Jay Abramson

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Aplicar el teorema del binomio.

Un polinomio con dos términos se llama binomio. Ya hemos aprendido a multiplicar binomios y a elevar binomios a potencias, pero elevar un binomio a una potencia alta puede ser tedioso y llevar mucho tiempo. En esta sección hablaremos de un atajo que nos permitirá calcular ${(x + y)}^{n}$ sin multiplicar el binomio por sí mismo $n$ veces.

Identificación de coeficientes binomiales

En la sección Principios de conteo, estudiamos las combinaciones. En el atajo para calcular ${(x + y)}^{n},$ necesitaremos utilizar combinaciones para calcular los coeficientes que aparecerán en la expansión del binomio. En este caso, utilizamos la notación $(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix})$ en vez de $C (n, r),$ pero se puede calcular de la misma manera. Así que

(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) = C (n, r) = \frac{n!}{r! (n - r)!}

La combinación $(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix})$ se llama coeficiente binomial. Un ejemplo de coeficiente binomial es $(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) = C (5, 2) = 10.$

Coeficientes binomiales

Si los valores de $n$ y $r$ son enteros mayores que o iguales a 0 con $n \geq r,$ entonces el coeficiente binomial es

(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) = C (n, r) = \frac{n!}{r! (n - r)!}

Preguntas y respuestas

¿Un coeficiente binomial es siempre un número natural?

Sí. Al igual que el número de combinaciones debe ser siempre un número natural, el coeficiente binomial será siempre un número natural.

Ejemplo 1

Calcular coeficientes binomiales

Calcule cada coeficiente binomial.

Ⓐ $(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})$
Ⓑ $(\begin{matrix} 9 \\ 2 \end{matrix})$
Ⓒ $(\begin{matrix} 9 \\ 7 \end{matrix})$

Solución

Utilice la fórmula para calcular cada coeficiente binomial. También puede utilizar la función $n C_{r}$ en su calculadora.

(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) = C (n, r) = \frac{n!}{r! (n - r)!}

Ⓐ $(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) = \frac{5!}{3! (5 - 3)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! 2!} = 10$
Ⓑ $(\begin{matrix} 9 \\ 2 \end{matrix}) = \frac{9!}{2! (9 - 2)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7!}{2! 7!} = 36$
Ⓒ $(\begin{matrix} 9 \\ 7 \end{matrix}) = \frac{9!}{7! (9 - 7)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! 2!} = 36$

Análisis

Observe que hemos obtenido el mismo resultado para las partes (b) y (c). Si observa detenidamente la solución de estas dos partes, verá que acaba con los mismos dos factoriales en el denominador, pero el orden se invierte, igual que con las combinaciones.

(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) = (\begin{matrix} n \\ n - r \end{matrix})

Inténtelo #1

Calcule cada coeficiente binomial.

Ⓐ $(\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix})$
Ⓑ $(\begin{matrix} 11 \\ 4 \end{matrix})$

Usar el teorema del binomio

Cuando expandimos ${(x + y)}^{n}$ multiplicando, el resultado se llama expansión binomial, e incluye coeficientes binomiales. Si quisiéramos expandir ${(x + y)}^{52},$ podríamos multiplicar $(x + y)$ por sí mismo cincuenta y dos veces. ¡Esto podría llevar horas! Si examinamos algunas expansiones binomiales simples, podemos hallar patrones que nos lleven a un atajo para calcular expansiones binomiales más complicadas.

\begin{array}{l} {(x + y)}^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2} \\ {(x + y)}^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3} \\ {(x + y)}^{4} = x^{4} + 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 x y^{3} + y^{4} \end{array}

Primero, examinemos los exponentes. Con cada término sucesivo, el exponente de $x$ disminuye y el exponente de $y$ aumenta. La suma de los dos exponentes es $n$ para cada término.

A continuación, examinemos los coeficientes. Observe que los coeficientes aumentan y luego disminuyen siguiendo un patrón simétrico. Los coeficientes siguen un patrón:

(\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}), ..., (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) .

Estos patrones nos llevan al teorema del binomio, que se puede usar para expandir cualquier binomio.

\begin{array}{l} {(x + y)}^{n} & = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) x^{n - k} y^{k} \\ = x^{n} + (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) x^{n - 1} y + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) x^{n - 2} y^{2} + ... + (\begin{matrix} n \\ n - 1 \end{matrix}) x y^{n - 1} + y^{n} \end{array}

Otra forma de ver los coeficientes es examinar la expansión de un binomio en forma general, $x + y,$ a potencias sucesivas 1, 2, 3 y 4.

\begin{array}{l} {(x + y)}^{1} = x + y \\ {(x + y)}^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2} \\ {(x + y)}^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3} \\ {(x + y)}^{4} = x^{4} + 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 x y^{3} + y^{4} \end{array}

¿Puede estimar la siguiente expansión del binomio ${(x + y)}^{5} ?$

Figura 1

Vea la Figura 1, que ilustra lo siguiente:

Hay $n + 1$ términos en la expansión de ${(x + y)}^{n} .$
El grado (o suma de los exponentes) de cada término es $n .$
Las potencias en $x$ comienzan con $n$ y disminuyen a 0.
Las potencias en $y$ comienzan con 0 y aumentan hasta $n .$
Los coeficientes son simétricos.

Para determinar la expansión en ${(x + y)}^{5},$ vemos que $n = 5,$ por lo tanto, habrá 5 + 1 = 6 términos. Cada término tiene un grado combinado de 5. En orden descendente para las potencias de $x,$ el patrón es el siguiente:

Introduzca $x^{5},$ y luego para cada término sucesivo reduzca el exponente en $x$ por 1 hasta que $x^{0} = 1$ se alcance.
Introduzca $y^{0} = 1,$ y luego aumente el exponente en $y$ por 1 hasta que $y^{5}$ se alcance.
$x^{5}, x^{4} y, x^{3} y^{2}, x^{2} y^{3}, x y^{4}, y^{5}$

La siguiente expansión sería

{(x + y)}^{5} = x^{5} + 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} + 10 x^{2} y^{3} + 5 x y^{4} + y^{5} .

¿Pero de dónde salen esos coeficientes? Los coeficientes binomiales son simétricos. Observamos estos coeficientes en una matriz conocida como triángulo de Pascal, se muestra en la Figura 2. Pascal no inventó el triángulo. Los principios subyacentes se habían desarrollado y escrito durante más de 1.500 años, primero por el matemático (y poeta) indio Pingala en el siglo II a.C. Otros en Asia y Europa trabajaron con los conceptos a lo largo del tiempo, y el triángulo fue publicado por primera vez en su forma gráfica por Omar Khayyam, un matemático y astrónomo iraní, en cuyo honor el triángulo recibe su nombre en Irán. El matemático francés Blaise Pascal la volvió a popularizar cuando la reeditó y la utilizó para resolver una serie de problemas de probabilidad.

Figura 2

Para generar el triángulo de Pascal, empezamos escribiendo un 1. En la fila de abajo, la fila 2, escribimos dos 1. En la 3.^a fila, flanquee los extremos de las filas con 1, y sume $1 + 1$ para hallar el número del medio, el 2. En la $enésima$ fila, flanquee los extremos de la fila con 1. Cada elemento del triángulo es la suma de los dos elementos inmediatamente superiores.

Para ver la conexión entre el triángulo de Pascal y los coeficientes de los binomios, volvamos a ver la expansión de los binomios en forma general.

Triángulo de Pascal ampliado para mostrar los valores del triángulo como términos x y y con exponentes

El teorema del binomio

El teorema del binomio es una fórmula que se puede utilizar para expandir cualquier binomio.

\begin{array}{l} {(x + y)}^{n} & = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) x^{n - k} y^{k} \\ = x^{n} + (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) x^{n - 1} y + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) x^{n - 2} y^{2} + ... + (\begin{matrix} n \\ n - 1 \end{matrix}) x y^{n - 1} + y^{n} \end{array}

Cómo

Dado un binomio, escríbalo en forma expandida.

Determine el valor de la $n$ según el exponente.
Evalúe los términos $k = 0$ hasta $k = n$ utilizando la fórmula del teorema del binomio.
Simplifique.

Ejemplo 2

Expandir un binomio

Escriba en forma expandida.

Ⓐ ${(x + y)}^{5}$
Ⓑ ${(3 x - y)}^{4}$

Solución

Ⓐ Sustituya $n = 5$ en la fórmula. Evalúe los términos $k = 0$ hasta $k = 5$ . Simplifique.
$\begin{array}{l} {(x + y)}^{5} & = (\begin{matrix} 5 \\ 0 \end{matrix}) x^{5} y^{0} + (\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}) x^{4} y^{1} + (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) x^{3} y^{2} + (\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) x^{2} y^{3} + (\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) x^{1} y^{4} + (\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix}) x^{0} y^{5} \\ {(x + y)}^{5} & = x^{5} + 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} + 10 x^{2} y^{3} + 5 x y^{4} + y^{5} \end{array}$
Ⓑ Sustituya $n = 4$ en la fórmula. Evalúe los términos $k = 0$ hasta $k = 4$ . Observe que $3 x$ está en el lugar que ocupaba $x$ y que $- y$ está en el lugar que ocupaba $y .$ Así que los sustituimos. Simplifique.
$\begin{array}{l} {(3 x - y)}^{4} & = (\begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix}) {(3 x)}^{4} {(- y)}^{0} + (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) {(3 x)}^{3} {(- y)}^{1} + (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) {(3 x)}^{2} {(- y)}^{2} + (\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix}) {(3 x)}^{1} {(- y)}^{3} + (\begin{matrix} 4 \\ 4 \end{matrix}) {(3 x)}^{0} {(- y)}^{4} \\ {(3 x - y)}^{4} & = 81 x^{4} - 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} - 12 x y^{3} + y^{4} \end{array}$

Análisis

Observe los signos alternos de la parte b. Esto sucede porque $(- y)$ elevado a potencias impares es negativo, pero $(- y)$ elevado a potencias pares es positivo. Esto ocurrirá siempre que el binomio contenga un signo de resta.

Inténtelo #2

Escriba en forma expandida.

Ⓐ ${(x - y)}^{5}$
Ⓑ ${(2 x + 5 y)}^{3}$

Usar el teorema del binomio para hallar un solo término

Expandir un binomio con un exponente alto como ${(x + 2 y)}^{16}$ puede ser un proceso largo.

A veces nos interesa solo un término determinado de una expansión binomial. No necesitamos expandir completamente un binomio para hallar un solo término específico.

Observe el patrón de coeficientes en la expansión de ${(x + y)}^{5} .$

{(x + y)}^{5} = x^{5} + (\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}) x^{4} y + (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) x^{3} y^{2} + (\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) x^{2} y^{3} + (\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) x y^{4} + y^{5}

El segundo término es $(\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}) x^{4} y .$ El tercer término es $(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) x^{3} y^{2} .$ Podemos generalizar este resultado.

(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) x^{n - r} y^{r}

El enésimo término (r + 1) de una expansión binomial

El $(r + 1) enésimo$ término de la expansión binomial de ${(x + y)}^{n}$ es:

(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) x^{n - r} y^{r}

Cómo

Dado un binomio, escriba un término específico sin expandirlo completamente.

Determine el valor de la $n$ según el exponente.
Determine $(r + 1) .$
Determine $r .$
Sustituya $r$ en la fórmula del $(r + 1) enésimo$ término de la expansión binomial.

Ejemplo 3

Escribir un término dado de una expansión binomial

Hale el décimo término de ${(x + 2 y)}^{16}$ sin expandir completamente el binomio.

Solución

Dado que buscamos el décimo término, $r + 1 = 10,$ utilizaremos $r = 9$ en nuestros cálculos.

(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) x^{n - r} y^{r}

(\begin{matrix} 16 \\ 9 \end{matrix}) x^{16 - 9} {(2 y)}^{9} = 5, 857, 280 x^{7} y^{9}

Inténtelo #3

Halle el sexto término de ${(3 x - y)}^{9}$ sin expandir completamente el binomio.

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar la expansión binomial.

11.6 Ejercicios de sección

Verbales

1.

¿Qué es un coeficiente binomial y cómo se calcula?

2.

¿Qué papel desempeñan los coeficientes binomiales en una expansión binomial? ¿Están limitados a algún tipo de número?

3.

¿Qué es el teorema del binomio y para qué sirve?

4.

¿Cuándo es una ventaja utilizar el teorema del binomio? Explique.

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, evalúe el coeficiente binomial.

5.

$(\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix})$

6.

$(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})$

7.

$(\begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix})$

8.

$(\begin{matrix} 9 \\ 7 \end{matrix})$

9.

$(\begin{matrix} 10 \\ 9 \end{matrix})$

10.

$(\begin{matrix} 25 \\ 11 \end{matrix})$

11.

$(\begin{matrix} 17 \\ 6 \end{matrix})$

12.

$(\begin{matrix} 200 \\ 199 \end{matrix})$

En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del binomio para expandir cada binomio.

13.

${(4 a - b)}^{3}$

14.

${(5 a + 2)}^{3}$

15.

${(3 a + 2 b)}^{3}$

16.

${(2 x + 3 y)}^{4}$

17.

${(4 x + 2 y)}^{5}$

18.

${(3 x - 2 y)}^{4}$

19.

${(4 x - 3 y)}^{5}$

20.

${(\frac{1}{x} + 3 y)}^{5}$

21.

${(x^{- 1} + 2 y^{- 1})}^{4}$

22.

${(\sqrt{x} - \sqrt{y})}^{5}$

En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del binomio para escribir los tres primeros términos de cada binomio.

23.

${(a + b)}^{17}$

24.

${(x - 1)}^{18}$

25.

${(a - 2 b)}^{15}$

26.

${(x - 2 y)}^{8}$

27.

${(3 a + b)}^{20}$

28.

${(2 a + 4 b)}^{7}$

29.

${(x^{3} - \sqrt{y})}^{8}$

En los siguientes ejercicios, halle el término indicado de cada binomio sin expandir completamente el binomio.

30.

El cuarto término de ${(2 x - 3 y)}^{4}$

31.

El cuarto término de ${(3 x - 2 y)}^{5}$

32.

El tercer término de ${(6 x - 3 y)}^{7}$

33.

El octavo término de ${(7 + 5 y)}^{14}$

34.

El séptimo término de ${(a + b)}^{11}$

35.

El quinto término de ${(x - y)}^{7}$

36.

El décimo término de ${(x - 1)}^{12}$

37.

El noveno término de ${(a - 3 b^{2})}^{11}$

38.

El cuarto término de ${(x^{3} - \frac{1}{2})}^{10}$

39.

El octavo término de ${(\frac{y}{2} + \frac{2}{x})}^{9}$

Gráficos

En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del binomio para expandir el binomio $f (x) = {(x + 3)}^{4} .$ Luego calcule y grafique cada suma indicada en un conjunto de ejes.

40.

Calcule y grafique $f_{1} (x),$ de manera que $f_{1} (x)$ sea el primer término de la expansión.

41.

Calcule y grafique $f_{2} (x),$ de manera que $f_{2} (x)$ sea la suma de los dos primeros términos de la expansión.

42.

Calcule y grafique $f_{3} (x),$ de manera que $f_{3} (x)$ sea la suma de los tres primeros términos de la expansión.

43.

Calcule y grafique $f_{4} (x),$ de manera que $f_{4} (x)$ sea la suma de los cuatro primeros términos de la expansión.

44.

Calcule y grafique $f_{5} (x),$ de manera que $f_{5} (x)$ sea la suma de los cinco primeros términos de la expansión.

Extensiones

45.

En la expansión de ${(5 x + 3 y)}^{n},$ cada término tiene la forma $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) a^{n - k} b^{k}$ , donde $k$ toma sucesivamente el valor $0, 1, 2, ..., n .$ Si $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = (\begin{matrix} 7 \\ 2 \end{matrix}),$ ¿cuál es el término correspondiente?

46.

En la expansión de ${(a + b)}^{n},$ ¿el coeficiente de $a^{n - k} b^{k}$ es el mismo que el coeficiente de cuál otro término?

47.

Considere la expansión de ${(x + b)}^{40} .$ ¿Cuál es el exponente de $b$ en el plano $k enésimo$ término?

48.

Halle $(\begin{matrix} n \\ k - 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})$ y escriba la respuesta como un coeficiente binomial en la forma $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) .$ Pruébelo. Pista: Utilice el hecho de que para cualquier número entero $p,$ de manera que $p \geq 1, p! = p (p - 1)! .$

49.

¿Qué expresión no se puede expandir utilizando el teorema del binomio? Explique.

$(x^{2} - 2 x + 1)$
${(\sqrt{a} + 4 \sqrt{a} - 5)}^{8}$
${(x^{3} + 2 y^{2} - z)}^{5}$
${(3 x^{2} - \sqrt{2 y^{3}})}^{12}$

11.6 Teorema del binomio

Identificación de coeficientes binomiales

Calcular coeficientes binomiales

Solución

Análisis

Usar el teorema del binomio

Expandir un binomio

Solución

Análisis

Usar el teorema del binomio para hallar un solo término

Escribir un término dado de una expansión binomial

Solución

11.6 Ejercicios de sección

Verbales

Algebraicos

Gráficos

Extensiones