Jay Abramson

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Combinar funciones utilizando operaciones algebraicas.
Crear una nueva función por composición de las funciones.
Evaluar funciones compuestas.
Hallar el dominio de una función compuesta.
Descomponer una función compuesta en sus funciones componentes.

Supongamos que queremos calcular cuánto cuesta calentar una casa en un día particular del año. El costo de calentar una casa dependerá de la temperatura promedio diaria y, a su vez, la temperatura promedio diaria depende del día particular del año. Observe que acabamos de definir dos relaciones: el costo depende de la temperatura, y la temperatura depende del día.

Utilizando variables descriptivas, podemos anotar estas dos funciones. La función $C (T)$ da el costo $C$ de calentar una casa para una determinada temperatura promedio diaria en $T$ grados Celsius. La función $T (d)$ da la temperatura promedio diaria en el día $d$ del año. Para un día cualquiera, $Costo = C (T (d))$ significa que el costo depende de la temperatura, que a su vez depende del día del año. Así, podemos evaluar la función de costos a la temperatura $T (d) .$ Por ejemplo, podríamos evaluar $T (5)$ para determinar la temperatura media diaria del 5.º día del año. Entonces, podríamos evaluar la función de costos a esa temperatura. Escribiríamos $C (T (5)) .$

Explicación de C(T(5)), que es el costo de la temperatura y T(5) es la temperatura del día 5.

Al combinar estas dos relaciones en una sola función, hemos realizado la composición de las funciones, que es el objetivo de esta sección.

Combinar funciones mediante operaciones algebraicas

La composición de las funciones es solo una forma de combinar funciones existentes. Otra forma es realizar las operaciones algebraicas habituales sobre las funciones, como la suma, la resta, la multiplicación y la división. Para ello, realizamos las operaciones con las salidas de las funciones, definiendo el resultado como la salida de nuestra nueva función.

Supongamos que tenemos que sumar dos columnas de números que representan los ingresos anuales por separado de una pareja durante un periodo de años, y el resultado es el total de los ingresos de la familia. Queremos hacer esto para cada año, añadiendo solo los ingresos de ese año y recogiendo luego todos los datos en una nueva columna. Si los valores de $w (y)$ es el ingreso de la esposa y $h (y)$ es el ingreso del esposo en el año $y,$ y queremos que $T$ represente los ingresos totales, entonces podemos definir una nueva función.

T (y) = h (y) + w (y)

Si esto es cierto para todos los años, entonces podemos centrarnos en la relación entre las funciones sin referencia a un año y escribir

T = h + w

Al igual que para esta suma de dos funciones, podemos definir funciones de diferencia, producto y cociente para cualquier par de funciones que tengan el mismo tipo de entradas (no necesariamente números) y también el mismo tipo de salidas (que sí tienen que ser números para que se les puedan aplicar las operaciones habituales del álgebra, y que además deben tener las mismas unidades o ninguna cuando sumamos y restamos). De este modo, podemos pensar en funciones de suma, resta, multiplicación y división.

Para dos funciones $f (x)$ y $g (x)$ con salidas de números reales, definimos nuevas funciones $f + g, f - g, f g,$ y $\frac{f}{g}$ por las relaciones

\begin{array}{l} (f + g) (x) = f (x) + g (x) \\ (f - g) (x) = f (x) - g (x) \\ (f g) (x) = f (x) g (x) \\ (\frac{f}{g}) (x) = \frac{f (x)}{g (x)} \end{array}

Ejemplo 1

Realizar operaciones algebraicas con funciones

Halle y simplifique las funciones $(g - f) (x)$ y $(\frac{g}{f}) (x),$ dado $f (x) = x - 1$ y $g (x) = x^{2} - 1.$ ¿Son estas la misma función?

Solución

Comience escribiendo la forma general y luego sustituya las funciones dadas.

\begin{matrix} (g - f) (x) & = & g (x) - f (x) \\ (g - f) (x) & = & x^{2} - 1 - (x - 1) \\ (g - f) (x) & = & x^{2} - x \\ (g - f) (x) & = & x (x - 1) \\ (\frac{g}{f}) (x) & = & \frac{g (x)}{f (x)} \\ (\frac{g}{f}) (x) & = & \frac{x^{2} - 1}{x - 1} \\ (\frac{g}{f}) (x) & = & \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} & donde x \neq 1 \\ (\frac{g}{f}) (x) & = & x + 1 \end{matrix}

No, las funciones no son las mismas.

Nota: Para $(\frac{g}{f}) (x),$ la condición $x \neq 1$ es necesaria porque cuando $x = 1,$ el denominador es igual a 0, lo que hace que la función sea indefinida.

Inténtelo #1

Halle y simplifique las funciones $(f g) (x)$ y $(f - g) (x) .$

f (x) = x - 1 y g (x) = x^{2} - 1

¿Son estas la misma función?

Crear una función por composición de las funciones

Realizar operaciones algebraicas sobre las funciones las combina en una nueva función, pero también podemos crear funciones componiéndolas. Cuando queremos calcular el costo de la calefacción a partir de un día del año, creamos una nueva función que toma un día como entrada y da un costo como salida. El proceso de la combinación de funciones para que la salida de una función se convierta en la entrada de otra se conoce como composición de las funciones. El resultado se conoce como función compuesta. Representamos esta combinación mediante la siguiente notación:

(f \circ g) (x) = f (g (x))

Leemos el lado izquierdo como $“ f$ compuesto con $g$ a las $x ”,$ y el lado derecho como $“ f$ de $g$ de $x ” .$ Los dos lados de la ecuación tienen el mismo significado matemático y son iguales. El símbolo del círculo abierto $\circ$ se denomina operador de composición. Utilizamos este operador principalmente cuando queremos destacar la relación entre las propias funciones sin referirnos a ningún valor de entrada en particular. La composición es una operación binaria que toma dos funciones y forma una nueva función, al igual que la suma o la multiplicación toma dos números y da un nuevo número. Sin embargo, es importante no confundir la composición de las funciones con la multiplicación porque, como hemos aprendido anteriormente, en la mayoría de los casos $f (g (x)) \neq f (x) g (x) .$

También es importante entender el orden de las operaciones al evaluar una función compuesta. Seguimos la convención habitual con los paréntesis, comenzando por los más internos y luego trabajando hacia el exterior. En la ecuación anterior, la función $g$ toma la entrada $x$ primero y da una salida $g (x) .$ Entonces la función $f$ toma $g (x)$ como entrada y produce una salida $f (g (x)) .$

En general, $f \circ g$ y $g \circ f$ son funciones diferentes. En otras palabras, en muchos casos $f (g (x)) \neq g (f (x))$ para todo $x .$ También veremos que a veces dos funciones solo pueden componerse en un orden concreto.

Por ejemplo, si $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x + 2,$ entonces

\begin{array}{l} f (g (x)) = f (x + 2) \\ = {(x + 2)}^{2} \\ = x^{2} + 4 x + 4 \end{array}

pero

\begin{array}{l} g (f (x)) = g (x^{2}) \\ = x^{2} + 2 \end{array}

Estas expresiones no son iguales para todos los valores de $x,$ por lo que las dos funciones no son iguales. Es irrelevante que las expresiones sean iguales para el único valor de entrada $x = - \frac{1}{2} .$

Observe que el rango de la función interior (la primera función a evaluar) tiene que estar dentro del dominio de la función exterior. De manera menos formal, la composición tiene que tener sentido en términos de entradas y salidas.

Composición de las funciones

Cuando la salida de una función se utiliza como entrada de otra, llamamos a la operación completa composición de las funciones. Para cualquier entrada $x$ y funciones $f$ y $g,$ esta acción define una función compuesta, que escribimos como $f \circ g$ tal que

(f \circ g) (x) = f (g (x))

El dominio de la función compuesta $f \circ g$ es toda $x$ tal que $x$ está en el dominio de $g$ y $g (x)$ está en el dominio de $f .$

Es importante observar que el producto de las funciones $f g$ no es lo mismo que la composición de la función $f (g (x)),$ porque, en general, $f (x) g (x) \neq f (g (x)) .$

Ejemplo 2

Determinar si la composición de las funciones es conmutativa

Utilizando las funciones proporcionadas, halle $f (g (x))$ y $g (f (x)) .$ Determine si la composición de las funciones es conmutativa.

f (x) = 2 x + 1 g (x) = 3 - x

Solución

Empecemos por sustituir $g (x)$ en $f (x) .$

\begin{array}{l} f (g (x)) = 2 (3 - x) + 1 \\ = 6 - 2 x + 1 \\ = 7 - 2 x \end{array}

Ahora podemos sustituir $f (x)$ en $g (x) .$

\begin{array}{l} g (f (x)) = 3 - (2 x + 1) \\ = 3 - 2 x - 1 \\ = - 2 x + 2 \end{array}

Tenemos que $g (f (x)) \neq f (g (x)),$ por lo que la operación de composición de las funciones no es conmutativa.

Ejemplo 3

Interpretar las funciones compuestas

La función $c (s)$ da el número de calorías quemadas completando $s$ abdominales, y $s (t)$ da el número de abdominales que una persona puede completar en $t$ minutos. Interprete $c (s (3)) .$

Solución

La expresión interior de la composición es $s (3) .$ Ya que la entrada de la función s es el tiempo, $t = 3$ representa 3 minutos, y $s (3)$ es el número de sentadillas completadas en 3 minutos.

Utilizando $s (3)$ como entrada a la función $c (s)$ nos da el número de calorías quemadas durante el número de sentadillas que se pueden completar en 3 minutos, o simplemente el número de calorías quemadas en 3 minutos (haciendo sentadillas).

Ejemplo 4

Investigar el orden de composición de las funciones

Supongamos que $f (x)$ da las millas que se pueden conducir en $x$ horas y $g (y)$ da los galones de gasolina utilizados al conducir $y$ millas. ¿Cuál de estas expresiones tiene sentido $f (g (y))$ o $g (f (x)) ?$

Solución

La función $y = f (x)$ es una función cuya salida es el número de millas recorridas correspondientes al número de horas recorridas.

número de millas = f (número de horas)

La función $g (y)$ es una función cuya salida es el número de galones utilizados correspondientes al número de millas recorridas. Esto significa:

número de galones = g (número de millas)

La expresión $g (y)$ toma las millas como entrada y un número de galones como salida. La función $f (x)$ requiere un número de horas como entrada. Intentar introducir un número de galones no tiene sentido. La expresión $f (g (y))$ no tiene sentido.

La expresión $f (x)$ toma las horas como entrada y un número de millas recorridas como salida. La función $g (y)$ requiere un número de millas como entrada. Utilizando $f (x)$ (millas recorridas) como valor de entrada para $g (y),$ en el que los galones de gasolina dependen de las millas recorridas, sí tiene sentido. La expresión $g (f (x))$ tiene sentido, y dará el número de galones de gasolina utilizados, $g,$ al conducir un determinado número de millas, $f (x),$ en $x$ horas.

Preguntas y respuestas

¿Existen situaciones en las que $f (g (y))$ y $g (f (x))$ serían ambas expresiones significativas o útiles?

Sí. Para muchas funciones matemáticas puras, ambas composiciones tienen sentido, aunque suelen producir nuevas funciones diferentes. En los problemas del mundo real, las funciones cuyas entradas y salidas tienen las mismas unidades también pueden dar composiciones que tienen sentido en cualquier orden.

Inténtelo #2

La fuerza gravitacional sobre un planeta a una distancia r del sol viene dada por la función $G (r) .$ La aceleración de un planeta sometido a una fuerza cualquiera $F$ viene dada por la función $a (F) .$ Forme una composición significativa de estas dos funciones y explique su significado.

Evaluar funciones compuestas

Una vez que componemos una nueva función a partir de dos funciones existentes, tenemos que ser capaces de evaluarla para cualquier entrada en su dominio. Lo haremos con entradas numéricas específicas para funciones expresadas como tablas, gráficos y fórmulas, y con variables como entradas de funciones expresadas como fórmulas. En cada caso, evaluamos la función interna utilizando la entrada inicial y luego utilizamos la salida de la función interna como entrada para la función externa.

Evaluar funciones compuestas mediante tablas

Cuando se trabaja con funciones dadas como tablas, se leen los valores de entrada y salida de las entradas de la tabla y se trabaja siempre de adentro hacia fuera. Primero evaluamos la función interior y luego utilizamos la salida de la función interior como entrada de la función exterior.

Ejemplo 5

Usar una tabla para evaluar una función compuesta

Usando la Tabla 1, evalúe $f (g (3))$ y $g (f (3)) .$

$x$	$f (x)$	$g (x)$
1	6	3
2	8	5
3	3	2
4	1	7

Tabla 1

Solución

Para evaluar $f (g (3)),$ comenzamos desde el interior con el valor de entrada 3. A continuación, evaluamos la expresión interior $g (3)$ utilizando la tabla que define la función $g :$ $g (3) = 2.$ Podemos entonces utilizar ese resultado como entrada a la función $f,$ por lo que $g (3)$ se sustituye por 2 y obtenemos $f (2) .$ Entonces, utilizando la tabla que define la función $f,$ tenemos que $f (2) = 8.$

\begin{array}{l} g (3) = 2 \\ f (g (3)) = f (2) = 8 \end{array}

Para evaluar $g (f (3)),$ primero evaluamos la expresión interior $f (3)$ utilizando la primera tabla: $f (3) = 3.$ Entonces, utilizando la tabla para $g,$ podemos evaluar

g (f (3)) = g (3) = 2

La Tabla 2 muestra las funciones compuestas $f \circ g$ y $g \circ f$ como tablas.

$x$	$g (x)$	$f (g (x))$	$f (x)$	$g (f (x))$
3	2	8	3	2

Tabla 2

Inténtelo #3

Si utilizamos la Tabla 1, evalúe $f (g (1))$ y $g (f (4)) .$

Evaluar funciones compuestas mediante gráficos

Cuando se nos dan funciones individuales como gráficos, el procedimiento para evaluar las funciones compuestas es similar al proceso que utilizamos para evaluar las tablas. Leemos los valores de entrada y salida, pero esta vez, desde los ejes $x$ y $y$ de los gráficos.

Cómo

Dada una función compuesta y los gráficos de sus funciones individuales, evalúela utilizando la información proporcionada por los gráficos.

Localice la entrada dada a la función interna en el eje $x$ de su gráfico.
Lea la salida de la función interna del eje $y$ de su gráfico.
Ubique la salida de la función interna en el eje $x$ del gráfico de la función exterior.
Lea la salida de la función externa del eje $y$ de su gráfico. Esta es la salida de la función compuesta.

Ejemplo 6

Usar un gráfico para evaluar una función compuesta

Usando la Figura 1, evalúe $f (g (1)) .$

Figura 1

Solución

Para evaluar $f (g (1)),$ comenzamos con la evaluación interna. Vea la Figura 2.

Dos gráficos de una parábola positiva (g(x)) y una parábola negativa (f(x)). Los siguientes puntos se representan: g(1)=3 y f(3)=6.

Figura 2

Evaluamos $g (1)$ utilizando el gráfico de $g (x),$ hallando la entrada de 1 en el eje $x$ y hallando el valor de salida del gráfico en esa entrada. Aquí, $g (1) = 3.$ Utilizamos este valor como entrada a la función $f .$

f (g (1)) = f (3)

Podemos entonces evaluar la función compuesta mirando el gráfico de $f (x),$ hallando la entrada de 3 en el eje $x$ y leyendo el valor de salida del gráfico en esta entrada. Aquí, $f (3) = 6,$ por lo que $f (g (1)) = 6.$

Análisis

La Figura 3 muestra cómo podemos marcar los gráficos con flechas para trazar el camino desde el valor de entrada hasta el de salida.

Dos gráficos de una parábola positiva y otra negativa.

Figura 3

Inténtelo #4

Si utilizamos la Figura 1, evalúe $g (f (2)) .$

Evaluar funciones compuestas mediante fórmulas

Cuando se evalúa una función compuesta en la que hemos creado o nos han dado fórmulas, la regla de trabajar de adentro hacia afuera sigue siendo la misma. El valor de entrada a la función externa será la salida de la función interna, que puede ser un valor numérico, un nombre de variable o una expresión más complicada.

Aunque podemos componer las funciones para cada valor de entrada individual, a veces es útil encontrar una única fórmula que calcule el resultado de una composición $f (g (x)) .$ Para ello, ampliaremos nuestra idea de evaluación de funciones. Recordemos que, cuando evaluamos una función como $f (t) = t^{2} - t,$ sustituimos el valor dentro de los paréntesis en la fórmula siempre que veamos la variable de entrada.

Cómo

Dada la fórmula de una función compuesta, evalúe la función.

Evalúe la función interior utilizando el valor de entrada o la variable proporcionada.
Utilice la salida resultante como entrada a la función exterior.

Ejemplo 7

Evaluar una composición de las funciones expresadas como fórmulas con una entrada numérica

Dado que $f (t) = t^{2} - t$ y $h (x) = 3 x + 2,$ evaluar $f (h (1)) .$

Solución

Como la expresión interior es $h (1),$ comenzamos evaluando $h (x)$ en 1.

\begin{array}{l} h (1) = 3 (1) + 2 \\ h (1) = 5 \end{array}

Entonces $f (h (1)) = f (5),$ por lo que evaluamos $f (t)$ a una entrada de 5.

\begin{array}{l} f (h (1)) = f (5) \\ f (h (1)) = 5^{2} - 5 \\ f (h (1)) = 20 \end{array}

Análisis

No importa cuáles sean las variables de entrada, se llama a $t$ y $x$ en este problema porque evaluamos para valores numéricos específicos.

Inténtelo #5

Dados $f (t) = t^{2} - t$ y $h (x) = 3 x + 2,$ evalúe

Ⓐ $h (f (2))$
Ⓑ $h (f (- 2))$

Halle el dominio de una función compuesta

Como hemos comentado anteriormente, el dominio de una función compuesta como $f \circ g$ depende del dominio de $g$ y el dominio de $f .$ Es importante saber cuándo podemos aplicar una función compuesta y cuándo no; es decir, conocer el dominio de una función como $f \circ g .$ Supongamos que conocemos los dominios de las funciones $f$ y $g$ por separado. Si escribimos la función compuesta para una entrada $x$ cuando $f (g (x)),$ podemos ver de inmediato que $x$ debe ser miembro del dominio de $g$ para que la expresión tenga sentido, porque de lo contrario no podemos completar la evaluación de la función interna. Sin embargo, también vemos que $g (x)$ debe ser miembro del dominio de $f,$ de lo contrario la segunda evaluación de la función en $f (g (x))$ no se puede completar, y la expresión sigue siendo indefinida. Así, el dominio de $f \circ g$ se compone únicamente de las entradas en el dominio de $g$ que producen resultados de $g$ pertenecientes al dominio de $f .$ Observe que el dominio de $f$ compuesto con $g$ es el conjunto de todas las $x$ tal que $x$ está en el dominio de $g$ y $g (x)$ está en el dominio de $f .$

Dominio de una función compuesta

El dominio de una función compuesta $f (g (x))$ es el conjunto de esas entradas $x$ en el dominio de $g$ para la cual $g (x)$ está en el dominio de $f .$

Cómo

Dada una composición de funciones $f (g (x)),$ determine su dominio.

Halle el dominio de $g .$
Halle el dominio de $f .$
Halle esas entradas $x$ en el dominio de $g$ para la cual $g (x)$ está en el dominio de $f .$ Es decir, excluya aquellas entradas $x$ del dominio de $g$ para la cual $g (x)$ no es del dominio de $f .$ El conjunto resultante es el dominio de $f \circ g .$

Ejemplo 8

Hallar el dominio de una función compuesta

Halle el dominio de

(f \circ g) (x) donde f (x) = \frac{5}{x - 1} y g (x) = \frac{4}{3 x - 2}

Solución

El dominio de $g (x)$ consiste en todos los números reales excepto $x = \frac{2}{3},$ ya que ese valor de entrada nos haría dividir entre 0. Asimismo, el dominio de $f$ consiste en todos los números reales excepto el 1. Así que tenemos que excluir del dominio de $g (x)$ ese valor de $x$ para los cuales $g (x) = 1.$

\begin{array}{l} \frac{4}{3 x - 2} = 1 \\ 4 = 3 x - 2 \\ 6 = 3 x \\ x = 2 \end{array}

Así que el dominio de $f \circ g$ es el conjunto de todos los números reales excepto $\frac{2}{3}$ y $2.$ Esto significa que

x \neq \frac{2}{3} o x \neq 2

Podemos escribirlo en notación de intervalo como

(- \infty, \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}, 2) \cup (2, \infty)

Ejemplo 9

Hallar el dominio de una función compuesta con radicales

Halle el dominio de

(f \circ g) (x) donde f (x) = \sqrt{x + 2} y g (x) = \sqrt{3 - x}

Solución

Como no podemos sacar la raíz cuadrada de un número negativo, el dominio de $g$ es $(- \infty, 3] .$ Ahora comprobamos el dominio de la función compuesta

(f \circ g) (x) = \sqrt{\sqrt{3 - x} + 2}

Para $(f \circ g) (x) = \sqrt{\sqrt{3 - x} + 2}, \sqrt{3 - x} + 2 \geq 0,$ ya que el radicando de una raíz cuadrada debe ser positivo. Como las raíces cuadradas son positivas, $\sqrt{3 - x} \geq 0,$ o, $3 - x \geq 0,$ lo que da un dominio de $(-\infty, 3]$ .

Análisis

Este ejemplo muestra que el conocimiento del rango de las funciones (específicamente la función interna) también puede ser útil para encontrar el dominio de una función compuesta. También muestra que el dominio de $f \circ g$ puede contener valores que no están en el dominio de $f,$ aunque deben estar en el dominio de $g .$

Inténtelo #6

Halle el dominio de

(f \circ g) (x) donde f (x) = \frac{1}{x - 2} y g (x) = \sqrt{x + 4}

Descomponer una función compuesta en sus funciones componentes

En algunos casos, es necesario descomponer una función complicada. En otras palabras, la escribimos como una composición de dos funciones más simples. Puede haber más de una forma de descomponer una función compuesta, por lo que podemos elegir la descomposición que nos parezca más conveniente.

Ejemplo 10

Descomposición de una función

Escriba $f (x) = \sqrt{5 - x^{2}}$ como la composición de dos funciones.

Solución

Buscamos dos funciones, $g$ y $h,$ por lo que $f (x) = g (h (x)) .$ Para ello, buscamos una función dentro de otra en la fórmula de $f (x) .$ Como una posibilidad, podemos notar que la expresión $5 - x^{2}$ es el interior de la raíz cuadrada. Podríamos entonces descomponer la función como

h (x) = 5 - x^{2} y g (x) = \sqrt{x}

Podemos comprobar nuestra respuesta recomponiendo las funciones.

g (h (x)) = g (5 - x^{2}) = \sqrt{5 - x^{2}}

Inténtelo #7

Escriba $f (x) = \frac{4}{3 - \sqrt{4 + x^{2}}}$ como la composición de dos funciones.

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con las funciones compuestas.

1.4 Ejercicios de sección

Verbales

1.

¿Cómo se calcula el dominio del cociente de dos funciones, $\frac{f}{g} ?$

2.

¿Cuál es la composición de dos funciones, $f \circ g ?$

3.

Si se invierte el orden al componer dos funciones, ¿el resultado puede ser siempre el mismo que la respuesta en el orden original de la composición? En caso afirmativo, dé un ejemplo. Si no, explique por qué no.

4.

¿Cómo se calcula el dominio para la composición de dos funciones, $f \circ g ?$

Algebraicos

5.

Dados $f (x) = x^{2} + 2 x$ y $g (x) = 6 - x^{2},$ calcule $f + g, f - g, f g,$ y $\frac{f}{g} .$ Determine el dominio de cada función en notación intervalo.

6.

Dado que $f (x) = - 3 x^{2} + x$ y $g (x) = 5,$ calcule $f + g, f - g, f g,$ y $\frac{f}{g} .$ Determine el dominio de cada función en notación de intervalo.

7.

Dados $f (x) = 2 x^{2} + 4 x$ y $g (x) = \frac{1}{2 x},$ calcule $f + g, f - g, f g,$ y $\frac{f}{g} .$ Determine el dominio de cada función en notación intervalo.

8.

Dado que $f (x) = \frac{1}{x - 4}$ y $g (x) = \frac{1}{6 - x},$ calcule $f + g, f - g, f g,$ y $\frac{f}{g} .$ Determine el dominio de cada función en notación de intervalo.

9.

Dados $f (x) = 3 x^{2}$ y $g (x) = \sqrt{x - 5},$ calcule $f + g, f - g, f g,$ y $\frac{f}{g} .$ Determine el dominio de cada función en notación intervalo.

10.

Dado que $f (x) = \sqrt{x}$ y $g (x) = | x - 3 |,$ calcule $\frac{g}{f} .$ Determine el dominio de la función en notación intervalo.

11.

Dados $f (x) = 2 x^{2} + 1$ y $g (x) = 3 x - 5,$ calcule lo siguiente:

Ⓐ $f (g (2))$
Ⓑ $f (g (x))$
Ⓒ $g (f (x))$
Ⓓ $(g \circ g) (x)$
Ⓔ $(f \circ f) (- 2)$

En los siguientes ejercicios, utilice cada par de funciones para calcular $f (g (x))$ y $g (f (x)) .$ Simplifique sus respuestas.

12.

$f (x) = x^{2} + 1, g (x) = \sqrt{x + 2}$

13.

$f (x) = \sqrt{x} + 2, g (x) = x^{2} + 3$

14.

$f (x) = | x |, g (x) = 5 x + 1$

15.

$f (x) = \sqrt[3]{x}, g (x) = \frac{x + 1}{x^{3}}$

16.

$f (x) = \frac{1}{x - 6}, g (x) = \frac{7}{x} + 6$

17.

$f (x) = \frac{1}{x - 4}, g (x) = \frac{2}{x} + 4$

En los siguientes ejercicios, utilice cada conjunto de funciones para hallar $f (g (h (x))) .$ Simplifique sus respuestas.

18.

$f (x) = x^{4} + 6,$ $g (x) = x - 6,$ y $h (x) = \sqrt{x}$

19.

$f (x) = x^{2} + 1,$ $g (x) = \frac{1}{x},$ y $h (x) = x + 3$

20.

Dado que $f (x) = \frac{1}{x}$ y $g (x) = x - 3,$ calcule lo siguiente:

Ⓐ $(f \circ g) (x)$
Ⓑ el dominio de $(f \circ g) (x)$ en notación intervalo
Ⓒ $(g \circ f) (x)$
Ⓓ el dominio de $(g \circ f) (x)$
Ⓔ $(\frac{f}{g}) x$

21.

Dados $f (x) = \sqrt{2 - 4 x}$ y $g (x) = - \frac{3}{x},$ calcule lo siguiente:

Ⓐ $(g \circ f) (x)$
Ⓑ el dominio de $(g \circ f) (x)$ en notación de intervalo

22.

Dadas las funciones $f (x) = \frac{1 - x}{x} y g (x) = \frac{1}{1 + x^{2}},$ calcule lo siguiente:

Ⓐ $(g \circ f) (x)$
Ⓑ $(g \circ f) (2)$

23.

Dadas las funciones $p (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ y $m (x) = x^{2} - 4,$ indique el dominio de cada una de las siguientes funciones utilizando la notación intervalo:

Ⓐ $\frac{p (x)}{m (x)}$
Ⓑ $p (m (x))$
Ⓒ $m (p (x))$

24.

Funciones dadas $q (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ y $h (x) = x^{2} - 9,$ indique el dominio de cada una de las siguientes funciones utilizando la notación intervalo.

Ⓐ $\frac{q (x)}{h (x)}$
Ⓑ $q (h (x))$
Ⓒ $h (q (x))$

25.

Para $f (x) = \frac{1}{x}$ y $g (x) = \sqrt{x - 1},$ escriba el dominio de $(f \circ g) (x)$ en notación de intervalo.

En los siguientes ejercicios, halle las funciones $f (x)$ y $g (x)$ para que la función dada pueda expresarse como $h (x) = f (g (x)) .$

26.

$h (x) = {(x + 2)}^{2}$

27.

$h (x) = {(x - 5)}^{3}$

28.

$h (x) = \frac{3}{x - 5}$

29.

$h (x) = \frac{4}{{(x + 2)}^{2}}$

30.

$h (x) = 4 + \sqrt[3]{x}$

31.

$h (x) = \sqrt[3]{\frac{1}{2 x - 3}}$

32.

$h (x) = \frac{1}{{(3 x^{2} - 4)}^{- 3}}$

33.

$h (x) = \sqrt[4]{\frac{3 x - 2}{x + 5}}$

34.

$h (x) = {(\frac{8 + x^{3}}{8 - x^{3}})}^{4}$

35.

$h (x) = \sqrt{2 x + 6}$

36.

$h (x) = {(5 x - 1)}^{3}$

37.

$h (x) = \sqrt[3]{x - 1}$

38.

$h (x) = | x^{2} + 7 |$

39.

$h (x) = \frac{1}{{(x - 2)}^{3}}$

40.

$h (x) = {(\frac{1}{2 x - 3})}^{2}$

41.

$h (x) = \sqrt{\frac{2 x - 1}{3 x + 4}}$

Gráficos

En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos de $f,$ que se muestra en la Figura 4, y $g,$ que se muestra en la Figura 5, para evaluar las expresiones.

Figura 4

Figura 5

42.

$f (g (3))$

43.

$f (g (1))$

44.

$g (f (1))$

45.

$g (f (0))$

46.

$f (f (5))$

47.

$f (f (4))$

48.

$g (g (2))$

49.

$g (g (0))$

En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos de $f (x),$ que se muestra en la Figura 6, $g (x),$ que se muestra en la Figura 7, y $h (x),$ que se muestra en la Figura 8, para evaluar las expresiones.

Figura 6

Figura 7

Gráfico de una función de raíz cuadrada.

Figura 8

50.

$g (f (1))$

51.

$g (f (2))$

52.

$f (g (4))$

53.

$f (g (1))$

54.

$f (h (2))$

55.

$h (f (2))$

56.

$f (g (h (4)))$

57.

$f (g (f (- 2)))$

Numéricos

En los siguientes ejercicios, utilice los valores de la función para $f y g$ que se muestra la Tabla 3 para evaluar cada expresión.

$x$	$f (x)$	$g (x)$
0	7	9
1	6	5
2	5	6
3	8	2
4	4	1
5	0	8
6	2	7
7	1	3
8	9	4
9	3	0

Tabla 3

58.

$f (g (8))$

59.

$f (g (5))$

60.

$g (f (5))$

61.

$g (f (3))$

62.

$f (f (4))$

63.

$f (f (1))$

64.

$g (g (2))$

65.

$g (g (6))$

En los siguientes ejercicios, utilice los valores de la función para $f y g$ que se muestra en la Tabla 4 para evaluar las expresiones.

$x$	$f (x)$	$g (x)$
-3	11	-8
-2	9	-3
-1	7	0
0	5	1
1	3	0
2	1	-3
3	-1	-8

Tabla 4

66.

$(f \circ g) (1)$

67.

$(f \circ g) (2)$

68.

$(g \circ f) (2)$

69.

$(g \circ f) (3)$

70.

$(g \circ g) (1)$

71.

$(f \circ f) (3)$

En los siguientes ejercicios, utilice cada par de funciones para calcular $f (g (0))$ y $g (f (0)) .$

72.

$f (x) = 4 x + 8, g (x) = 7 - x^{2}$

73.

$f (x) = 5 x + 7, g (x) = 4 - 2 x^{2}$

74.

$f (x) = \sqrt{x + 4}, g (x) = 12 - x^{3}$

75.

$f (x) = \frac{1}{x + 2}, g (x) = 4 x + 3$

En los siguientes ejercicios, utilice las funciones $f (x) = 2 x^{2} + 1$ y $g (x) = 3 x + 5$ para evaluar o encontrar la función compuesta como se indica.

76.

$f (g (2))$

77.

$f (g (x))$

78.

$g (f (- 3))$

79.

$(g \circ g) (x)$

Extensiones

En los siguientes ejercicios, utilice $f (x) = x^{3} + 1$ y $g (x) = \sqrt[3]{x - 1} .$

80.

Halle $(f \circ g) (x)$ y $(g \circ f) (x) .$ Compare las dos respuestas.

81.

Calcule $(f \circ g) (2)$ y $(g \circ f) (2) .$

82.

¿Cuál es el dominio de $(g \circ f) (x) ?$

83.

¿Cuál es el dominio de $(f \circ g) (x) ?$

84.

Supongamos que $f (x) = \frac{1}{x} .$

Ⓐ Halle $(f \circ f) (x) .$
Ⓑ ¿Es $(f \circ f) (x)$ para cualquier función $f$ el mismo resultado que la respuesta a la parte (a) para cualquier función? Explique.

En los siguientes ejercicios, supongamos que $F (x) = {(x + 1)}^{5},$ $f (x) = x^{5},$ y $g (x) = x + 1.$

85.

Verdadero o falso: $(g \circ f) (x) = F (x) .$

86.

Verdadero o falso: $(f \circ g) (x) = F (x) .$

En los siguientes ejercicios, halle la composición cuando $f (x) = x^{2} + 2$ para todas las $x \geq 0$ y $g (x) = \sqrt{x - 2} .$

87.

$(f \circ g) (6); (g \circ f) (6)$

88.

$(g \circ f) (a); (f \circ g) (a)$

89.

$(f \circ g) (11); (g \circ f) (11)$

Aplicaciones en el mundo real

90.

La función $D (p)$ da el número de artículos que se demandarán cuando el precio sea $p .$ El costo de producción $C (x)$ es el costo de producción de $x$ artículos. Para determinar el costo de producción cuando el precio es de 6 dólares, ¿cuál de las siguientes acciones realizaría?

Ⓐ Evalúe $D (C (6)) .$
Ⓑ Evalúe $C (D (6)) .$
Ⓓ Resuelva $C (D (p)) = 6.$

91.

La función $A (d)$ da el nivel de dolor en una escala de 0 a 10 experimentado por un paciente con $d$ miligramos de un analgésico en su organismo. Los miligramos del medicamento en el sistema del paciente después de $t$ minutos está modelado por $m (t) .$ ¿Cuál de las siguientes acciones realizaría para determinar cuándo el paciente estará en un nivel 4 de dolor?

Ⓐ Evalúe $A (m (4)) .$
Ⓑ Evalúe $m (A (4)) .$
Ⓓ Resuelva $m (A (d)) = 4.$

92.

Una tienda ofrece a los clientes un descuento del 30 % sobre el precio de $x$ artículos seleccionados. Luego, la tienda descuenta un 15 % adicional en la caja registradora. Escriba una función de precio $P (x)$ que calcula el precio final del artículo en función del precio original $x .$ (Pista: Utilice la composición de funciones para encontrar la respuesta).

93.

Una gota de lluvia que golpea un lago produce una onda circular. Si el radio, en pulgadas, crece en función del tiempo en minutos según $r (t) = 25 \sqrt{t + 2},$ halle el área de la onda en función del tiempo. Halle el área de la onda en $t = 2.$

94.

Un incendio forestal deja a su paso una zona de hierba quemada en un patrón circular en expansión. Si el radio del círculo de hierba ardiente aumenta con el tiempo según la fórmula $r (t) = 2 t + 1,$ exprese la superficie quemada en función del tiempo, $t$ (minutos).

95.

Utilice la función que halló en el ejercicio anterior para calcular el área total quemada después de 5 minutos.

96.

El radio $r,$ en pulgadas, de un globo esférico está relacionado con el volumen, $V,$ entre $r (V) = \sqrt[3]{\frac{3 V}{4 π}} .$ Se bombea aire en el globo, por lo que el volumen después de $t$ segundos viene dado por $V (t) = 10 + 20 t .$

Ⓐ Halle la función compuesta $r (V (t)) .$
Ⓑ Halle el momento exacto en que el radio alcanza las 10 pulgadas.

97.

El número de bacterias en un producto alimenticio refrigerado viene dado por $N (T) = 23 T^{2} - 56 T + 1,$ $3 < T < 33,$ donde $T$ es la temperatura del alimento. Cuando este se saca del refrigerador, la temperatura viene dada por $T (t) = 5 t + 1,5,$ donde $t$ es el tiempo en horas.

Ⓐ Halle la función compuesta $N (T (t)) .$
Ⓑ Halle el momento (redondee a dos decimales) en que el recuento de bacterias llega a 6.752.

1.4 Composición de las funciones

Combinar funciones mediante operaciones algebraicas

Realizar operaciones algebraicas con funciones

Solución

Crear una función por composición de las funciones

Determinar si la composición de las funciones es conmutativa

Solución

Interpretar las funciones compuestas

Solución

Investigar el orden de composición de las funciones

Solución

Evaluar funciones compuestas

Evaluar funciones compuestas mediante tablas

Usar una tabla para evaluar una función compuesta

Solución

Evaluar funciones compuestas mediante gráficos

Usar un gráfico para evaluar una función compuesta

Solución

Análisis

Evaluar funciones compuestas mediante fórmulas

Evaluar una composición de las funciones expresadas como fórmulas con una entrada numérica

Solución

Análisis

Halle el dominio de una función compuesta

Hallar el dominio de una función compuesta

Solución

Hallar el dominio de una función compuesta con radicales

Solución

Análisis

Descomponer una función compuesta en sus funciones componentes

Descomposición de una función

Solución

1.4 Ejercicios de sección

Verbales

Algebraicos

Gráficos

Numéricos

Extensiones

Aplicaciones en el mundo real