Omitir e ir al contenidoIr a la página de accesibilidadMenú de atajos de teclado
Logo de OpenStax
Precálculo 2ed

Capítulo 1

Precálculo 2edCapítulo 1

Menú
Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Inténtelo

1.1 Funciones y notación de funciones

1.
  1. sí. (Nota: Si dos jugadores hubieran estado empatados, por ejemplo, en el 4.º puesto, el nombre no habría estado en función de la clasificación)
2.

w=f(d) w=f(d)

3.

4.

g( 5 )=1 g( 5 )=1

5.

m=8 m=8

6.

y=f( x )= x 3 2 y=f( x )= x 3 2

7.

g( 1 )=8 g( 1 )=8

8.

x=0 x=0 o x=2 x=2

9.
  1. sí, porque cada cuenta bancaria tiene un único saldo en cualquier momento
  2. no, porque varios números de cuenta bancaria pueden tener el mismo saldo
  3. no, porque la misma salida puede corresponder a más de una entrada.
10.
  1. Sí, la calificación en letra está en función del porcentaje de calificación;
  2. No, no es biunívoca. Hay 100 números porcentuales diferentes que podríamos obtener, pero solo unas cinco posibles calificaciones de letras, por lo que no puede haber solo un número porcentual que corresponda a cada calificación en letras.
11.

12.

No, porque no pasa la prueba de la línea horizontal.

1.2 Dominio y rango

1.

{-5,0,5,10,15} {-5,0,5,10,15}

2.

( -, ) ( -, )

3.

( -, 1 2 )( 1 2 , ) ( -, 1 2 )( 1 2 , )

4.

[ 5 2 , ) [ 5 2 , )

5.
  1. valores menores o iguales a -2, o valores mayores o iguales a -1 y menores a 3;
  2. { x|x2 o1x<3 } { x|x2 o1x<3 } ;
  3. (-,-2 ][-1,3) (-,-2 ][-1,3)
6.

dominio =[1950,2002] rango = [47.000.000,89.000.000]

7.

dominio: ( -,2 ]; ( -,2 ]; rango: ( -,0 ] ( -,0 ]

8.
Gráfico de f(x).

1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos

1.

$2,84$2,31 5 años = $0,53 5 años =$0,106 $2,84$2,31 5 años = $0,53 5 años =$0,106 por año.

2.

1 2 1 2

3.

a+7 a+7

4.

Parece que el máximo local se produce en (-1,28), (-1,28), y el mínimo local se produce en (5,80). (5,80). La función es creciente en (-,-1)(5,) (-,-1)(5,) y decreciente en (-1,5). (-1,5).

Gráfico de un polinomio con un máximo local en (-1, 28) y un mínimo local en (5, -80).

1.4 Composición de las funciones

1.

( fg )( x )=f( x )g( x )=( x1 )( x 2 1 )= x 3 - x 2 -x+1 ( fg )( x )=f( x )-g( x )=( x1 )-( x 2 1 )=x x 2 ( fg )( x )=f( x )g( x )=( x1 )( x 2 1 )= x 3 - x 2 -x+1 ( fg )( x )=f( x )-g( x )=( x1 )-( x 2 1 )=x x 2

No, las funciones no son las mismas.

2.

Una fuerza gravitacional sigue siendo una fuerza, así que a( G(r) ) a( G(r) ) tiene sentido como la aceleración de un planeta a una distancia r del Sol (debido a la gravedad), pero G( a(F) ) G( a(F) ) no tiene sentido.

3.

f(g(1))=f(3)=3 f(g(1))=f(3)=3 y g(f(4))=g(1)=3 g(f(4))=g(1)=3

4.

g(f(2 ))=g(5)=3 g(f(2 ))=g(5)=3

5.
  1. 8
  2. 20
6.

[ 4,0 )( 0, ) [ 4,0 )( 0, )

7.

Posible respuesta

g( x )= 4+ x 2 g( x )= 4+ x 2
h( x )= 4 3-x h( x )= 4 3-x
f=hg f=hg

1.5 Transformación de funciones

1.
b(t)=h(t)+10=4,9 t 2 +30t+10 b(t)=h(t)+10=4,9 t 2 +30t+10
2.

Los gráficos de f(x) f(x) y g(x) g(x) se muestran a continuación. La transformación es un desplazamiento horizontal. La función se desplaza hacia la izquierda en 2 unidades.

Gráfico de una función de raíz cuadrada y una función de pie cuadrado, desplazado horizontalmente.
3.
Gráfico de h(x)=|x-2|+4.
4.

g( x )= 1 x 1 +1 g( x )= 1 x 1 +1

5.
  1. Gráfico de función absoluta reflejada verticalmente.
  2. Gráfico de función absoluta trasladada 1 unidad hacia la izquierda.
6.
  1. g(x)=-f(x) g(x)=-f(x)

    x x -2 0 2 4
    g(x) g(x) -5 -5 10 10 15 15 20 20
  2. h(x)=f(-x) h(x)=f(-x)

    x x -2 0 2 4
    h(x) h(x) 15 10 5 desconocido
7.
Gráfico de x^2 y sus reflexiones.

Observe que: g(x)=f(-x) g(x)=f(-x) tiene el mismo aspecto que f(x) f(x).

8.

números

9.
x x 2 4 6 8
g(x) g(x) 9 12 15 0
10.

g(x)=3x 2 g(x)=3x 2

11.

g(x)=f( 1 3 x ) g(x)=f( 1 3 x ) así que, con la función de raíz cuadrada, obtenemos g(x)= 1 3 x g(x)= 1 3 x

1.6 Funciones de valor absoluto

1.

| x-2 |3 | x-2 |3

2.

al utilizar la variable p p para aprobar, | p80 |20 | p80 |20

3.

f(x)=-| x+2 |+3 f(x)=-| x+2 |+3

4.

x=-1 x=-1 o x=2 x=2

5.

f(0)=1, f(0)=1, para que el gráfico cruce el eje vertical en (0,1). (0,1). f(x)=0 f(x)=0 cuando x=-5 x=-5 y x=1 x=1 de modo que el gráfico interseca el eje horizontal en (-5,0) (-5,0) y (1,0). (1,0).

6.

8x4 8x4

7.

k1 k1 o k7; k7; en notación de intervalo, esto sería (-,1][7,) (-,1][7,)

1.7 Funciones inversas

1.

h(2 )=6 h(2 )=6

2.

No

3.

4.

El dominio de la función f 1 f 1 es (-,-2 ) (-,-2 ) y el rango de la función f 1 f 1 es (1,). (1,).

5.
  1. f(60)=50. f(60)=50. En 60 minutos se recorren 50 millas.
  2. f 1 (60)=70. f 1 (60)=70. Para recorrer 60 millas, tardará 70 minutos.
6.

a. 3; b. 5,6

7.

x=3y+5 x=3y+5

8.

f 1 (x)= ( 2 -x ) 2 ; f 1 (x)= ( 2 -x ) 2 ; dominiodef:[ 0, );dominiodef:[ 0, ); dominiode f 1 :( -,2 ] dominiode f 1 :( -,2 ]

9.
Gráfico de f(x) y f^(-1)(x).

1.1 Ejercicios de sección

1.

Una relación es un conjunto de pares ordenados. Una función es un tipo especial de relación en la que ningún par ordenado tiene la misma primera coordenada.

3.

Cuando una línea vertical cruza el gráfico de una relación más de una vez, indica que para esa entrada hay más de una salida. Para cualquier valor de entrada, solo puede haber una salida si la relación es una función.

5.

Cuando una línea horizontal cruza el gráfico de una función más de una vez, indica que para esa salida hay más de una entrada. Una función es biunívoca si cada salida corresponde a una sola entrada.

7.

cuadrática

9.

cuadrática

11.

cuadrática

13.

cuadrática

15.

cuadrática

17.

cuadrática

19.

cuadrática

21.

cuadrática

23.

cuadrática

25.

no es una función

27.

f(-3)=11; f(-3)=11;
f(2 )=-1; f(2 )=-1;
f(-a)=-2 a5; f(-a)=-2 a5;
f(a)=-2 a+5;f(a)=-2 a+5;
f(a+h)=2 a+2 h5 f(a+h)=2 a+2 h5

29.

f(-3)= 5 +5; f(-3)= 5 +5;
f(2 )=5; f(2 )=5;
f(-a)= 2 +a +5; f(-a)= 2 +a +5;
f(a)=- 2 -a 5;f(a)=- 2 -a 5;
f(a+h)= 2 -ah +5 f(a+h)= 2 -ah +5

31.

f(-3)=2 ;f(-3)=2 ; f(2 )=1-3=-2 ; f(2 )=1-3=-2 ;
f(-a)=| -a-1 || -a+1 |; f(-a)=|-a-1||-a+1|;
f(a)=-| a-1 |+| a+1 |;f(a)=-|a-1|+|a+1|;
f(a+h)=| a+h-1 || a+h+1 | f(a+h)=|a+h-1||a+h+1|

33.

g(x)-g(a) xa =x+a+2 ,xa g(x)-g(a) xa =x+a+2 ,xa

35.
  1. f(2 )=14; f(2 )=14;
  2. x=3 x=3
37.
  1. f(5)=10; f(5)=10;
  2. x=-1 x=-1 o x=4 x=4
39.
  1. f(t)=6- 2 3 t; f(t)=6- 2 3 t;
  2. f(-3)=8; f(-3)=8;
  3. t=6 t=6
41.

no es una función

43.

cuadrática

45.

cuadrática

47.

cuadrática

49.

cuadrática

51.

cuadrática

53.
  1. f(0)=1; f(0)=1;
  2. f(x)=-3,x=-2 f(x)=-3,x=-2 o x=2 x=2
55.

no es una función, por lo que tampoco es una función biunívoca

57.

función biunívoca

59.

función, pero no biunívoca

61.

cuadrática

63.

cuadrática

65.

no es una función

67.

f(x)=1,x=2 f(x)=1,x=2

69.

f(2 )=14; f(-1)=11; f(0)=8; f(1)=5; f(2 )=2 f(2 )=14; f(-1)=11; f(0)=8; f(1)=5; f(2 )=2

71.

f(2 )=4;   f(-1)=4,414; f(0)=4,732; f(1)=5; f(2 )=5,236 f(2 )=4;   f(-1)=4,414; f(0)=4,732; f(1)=5; f(2 )=5,236

73.

f(2 )= 1 9 ; f(-1)= 1 3 ; f(0)=1; f(1)=3; f(2 )=9 f(2 )= 1 9 ; f(-1)= 1 3 ; f(0)=1; f(1)=3; f(2 )=9

75.

20

77.

[0, 100] [0, 100]

Gráfico de una parábola.
79.

[0,001, 00,001] [0,001, 00,001]

Gráfico de una parábola.
81.

[-1.000.>000, 1.000.000] [-1.000.>000, 1.000.000]

Gráfico de una función cúbica.
83.

[0, 10] [0, 10]

Gráfico de una función de raíz cuadrada.
85.

[-0,1,0,1] [-0,1,0,1]

Gráfico de una función de raíz cuadrada.
87.

[100, 100] [100, 100]

Gráfico de una función de raíz cúbica.
89.
  1. g(5.000)=50; g(5.000)=50;
  2. El número de yardas cúbicas de tierra que son necesarias para un jardín de 100 pies cuadrados es 1.
91.
  1. La altura de un cohete sobre el suelo después de 1 segundo es de 200 pies.
  2. la altura de un cohete sobre el suelo después de 2 segundos es de 350 pies.

1.2 Ejercicios de sección

1.

El dominio de una función depende de qué valores de la variable independiente hacen que la función sea indefinida o imaginaria.

3.

No hay ninguna restricción para x x por f(x)= x 3 f(x)= x 3 porque se puede tomar la raíz cúbica de cualquier número real. Así que el dominio son todos los números reales, (-,). (-,). Cuando se trata del conjunto de los números reales, no se puede sacar la raíz cuadrada de los números negativos. Así que los valores de x x están restringidos para f(x)= x f(x)= x a números no negativos y el dominio es [0,). [0,).

5.

Grafique cada fórmula de la función definida por partes sobre su correspondiente dominio. Utilice la misma escala para el eje x x y para el eje y y para cada gráfico. Indique los puntos finales inclusivos con un círculo sólido y los puntos finales exclusivos con un círculo abierto. Utilice una flecha para indicar o . . Combine los gráficos para encontrar el gráfico de la función definida por partes.

7.

(-,) (-,)

9.

(-,3] (-,3]

11.

(-,) (-,)

13.

(-,) (-,)

15.

(-,- 1 2 )(- 1 2 ,) (-,- 1 2 )(- 1 2 ,)

17.

(-,11)(11,2 )(2 ,) (-,11)(11,2 )(2 ,)

19.

(-,-3)(-3,5)(5,) (-,-3)(-3,5)(5,)

21.

(-,5) (-,5)

23.

[6,) [6,)

25.

( -,9 )( 9,9 )( 9, ) ( -,9 )( 9,9 )( 9, )

27.

dominio: (2 ,8], (2 ,8], rango [6,8) [6,8)

29.

dominio: [4, 4], [4, 4], rango: [0, 2] [0, 2]

31.

dominio: [5,3), [5,3), rango: [ 0,2 ] [ 0,2 ]

33.

dominio: (-,1], (-,1], rango: [0,) [0,)

35.

dominio: [ 6,- 1 6 ][ 1 6 ,6 ]; [ 6,- 1 6 ][ 1 6 ,6 ]; rango: [ 6,- 1 6 ][ 1 6 ,6 ] [ 6,- 1 6 ][ 1 6 ,6 ]

37.

dominio: [3,); [3,); rango: [0,) [0,)

39.

dominio: (-,) (-,)

Gráfico de f(x).
41.

dominio: (-,) (-,)

Gráfico de f(x).
43.

dominio: (-,) (-,)

Gráfico de f(x).
45.

dominio: (-,) (-,)

Gráfico de f(x).
47.

f(-3)=1; f(2 )=0; f(-1)=0; f(0)=0 f(-3)=1; f(2 )=0; f(-1)=0; f(0)=0

49.

f(-1)=4; f(0)=6; f(2 )=20; f(4)=34 f(-1)=4; f(0)=6; f(2 )=20; f(4)=34

51.

f(-1)=-5; f(0)=3; f(2 )=3; f(4)=16 f(-1)=-5; f(0)=3; f(2 )=3; f(4)=16

53.

dominio: (-,1)(1,) (-,1)(1,)

55.
Gráfico de la ecuación de [-0,5, -0,1].

ventana: [0,5,0,1]; [0,5,0,1]; rango: [4,100] [4,100]

Gráfico de la ecuación de [0,1, 0,5].

ventana: [0,1,0,5]; [0,1,0,5]; rango: [4,100] [4,100]

57.

[0,8] [0,8]

59.

Muchas respuestas. Una función es f(x)= 1 x-2 . f(x)= 1 x-2 .

1.3 Ejercicios de sección

1.

Sí, la tasa de cambio promedio de todas las funciones lineales es constante.

3.

El máximo y el mínimo absolutos se refieren a todo el gráfico, mientras que los extremos locales se refieren solo a una región específica alrededor de un intervalo abierto.

5.

4( b+1 ) 4( b+1 )

7.

3

9.

4x+2 h 4x+2 h

11.

-1 13( 13+h ) -1 13( 13+h )

13.

3 h 2 +9h+9 3 h 2 +9h+9

15.

4x+2 h3 4x+2 h3

17.

4 3 4 3

19.

creciente en ( -,2,5 )( 1, ), ( -,2,5 )( 1, ), decreciente en (2,5,1) (2,5,1)

21.

creciente en ( -,1 )( 3,4 ), ( -,1 )( 3,4 ), decreciente en ( 1,3 )( 4, ) ( 1,3 )( 4, )

23.

máximo local: (-3,50), (-3,50), mínimo local: (3,50) (3,50)

25.

máximo absoluto a aproximadamente (7,150), (7,150), mínimo absoluto a aproximadamente (-7,5,-220) (-7,5,-220)

27.

a. –3000; b. –1250

29.

-4

31.

27

33.

-0,167

35.

Mínimo local en (3,22), (3,22), decreciente en (-,3), (-,3), creciente en (3,) (3,)

37.

Mínimo local en (2 ,-2 ), (2 ,-2 ), decreciente en (-3,-2 ), (-3,-2 ), creciente en (2 ,) (2 ,)

39.

Máximo local en (0,39,5,98), (0,39,5,98), mínimos locales en (3,15,47,62) (3,15,47,62) y (2,04,32,04), (2,04,32,04), decreciente en (-,3,15) (0,39,2,04), (-,3,15) (0,39,2,04), creciente en (3,15,0,39) (2,04,) (3,15,0,39) (2,04,)

41.

A

43.

b=5 b=5

45.

2,7 galones por minuto

47.

aproximadamente -0,6 miligramos por día

1.4 Ejercicios de sección

1.

Halle los números que hacen la función en el denominador g g igual a cero, y compruebe cualquier otra restricción de dominio en f f y g, g, como una raíz par o ceros en el denominador.

3.

Sí. Ejemplo de respuesta: Supongamos que f(x)=x+1 y g(x)=x-1. f(x)=x+1 y g(x)=x-1. Entonces f(g(x))=f(x1)=(x1)+1=x f(g(x))=f(x1)=(x1)+1=x y g(f(x))=g(x+1)=(x+1)-1=x. g(f(x))=g(x+1)=(x+1)-1=x. Así que fg=gf. fg=gf.

5.

(f+g)( x )=2 x+6, (f+g)( x )=2 x+6, dominio: (-,) (-,)

(fg)( x )=2 x 2 +2 x-6, (fg)( x )=2 x 2 +2 x-6, dominio: (-,) (-,)

(fg)( x )=- x 4 2 x 3 +6 x 2 +12x, (fg)( x )=- x 4 2 x 3 +6 x 2 +12x, dominio: (-,) (-,)

( f g )( x )= x 2 +2 x 6- x 2 , ( f g )( x )= x 2 +2 x 6- x 2 , dominio: (-, 6 )( 6 , 6 )( 6 ,) (-, 6 )( 6 , 6 )( 6 ,)

7.

(f+g)( x )= 4 x 3 +8 x 2 +1 2 x , (f+g)( x )= 4 x 3 +8 x 2 +1 2 x , dominio: (-,0)(0,) (-,0)(0,)

(fg)( x )= 4 x 3 +8 x 2 1 2 x , (fg)( x )= 4 x 3 +8 x 2 1 2 x , dominio: (-,0)(0,) (-,0)(0,)

(fg)( x )=x+2 , (fg)( x )=x+2 , dominio: (-,0)(0,) (-,0)(0,)

( f g )( x )=4 x 3 +8 x 2 , ( f g )( x )=4 x 3 +8 x 2 , dominio: (-,0)(0,) (-,0)(0,)

9.

(f+g)(x)=3 x 2 + x-5 , (f+g)(x)=3 x 2 + x-5 , dominio: [5,) [5,)

(fg)(x)=3 x 2 - x-5 , (fg)(x)=3 x 2 - x-5 , dominio: [5,) [5,)

(fg)(x)=3 x 2 x-5 , (fg)(x)=3 x 2 x-5 , dominio: [5,) [5,)

( f g )(x)= 3 x 2 x-5 , ( f g )(x)= 3 x 2 x-5 , dominio: (5,) (5,)

11.
  1. 3
  2. f( g( x ) )=2 ( 3x-5 ) 2 +1; f( g( x ) )=2 ( 3x-5 ) 2 +1;
  3. g( f)( x ) )=6 x 2 -2 ; g( f)( x ) )=6 x 2 -2 ;
  4. ( gg )(x)=3(3x-5)-5=9x-20; ( gg )(x)=3(3x-5)-5=9x-20;
  5. ( ff )( 2 )=163 ( ff )( 2 )=163
13.

f(g(x))= x 2 +3 +2 ,g(f(x))=x+4 x +7 f(g(x))= x 2 +3 +2 ,g(f(x))=x+4 x +7

15.

f(g(x))= x+1 x 3 3 = x+1 3 x ,g(f(x))= x 3 +1 x f(g(x))= x+1 x 3 3 = x+1 3 x ,g(f(x))= x 3 +1 x

17.

( fg )(x)= 1 2 x +4-4 = x 2 ,( gf )(x)=2 x-4 ( fg )(x)= 1 2 x +4-4 = x 2 ,( gf )(x)=2 x-4

19.

f(g(h(x)))= ( 1 x+3 ) 2 +1 f(g(h(x)))= ( 1 x+3 ) 2 +1

21.
  • Texto (gf)(x)=- 3 2 -4x ; (gf)(x)=- 3 2 -4x ;
  • ( -, 1 2 ) ( -, 1 2 )
23.
  1. (0,2 )(2 ,); (0,2 )(2 ,);
  2. (-,-2 )(2 ,); (-,-2 )(2 ,); c. (0,) (0,)
25.

(1,) (1,)

27.

muestra: f(x)= x 3 g(x)=x-5 f(x)= x 3 g(x)=x-5

29.

muestra: f(x)= 4 x g(x)= (x+2 ) 2 f(x)= 4 x g(x)= (x+2 ) 2

31.

muestra: f(x)= x 3 g(x)= 1 2 x-3 f(x)= x 3 g(x)= 1 2 x-3

33.

muestra: f(x)= x 4 g(x)= 3x-2 x+5 f(x)= x 4 g(x)= 3x-2 x+5

35.

muestra: f(x)= x f(x)= x
g(x)=2 x+6 g(x)=2 x+6

37.

muestra: f(x)= x 3 f(x)= x 3
g(x)=(x1) g(x)=(x1)

39.

muestra: f(x)= x 3 f(x)= x 3
g(x)= 1 x-2 g(x)= 1 x-2

41.

muestra: f(x)= x f(x)= x
g(x)= 2 x1 3x+4 g(x)= 2 x1 3x+4

43.

2

45.

5

47.

4

49.

0

51.

2

53.

1

55.

4

57.

4

59.

9

61.

4

63.

2

65.

3

67.

11

69.

0

71.

7

73.

f(g(0))=27,g( f(0) )=94 f(g(0))=27,g( f(0) )=94

75.

f(g(0))= 1 5 ,g(f(0))=5 f(g(0))= 1 5 ,g(f(0))=5

77.

18 x 2 +60x+51 18 x 2 +60x+51

79.

gg(x)=9x+20 gg(x)=9x+20

81.

2

83.

(-,) (-,)

85.

Falso

87.

(fg)(6)=6 (fg)(6)=6; (gf)(6)=6 (gf)(6)=6

89.

(fg)(11)=11,(gf)(11)=11 (fg)(11)=11,(gf)(11)=11

91.

c

93.

A(t)=π ( 25 t+2 ) 2 A(t)=π ( 25 t+2 ) 2 y A(2 )=π ( 25 4 ) 2 =2.500π A(2 )=π ( 25 4 ) 2 =2.500π pulgadas cuadradas

95.

A(5)=π ( 2 (5)+1 ) 2 =121π A(5)=π ( 2 (5)+1 ) 2 =121π unidades cuadradas

97.
  • N(T(t))=23 (5t+1,5) 2 56(5t+1,5)+1; N(T(t))=23 (5t+1,5) 2 56(5t+1,5)+1;
  • 3,38 horas

1.5 Ejercicios de sección

1.

Se produce un desplazamiento horizontal cuando se suma o se resta una constante a la entrada. Se produce un desplazamiento vertical cuando se suma o se resta una constante a la salida.

3.

Se produce una compresión horizontal cuando una constante mayor a 1 se multiplica por la entrada. Se produce una compresión vertical cuando una constante entre 0 y 1 se multiplica por la salida.

5.

Para una función f, f, sustituya (-x) (-x) por (x) (x) en f(x). f(x). Simplificar. Si la función resultante es la misma que la función original, f(-x)=f(x), f(-x)=f(x), entonces la función es par. Si la función resultante es lo opuesto a la función original, f(-x)=-f(x), f(-x)=-f(x), entonces la función original es impar. Si la función no es igual o contraria, entonces la función no es ni par ni impar.

7.

g(x)=|x 1|-3 g(x)=|x 1|-3

9.

g(x)= 1 (x+4) 2 +2 g(x)= 1 (x+4) 2 +2

11.

El gráfico de f(x+43) f(x+43) es un desplazamiento horizontal hacia la izquierda en 43 unidades del gráfico de f. f.

13.

El gráfico de f(x 4) f(x 4) es un desplazamiento horizontal hacia la derecha en 4 unidades del gráfico de f. f.

15.

El gráfico de f(x)+8 f(x)+8 es un desplazamiento vertical hacia arriba en 8 unidades del gráfico de f. f.

17.

El gráfico de f(x)-7 f(x)-7 es un desplazamiento vertical hacia abajo en 7 unidades del gráfico de f. f.

19.

El gráfico de f(x+4)-1 f(x+4)-1 es el desplazamiento horizontal hacia la izquierda en 4 unidades y el desplazamiento vertical hacia abajo en 1 unidad del gráfico de f. f.

21.

decreciente en (-,-3) (-,-3) y creciente en (-3,) (-3,)

23.

decreciente en [0,) [0,)

25.
Gráfico de k(x).
27.
Gráfico de f(t).
29.
Gráfico de k(x).
31.

g(x)=f(x 1),h(x)=f(x)+1 g(x)=f(x 1),h(x)=f(x)+1

33.

f(x)=|x 3|-2 f(x)=|x 3|-2

35.

f(x)= x+3 -1 f(x)= x+3 -1

37.

f(x)= (x 2 ) 2 f(x)= (x 2 ) 2

39.

f(x)=|x+3|-2 f(x)=|x+3|-2

41.

f(x)=- x f(x)=- x

43.

f(x)=- (x+1) 2 +2 f(x)=- (x+1) 2 +2

45.

f(x)= -x +1 f(x)= -x +1

47.

números

49.

impar

51.

números

53.

El gráfico de g g es una reflexión vertical (a través del eje x x) del gráfico de f. f.

55.

El gráfico de g g es un estiramiento vertical por un factor de 4 del gráfico de f. f.

57.

El gráfico de g g es una compresión horizontal por un factor de 1 5 1 5 del gráfico de f. f.

59.

El gráfico de g g es un estiramiento horizontal por un factor de 3 del gráfico de f. f.

61.

El gráfico de g g es una reflexión horizontal a través del eje y y, así como el estiramiento vertical por un factor de 3 del gráfico de f. f.

63.

g(x)=|4x| g(x)=|4x|

65.

g(x)= 1 3 (x+2 ) 2 -3 g(x)= 1 3 (x+2 ) 2 -3

67.

g(x)= 1 2 (x 5) 2 +1 g(x)= 1 2 (x 5) 2 +1

69.

El gráfico de la función f(x)= x 2 f(x)= x 2 se desplaza hacia 1 unidad hacia la izquierda, se estira verticalmente por un factor de 4 y se desplaza 5 unidades hacia abajo.

Gráfico de una parábola.
71.

El gráfico de f(x)=|x| f(x)=|x| se estira verticalmente por un factor de 2, se desplaza horizontalmente 4 unidades hacia la derecha, se refleja a través del eje horizontal y luego se desplaza verticalmente 3 unidades hacia arriba.

Gráfico de una función absoluta.
73.

El gráfico de la función f(x)= x 3 f(x)= x 3 se comprime verticalmente por un factor de 1 2 . 1 2 .

Gráfico de una función cúbica.
75.

El gráfico de la función se estira horizontalmente por un factor de 3 y luego se desplaza verticalmente hacia abajo en 3 unidades.

Gráfico de una función cúbica.
77.

El gráfico de f(x)= x f(x)= x se desplaza 4 unidades a la derecha y luego se refleja a través de la línea vertical x=4. x=4.

Gráfico de una función de raíz cuadrada.
79.
Gráfico de un polinomio.
81.
Gráfico de un polinomio.

1.6 Ejercicios de sección

1.

Aísle el término de valor absoluto para que la ecuación sea de la forma |A|=B. |A|=B. Forme una ecuación al igualar la expresión dentro del símbolo de valor absoluto, A, A, a la expresión del otro lado de la ecuación, B. B. Forme una segunda ecuación al igualar A A al opuesto de la expresión del otro lado de la ecuación, B. B. Resuelva cada ecuación para la variable.

3.

El gráfico de la función de valor absoluto no cruza el eje x x, por lo que está completamente por encima o por debajo del eje x x.

5.

En primer lugar, determine los límites al hallar la solución o las soluciones de la ecuación. Utilícelos para formar posibles intervalos de solución. Escoja un valor de prueba en cada intervalo para determinar cuál satisface la inecuación.

7.

| x+4 |= 1 2 | x+4 |= 1 2

9.

|f(x)-8|<0,03 |f(x)-8|<0,03

11.

{ 1,11 } { 1,11 }

13.

{ 9 4 , 13 4 } { 9 4 , 13 4 }

15.

{ 10 3 , 20 3 } { 10 3 , 20 3 }

17.

{ 11 5 , 29 5 } { 11 5 , 29 5 }

19.

{ 5 2 , 7 2 } { 5 2 , 7 2 }

21.

No hay solución

23.

{ 57,27 } { 57,27 }

25.

( 0,8 );( 6,0 ),( 4,0 ) ( 0,8 );( 6,0 ),( 4,0 )

27.

( 0,-7 ); ( 0,-7 ); no hay intersecciones en x x para

29.

(-,8)(12,) (-,8)(12,)

31.

-4 3 x4 -4 3 x4

33.

( -, 8 3 ][ 6, ) ( -, 8 3 ][ 6, )

35.

( -, 8 3 ][ 16, ) ( -, 8 3 ][ 16, )

37.
Gráfico de función absoluta con puntos en (-1, 2), (0, 1), (1, 0), (2, 1) y (3, 2).
39.
Gráfico de función absoluta con puntos en (-2, 3), (-1, 2), (0, 1), (1, 2) y (2, 3).
41.
Gráfico de una función absoluta.
43.
Gráfico de una función absoluta.
45.
Gráfico de una función absoluta.
47.
Gráfico de una función absoluta.
49.
Gráfico de una función absoluta.
51.
Gráfico de una función absoluta.
53.

rango: [ 0,20 ] [ 0,20 ]

Gráfico de una función absoluta.
55.

x x :

Gráfico de una función absoluta.
57.

(-,) (-,)

59.

No hay solución para a a que evitará que la función tenga una intersección en y y. La función de valor absoluto siempre cruza la intersección en y y cuando x=0 x=0

61.

| p0,08 |0,015 | p0,08 |0,015

63.

| x5,0 |0,01 | x5,0 |0,01

1.7 Ejercicios de sección

1.

Cada salida de una función debe tener exactamente una salida para que la función sea biunívoca. Si alguna línea horizontal cruza el gráfico de una función más de una vez, significa que los valores de y y se repiten y la función no es biunívoca. Si ninguna línea horizontal cruza el gráfico de la función más de una vez, entonces ninguno de los valores de y y se repiten y la función es biunívoca.

3.

Sí. Por ejemplo, f(x)= 1 x f(x)= 1 x es su propia inversa.

5.

Dada una función y=f(x), y=f(x), resolver para x x en términos de y. y. Intercambie los valores de x x y y. y. Resuelva la nueva ecuación para y. y. La expresión para y y es la inversa, y= f 1 (x). y= f 1 (x).

7.

f 1 (x)=x-3 f 1 (x)=x-3

9.

f 1 (x)=2 -x f 1 (x)=2 -x

11.

f 1 (x)= -2 x x1 f 1 (x)= -2 x x1

13.

dominio de f(x):[7,); f 1 (x)= x -7 f(x):[7,); f 1 (x)= x -7

15.

dominio de f(x):[0,); f 1 (x)= x+5 f(x):[0,); f 1 (x)= x+5

16.
  1. f(g(x))=x f(g(x))=x y g(f(x))=x. g(f(x))=x.
  2. Esto nos dice que f f y g g son funciones inversas
17.

f(g(x))=x,g(f(x))=x f(g(x))=x,g(f(x))=x

19.

biunívoca

21.

biunívoca

23.

no es biunívoca

25.

3 3

27.

2 2

29.
Gráfico de función de raíz cuadrada y su inversa.
31.

[ 2 ,10 ] [ 2 ,10 ]

33.

6 6

35.

-4 -4

37.

0 0

39.

1 1

41.
x x 1 4 7 12 16
f 1 (x) f 1 (x) 3 6 9 13 14
43.

f 1 (x)= (1+x) 1/3 f 1 (x)= (1+x) 1/3

Gráfico de una función cúbica y su inversa.
45.

f 1 (x)= 5 9 ( x32 ). f 1 (x)= 5 9 ( x32 ). Dada la temperatura Fahrenheit, x, x, esta fórmula permite calcular la temperatura en Celsius.

47.

t(d)= d 50 , t(d)= d 50 , t(180)= 180 50 . t(180)= 180 50 . El tiempo que tarda el automóvil en recorrer 180 millas es de 3,6 horas.

Ejercicios de repaso

1.

cuadrática

3.

no es una función

5.

f(-3)=27; f(-3)=27; f(2 )=-2 ; f(2 )=-2 ; f(-a)=-2 a 2 -3a; f(-a)=-2 a 2 -3a;
f(a)=2 a 2 -3a; f(a)=2 a 2 -3a; f(a+h)=-2 a 2 +3a-4ah+3h2 h 2 f(a+h)=-2 a 2 +3a-4ah+3h2 h 2

7.

biunívoca

9.

cuadrática

11.

cuadrática

13.
Gráfico de f(x).
15.

2 2

17.

x=1,8 x=1,8 o  o x=1,8  o x=1,8

19.

64+80a16 a 2 1+a =-16a+64 64+80a16 a 2 1+a =-16a+64

21.

( -,-2 )( 2 ,6 )( 6, ) ( -,-2 )( 2 ,6 )( 6, )

23.
Gráfico de f(x).
25.

31 31

27.

creciente ( 2 , ); ( 2 , ); decreciente (-,2 ) (-,2 )

29.

creciente ( -3,1 ); ( -3,1 ); constante (-,-3)( 1, ) (-,-3)( 1, )

31.

mínimo local ( 2 ,-3 ); ( 2 ,-3 ); máximo local ( 1,3 ) ( 1,3 )

33.

Máximo absoluto: 10

35.

( fg )(x)=1718x;( gf )(x)=-718x ( fg )(x)=1718x;( gf )(x)=-718x

37.

( fg )(x)= 1 x +2 ; ( fg )(x)= 1 x +2 ;( gf )(x)= 1 x+2 ( gf )(x)= 1 x+2

39.

(fg)(x)= 1+x 1+4x ,x0,x- 1 4 (fg)(x)= 1+x 1+4x ,x0,x- 1 4

41.

( fg )(x)= 1 x ,x>0 ( fg )(x)= 1 x ,x>0

43.

muestra: g(x)= 2 x1 3x+4 ;f(x)= x g(x)= 2 x1 3x+4 ;f(x)= x

45.
Gráfico de f(x)
47.
Gráfico de f(x)
49.
Gráfico de f(x)
51.
Gráfico de f(x)
53.
Gráfico de un semicírculo.
55.

f(x)=| x-3 | f(x)=| x-3 |

57.

números

59.

impar

61.

números

63.

f(x)= 1 2 | x+2 |+1 f(x)= 1 2 | x+2 |+1

65.

f(x)=-3| x-3 |+3 f(x)=-3| x-3 |+3

67.
Gráfico de f(x).
69.

x=22,x=14 x=22,x=14

71.

( - 5 3 ,3 ) ( - 5 3 ,3 )

73.

f 1 (x) = x 1 f 1 (x) =x 1

77.

La función es biunívoca.

78.

La función no es biunívoca.

79.

5 5

Examen de práctica

1.

La relación es una función.

3.

−16

5.

El gráfico es una parábola y no pasa la prueba de la línea horizontal.

7.

2 a 2 -a 2 a 2 -a

9.

-2 (a+b)+1 -2 (a+b)+1

11.

2 2

13.
Gráfico de f(x).
15.

números números

17.

impar impar

19.

x=-7 x=-7 y x=10 x=10

21.

f 1 (x)= x+5 3 f 1 (x)= x+5 3

23.

(-,1,1) y (1,1,) (-,1,1) y (1,1,)

25.

( 1,1,0,9 ) ( 1,1,0,9 )

27.

f(2 )=2 f(2 )=2

29.

f(x)={ | x |six2 3six>2 f(x)={ | x |six2 3six>2

31.

x=2 x=2

33.

35.

f 1 (x)=- x11 2 f 1 (x)=- x11 2

Do you know how you learn best?
Kinetic by OpenStax offers access to innovative study tools designed to help you maximize your learning potential.
Solicitar una copia impresa

As an Amazon Associate we earn from qualifying purchases.

Cita/Atribución

¿Desea citar, compartir o modificar este libro? Este libro utiliza la Creative Commons Attribution License y debe atribuir a OpenStax.

Información de atribución
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato impreso, debe incluir en cada página física la siguiente atribución:
    Acceso gratis en https://openstax.org/books/prec%C3%A1lculo-2ed/pages/1-introduccion
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato digital, debe incluir en cada vista de la página digital la siguiente atribución:
    Acceso gratuito en https://openstax.org/books/prec%C3%A1lculo-2ed/pages/1-introduccion
Información sobre citas

© 27 abr. 2022 OpenStax. El contenido de los libros de texto que produce OpenStax tiene una licencia de Creative Commons Attribution License . El nombre de OpenStax, el logotipo de OpenStax, las portadas de libros de OpenStax, el nombre de OpenStax CNX y el logotipo de OpenStax CNX no están sujetos a la licencia de Creative Commons y no se pueden reproducir sin el previo y expreso consentimiento por escrito de Rice University.