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Precálculo 2ed

1.5 Transformación de funciones

Precálculo 2ed1.5 Transformación de funciones

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Graficar funciones utilizando desplazamientos verticales y horizontales.
  • Graficar funciones con reflexiones en torno al eje de la x x y el eje de la y y .
  • Determinar si una función es par, impar o ninguna de las dos, a partir de su gráfico.
  • Graficar funciones con compresión y estiramiento.
  • Combinar transformaciones.
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Figura 1 (créditos: "Misko"/Flickr)

Todos sabemos que un espejo plano nos permite ver una imagen exacta de nosotros mismos y de lo que hay detrás. Cuando inclinamos el espejo, las imágenes que vemos pueden desplazarse horizontal o verticalmente. Sin embargo, ¿qué ocurre cuando doblamos un espejo flexible? Como un espejo de feria, nos presenta una imagen distorsionada de nosotros mismos, estirada o comprimida horizontal o verticalmente. Del mismo modo, podemos distorsionar o transformar las funciones matemáticas para adaptarlas mejor a la descripción de objetos o procesos del mundo real. En esta sección, echaremos un vistazo a varios tipos de transformación.

Graficar funciones con desplazamiento vertical y horizontal.

A menudo, cuando se nos plantea un problema, intentamos modelar el escenario con las matemáticas en forma de palabras, tablas, gráficos y ecuaciones. Un método que podemos emplear es adaptar los gráficos básicos de las funciones del conjunto de herramientas para construir nuevos modelos en un escenario determinado. Hay formas sistemáticas de alterar las funciones para construir modelos adecuados a los problemas que intentamos resolver.

Identificación del desplazamiento vertical

Un tipo sencillo de transformación consiste en desplazar todo el gráfico de una función hacia arriba, hacia abajo, hacia la derecha o hacia la izquierda. El desplazamiento más sencillo es un desplazamiento vertical, moviendo el gráfico hacia arriba o hacia abajo, porque esta transformación implica añadir una constante positiva o negativa a la función. En otras palabras, sumamos la misma constante al valor de salida de la función, independientemente de la entrada. Para una función g(x)=f(x)+k, g(x)=f(x)+k, la función f( x ) f( x ) se desplaza verticalmente k k unidades. Vea la Figura 2 a modo de ejemplo.

Figura_01_05_001
Figura 2 Desplazamiento vertical en k=1 k=1 de la función de raíz cúbica f(x)= x 3 . f(x)= x 3 .

Para ayudarle con el concepto de desplazamiento vertical, considere que y=f( x ). y=f( x ). Por lo tanto, f( x )+k f( x )+k equivale a y+k. y+k. Cada unidad de y y se sustituye por y+k, y+k, por lo que el valor y y valor aumenta o disminuye, dependiendo del valor de k. k. El resultado es un desplazamiento hacia arriba o hacia abajo.

Desplazamiento vertical

Dada una función f( x ), f( x ), una nueva función g(x)=f(x)+k, g(x)=f(x)+k, donde k k es una constante, es un desplazamiento vertical de la función f( x ). f( x ). Todos los valores de salida cambian en k k unidades. Si los valores de k k es positivo, el gráfico se desplazará hacia arriba. Si los valores de k k es negativo, el gráfico se desplazará hacia abajo.

Ejemplo 1

Sumar una constante a una función

Para regular la temperatura en un edificio ecológico, las rejillas de ventilación cercanas al tejado se abren y se cierran a lo largo del día. La Figura 3 muestra el área de las rejillas de ventilación abiertas V V (en pies cuadrados) a lo largo del día en horas, pasada la medianoche, t. t. Durante el verano, el responsable de las instalaciones decide intentar regular mejor la temperatura al incrementar la cantidad de rejillas de ventilación abiertas en 20 pies cuadrados todo el día y toda la noche. Dibuje un gráfico de esta nueva función.

Figura_01_05_002
Figura 3

Cómo

Dada una función tabular, crear una nueva fila que represente el desplazamiento vertical.

  1. Identifique la fila o columna de salida.
  2. Determine la magnitud del desplazamiento.
  3. Añada el desplazamiento al valor de cada celda de salida. Sume un valor positivo hacia arriba o un valor negativo hacia abajo.

Ejemplo 2

Desplazar una función tabular verticalmente

Una función f( x ) f( x ) se da en la Tabla 2. Cree una tabla para la función g(x)=f(x)3, g(x)=f(x)3,

x x 2 4 6 8
f(x) f(x) 1 3 7 11
Tabla 2

Análisis

Al igual que con el desplazamiento vertical anterior, observe que los valores de entrada siguen siendo los mismos y solo cambian los valores de salida.

Inténtelo #1

La función h(t)=4,9 t 2 +30t h(t)=4,9 t 2 +30t da la altura h h de una pelota (en metros) lanzada hacia arriba desde el suelo después de t t segundos. Supongamos que la pelota se lanzó desde la parte superior de un edificio de 10 m. Relacione esta nueva función de altura b(t) b(t) con h(t), h(t), y luego halle una fórmula para b(t). b(t).

Identificar el desplazamiento horizontal

Acabamos de ver que el desplazamiento vertical es un cambio en la salida, o fuera, de la función. Ahora veremos cómo los cambios en la entrada, en el interior de la función, cambian su gráfico y su significado. Un desplazamiento a la entrada provoca un movimiento del gráfico de la función a la izquierda o a la derecha, en lo que se conoce como desplazamiento horizontal, que se muestra en la Figura 5.

Figura_01_05_004
Figura 5 Desplazamiento horizontal de la función f(x)= x 3 . f(x)= x 3 . Observe que (x+1) ( x + 1 ) significa h= 1 h = 1 que desplaza el gráfico a la izquierda, esto es, hacia valores negativos de x. x.

Por ejemplo, si f(x)= x 2 , f(x)= x 2 , entonces g(x)= (x-2 ) 2 g(x)= (x-2 ) 2 es una nueva función. Cada entrada se reduce en 2 antes de elevar la función al cuadrado. El resultado es que el gráfico se desplaza 2 unidades a la derecha, porque tendríamos que aumentar la entrada anterior en 2 unidades para obtener el mismo valor de salida que se da en f. f.

Desplazamiento horizontal

Dada una función f, f, una nueva función g( x )=f( x-h ), g( x )=f( x-h ), donde h h es una constante, es un desplazamiento horizontal de la función f. f. Si h h es positiva, el gráfico se desplazará a la derecha. Si los valores de h h es negativa, el gráfico se desplazará a la izquierda.

Ejemplo 3

Sumar una constante a una función

Volviendo a nuestro ejemplo del flujo de aire en el edificio desde la Figura 3, supongamos que en otoño el responsable de las instalaciones decide que el plan original de ventilación empieza demasiado tarde y quiere empezar todo el programa de ventilación 2 horas antes. Dibuje un gráfico de la nueva función.

Análisis

Observe que V(t+2 ) V(t+2 ) tiene el efecto de desplazar el gráfico a la izquierda.

Los cambios horizontales o "cambios interiores" afectan el dominio de una función (la entrada), en lugar del rango, y a menudo parecen contrarios a la intuición. La nueva función F( t ) F( t ) utiliza los mismos valores de entrada que V( t ), V( t ), pero equipara esos valores de salida a los valores de entrada 2 horas antes que los de V( t ). V( t ). Dicho de otro modo, debemos sumar 2 horas al valor de entrada de V V para hallar el valor de salida correspondiente a F:F(t)=V(t+2 ). F:F(t)=V(t+2 ).

Cómo

Dada una función tabular, cree una nueva fila que represente el desplazamiento horizontal.

  1. Identifique la fila o columna de entrada.
  2. Determine la magnitud del desplazamiento.
  3. Sume el desplazamiento al valor en cada celda de entrada.

Ejemplo 4

Desplazar una función tabular horizontalmente

Una función f(x) f(x) se da en la Tabla 4. Cree una tabla para la función g(x)=f(x-3). g(x)=f(x-3).

x x 2 4 6 8
f(x) f(x) 1 3 7 11
Tabla 4

Análisis

La Figura 7 representa ambas funciones. Podemos ver el desplazamiento horizontal en cada punto.

Gráfico de los puntos de la tabla anterior para f(x) y g(x)=f(x-3).
Figura 7

Ejemplo 5

Identificar el desplazamiento horizontal de una función de la caja de herramientas

La Figura 8 representa la transformación de la función de la caja de herramientas f(x)= x 2 . f(x)= x 2 . Relacione esta nueva función g(x) g(x) al f(x), f(x), y luego halle una fórmula para g(x). g(x).

Gráfico de una parábola.
Figura 8

Análisis

Para determinar si el desplazamiento es +2 +2 o 2 2 , considere un solo punto de referencia en el gráfico. En una cuadrática, es conveniente mirar el punto del vértice. En la función original, f(0)=0. f(0)=0. En nuestra función desplazada, g(2 )=0. g(2 )=0. Para obtener el valor de salida de 0 a partir de la función f, f, tenemos que decidir si un signo de más o menos funcionará para satisfacer g(2 )=f(x-2 )=f(0)=0. g(2 )=f(x-2 )=f(0)=0. Para este trabajo (w), tendremos que restar 2 unidades de nuestros valores de entrada.

Ejemplo 6

Interpretar el desplazamiento horizontal frente al desplazamiento vertical

La función G(m) G(m) da como resultado el número de galones de gasolina que se necesitan para recorrer m m millas. Interprete G(m)+10 G(m)+10 y G(m+10). G(m+10).

Inténtelo #2

Dada la función f(x)= x , f(x)= x , represente gráficamente la función original f(x) f(x) y la transformación g(x)=f(x+2 ) g(x)=f(x+2 ) en los mismos ejes. ¿Es un desplazamiento horizontal o vertical? ¿Hacia dónde se desplaza el gráfico y en cuántas unidades?

Combinar el desplazamiento vertical y el desplazamiento horizontal

Ahora que tenemos dos transformaciones, podemos combinarlas. El desplazamiento vertical es un cambio externo que incide en los valores del eje de salida ( y y ) y desplaza la función hacia arriba o hacia abajo. El desplazamiento horizontal es un cambio interno que incide en los valores del eje de entrada ( x x ) y desplaza la función hacia la izquierda o hacia la derecha. La combinación de los dos tipos de desplazamiento hará que el gráfico de una función se desplace hacia arriba o hacia abajo y hacia la derecha o la izquierda.

Cómo

Dada una función y tanto el desplazamiento vertical como el horizontal, dibuje el gráfico.

  1. Identifique los desplazamientos verticales y horizontales de la fórmula.
  2. El desplazamiento vertical resulta de una constante sumada a la salida. Mueva el gráfico hacia arriba para una constante positiva y hacia abajo para una constante negativa.
  3. El desplazamiento horizontal resulta de una constante sumada a la entrada. Mueva el gráfico hacia la izquierda para una constante positiva y hacia la derecha para una constante negativa.
  4. Aplique los desplazamientos al gráfico en cualquier orden.

Ejemplo 7

Graficar una combinación de desplazamiento vertical y horizontal

Dados f(x)=| x |, f(x)=| x |, dibuje un gráfico de h(x)=f(x+1)3. h(x)=f(x+1)3.

Inténtelo #3

Dados f(x)=| x |, f(x)=| x |, dibuje un gráfico de h(x)=f(x-2 )+4. h(x)=f(x-2 )+4.

Ejemplo 8

Identificar una combinación de desplazamiento vertical y horizontal

Escriba una fórmula para el gráfico que se muestra en la Figura 11, que es una transformación de la función de raíz cuadrada de la caja de herramientas.

Gráfico de una función de raíz cuadrada transpuesta hacia la derecha 1 unidad y 2 unidades hacia arriba.
Figura 11

Análisis

Observe que esta transformación ha cambiado el dominio y el rango de la función. Este nuevo gráfico tiene dominio [1,) [1,) y rango [2 ,). [2 ,).

Inténtelo #4

Escriba una fórmula para una transformación de la función recíproca de la caja de herramientas f( x )= 1 x f( x )= 1 x que desplace el gráfico de la función una unidad hacia la derecha y una unidad hacia arriba.

Graficar funciones mediante reflexiones alrededor de los ejes

Otra transformación que puede aplicarse a una función es una reflexión alrededor de los ejes x o y. La reflexión vertical refleja un gráfico verticalmente a través del eje x, mientras que la reflexión horizontal refleja un gráfico horizontalmente a través del eje y. Las reflexiones se muestran en la Figura 12.

Gráfico de la reflexión vertical y horizontal de una función.
Figura 12 Reflexión vertical y horizontal de una función.

Observe que la reflexión vertical produce un nuevo gráfico, que es una imagen especular del gráfico base u original alrededor del eje x. La reflexión horizontal produce un nuevo gráfico, que es una imagen especular del gráfico base u original alrededor del eje y.

Reflexiones

Dada una función f(x), f(x), una nueva función g(x)=-f(x) g(x)=-f(x) es la reflexión vertical de la función f(x), f(x), algunas veces denominada reflexión alrededor (por encima o a través) del eje x

Dada una función f(x), f(x), una nueva función g(x)=f(-x) g(x)=f(-x) es la reflexión horizontal de la función f(x), f(x), a veces denominada reflexión alrededor del eje y.

Cómo

Dada una función, reflejar el gráfico tanto vertical como horizontalmente.

  1. Multiplique todas las salidas por -1 para una reflexión vertical. El nuevo gráfico es una reflexión del gráfico original sobre el eje x.
  2. Multiplique todas las entradas por -1 para una reflexión horizontal. El nuevo gráfico es una reflexión del gráfico original sobre el eje y.

Ejemplo 9

Reflejar un gráfico horizontal y verticalmente

Refleje el gráfico de s(t)= t s(t)= t (a) verticalmente y (b) horizontalmente.

Inténtelo #5

Refleje el gráfico de f(x)=|x1| f(x)=|x1| (a) verticalmente y (b) horizontalmente.

Ejemplo 10

Reflejar una función tabular horizontalmente y verticalmente

Una función f(x) f(x) viene dada como la Tabla 6. Cree una tabla para las funciones siguientes.

  1. g(x)=-f(x) g(x)=-f(x)
  2. h(x)=f(-x) h(x)=f(-x)
x x 2 4 6 8
f(x) f(x) 1 3 7 11
Tabla 6

Inténtelo #6

Una función f(x) f(x) viene dada como la Tabla 9. Cree una tabla para las funciones siguientes.

  1. g(x)=-f(x) g(x)=-f(x)
  2. h(x)=f(-x) h(x)=f(-x)
x x −2 0 2 4
f(x) f(x) 5 10 15 20
Tabla 9

Ejemplo 11

Aplicar una ecuación de modelo de aprendizaje

Un modelo común para el aprendizaje tiene una ecuación similar a k(t)=- 2 -t +1, k(t)=- 2 -t +1, donde k k es el porcentaje de dominio que se puede alcanzar después de t t sesiones de práctica. Se trata de una transformación de la función f(t)= 2 t f(t)= 2 t que se muestra en la Figura 15. Dibuje un gráfico de k(t). k(t).

Gráfico de k(t)
Figura 15

Análisis

Como modelo para el aprendizaje, esta función se limitaría a un dominio de t0, t0, con el rango correspondiente [0,1). [0,1).

Inténtelo #7

Dada la función de la caja de herramientas f(x)= x 2 , f(x)= x 2 , grafique g(x)=-f(x) g(x)=-f(x) y h(x)=f(-x). h(x)=f(-x). Tome nota de cualquier comportamiento sorprendente de estas funciones.

Determinar las funciones pares e impares

Algunas funciones presentan simetría, de modo que las reflexiones dan lugar al gráfico original. Por ejemplo, reflejar horizontalmente las funciones de la caja de herramientas f(x)= x 2 f(x)= x 2 o f(x)=| x | f(x)=| x | dará lugar al gráfico original. Decimos que este tipo de gráficos es simétrico con respecto al eje y. Las funciones cuyos gráficos son simétricos respecto al eje y se denominan funciones pares.

Si los gráficos de f(x)= x 3 f(x)= x 3 o f(x)= 1 x f(x)= 1 x se reflejaran alrededor de ambos ejes, el resultado sería el gráfico original, como se muestra en la Figura 17.

Gráfico de x^3 y sus reflexiones.
Figura 17 (a) La función cúbica de la caja de herramientas. (b) La reflexión horizontal de la función cúbica de la caja de herramientas. (c) Las reflexiones horizontales y verticales reproducen la función cúbica original.

Decimos que estos gráficos son simétricos respecto al origen. La función cuyo gráfico es simétrico con respecto al origen recibe el nombre de función impar.

Nota: La función no puede ser ni par ni impar si no exhibe alguna simetría. Por ejemplo, f(x)= 2 x f(x)= 2 x no es ni par ni impar. También, la única función que es tanto par como impar es la función constante f(x)=0. f(x)=0.

Funciones pares e impares

Una función se define como función par si para cada entrada x x

f(x)=f(-x) f(x)=f(-x)

El gráfico de función par es simétrico respecto al eje y y .

Una función se define como función impar si para cada entrada x x

f(x)=-f(-x) f(x)=-f(-x)

El gráfico de una función impar es simétrico respecto al origen.

Cómo

Dada la fórmula de una función, determinar si la función es par, impar o ninguna de las dos.

  1. Determine si la función satisface f(x)=f(-x). f(x)=f(-x). En caso afirmativo, es par.
  2. Determine si la función satisface f(x)=-f(-x). f(x)=-f(-x). En caso afirmativo, es impar.
  3. Si la función no cumple ninguna de las dos reglas, no es ni par ni impar.

Ejemplo 12

Determinar si una función es par, impar o ninguna de las dos

¿La función f(x)= x 3 +2 x f(x)= x 3 +2 x es par, impar, o ninguna de las dos?

Análisis

Consideremos el gráfico de f f en la Figura 18. Observe que el gráfico es simétrico respecto al origen. Para cada punto ( x,y ) ( x,y ) en el gráfico, el punto correspondiente ( -x,y ) ( -x,y ) también está en el gráfico. Por ejemplo, (1, 3) está en el gráfico de f, f, y el punto correspondiente (–1,−3) (–1,−3) también está en el gráfico.

Gráfico de f(x) con puntos etiquetados en (1, 3) y (-1, -3).
Figura 18

Inténtelo #8

¿La función f(s)= s 4 +3 s 2 +7 f(s)= s 4 +3 s 2 +7 es par, impar, o ninguna de las dos?

Graficar funciones mediante estiramiento y compresión

Sumar una constante a las entradas o salidas de una función cambia la posición de un gráfico con respecto a los ejes, pero no afecta la forma de un gráfico. Ahora exploramos los efectos de multiplicar los valores de entrada o de salida por alguna cantidad.

Podemos transformar el interior (valores de entrada) de una función o podemos transformar el exterior (valores de salida) de una función. Cada cambio tiene un efecto específico que puede verse gráficamente.

Estiramiento y compresión vertical

Cuando multiplicamos una función por una constante positiva, obtenemos una función cuyo gráfico se estira o comprime verticalmente en relación con el gráfico de la función original. Si la constante es mayor a 1, obtenemos un estiramiento vertical; si la constante está entre 0 y 1, obtenemos una compresión vertical. La Figura 19 muestra una función multiplicada por los factores constantes 2 y 0,5 y el estiramiento y la compresión vertical resultantes.

Gráfico de una función que muestra el estiramiento y la compresión vertical.
Figura 19 Estiramiento y compresión vertical

Estiramiento y compresión vertical

Dada una función f(x), f(x), una nueva función g(x)=af(x), g(x)=af(x), donde a a es una constante, es un estiramiento vertical o compresión vertical de la función f(x). f(x).

  • Si los valores de a>1, a>1, entonces el gráfico se estirará.
  • Si los valores de 0<a<1, 0<a<1, entonces el gráfico se comprimirá.
  • Si los valores de a<0, a<0, entonces habrá la combinación de estiramiento o compresión vertical con reflexión vertical.

Cómo

Dada una función, graficar su tramo vertical.

  1. Identifique el valor de a. a.
  2. Multiplique todos los valores del rango por a. a.
  3. Si los valores de a>1, a>1, el gráfico se estira por un factor de a. a.

    Si los valores de 0<a<1, 0<a<1, el gráfico se comprime por un factor de a. a.

    Si los valores de a<0, a<0, el gráfico se estira o se comprime y también se refleja alrededor del eje x.

Ejemplo 13

Graficar el estiramiento vertical

Una función P( t ) P( t ) modela la población de moscas de la fruta. El gráfico se muestra en la Figura 20.

Gráfico que representa el crecimiento demográfico de moscas de la fruta.
Figura 20

Un científico compara esta población con otra, Q, Q, cuyo crecimiento sigue el mismo patrón, pero es el doble de tamaño. Dibuje un gráfico de esta población.

Cómo

Dada una función tabular, y asumiendo que la transformación sea un estiramiento o una compresión vertical, crear una tabla para la compresión vertical.

  1. Determine el valor de la a. a.
  2. Multiplique todos los valores de salida por a. a.

Ejemplo 14

Hallar la compresión vertical de una función tabular

Una función f f viene dada como la Tabla 10. Cree una tabla para la función g(x)= 1 2 f(x). g(x)= 1 2 f(x).

x x 2 4 6 8
f(x) f(x) 1 3 7 11
Tabla 10

Análisis

El resultado es que la función g(x) g(x) se ha comprimido verticalmente por 1 2 . 1 2 . Cada valor de salida se divide a la mitad, por lo que el gráfico tiene la mitad de la altura original.

Inténtelo #9

Una función f f viene dada como la Tabla 12. Cree una tabla para la función g(x)= 3 4 f(x). g(x)= 3 4 f(x).

x x 2 4 6 8
f(x) f(x) 12 16 20 0
Tabla 12

Ejemplo 15

Reconocer el estiramiento vertical

El gráfico en la Figura 22 es la transformación de la función de caja de herramientas f(x)= x 3 . f(x)= x 3 . Relacione esta nueva función g(x) g(x) al f(x), f(x), y luego halle una fórmula para g(x). g(x).

Gráfico de la transformación de f(x)=x^3.
Figura 22

Inténtelo #10

Escriba la fórmula para la función que obtenemos cuando estiramos la función de identidad de la caja de herramientas por un factor de 3, y luego la desplazamos hacia abajo en 2 unidades.

Estiramiento y compresión horizontal

Ahora, consideramos los cambios en el interior de una función. Cuando multiplicamos la entrada de una función por una constante positiva, obtenemos una función cuyo gráfico se estira o comprime horizontalmente en relación con el gráfico de la función original. Si la constante se ubica entre 0 y 1, obtenemos un estiramiento horizontal; si la constante es mayor que 1, obtenemos una compresión horizontal de la función.

Gráfico del estiramiento y de la compresión vertical de x^2.
Figura 23

Dada una función y=f(x), y=f(x), la forma y=f(bx) y=f(bx) da como resultado el estiramiento o compresión horizontal. Considere la función y= x 2 . y= x 2 . Observe la Figura 23. El gráfico de y= ( 0,5x ) 2 y= ( 0,5x ) 2 es el estiramiento horizontal del gráfico de la función y= x 2 y= x 2 por un factor de 2. El gráfico de y= ( 2 x ) 2 y= ( 2 x ) 2 es la compresión horizontal del gráfico de la función y= x 2 y= x 2 por un factor de 12 12 .

Estiramiento y compresión horizontal

Dada una función f(x), f(x), una nueva función g(x)=f(bx), g(x)=f(bx), donde b b es una constante, es un estiramiento horizontal o una compresión horizontal de la función f(x). f(x).

  • Si los valores de b>1, b>1, entonces el gráfico se comprimirá por 1 b . 1 b .
  • Si los valores de 0<b<1, 0<b<1, entonces el gráfico se estirará por 1 b . 1 b .
  • Si b<0, b<0, entonces habrá una combinación de estiramiento o compresión horizontal con reflexión horizontal.

Cómo

Dada la descripción de una función, dibujar una compresión o estiramiento horizontal.

  1. Escriba una fórmula que represente la función.
  2. Establezca g(x)=f(bx) g(x)=f(bx) donde b>1 b>1 para una compresión o 0<b<1 0<b<1 para un estiramiento.

Ejemplo 16

Graficar una compresión horizontal

Supongamos que un científico compara una población de moscas de la fruta con una población que progresa a lo largo de su vida el doble de rápido que la población original. En otras palabras, esta nueva población, R, R, progresará en 1 hora lo mismo que la población original en 2 horas, y en 2 horas, progresará lo mismo que la población original en 4 horas. Dibuje un gráfico de esta población.

Análisis

Observe que el efecto en el gráfico es la compresión horizontal, donde todos los valores de entrada son la mitad de la distancia original desde el eje vertical.

Ejemplo 17

Hallar el estiramiento horizontal de una función tabular

Una función f(x) f(x) viene dada como la Tabla 13. Cree una tabla para la función g(x)=f( 1 2 x ). g(x)=f( 1 2 x ).

x x 2 4 6 8
f(x) f(x) 1 3 7 11
Tabla 13

Análisis

Dado que cada valor de entrada se ha duplicado, el resultado es que la función g(x) g(x) se ha estirado horizontalmente por un factor de 2.

Ejemplo 18

Reconocer la compresión horizontal en un gráfico

Relacione la función g(x) g(x) al f(x) f(x) en la Figura 26.

Gráfico de f(x) comprimido verticalmente a g(x).
Figura 26

Análisis

Observe que el coeficiente necesario para el estiramiento o compresión horizontal es la reciprocidad del estiramiento o compresión. Así, para estirar el gráfico horizontalmente en un factor de escala de 4, necesitamos un coeficiente de 1 4 1 4 en nuestra función: f( 1 4 x ). f( 1 4 x ). Esto significa que los valores de entrada deberán ser el cuádruple para generar el mismo resultado, lo que exige que la entrada sea mayor, y lo que da como resultado el estiramiento horizontal.

Inténtelo #11

Escriba una fórmula para la función de raíz cuadrada de la caja de herramientas, estirada horizontalmente por un factor de 3.

Realizar una secuencia de transformaciones

Al combinar las transformaciones, es muy importante tener en cuenta el orden de las mismas. Por ejemplo, desplazar verticalmente en 3 y luego estirar verticalmente en 2 no crea el mismo gráfico que estirar verticalmente en 2 y luego desplazar verticalmente en 3, porque cuando desplazamos primero, tanto la función original como el desplazamiento se estiran, mientras que solo se estira la función original cuando estiramos primero.

Cuando vemos una expresión como 2 f(x)+3, 2 f(x)+3, ¿con cuál transformación deberíamos comenzar primero? La respuesta se desprende del orden de las operaciones. Dado el valor de salida de f(x), f(x), multiplicamos primero por 2, lo que causa el estiramiento vertical, y luego sumamos 3, lo que causa el desplazamiento vertical. Es decir, la multiplicación antes que la suma.

Las transformaciones horizontales son un poco más complicadas. Cuando escribimos g(x)=f(2 x+3), g(x)=f(2 x+3), por ejemplo, tenemos que pensar de qué manera las entradas a la función g g se relacionan con las entradas a la función f. f. Supongamos que sabemos f(7)=12. f(7)=12. ¿Qué entrada a g g produciría este valor de salida? En otras palabras, ¿qué valor de x x permitirá g(x)=f(2 x+3)=12? g(x)=f(2 x+3)=12? Necesitaríamos 2 x+3=7. 2 x+3=7. Para resolver x, x, primero restamos 3, lo que causa un desplazamiento horizontal, y luego dividimos entre 2, lo que causa una compresión horizontal.

Este formato acaba siendo muy difícil de trabajar, porque suele ser mucho más fácil estirar horizontalmente un gráfico antes de desplazarlo. Podemos evitarlo al factorizar dentro de la función.

f(bx+p)=f( b( x+ p b ) ) f(bx+p)=f( b( x+ p b ) )

Exploremos un ejemplo.

f( x )= ( 2 x+4 ) 2 f( x )= ( 2 x+4 ) 2

Podemos sacar un factor común 2.

f( x )= ( 2 ( x+2 ) ) 2 f( x )= ( 2 ( x+2 ) ) 2

Ahora podemos observar con mayor claridad un desplazamiento horizontal hacia la izquierda en 2 unidades, así como una compresión horizontal. La factorización de este modo nos permite estirar primero en sentido horizontal y luego desplazar en sentido horizontal.

Combinar transformaciones

Al combinar las transformaciones verticales escritas en la forma af(x)+k, af(x)+k, primero se estira verticalmente por a a y luego se desplaza verticalmente por k. k.

Cuando se combinan las transformaciones horizontales escritas en la forma f(bx h), f(bx h), primero se desplaza horizontalmente por hb hb y luego se estira horizontalmente por 1 b . 1 b .

Cuando se combinan las transformaciones horizontales escritas en la forma f(b(x h)), f(b(x h)), primero se estira horizontalmente por 1 b 1 b y luego se desplaza horizontalmente por h. h.

Las transformaciones horizontal y vertical son independientes. No importa si se realizan primero las transformaciones horizontales o las verticales.

Ejemplo 19

Hallar la triple transformación de una función tabular

Dada la Tabla 15 para la función f(x), f(x), cree una tabla de valores para la función g(x)=2 f(3x)+1. g(x)=2 f(3x)+1.

x x 6 12 18 24
f(x) f(x) 10 14 15 17
Tabla 15

Ejemplo 20

Hallar la triple transformación de un gráfico

Utilice el gráfico de f( x ) f( x ) en la Figura 27 para dibujar un gráfico de k(x)=f( 1 2 x+1 )3, k(x)=f( 1 2 x+1 )3,

Gráfico de un semicírculo.
Figura 27

Media

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar la transformación de funciones.

1.5 Ejercicios de sección

Verbales

1.

Cuando se examina la fórmula de una función que es el resultado de varias transformaciones, ¿cómo se distingue el desplazamiento horizontal del desplazamiento vertical?

2.

Cuando se examina la fórmula de una función que es el resultado de varias transformaciones, ¿cómo se distingue el estiramiento horizontal del estiramiento vertical?

3.

Cuando se examina la fórmula de una función que es el resultado de varias transformaciones, ¿cómo se distingue la compresión horizontal de la compresión vertical?

4.

Cuando se examina la fórmula de una función que es el resultado de varias transformaciones, ¿cómo se distingue una reflexión con respecto al eje x de una reflexión con respecto al eje y?

5.

¿Cómo se determina si una función es par o impar a partir de la fórmula de la función?

Algebraicos

6.

Escriba una fórmula para la función que se obtiene cuando el gráfico de f(x)= x f(x)= x se desplaza hacia arriba 1 unidad y hacia la izquierda 2 unidades.

7.

Escriba una fórmula para la función que se obtiene cuando el gráfico de f(x)=| x | f(x)=| x | se desplaza hacia abajo en 3 unidades y a la derecha en 1 unidad.

8.

Escriba una fórmula para la función que se obtiene cuando el gráfico de f(x)= 1 x f(x)= 1 x se desplaza hacia abajo en 4 unidades y a la derecha en 3 unidades.

9.

Escriba una fórmula para la función que se obtiene cuando el gráfico de f(x)= 1 x 2 f(x)= 1 x 2 se desplaza hacia arriba en 2 unidades y a la izquierda en 4 unidades.

En los siguientes ejercicios, describa en qué medida el gráfico de la función es la transformación del gráfico de la función original f. f.

10.

y=f(x49) y=f(x49)

11.

y=f(x+43) y=f(x+43)

12.

y=f(x+3) y=f(x+3)

13.

y=f(x-4) y=f(x-4)

14.

y=f(x)+5 y=f(x)+5

15.

y=f(x)+8 y=f(x)+8

16.

y=f(x)-2 y=f(x)-2

17.

y=f(x)-7 y=f(x)-7

18.

y=f(x-2 )+3 y=f(x-2 )+3

19.

y=f(x+4)-1 y=f(x+4)-1

En los siguientes ejercicios, determine los intervalos en los que la función es creciente y decreciente.

20.

f(x)=4 (x+1) 2 -5 f(x)=4 (x+1) 2 -5

21.

g(x)=5 (x+3) 2 -2 g(x)=5 (x+3) 2 -2

22.

a(x)= -x+4 a(x)= -x+4

23.

k(x)=-3 x 1 k(x)=-3 x 1

Gráficos

En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de f(x)= 2 x f(x)= 2 x que se muestra en la Figura 31 para dibujar un gráfico de cada transformación de f(x). f(x).

Gráfico de f(x).
Figura 31
24.

g(x)= 2 x +1 g(x)= 2 x +1

25.

h(x)= 2 x -3 h(x)= 2 x -3

26.

w(x)= 2 x1 w(x)= 2 x1

En los siguientes ejercicios, dibuje un gráfico de la función como transformación del gráfico de una de las funciones de la caja de herramientas.

27.

f(t)= (t+1) 2 -3 f(t)= (t+1) 2 -3

28.

h(x)=|x1|+4 h(x)=|x1|+4

29.

k(x)= (x-2 ) 3 -1 k(x)= (x-2 ) 3 -1

30.

m(t)=3+ t+2 m(t)=3+ t+2

Numéricos

31.

Las representaciones tabulares de las funciones f,g, f,g, y h h se indican a continuación. Escriba g(x) g(x) y h(x) h(x) como transformaciones de f(x). f(x).

x x −2 −1 0 1 2
f(x) f(x) −2 −1 −3 1 2
x x −1 0 1 2 3
g(x) g(x) −2 −1 −3 1 2
x x −2 −1 0 1 2
h(x) h(x) −1 0 −2 2 3
32.

Las representaciones tabulares de las funciones f,g, f,g, y h h se indican a continuación. Escriba g(x) g(x) y h(x) h(x) como transformaciones de f(x). f(x).

x x −2 −1 0 1 2
f(x) f(x) −1 −3 4 2 1
x x −3 −2 −1 0 1
g(x) g(x) −1 −3 4 2 1
x x −2 −1 0 1 2
h(x) h(x) −2 -4 3 1 0

En los siguientes ejercicios, escriba una ecuación por cada función graficada mediante el empleo de las transformaciones de los gráficos de una de las funciones de la caja de herramientas.

33.
Gráfico de una función absoluta.
34.
Gráfico de una parábola.
35.
Gráfico de una función de raíz cuadrada.
36.
Gráfico de una función absoluta.
37.
Gráfico de una parábola
38.
Gráfico de una función de raíz cuadrada.
39.
Gráfico de una función absoluta.
40.
Gráfico de una función de raíz cuadrada.

En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos de las transformaciones de la función de raíz cuadrada para hallar una fórmula por cada una de las funciones.

41.
Gráfico de una función de raíz cuadrada.
42.
Gráfico de una función de raíz cuadrada.

En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos de las funciones transformadas de la caja de herramientas para escribir una fórmula por cada una de las funciones resultantes.

43.
Gráfico de una parábola.
44.
Gráfico de una función cúbica.
45.
Gráfico de una función de raíz cuadrada.
46.
Gráfico de una función absoluta.

En los siguientes ejercicios, determine si la función es par, impar o ninguna de las dos.

47.

f(x)=3 x 4 f(x)=3 x 4

48.

g(x)= x g(x)= x

49.

h(x)= 1 x +3x h(x)= 1 x +3x

50.

f(x)= (x-2 ) 2 f(x)= (x-2 ) 2

51.

g(x)=2 x 4 g(x)=2 x 4

52.

h(x)=2 x x 3 h(x)=2 x x 3

En los siguientes ejercicios, describa de qué manera el gráfico de cada función es la transformación del gráfico de la función original f. f.

53.

g(x)=-f(x) g(x)=-f(x)

54.

g(x)=f(-x) g(x)=f(-x)

55.

g(x)=4f(x) g(x)=4f(x)

56.

g(x)=6f(x) g(x)=6f(x)

57.

g(x)=f(5x) g(x)=f(5x)

58.

g(x)=f(2 x) g(x)=f(2 x)

59.

g(x)=f( 1 3 x ) g(x)=f( 1 3 x )

60.

g(x)=f( 1 5 x ) g(x)=f( 1 5 x )

61.

g(x)=3f( -x ) g(x)=3f( -x )

62.

g(x)=-f(3x) g(x)=-f(3x)

En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula para la función g g que resulta cuando el gráfico de una determinada función de la caja de herramientas se transforma como se ha descrito.

63.

El gráfico de f(x)=|x| f(x)=|x| se refleja sobre el eje y y , además de comprimirse horizontalmente por un factor de 1 4 1 4 .

64.

El gráfico de f(x)= x f(x)= x se refleja sobre el eje x x, a la vez que se estira horizontalmente por un factor de 2.

65.

El gráfico de f(x)= 1 x 2 f(x)= 1 x 2 se comprime verticalmente por un factor de 1 3 , 1 3 , luego se desplaza 2 unidades hacia la izquierda y 3 unidades hacia abajo.

66.

El gráfico de f(x)= 1 x f(x)= 1 x se estira verticalmente por un factor de 8, luego se desplaza 4 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba.

67.

El gráfico de f(x)= x 2 f(x)= x 2 se comprime verticalmente por un factor de 1 2 , 1 2 , luego se desplaza 5 unidades hacia la derecha y 1 unidad hacia arriba.

68.

El gráfico de f(x)= x 2 f(x)= x 2 se estira horizontalmente por un factor de 3, luego se desplaza 4 unidades hacia la izquierda y 3 unidades hacia abajo.

En los siguientes ejercicios, describa cómo la fórmula es la transformación de una función de la caja de herramientas. Luego dibuje un gráfico de la transformación.

69.

g(x)=4 (x+1) 2 -5 g(x)=4 (x+1) 2 -5

70.

g(x)=5 (x+3) 2 -2 g(x)=5 (x+3) 2 -2

71.

h(x)=-2 |x-4|+3 h(x)=-2 |x-4|+3

72.

k(x)=-3 x 1 k(x)=-3 x 1

73.

m(x)= 1 2 x 3 m(x)= 1 2 x 3

74.

n(x)= 1 3 |x-2 | n(x)= 1 3 |x-2 |

75.

p( x )= ( 1 3 x ) 3 -3 p( x )= ( 1 3 x ) 3 -3

76.

q( x )= ( 1 4 x ) 3 +1 q( x )= ( 1 4 x ) 3 +1

77.

a(x)= -x+4 a(x)= -x+4

En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico en la Figura 32 para dibujar las transformaciones dadas.

Gráfico de un polinomio.
Figura 32
78.

g(x)=f(x)-2 g(x)=f(x)-2

79.

g(x)=-f(x) g(x)=-f(x)

80.

g(x)=f(x+1) g(x)=f(x+1)

81.

g(x)=f(x-2 ) g(x)=f(x-2 )

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