11.1 Secuencias y sus notaciones

Una secuencia es una lista de números, llamados términos, escritos en un orden específico.
Las fórmulas explícitas definen cada término de una secuencia utilizando la posición del término. Vea el Ejemplo 1, el Ejemplo 2 y el Ejemplo 3.
Una fórmula explícita para el $enésimo$ término de una secuencia se puede escribir analizando el patrón de varios términos. Vea el Ejemplo 4.
Las fórmulas recursivas definen cada término de una secuencia utilizando los términos anteriores.
Las fórmulas recursivas deben indicar el término o los términos iniciales de una secuencia.
Un conjunto de términos se puede escribir mediante una fórmula recursiva. Vea el Ejemplo 5 y el Ejemplo 6.
Un factorial es una operación matemática que se puede definir de forma recursiva.
El factorial de $n$ es el producto de todos los enteros de 1 a $n$ Vea el Ejemplo 7.

11.2 Secuencias aritméticas

Una secuencia aritmética es una secuencia en la que la diferencia entre dos términos consecutivos cualesquiera es una constante.
La constante entre dos términos consecutivos se llama diferencia común.
La diferencia común es el número añadido a un término cualquiera de una secuencia aritmética que genera el término siguiente. Vea el Ejemplo 1.
Los términos de una secuencia aritmética se pueden hallar empezando por el término inicial y luego sumar la diferencia común repetidamente. Vea el Ejemplo 2 y el Ejemplo 3.
Una fórmula recursiva para una secuencia aritmética con diferencia común $d$ viene dada por $a_{n} = a_{n - 1} + d, n \geq 2.$ Vea el Ejemplo 4.
Como en cualquier fórmula recursiva, hay que dar el término inicial de la secuencia.
Una fórmula explícita para una secuencia aritmética con diferencia común $d$ viene dada por $a_{n} = a_{1} + d (n - 1) .$ Vea el Ejemplo 5.
Se puede usar una fórmula explícita para hallar el número de términos de una secuencia. Vea el Ejemplo 6.
En los problemas de aplicación, a veces modificamos ligeramente la fórmula explícita por $a_{n} = a_{0} + d n .$ Vea el Ejemplo 7.

Una sucesión geométrica es una secuencia en la que la razón entre dos términos consecutivos cualesquiera es una constante.
La razón constante entre dos términos consecutivos se llama razón común.
La razón común se puede calcular la dividir cualquier término de la secuencia entre el término anterior. Vea el Ejemplo 1.
Los términos de una secuencia geométrica se pueden calcular al empezar por el primer término y multiplicar por la razón común repetidamente. Vea el Ejemplo 2 y el Ejemplo 4.
Una fórmula recursiva para una secuencia geométrica con razón común $r$ viene dada por $a_{n} = r a_{n - 1}$ para $n \geq 2$ .
Como en cualquier fórmula recursiva, hay que dar el término inicial de la secuencia. Vea el Ejemplo 3.
Una fórmula explícita para una secuencia geométrica con razón común $r$ viene dada por $a_{n} = a_{1} r^{n - 1} .$ Vea el Ejemplo 5.
En los problemas de aplicación, a veces alteramos ligeramente la fórmula explícita por $a_{n} = a_{0} r^{n} .$ Vea el Ejemplo 6.

La suma de los términos de una secuencia se llama serie.
Una notación común para las series es la llamada notación de sumatoria, que utiliza la letra griega sigma para representar la suma. Vea el Ejemplo 1.
La suma de los términos de una secuencia aritmética se llama serie aritmética.
La suma de los primeros $n$ términos de una serie aritmética se puede calcular utilizando una fórmula. Vea el Ejemplo 2 y el Ejemplo 3.
La suma de los términos de una secuencia geométrica se llama serie geométrica.
La suma de los primeros $n$ términos de una serie geométrica se puede calcular utilizando una fórmula. Vea el Ejemplo 4 y el Ejemplo 5.
La suma de una serie infinita existe si la serie es geométrica con $-1 < r < 1.$
Si la suma de una serie infinita existe, se puede calcular mediante una fórmula. Vea el Ejemplo 6, el Ejemplo 7 y el Ejemplo 8.
Una anualidad es una cuenta en la que el inversor realiza una serie de pagos periódicos. El valor de una anualidad se puede calcular mediante series geométricas. Vea el Ejemplo 9.

Si un evento puede ocurrir en $m$ maneras y un segundo evento sin resultados comunes puede ocurrir en $n$ maneras, entonces el primer o el segundo evento puede ocurrir de $m + n$ maneras. Vea el Ejemplo 1.
Si un evento puede ocurrir en $m$ maneras y un segundo evento puede ocurrir en $n$ maneras después de que el primer evento haya ocurrido, entonces los dos eventos pueden ocurrir en $m \times n$ maneras. Vea el Ejemplo 2.
Una permutación es una ordenación de $n$ objetos.
Si tenemos un conjunto de $n$ objetos y queremos elegir $r$ objetos del conjunto en orden, escribimos $P (n, r) .$
Los problemas de permutación se pueden resolver utilizando el principio de multiplicación o la fórmula de $P (n, r) .$ Vea el Ejemplo 3 y el Ejemplo 4.
Una selección de objetos cuyo orden no importa es una combinación.
Dados $n$ objetos distintos, el número de maneras de seleccionar $r$ objetos del conjunto es $C (n, r)$ y se puede calcular mediante una fórmula. Vea el Ejemplo 5.
Un conjunto que contiene $n$ objetos distintos tiene $2^{n}$ subconjuntos. Vea el Ejemplo 6.
Para los problemas de conteo que implican objetos no distintos, necesitamos dividir para evitar contar permutaciones duplicadas. Vea el Ejemplo 7.

$(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix})$ se llama coeficiente binomial y es igual a $C (n, r) .$ Vea el Ejemplo 1.
El teorema del binomio nos permite expandir los binomios sin multiplicar. Vea el Ejemplo 2.
Podemos hallar un término dado de una expansión binomial sin expandir completamente el binomio. Vea el Ejemplo 3.

La probabilidad es siempre un número entre 0 y 1, donde 0 significa que un evento es imposible y 1 significa que un evento es seguro.
Las probabilidades de un modelo de probabilidad deben sumar 1. Vea el Ejemplo 1.
Cuando los resultados de un experimento son todos igual de probables, podemos calcular la probabilidad de un suceso al dividir el número de resultados del suceso entre el número total de resultados en el espacio muestral del experimento. Vea el Ejemplo 2.
Para calcular la probabilidad de la unión de dos eventos, sumamos las probabilidades de los dos eventos y restamos la probabilidad de que ambos ocurran simultáneamente. Vea el Ejemplo 3.
Para calcular la probabilidad de la unión de dos eventos mutuamente excluyentes, sumamos las probabilidades de cada uno de los eventos. Vea el Ejemplo 4.
La probabilidad del complemento de un evento es la diferencia entre 1 y la probabilidad de que el evento ocurra. Vea el Ejemplo 5.
En algunos problemas de probabilidad, necesitamos utilizar permutaciones y combinaciones para hallar el número de elementos en los eventos y espacios muestrales. Vea el Ejemplo 6.