1.2 Dominio y rango

Hallar el dominio de una función definida por una ecuación

En Funciones y notación de funciones, se introdujeron los conceptos de dominio y rango. En esta sección, practicaremos la determinación de dominios y rangos para funciones específicas. Tenga en cuenta que, al determinar los dominios y los rangos, tenemos que considerar lo que es físicamente posible o significativo en los ejemplos del mundo real, como la venta de entradas y el año en el ejemplo anterior de las películas de terror. También hay que tener en cuenta lo que está matemáticamente permitido. Por ejemplo, no podemos incluir ningún valor de entrada que nos lleve a tomar una raíz par de un número negativo si el dominio y el rango consisten en números reales. O en una función expresada como fórmula, no podemos incluir ningún valor de entrada en el dominio que nos lleve a dividir entre 0.

Podemos visualizar el dominio como una "zona de espera" que contiene "materias primas" para una "máquina funcional" y el rango como otra "zona de espera" para los productos de la máquina. Vea la Figura 2.

Figura 2

Podemos escribir el dominio y el rango en notación intervalo, que utiliza valores entre paréntesis para describir un conjunto de números. En la notación intervalo, utilizamos un corchete “[“ cuando el conjunto incluye el punto final y un paréntesis “(“ para indicar que el punto final no está incluido o que el intervalo no está acotado. Por ejemplo, si una persona tiene 100 dólares para gastar, tendría que expresar el intervalo que es mayor que 0 y menor o igual que 100 y escribir $\left(0,100\right].$ Más adelante hablaremos con más detalle de la notación intervalo.

Vamos a centrar nuestra atención en encontrar el dominio de una función de la que se proporciona una ecuación. A menudo, encontrar el dominio de tales funciones implica recordar tres formas diferentes. En primer lugar, si la función no tiene denominador o tiene una raíz impar, considere si el dominio podrían ser todos los números reales. En segundo lugar, si hay un denominador en la ecuación de la función, excluya los valores en el dominio que obligan al denominador a ser cero. En tercer lugar, si hay una raíz par, considere la posibilidad de excluir los valores que harían que el radicando fuera negativo.

Antes de empezar, repasemos las convenciones de la notación intervalo:

• El término más pequeño del intervalo se escribe primero.
• El término más grande del intervalo se escribe en segundo lugar, tras una coma.
• Los paréntesis, “(“ o “)”, se utilizan para indicar que un punto final no está incluido, lo que se denomina exclusivo.
• Los corchetes, “[“ o “]”, se utilizan para indicar que un punto final está incluido, lo que se denomina inclusivo.

Vea la Figura 3 para conocer un resumen de la notación intervalo.

Figura 3

Ejemplo 3

Hallar el dominio de una función con denominador

Halle el dominio de la función $f(x)=\frac{x+1}{2-x}.$

Solución

Cuando hay un denominador, queremos incluir solo los valores de la entrada que no obligan al denominador a ser cero. Por lo tanto, pondremos el denominador igual a 0 y resolveremos para $x.$

$$\begin{array}{l}2-x=0\hfill \\ -x=-2\hfill \\ x=2\hfill \end{array}$$

Ahora, excluiremos el 2 del dominio. Las respuestas son todos los números reales donde $x<2$ o $x>2.$ Podemos utilizar un símbolo conocido como la unión, $\cup ,$ para combinar los dos conjuntos. En notación intervalo, escribimos la solución $\left(\mathrm{-\infty },2\right)\cup \left(2,\infty \right).$

Figura 4

En forma de intervalo, el dominio de $f$ es $\left(-\infty ,2\right)\cup \left(2,\infty \right).$

Usar notaciones para especificar el dominio y el rango

En los ejemplos anteriores, utilizamos inecuaciones y listas para describir el dominio de las funciones. También podemos utilizar desigualdades, u otros enunciados que puedan definir conjuntos de valores o datos, para describir el comportamiento de la variable en la notación del constructor de conjuntos. Por ejemplo, $\left\{x|10\le x<30\right\}$ describe el comportamiento de $x$ en la notación del constructor de conjuntos. Las llaves $\left\{\right\}$ se leen como "el conjunto de", y la barra vertical | se lee como "tal que", por lo que leeríamos $\left\{x|10\le x<30\right\}$ como "el conjunto de valores x tales que 10 es menor o igual que $x,$ y $x$ es menos de 30”.

La Figura 5 compara la notación de inecuación, la notación del constructor de conjuntos y la notación intervalos.

Figura 5

Para combinar dos intervalos utilizando la notación de inecuación o la notación del constructor de conjuntos, utilizamos la palabra “o”. Como hemos visto en los ejemplos anteriores, utilizamos el símbolo de unión, $\cup ,$ para combinar dos intervalos no conectados. Por ejemplo, la unión de los conjuntos $\{2,3,5\}$ y $\{4,6\}$ es el conjunto $\{2,3,4,5,6\}.$ Es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a uno u otro (o a ambos) de los dos conjuntos originales. En el caso de conjuntos con un número finito de elementos como este, no es necesario enumerar los elementos en orden ascendente de valor numérico. Si los dos conjuntos originales tienen algunos elementos en común, esos elementos deben figurar solo una vez en el conjunto de unión. Para conjuntos de números reales en intervalos, otro ejemplo de unión es

Ejemplo 5

Describir conjuntos en la línea de números reales

Describa los intervalos de valores mostrados en la Figura 6 utilizando la notación de inecuación, la notación del constructor de conjuntos y la notación intervalo.

Figura 6

Solución

Para describir los valores, $x,$ incluidos en los intervalos indicados, diríamos que "$x$ es un número real mayor o igual que 1 y menor o igual que 3, o un número real mayor que 5".

Inecuación	$1\le x\le 3\text{o}x>5$
Notación del constructor de conjuntos	$\left\{x|1\le x\le 3\text{o}x>5\right\}$
Notación intervalo	$[1,3]\cup (5,\infty )$

Recuerde que, al escribir o leer la notación intervalo, el uso de un corchete significa que el límite está incluido en el conjunto. El uso de un paréntesis significa que el límite no está incluido en el conjunto.

Inténtelo #5

Dada la Figura 7, especifique el conjunto graficado en

1. Ⓐ palabras
2. Ⓑ notación del constructor de conjuntos
3. Ⓒ notación de intervalos

Figura 7

Hallar el dominio y el rango de los gráficos

Otra forma de identificar el dominio y el rango de las funciones es mediante el uso de gráficos. Dado que el dominio se refiere al conjunto de posibles valores de entrada, el dominio de un gráfico consiste en todos los valores de entrada mostrados en el eje x. El rango es el conjunto de posibles valores de salida, que se muestran en el eje y. Tenga en cuenta que si el gráfico continúa más allá de la porción que podemos ver, el dominio y el rango pueden ser mayores que los valores visibles. Vea la Figura 8.

Figura 8

Podemos observar que el gráfico se extiende horizontalmente desde $\mathrm{-5}$ a la derecha sin límite, por lo que el dominio es $\left[\mathrm{-5},\infty \right).$ La extensión vertical del gráfico son todos los valores del rango $5$ y por debajo, por lo que el rango es $\left(\mathrm{-\infty },5\right].$ Observe que el dominio y el rango se escriben siempre de menor a mayor valor, o de izquierda a derecha, para el dominio, y de la parte inferior del gráfico a la superior para el rango.

Ejemplo 6

Encontrar el dominio y el rango de un gráfico

Halle el dominio y el rango de la función $f$ cuyo gráfico se muestra en la Figura 9.

Figura 9

Solución

Podemos observar que la extensión horizontal del gráfico es de -3 a 1, por lo que el dominio de $f$ es $\left(-3,1\right].$

La extensión vertical del gráfico es de 0 a -4, por lo que el rango es $[-4,0].$ Vea la Figura 10.

Figura 10

Ejemplo 7

Hallar el dominio y el rango a partir de un gráfico de la producción de petróleo

Calcule el dominio y el rango de la función $f$ cuyo gráfico se muestra en la Figura 11.

Figura 11 (créditos: modificación del trabajo de la Administración de Información Energética de EE. UU.)⁴

Solución

La cantidad de entrada en el eje horizontal es "años", que representamos con la variable $t$ para el tiempo. La cantidad de salida es "miles de barriles de petróleo al día", que representamos con la variable $b$ para barriles. El gráfico puede continuar a la izquierda y a la derecha más allá de lo que se ve, pero basándonos en la parte que es visible, podemos determinar el dominio como $1973\le t\le 2008$ y el rango como aproximadamente $180\le b\le 2010.$

En notación intervalo, el dominio es [1973, 2008], y el rango es aproximadamente [180, 2010]. Para el dominio y el rango, aproximamos los valores más pequeños y más grandes, ya que no caen exactamente en las líneas de la cuadrícula.

Inténtelo #6

Dada la Figura 12, identifique el dominio y el rango utilizando la notación intervalo.

Figura 12

Hallar dominios y rangos de las funciones de la caja de herramientas

Ahora volveremos a nuestro conjunto de funciones de la caja de herramientas para determinar el dominio y el rango de cada una.

Figura 13 Para la función constante $f(x)=c,$ el dominio consiste en todos los números reales; no hay restricciones en la entrada. El único valor de salida es la constante $c,$ por lo que el rango es el conjunto $\left\{c\right\}$ que contiene este único elemento. En notación intervalo, esto se escribe como $[c,c],$ el intervalo que comienza y termina con $c.$

Figura 14 Para la función de identidad $f(x)=x,$ no hay ninguna restricción en $x.$ Tanto el dominio como el rango son el conjunto de todos los números reales.

Figura 15 Para la función de valor absoluto $f(x)=\left|x\right|,$ no hay ninguna restricción en $x.$ Sin embargo, como el valor absoluto se define como una distancia de 0, la salida solo puede ser mayor o igual a 0.

Figura 16 Para la función cuadrática $f(x)=x^2,$ el dominio son todos los números reales, ya que la extensión horizontal del gráfico es toda la recta de números reales. Dado que el gráfico no incluye ningún valor negativo para el rango, este es solo números reales no negativos.

Figura 17 Para la función cúbica $f(x)=x^3,$ el dominio son todos los números reales porque la extensión horizontal del gráfico es toda la recta de números reales. Lo mismo ocurre con la extensión vertical del gráfico, por lo que el dominio y el rango incluyen todos los números reales.

Figura 18 Para la función recíproca $f(x)=\frac{1}{x},$ no podemos dividir entre 0, por lo que debemos excluir el 0 del dominio. Además, 1 dividido entre cualquier valor nunca puede ser 0, por lo que el rango tampoco incluirá 0. En la notación del constructor de conjuntos, también podríamos escribir $\left\{x\right|x\ne 0\},$ el conjunto de todos los números reales que no son cero.

Figura 19 Para la función recíproca al cuadrado $f(x)=\frac{1}{x^2},$ no podemos dividir entre $0,$ por lo que debemos excluir $0$ del dominio. Tampoco hay $x$ que puede dar una salida de 0, por lo que también se excluye el 0 del rango. Observe que la salida de esta función es siempre positiva debido al cuadrado en el denominador, por lo que el rango solo incluye números positivos.

Figura 20 Para la función de raíz cuadrada $f(x)=\sqrt[]{x},$ no podemos sacar la raíz cuadrada de un número real negativo, por lo que el dominio debe ser 0 o mayor. El rango también excluye los números negativos porque la raíz cuadrada de un número positivo $x$ se define como positivo, aunque el cuadrado del número negativo $-\sqrt{x}$ también nos da $x.$

Figura 21 Para la función de raíz cúbica $f(x)=\sqrt[3]{x},$ el dominio y el rango incluyen todos los números reales. Observe que no hay problema en tomar una raíz cúbica, o cualquier raíz entera impar, de un número negativo, y la salida resultante es negativa (es una función impar).

Ejemplo 10

Hallar el dominio y el rango

Halle el dominio y el rango de $f(x)=2\sqrt{x+4}.$

Solución

No podemos sacar la raíz cuadrada de un número negativo, por lo que el valor dentro del radical debe ser no negativo.

$$x+4\ge 0\text{ cuando }x\ge -4$$

El dominio de $f\left(x\right)$ es $[-4,\infty ).$

A continuación, encontramos el rango. Sabemos que $f\left(-4\right)=0,$ y el valor de la función aumenta a medida que $x$ aumenta sin límite superior. Concluimos que el rango de $f$ es $[0,\infty ).$

Análisis

La Figura 22 representa la función $f.$

Figura 22

Graficar funciones definidas por partes

A veces, nos encontramos con una función que requiere más de una fórmula para obtener la salida dada. Por ejemplo, en las funciones de la caja de herramientas, introducimos la función de valor absoluto $f(x)=\left|x\right|.$ Con un dominio de todos los números reales y un rango de valores mayor o igual a 0, el valor absoluto puede definirse como la magnitud, o módulo, de un valor de un número real sin importar el signo. Es la distancia desde el 0 en la línea numérica. Todas estas definiciones requieren que la salida sea mayor o igual a 0.

Si introducimos 0, o un valor positivo, la salida es la misma que la entrada.

Si introducimos un valor negativo, la salida es la opuesta a la entrada.

Ya que esto requiere dos procesos o piezas diferentes, la función de valor absoluto es un ejemplo de función definida por partes. Una función definida por partes es una función en la que se utiliza más de una fórmula para definir la salida sobre diferentes partes del dominio.

Utilizamos funciones definidas por partes para describir situaciones en las que una regla o relación cambia cuando el valor de entrada cruza ciertos "límites". Por ejemplo, a menudo nos encontramos con situaciones en las que el costo por pieza de un determinado artículo se descuenta una vez que el número de pedidos supera un determinado valor. Las categorías impositivas son otro ejemplo real de funciones definidas por partes. Por ejemplo, consideremos un sistema fiscal simple en el que los ingresos hasta 10.000 dólares se gravan al 10 %, y cualquier ingreso adicional se grava al 20 %. El impuesto sobre una renta total $S$ sería $\mathrm{0,1}S$ si $S\le \text{\$}10\text{.}000$ y $\text{\$}1.000+\mathrm{0,2}(S-\text{\$}10\text{.}000)$ si $S>\text{\$}10.000.$

Ejemplo 11

Escribir una función definida por partes

El museo cobra 5 dólares por persona por una visita guiada con un grupo de 1 a 9 personas o una tarifa fija de 50 dólares por un grupo de 10 o más personas. Escriba una función que relacione el número de personas, $n,$ al costo, $C.$

Solución

Se necesitarán dos fórmulas diferentes. Para valores n inferiores a 10, $C=5n.$ Para los valores de $n$ que son 10 o más, $C=50.$

$$C(n)=\{\begin{array}{ccc}5n& \text{si}& 0<n<10\\ 50& \text{si}& n\ge 10\end{array}$$

Análisis

La función se representa en la Figura 23. El gráfico es una línea diagonal desde $n=0$ a $n=10$ y una constante después. En este ejemplo, las dos fórmulas coinciden en el punto de encuentro donde $n=10,$ pero no todas las funciones definidas por partes tienen esta propiedad.

Figura 23

Ejemplo 12

Trabajar con una función definida por partes

Una empresa de telefonía móvil utiliza la siguiente función para determinar el costo, $C,$ en dólares para $g$ gigabytes de transferencia de datos.

$$C(g)=\{\begin{array}{ccc}25& \text{si}& 0<g<2\\ 25+10(g-2)& \text{si}& g\ge 2\end{array}$$

Halle el costo de utilizar 1,5 gigabytes de datos y el costo de utilizar 4 gigabytes de datos.

Solución

Para hallar el costo de utilizar 1,5 gigabytes de datos, $C(\mathrm{1,5}),$ buscamos primero en qué parte del dominio se encuentra nuestra entrada. Como 1,5 es menor que 2, utilizamos la primera fórmula.

$$C(\mathrm{1,5})=\text{\$}25$$

Para hallar el costo de utilizar 4 gigabytes de datos, $C(4),$ vemos que nuestra entrada de 4 es mayor que 2, así que utilizamos la segunda fórmula.

$$C(4)=25+10(4–2)=\text{\$}45$$

Análisis

La función se representa en la Figura 24. Podemos ver dónde cambia la función de una constante a una identidad desplazada y estirada en $g=2.$ Trazamos los gráficos de las diferentes fórmulas en un conjunto común de ejes, asegurándonos de que cada fórmula se aplica en su propio dominio.

Figura 24

Ejemplo 13

Graficar una función definida por partes

Dibuje un gráfico de la función.

$$f(x)=\{\begin{array}{ccc}{x}^2& \text{si}& x\le 1\\ 3& \text{si}& 1<x\le 2\\ x& \text{si}& x>2\end{array}$$

Solución

Cada una de las funciones de los componentes es de nuestra biblioteca de funciones de la caja de herramientas, por lo que conocemos sus formas. Podemos imaginarnos el gráfico de cada función y luego limitarlo al dominio indicado. En los puntos finales del dominio, dibujamos círculos abiertos para indicar que el punto final no está incluido debido a una desigualdad menor que o mayor que; dibujamos un círculo cerrado donde el punto final está incluido debido a una desigualdad menor que o igual que o mayor que.

La Figura 25 muestra los tres componentes de la función definida por partes graficados en sistemas de coordenadas separados.

Figura 25 (a) $f\left(x\right)=x^2\text{ si }x\le 1;$ (b) $f\left(x\right)=3\text{ si 1< }x\le 2;$ (c) $f\left(x\right)=x\text{ si }x>2$

Ahora que hemos dibujado cada pieza individualmente, las combinamos en el mismo plano de coordenadas. Vea la Figura 26.

Figura 26

Análisis

Observe que el gráfico pasa la prueba de la línea vertical incluso en $x=1$ y $x=2$ porque los puntos $\left(1,3\right)$ y $\left(2,2\right)$ no forman parte del gráfico de la función, aunque $\left(1,1\right)$ y $\left(2,3\right)$ sí lo son.