Jay Abramson

Ejercicios de repaso

Secuencias y su notación

1.

Escriba los cuatro primeros términos de la secuencia definida por la fórmula recursiva $a_{1} = 2, a_{n} = a_{n - 1} + n .$

2.

Evalúe $\frac{6!}{(5 - 3)! 3!} .$

3.

Escriba los cuatro primeros términos de la secuencia definida por la fórmula explícita $a_{n} = 10^{n} + 3.$

4.

Escriba los cuatro primeros términos de la secuencia definida por la fórmula explícita $a_{n} = \frac{n!}{n (n + 1)} .$

Secuencias aritméticas

5.

¿Es la secuencia $\frac{4}{7}, \frac{47}{21}, \frac{82}{21}, \frac{39}{7}, ...$ aritmética? Si es así, halle la diferencia común.

6.

¿Es la secuencia $2, 4, 8, 16, ...$ aritmética? Si es así, halle la diferencia común.

7.

Una secuencia aritmética tiene el primer término $a_{1} = 18$ y la diferencia común $d = - 8.$ ¿Cuáles son los cinco primeros términos?

8.

Una secuencia aritmética tiene términos $a_{3} = 11,7$ y $a_{8} = - 14,6.$ ¿Cuál es el primer término?

9.

Escriba una fórmula recursiva para la secuencia aritmética $- 20, - 10, 0, 10,…$

10.

Escriba una fórmula recursiva para la secuencia aritmética $0, - \frac{1}{2}, - 1, - \frac{3}{2}, \dots,$ y luego calcule el 31.^º término.

11.

Escriba una fórmula explícita para la secuencia aritmética $\frac{7}{8}, \frac{29}{24}, \frac{37}{24}, \frac{15}{8}, \dots$

12.

¿Cuántos términos hay en la secuencia aritmética finita $12, 20, 28, \dots, 172 ?$

Secuencias geométricas

13.

Calcule la razón común de la secuencia geométrica $2,5, 5, 10, 20, \dots$

14.

¿La secuencia 4, 16, 28, 40 ... es geométrica? Si es así, calcule la razón común. Si no es así, explique por qué.

15.

Una secuencia geométrica tiene términos $a_{7} = 16, 384$ y $a_{9} = 262, 144$ . ¿Cuáles son los cinco primeros términos?

16.

Una secuencia geométrica tiene el primer término $a_{1} = - 3$ y razón común $r = \frac{1}{2} .$ ¿Cuál es el 8.º término?

17.

¿Cuáles son los cinco primeros términos de la secuencia geométrica $a_{1} = 3, a_{n} = 4 \cdot a_{n - 1} ?$

18.

Escriba una fórmula recursiva para la secuencia geométrica $1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \dots$

19.

Escriba una fórmula explícita para la secuencia geométrica $- \frac{1}{5}, - \frac{1}{15}, - \frac{1}{45}, - \frac{1}{135}, \dots$

20.

Cuántos términos hay en la secuencia geométrica finita $- 5, - \frac{5}{3}, - \frac{5}{9}, \dots, - \frac{5}{59, 049} ?$

Las series y su notación

21.

Utilice la notación sumatoria para escribir la suma de términos $\frac{1}{2} m + 5$ a partir de $m = 0, 0$ con $m = 5.$

22.

Utilice la notación de sumatoria para escribir la suma que resulta de sumar el número $13$ veinte veces.

23.

Utilice la fórmula de la suma de los primeros $n$ términos de una serie aritmética para hallar la suma de los once primeros términos de la serie aritmética 2,5, 4, 5,5, ... .

24.

Una escalera tiene $15$ peldaños cónicos, cuyas longitudes aumentan por una diferencia común. El primer peldaño mide 5 pulgadas y el último 20 pulgadas de largo. ¿Cuál es la suma de las longitudes de los peldaños?

25.

Use la fórmula de la suma de los primeros n términos de una serie geométrica para calcular $S_{9}$ para la serie $12, 6, 3, \frac{3}{2}, \dots$

26.

Las cuotas de los tres primeros años de afiliación a un club de caza se indican en la Tabla 1. Si las cuotas siguen aumentando al mismo ritmo, ¿cuál será el costo total de los diez primeros años de afiliación?

Año	Cuotas de afiliación
1	$ 1.500
2	$ 1.950
3	$ 2.535

Tabla 1

27.

Calcule la suma de la serie geométrica infinita $\sum_{k = 1}^{\infty} 45 \cdot {(- \frac{1}{3})}^{k - 1} .$

28.

Una pelota tiene una razón de rebote de $\frac{3}{5}$ la altura del rebote anterior. Escriba una serie que represente la distancia total recorrida por la pelota, suponiendo que se dejó caer inicialmente desde una altura de 5 pies. ¿Cuál es la distancia total? (Pista: la distancia total que recorre la pelota en cada rebote es la suma de las alturas de la subida y la bajada).

29.

Alejandro deposita 80 dólares de sus ingresos mensuales en una anualidad que gana un interés anual del 6,25 %, calculado mensualmente. ¿Cuánto dinero habrá ahorrado después de 5 años?

30.

Los gemelos Hoa y Binh abrieron cuentas de jubilación cuando cumplieron 21 años. Hoa deposita 4.800,00 dólares cada año, ganando un $5,5 %$ de interés anual, calculado mensualmente. Binh deposita 3.600,00 dólares cada año, ganando un $8,5 %$ de interés anual, calculado mensualmente. Qué gemelo ganará más intereses al momento en que tengan $55$ años? ¿Cuánto más?

Principios de conteo

31.

¿Cuántas maneras hay de elegir un número del conjunto ${- 10, - 6, 4, 10, 12, 18, 24, 32}$ que es divisible entre $4$ o $6 ?$

32.

En un grupo de $20$ músicos, $12$ tocan el piano, $7$ tocan la trompeta y $2$ tocan tanto el piano como la trompeta. ¿Cuántos músicos tocan el piano o la trompeta?

33.

¿De cuántas maneras se puede construir un código de 4 dígitos si los números se pueden repetir?

34.

Una paleta de pinturas de acuarela tiene 3 tonos de verde, 3 tonos de azul, 2 tonos de rojo, 2 tonos de amarillo y 1 tono de negro. ¿De cuántas maneras se puede elegir un tono de cada color?

35.

Calcule $P (18, 4) .$

36.

En un grupo de $5$ del primer año, $10$ del segundo año, $3$ del tercer año, y $2$ estudiantes del cuarto año, ¿de cuántas maneras se puede elegir al presidente, al vicepresidente y al tesorero?

37.

Calcule $C (15, 6) .$

38.

Una cafetería tiene 7 tostados guatemaltecos, 4 cubanos y 10 costarricenses. ¿De cuántas maneras puede la tienda elegir 2 tostados guatemaltecos, 2 cubanos y 3 costarricenses para una degustación de café?

39.

¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto ${1, 3, 5, \dots, 99}$ ?

40.

Un spa cobra una tarifa básica por día que incluye el uso del sauna, de la piscina y de las duchas. Por un costo suplementario, los visitantes pueden elegir entre los siguientes servicios adicionales: masaje, exfoliación corporal, manicura, pedicura, tratamiento facial y afeitado con cuchilla. ¿De cuántas maneras se puede pedir servicios adicionales en el spa?

41.

¿De cuántas maneras distintas se puede ordenar la palabra DEADWOOD?

42.

¿Cuántas reorganizaciones distintas de las letras de la palabra DEADWOOD hay si la palabra debe comenzar y terminar con la letra D?

Teorema del binomio

43.

Evalúe el coeficiente binomial $(\begin{matrix} 23 \\ 8 \end{matrix}) .$

44.

Utilice el teorema del binomio para expandir ${(3 x + \frac{1}{2} y)}^{6} .$

45.

Utilice el teorema del binomio para escribir los tres primeros términos de ${(2 a + b)}^{17} .$

46.

Halle el cuarto término de ${(3 a^{2} - 2 b)}^{11}$ sin expandir completamente el binomio.

Probabilidad

En los siguientes ejercicios, suponga que se lanzan dos dados.

47.

Construya una tabla que muestre el espacio muestral.

48.

¿Cuál es la probabilidad de que un lanzamiento incluya un $2 ?$

49.

¿Cuál es la probabilidad de lanzar un par?

50.

¿Cuál es la probabilidad de que un lanzamiento incluya un 2 o resulte en un par?

51.

¿Cuál es la probabilidad de que un lanzamiento no incluya un 2 o resulte en un par?

52.

¿Cuál es la probabilidad de lanzar un 5 o un 6?

53.

¿Cuál es la probabilidad de que un lanzamiento no incluya ni un 5 ni un 6?

En los siguientes ejercicios, utilice estos datos: Una encuesta realizada en una escuela primaria reveló que 350 de los 500 estudiantes preferían las gaseosas a la leche. Supongamos que 8 niños de la escuela asisten a una fiesta de cumpleaños (Muestre los cálculos y redondee a la décima de porcentaje más cercana).

54.

¿Cuál es el porcentaje de probabilidad de que todos los niños que asisten a la fiesta prefieran gaseosas?

55.

¿Cuál es el porcentaje de probabilidad de que, al menos, uno de los niños que asisten a la fiesta prefiera leche?

56.

¿Cuál es el porcentaje de probabilidad de que exactamente 3 de los niños que asisten a la fiesta prefieran gaseosas?

57.

¿Cuál es el porcentaje de probabilidad de que exactamente 3 de los niños que asisten a la fiesta prefieran leche?