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Precálculo 2ed

10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares

Precálculo 2ed10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Identificar una sección cónica en forma polar.
  • Graficar las ecuaciones polares de secciones cónicas.
  • Definir secciones cónicas en términos de un foco y una directriz.
Figura 1 Los planetas que orbitan el sol siguen trayectorias elípticas. (Créditos: NASA Blueshift, Flickr).

La mayoría de nosotros estamos familiarizados con el movimiento orbital, como el de un planeta alrededor del Sol o el de un electrón alrededor de un núcleo atómico. Dentro del sistema planetario, las órbitas de planetas, asteroides y cometas alrededor de un cuerpo celeste mayor suelen ser elípticas. Sin embargo, los cometas pueden adoptar una órbita parabólica o hiperbólica. Y, en realidad, las características de las órbitas de los planetas pueden variar con el tiempo. Cada órbita está ligada a la ubicación del cuerpo celeste que se orbita y a la distancia y dirección del planeta u otro objeto desde ese cuerpo. Por ello, tendemos a utilizar coordenadas polares para representar estas órbitas.

En una órbita elíptica, el periapsis es el punto en el que los dos objetos están más cerca, y la apoapsis es el punto en el que están más alejados. En general, la velocidad del cuerpo en órbita tiende a aumentar a medida que se acerca a la periapsis y a disminuir cuando se acerca a la apoapsis. Algunos objetos alcanzan una velocidad de escape, lo que genera una órbita infinita. Estos cuerpos presentan una órbita parabólica o hiperbólica alrededor de un cuerpo; el cuerpo que orbita se libera de la atracción gravitatoria del cuerpo celeste y sale disparado al espacio. Cada una de estas órbitas se puede modelar mediante una sección cónica en el sistema de coordenadas polares.

Identificar una sección cónica en forma polar.

Cualquier sección cónica puede estar determinada por tres características: un único foco, una línea fija llamada directriz, y la relación de las distancias de cada una a un punto del gráfico. Considere la parábola x=2 + y 2 x=2 + y 2 que se muestra en la Figura 2.

Se muestra una parábola horizontal, marcada como x = 2 + y al cuadrado, que se abre hacia la derecha. El foco está marcado como foco @ polo y está en el eje polar horizontal. Se muestra la directriz vertical. Un punto de la cara superior de la parábola se denomina P veces (r, theta) y desde él se trazan dos líneas de igual longitud r, una hacia el foco y otra hacia la directriz y perpendicular a ella. La línea al foco hace un ángulo theta con el eje polar.
Figura 2

En la sección La parábola aprendimos cómo una parábola está definida por el foco (un punto fijo) y la directriz (una línea fija). En esta sección aprenderemos a definir cualquier cónica en el sistema de coordenadas polares en términos de un punto fijo, el foco P(r,θ) P(r,θ) en el polo, y una línea, la directriz, que es perpendicular al eje polar.

Si los valores de F F es un punto fijo, el foco, y D D es una línea fija, la directriz, entonces podemos dejar que e e sea un número fijo positivo, llamado excentricidad, que podemos definir como la relación de las distancias de un punto del gráfico al foco y del punto del gráfico a la directriz. Entonces el conjunto de todos los puntos P P de manera que e= PF PD e= PF PD es una cónica. En otras palabras, podemos definir una cónica como el conjunto de todos los puntos P P con la propiedad de que la relación de la distancia de P P con F F con la distancia de P P con D D es igual a la constante e. e.

Para una cónica con excentricidad e, e,

  • si 0e<1, 0e<1, la cónica es una elipse
  • si e=1, e=1, la cónica es una parábola
  • si e>1, e>1, la cónica es una hipérbola

Con esta definición, ahora podemos definir una cónica en términos de la directriz, x=±p, x=±p, la excentricidad e, e, y el ángulo θ. θ. Así, cada cónica se puede escribir como una ecuación polar, una ecuación escrita en términos de r r y θ. θ.

La ecuación polar de una cónica

Para una sección cónica con foco en el origen, si la directriz es x=±p, x=±p, donde p p es un número real positivo, y la excentricidad es un número real positivo e, e, la cónica tiene una ecuación polar

r= ep 1±ecosθ r= ep 1±ecosθ

Para una sección cónica con foco en el origen, si la directriz es y=±p, y=±p, donde p p es un número real positivo, y la excentricidad es un número real positivo e, e, la cónica tiene una ecuación polar

r= ep 1±esenθ r= ep 1±esenθ

Cómo

Dada la ecuación polar de una cónica, identifique el tipo de cónica, la directriz y la excentricidad.

  1. Multiplique el numerador y el denominador por el recíproco de la constante en el denominador para reescribir la ecuación en forma estándar.
  2. Identifique la excentricidad e e como el coeficiente de la función trigonométrica en el denominador.
  3. Compare e e con 1 para determinar la forma de la cónica.
  4. Determine la directriz como x=p x=p si el coseno está en el denominador y y=p y=p si el seno está en el denominador. Establezca ep ep igual al numerador en forma estándar para resolver x x o y. y.

Ejemplo 1

Identificación de una sección cónica dada la forma polar

Para cada una de las siguientes ecuaciones, identifique la cónica con foco en el origen, la directriz y la excentricidad.

  1. r= 6 3+2senθ r= 6 3+2senθ
  2. r= 12 4+5cosθ r= 12 4+5cosθ
  3. r= 7 2-2senθ r= 7 2-2senθ

Inténtelo #1

Identifique la cónica con foco en el origen, la directriz y la excentricidad para r= 2 3cosθ . r= 2 3cosθ .

Graficar las ecuaciones polares de las cónicas

Al graficar en coordenadas cartesianas, cada sección cónica tiene una ecuación única. Este no es el caso cuando se grafica en coordenadas polares. Debemos utilizar la excentricidad de una sección cónica para determinar el tipo de curva a graficar, y luego determinar sus características específicas. El primer paso es reescribir la cónica en forma estándar como hemos hecho en el ejemplo anterior. En otras palabras, tenemos que reescribir la ecuación para que el denominador empiece por 1. Esto nos permite determinar e e y, por lo tanto, la forma de la curva. El siguiente paso es sustituir los valores de θ θ y resolver para r r para trazar algunos puntos clave. Si establecemos que θ θ igual a 0, π 2 ,π, 0, π 2 ,π, y 3π 2 3π 2 proporciona los vértices para que podamos crear un dibujo aproximado del gráfico.

Ejemplo 2

Graficar una parábola en forma polar

Grafique r= 5 3+3cosθ . r= 5 3+3cosθ .

Análisis

Podemos comprobar nuestro resultado con una herramienta gráfica. Vea la Figura 4.

Se muestra una parábola horizontal que se abre hacia la izquierda en un sistema de coordenadas polares. El vértice está en el eje polar en r = 1. Las marcas del eje polar están identificadas como 2, 3, 4, 5.
Figura 4

Ejemplo 3

Graficar una hipérbola en forma polar

Grafique r= 8 2-3senθ . r= 8 2-3senθ .

Ejemplo 4

Graficar una elipse en forma polar

Grafique r= 10 5-4cosθ . r= 10 5-4cosθ .

Análisis

Podemos comprobar nuestro resultado utilizando una herramienta gráfica. Vea la Figura 7.

Figura 7 r= 10 5-4cosθ r= 10 5-4cosθ graficado en una ventana de visualización de [ -3,12,1 ] [ -3,12,1 ] entre [4,4,1],θmín. =0 [4,4,1],θmín. =0 y θmáx. =2π. θmáx. =2π.

Inténtelo #2

Grafique r= 2 4cosθ . r= 2 4cosθ .

Definir cónicas en términos de un foco y una directriz

Hasta ahora hemos utilizado ecuaciones polares de cónicas para describir y graficar la curva. Ahora, trabajaremos a la inversa; utilizaremos la información sobre el origen, la excentricidad y la directriz para determinar la ecuación polar.

Cómo

Dado el foco, la excentricidad y la directriz de una cónica, determine la ecuación polar.

  1. Determine si la directriz es horizontal o vertical. Si la directriz se da en términos de y, y, utilizamos la forma polar general en términos de seno. Si la directriz se da en términos de x, x, utilizamos la forma polar general en términos de coseno.
  2. Determine el signo del denominador. Si los valores de p<0, p<0, utilice la resta. Si los valores de p>0, p>0, utilice la adición.
  3. Escriba el coeficiente de la función trigonométrica como la excentricidad dada.
  4. Escriba el valor absoluto de p p en el numerador y simplifique la ecuación.

Ejemplo 5

Hallar la forma polar de una sección cónica vertical dado un foco en el origen y la excentricidad y la directriz

Halle la forma polar de la cónica dado un foco en el origen, e=3 e=3 y directriz y=2. y=2.

Ejemplo 6

Hallar la forma polar de una sección cónica horizontal dado un foco en el origen y la excentricidad y la directriz

Halle la forma polar de una cónica dado un foco en el origen, e= 3 5 , e= 3 5 , y directriz x=4. x=4.

Inténtelo #3

Halle la forma polar de la cónica dado un foco en el origen, e=1, e=1, y directriz x=−1. x=−1.

Ejemplo 7

Convertir una cónica en forma polar a forma rectangular

Convertir la sección cónica r= 1 5-5senθ r= 1 5-5senθ a la forma rectangular.

Inténtelo #4

Convertir la sección cónica r= 2 1+2cosθ r= 2 1+2cosθ a la forma rectangular.

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar las cónicas en coordenadas polares.

10.5 Ejercicios de sección

Verbales

1.

Explique cómo la excentricidad determina qué sección cónica se da.

2.

Si una sección cónica se escribe como una ecuación polar, ¿qué debe ser cierto para el denominador?

3.

Si una sección cónica se escribe como una ecuación polar, y el denominador implica senθ, senθ, ¿qué conclusión se puede sacar sobre la directriz?

4.

Si la directriz de una sección cónica es perpendicular al eje polar, ¿qué sabemos de la ecuación del gráfico?

5.

¿Qué sabemos sobre los focos de una sección cónica si se escribe como una ecuación polar?

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, identifique la cónica con foco en el origen, y luego dé la directriz y la excentricidad.

6.

r= 6 1-2cosθ r= 6 1-2cosθ

7.

r= 3 4-4senθ r= 3 4-4senθ

8.

r= 8 4-3cosθ r= 8 4-3cosθ

9.

r= 5 1+2senθ r= 5 1+2senθ

10.

r= 16 4+3cosθ r= 16 4+3cosθ

11.

r= 3 10+10cosθ r= 3 10+10cosθ

12.

r= 2 1-cosθ r= 2 1-cosθ

13.

r= 4 7+2cosθ r= 4 7+2cosθ

14.

r(1-cosθ)=3 r(1-cosθ)=3

15.

r(3+5senθ)=11 r(3+5senθ)=11

16.

r(45senθ)=1 r(45senθ)=1

17.

r(7+8cosθ)=7 r(7+8cosθ)=7

En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación polar de una sección cónica en una ecuación rectangular.

18.

r= 4 1+3senθ r= 4 1+3senθ

19.

r= 2 5-3senθ r= 2 5-3senθ

20.

r= 8 3-2cosθ r= 8 3-2cosθ

21.

r= 3 2 +5cosθ r= 3 2 +5cosθ

22.

r= 4 2+2senθ r= 4 2+2senθ

23.

r= 3 88cosθ r= 3 88cosθ

24.

r= 2 6+7cosθ r= 2 6+7cosθ

25.

r= 5 511senθ r= 5 511senθ

26.

r(5+2cosθ)=6 r(5+2cosθ)=6

27.

r(2 -cosθ)=1 r(2 -cosθ)=1

28.

r(2,52,5senθ)=5 r(2,52,5senθ)=5

29.

r= 6secθ -2 +3secθ r= 6secθ -2 +3secθ

30.

r= 6cscθ 3+2cscθ r= 6cscθ 3+2cscθ

En los siguientes ejercicios, grafique la sección cónica dada. Si es una parábola, marque el vértice, el foco y la directriz. Si es una elipse, marque los vértices y los focos. Si es una hipérbola, marque los vértices y los focos.

31.

r= 5 2+cosθ r= 5 2+cosθ

32.

r= 2 3+3senθ r= 2 3+3senθ

33.

r= 10 5-4senθ r= 10 5-4senθ

34.

r= 3 1+2cosθ r= 3 1+2cosθ

35.

r= 8 45cosθ r= 8 45cosθ

36.

r= 3 4-4cosθ r= 3 4-4cosθ

37.

r= 2 1-senθ r= 2 1-senθ

38.

r= 6 3+2senθ r= 6 3+2senθ

39.

r(1+cosθ)=5 r(1+cosθ)=5

40.

r(3-4senθ)=9 r(3-4senθ)=9

41.

r(3-2senθ)=6 r(3-2senθ)=6

42.

r(6-4cosθ)=5 r(6-4cosθ)=5

En los siguientes ejercicios, halle la ecuación polar de la cónica con foco en el origen y la excentricidad y la directriz dadas.

43.

Directriz: x=4;e= 1 5 x=4;e= 1 5

44.

Directriz: x=4;e=5 x=4;e=5

45.

Directriz: y=2 ;e=2 y=2 ;e=2

46.

Directriz: y=-2 ;e= 1 2 y=-2 ;e= 1 2

47.

Directriz: x=1;e=1 x=1;e=1

48.

Directriz: x=-1;e=1 x=-1;e=1

49.

Directriz: x=- 1 4 ;e= 7 2 x=- 1 4 ;e= 7 2

50.

Directriz: y= 2 5 ;e= 7 2 y= 2 5 ;e= 7 2

51.

Directriz: y=4;e= 3 2 y=4;e= 3 2

52.

Directriz: x=−2;e= 8 3 x=−2;e= 8 3

53.

Directriz: x=−5;e= 3 4 x=−5;e= 3 4

54.

Directriz: y=2 ;e=2,5 y=2 ;e=2,5

55.

Directriz: x=−3;e= 1 3 x=−3;e= 1 3

Extensiones

Recordemos que en la sección Rotación de ejes las ecuaciones de las cónicas con un término xy xy han girado los gráficos. En los siguientes ejercicios, exprese cada ecuación en forma polar con r r en función de θ. θ.

56.

xy=2 xy=2

57.

x 2 +xy+ y 2 =4 x 2 +xy+ y 2 =4

58.

2 x 2 +4xy+2 y 2 =9 2 x 2 +4xy+2 y 2 =9

59.

16 x 2 +24xy+9 y 2 =4 16 x 2 +24xy+9 y 2 =4

60.

2 xy+y=1 2 xy+y=1

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