicados. La fórmula general para esta situación es la siguiente.

n! r 1 ! r 2 ! r k ! n! r 1 ! r 2 ! r k !

En este ejemplo, tenemos que dividir entre el número de maneras de ordenar las 4 estrellas y las maneras de ordenar las 3 lunas para hallar el número de permutaciones únicas de las pegatinas. Hay 4! 4! maneras de ordenar las estrellas y 3! 3! maneras de ordenar las lunas.

12! 4!3! =3.326.400 12! 4!3! =3.326.400

Hay 3.326.400 maneras de ordenar la hoja de pegatinas.

Fórmula para hallar el número de permutaciones de n objetos no distintos

Si hay n n elementos de un conjunto y r 1 r 1 son iguales, r 2 r 2 son iguales, r 3 r 3 son iguales, y así hasta r k , r k , el número de permutaciones se puede calcular mediante

n! r 1 ! r 2 ! r k ! n! r 1 ! r 2 ! r k !

Ejemplo 7

Hallar el número de permutaciones de n objetos no distintos

Calcule el número de reorganizaciones de las letras de la palabra DISTINCT.

Inténtelo #10

Calcule el número de reorganizaciones de las letras de la palabra CARRIER.

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar combinaciones y permutaciones.

11.5 Ejercicios de sección

Verbales

En los siguientes ejercicios, suponga que hay n n maneras en las que un evento A A puede ocurrir, m m maneras en las que un evento B B puede ocurrir, y que AB AB no se superponen.

1.

Utilice el principio de adición del conteo para explicar de cuántas maneras el evento AB AB pueden ocurrir.

2.

Utilice el principio de multiplicación de conteo para explicar de cuántas maneras el evento AB AB pueden ocurrir.

Responda las siguientes preguntas.

3.

Ante dos eventos distintos, ¿cómo sabemos si debemos aplicar el principio de adición o el de multiplicación al calcular los posibles resultados? ¿Qué conjunciones pueden ayudar a determinar qué operaciones hay que utilizar?

4.

Describa cómo la permutación de n n objetos difiere de la permutación de elegir r r objetos de un conjunto de n n objetos. Incluya cómo se calcula cada una de ellas.

5.

¿Cómo se denomina el ordenamiento que selecciona r r objetos de un conjunto de n n objetos cuando el orden de los r r objetos no es importante? ¿Cuál es la fórmula para calcular el número de resultados posibles para este tipo de ordenamiento?

Numéricos

En los siguientes ejercicios, determine si debe utilizar el principio de adición o el principio de multiplicación. Luego, realice los cálculos.

6.

Supongamos que el conjunto A={-5,-3,-1,2 ,3,4,5,6}. A={-5,-3,-1,2 ,3,4,5,6}. ¿De cuántas maneras se puede elegir un número negativo o par de A? A?

7.

Supongamos que el conjunto B={23,16,-7,-2 ,20,36,48,72}. B={23,16,-7,-2 ,20,36,48,72}. ¿De cuántas maneras se puede elegir un número positivo o impar de A? A?

8.

¿De cuántas maneras se puede elegir un as rojo o un trébol de una baraja de cartas estándar?

9.

¿De cuántas maneras se puede elegir un color de pintura entre 5 tonos de verde, 4 tonos de azul o 7 tonos de amarillo?

10.

¿Cuántos resultados son posibles al lanzar un par de monedas?

11.

¿Cuántos resultados son posibles al lanzar una moneda y un dado de 6 caras?

12.

¿Cuántas cadenas de dos letras —con la primera letra A A y la segunda letra B B se pueden formar a partir de los conjuntos A={b,c,d} A={b,c,d} y B={a,e,i,i,u}? B={a,e,i,i,u}?

13.

¿De cuántas maneras se puede construir una cadena de 3 dígitos si los números se pueden repetir?

14.

¿De cuántas maneras se puede construir una cadena de 3 dígitos si los números no se pueden repetir?

En los siguientes ejercicios, calcule el valor de la expresión.

15.

P(5,2 ) P(5,2 )

16.

P(8,4) P(8,4)

17.

P(3,3) P(3,3)

18.

P(9,6) P(9,6)

19.

P(11,5) P(11,5)

20.

C(8,5) C(8,5)

21.

C(12,4) C(12,4)

22.

C(26,3) C(26,3)

23.

C(7,6) C(7,6)

24.

C(10,3) C(10,3)

En los siguientes ejercicios, calcule el número de subconjuntos en cada conjunto dado.

25.

{1,2 ,3,4,5,6,7,8,9,10} {1,2 ,3,4,5,6,7,8,9,10}

26.

{a,b,c,,c} {a,b,c,,c}

27.

Un conjunto que contiene 5 números distintos, 4 letras distintas y 3 símbolos distintos

28.

El conjunto de números pares del 2 al 28

29.

El conjunto de números de dos dígitos entre 1 y 100 que contienen el dígito 0

En los siguientes ejercicios, calcule el número distinto de ordenaciones.

30.

Las letras de la palabra "juggernaut"

31.

Las letras de la palabra "academia"

32.

Las letras de la palabra "academia" que comienzan y terminan en "a"

33.

Los símbolos de la cadena #, #, #, @, @, $, $, $, %, %, %

34.

Los símbolos de la cadena #, #, #, @, @, $, $, %, %, % que comienzan y terminan con "%"

Extensiones

35.

El conjunto, S S se compone de 900.000.000 900.000.000 números naturales, cada uno de los cuales tiene el mismo número de dígitos. ¿Cuántos dígitos tiene un número de S? S? (Pista: utilice el hecho de que un número natural no puede comenzar con el dígito 0).

36.

El número de subconjuntos de 5 elementos de un conjunto que contiene n n elementos es igual al número de subconjuntos de 6 elementos del mismo conjunto. ¿Cuál es el valor de n? n? (Pista: el orden en que se eligen los elementos para los subconjuntos no es importante).

37.

¿Puede C(n,r) C(n,r) siempre igualar a P(n,r)? P(n,r)? Explique.

38.

Supongamos que un conjunto A A tiene 2.048 subconjuntos. ¿Cuántos objetos distintos contiene A? A?

39.

¿Cuántas ordenaciones se pueden hacer con las letras de la palabra "mountains" si todas las vocales deben formar una cadena?

Aplicaciones en el mundo real

40.

Una familia compuesta por 2 padres y 3 hijos debe posar para una foto con 2 miembros de la familia en la parte delantera y 3 en la trasera.

  1. ¿Cuántas ordenaciones son posibles sin restricciones?
  2. ¿Cuántas ordenaciones son posibles si los padres deben sentarse delante?
  3. ¿Cuántas ordenaciones son posibles si los padres deben estar uno al lado del otro?
41.

Una compañía de telefonía móvil ofrece 6 paquetes de voz y 8 de datos diferentes. De ellos, 3 paquetes incluyen tanto voz como datos. ¿De cuántas maneras se puede elegir la voz o los datos, pero no ambos?

42.

En las carreras de caballos, se produce una "trifecta" cuando un apostante gana seleccionando a los tres primeros clasificados en el orden exacto (1.er lugar, 2.º lugar y 3.er lugar). ¿Cuántas trifectas diferentes son posibles si hay 14 caballos en una carrera?

43.

Una compañía de venta de camisetas al por mayor ofrece tallas pequeñas, medianas, grandes y extragrandes en algodón orgánico o no orgánico y colores blanco, negro, gris, azul y rojo. ¿Cuántas camisetas diferentes hay para elegir?

44.

Héctor quiere publicar anuncios en vallas publicitarias por todo el condado para su nuevo negocio. ¿De cuántas maneras Héctor puede elegir 15 vecindarios para anunciarse si hay 30 vecindarios en el condado?

45.

Una tienda de arte tiene 4 marcas de rotuladores de 12 colores diferentes y 3 tipos de tinta. ¿Cuántos rotuladores hay para elegir?

46.

¿De cuántas maneras se puede formar un comité de 3 estudiantes de primer año y 4 de tercer año a partir de un grupo de 8 8 estudiantes de primer año y 11 11 de tercer año?

47.

¿De cuántas maneras un entrenador de béisbol puede organizar el orden de 9 bateadores si hay 15 jugadores en el equipo?

48.

Un director de orquesta necesita 5 violonchelistas y 5 violinistas para tocar en un evento diplomático. Para ello, clasifica a los 10 chelistas y a los 16 violinistas de la orquesta por orden de habilidad musical. ¿Cuál es la proporción entre la clasificación total de violonchelistas posible y la clasificación total de violinistas posible?

49.

Una tienda de motocicletas tiene 10 choppers, 6 bobbers y 5 café racers: diferentes tipos de motocicletas de época. ¿De cuántas maneras puede la tienda elegir 3 choppers, 5 bobbers y 2 café racers para una exhibición de fin de semana?

50.

Una tienda de patinetas dispone de 10 tipos de tablas, 3 tipos de trucks y 4 tipos de ruedas. ¿Cuántas patinetas diferentes se pueden construir?

51.

Just-For-Kicks Sneaker Company ofrece un servicio de personalización en línea. ¿De cuántas maneras se puede diseñar un par de zapatos deportivos personalizados de Just-For-Kicks si un cliente puede elegir desde un zapato básico hasta 11 opciones personalizables?

52.

Un autolavado ofrece los siguientes servicios opcionales al lavado básico: cera de capa transparente, pulido de triple espuma, lavado de carrocería inferior, inhibidor de óxido, abrillantador de ruedas, ambientador y champú para interiores. ¿Cuántos lavodas son posibles si se puede añadir cualquier número de opciones al lavado básico?

53.

Suni compró 20 plantas para colocarlas en el borde de su jardín. ¿Cuántos arreglos distintos puede hacer si las plantas están compuestas por 6 tulipanes, 6 rosas y 8 margaritas?

54.

¿De cuántas maneras únicas se puede disponer una ristra de luces de Navidad con 9 bombillas rojas, 10 verdes, 6 blancas y 12 doradas?

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