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Precálculo 2ed

1.2 Dominio y rango

Precálculo 2ed1.2 Dominio y rango

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Hallar el dominio de una función definida por una ecuación.
  • Graficar funciones definidas por partes.

Las películas de terror y de suspenso son populares y, muy a menudo, muy rentables. Cuando se incluyen actores de gran presupuesto, lugares de rodaje y efectos especiales, los estudios cuentan con una audiencia aún mayor para tener éxito. Consideremos cinco grandes obras de suspenso/terror de principios del siglo XXI: Soy Leyenda, Hannibal, El Aro, La Maldición y El Conjuro. La Figura 1 muestra la cantidad en dólares que recaudó cada una de esas películas cuando se estrenaron, así como la venta de entradas para las películas de terror en general por año. Observe que podemos utilizar los datos para crear una función de la cantidad que ganó cada película o el total de ventas de entradas de todas las películas de terror por año. Al crear varias funciones utilizando los datos, podemos identificar diferentes variables dependientes e independientes, y podemos analizar los datos y las funciones para determinar el dominio y el rango. En esta sección, investigaremos métodos para determinar el dominio y el rango de funciones como estas.

Dos gráficos donde la primera es la de las cinco películas de terror más taquilleras de los años 2000 a 2003 y la de la participación en el mercado de las películas de terror por año
Figura 1 Basado en datos recopilados por www.the-numbers.com.3

Hallar el dominio de una función definida por una ecuación

En Funciones y notación de funciones, se introdujeron los conceptos de dominio y rango. En esta sección, practicaremos la determinación de dominios y rangos para funciones específicas. Tenga en cuenta que, al determinar los dominios y los rangos, tenemos que considerar lo que es físicamente posible o significativo en los ejemplos del mundo real, como la venta de entradas y el año en el ejemplo anterior de las películas de terror. También hay que tener en cuenta lo que está matemáticamente permitido. Por ejemplo, no podemos incluir ningún valor de entrada que nos lleve a tomar una raíz par de un número negativo si el dominio y el rango consisten en números reales. O en una función expresada como fórmula, no podemos incluir ningún valor de entrada en el dominio que nos lleve a dividir entre 0.

Podemos visualizar el dominio como una "zona de espera" que contiene "materias primas" para una "máquina funcional" y el rango como otra "zona de espera" para los productos de la máquina. Vea la Figura 2.

Diagrama de cómo una función vincula dos relaciones.
Figura 2

Podemos escribir el dominio y el rango en notación intervalo, que utiliza valores entre paréntesis para describir un conjunto de números. En la notación intervalo, utilizamos un corchete “[“ cuando el conjunto incluye el punto final y un paréntesis “(“ para indicar que el punto final no está incluido o que el intervalo no está acotado. Por ejemplo, si una persona tiene 100 dólares para gastar, tendría que expresar el intervalo que es mayor que 0 y menor o igual que 100 y escribir ( 0,100 ]. ( 0,100 ]. Más adelante hablaremos con más detalle de la notación intervalo.

Vamos a centrar nuestra atención en encontrar el dominio de una función de la que se proporciona una ecuación. A menudo, encontrar el dominio de tales funciones implica recordar tres formas diferentes. En primer lugar, si la función no tiene denominador o tiene una raíz impar, considere si el dominio podrían ser todos los números reales. En segundo lugar, si hay un denominador en la ecuación de la función, excluya los valores en el dominio que obligan al denominador a ser cero. En tercer lugar, si hay una raíz par, considere la posibilidad de excluir los valores que harían que el radicando fuera negativo.

Antes de empezar, repasemos las convenciones de la notación intervalo:

  • El término más pequeño del intervalo se escribe primero.
  • El término más grande del intervalo se escribe en segundo lugar, tras una coma.
  • Los paréntesis, “(“ o “)”, se utilizan para indicar que un punto final no está incluido, lo que se denomina exclusivo.
  • Los corchetes, “[“ o “]”, se utilizan para indicar que un punto final está incluido, lo que se denomina inclusivo.

Vea la Figura 3 para conocer un resumen de la notación intervalo.

Resumen de la notación intervalo.
Figura 3

Ejemplo 1

Hallar el dominio de una función como un conjunto de pares ordenados

Halle el dominio de la siguiente función { ( 2 ,10 ),( 3,10 ),( 4,20 ),( 5,30 ),( 6,40 ) } { ( 2 ,10 ),( 3,10 ),( 4,20 ),( 5,30 ),( 6,40 ) } .

Inténtelo #1

Halle el dominio de la función:

{ (−5,4),(0,0),(5,–4),(10,−8),(15,−12) } { (−5,4),(0,0),(5,–4),(10,−8),(15,−12) }

Cómo

Dada una función escrita en forma de ecuación, halle el dominio.

  1. Identifique los valores de entrada.
  2. Identifique cualquier restricción en la entrada y excluya esos valores del dominio.
  3. Escriba el dominio en forma de intervalo, si es posible.

Ejemplo 2

Hallar el dominio de una función

Halle el dominio de la función f(x)= x 2 1. f(x)= x 2 1.

Inténtelo #2

Halle el dominio de la función f(x)=5-x+ x 3 . f(x)=5-x+ x 3 .

Cómo

Dada una función escrita en forma de ecuación que incluye una fracción, halle el dominio.

  1. Identifique los valores de entrada.
  2. Identifique cualquier restricción en la entrada. Si hay un denominador en la fórmula de la función, ponga el denominador igual a cero y resuelva para x x . Si la fórmula de la función contiene una raíz par, establezca el radicando mayor o igual a 0, y luego resuelva.
  3. Escriba el dominio en forma de intervalo, asegurándose de excluir cualquier valor restringido del dominio.

Ejemplo 3

Hallar el dominio de una función con denominador

Halle el dominio de la función f(x)= x+1 2 -x . f(x)= x+1 2 -x .

Inténtelo #3

Halle el dominio de la función f(x)= 1+4x 2 x1 . f(x)= 1+4x 2 x1 .

Cómo

Dada una función escrita en forma de ecuación que incluye una raíz par, halle el dominio.

  1. Identifique los valores de entrada.
  2. Como hay una raíz par, excluya cualquier número real que dé lugar a un número negativo en el radicando. Establezca el radicando mayor o igual a cero y resuelva para x. x.
  3. Las soluciones son el dominio de la función. Si es posible, escriba la respuesta en forma de intervalo.

Ejemplo 4

Hallar el dominio de una función con una raíz par

Halle el dominio de la función f(x)= 7-x . f(x)= 7-x .

Inténtelo #4

Halle el dominio de la función f(x)= 5+2 x . f(x)= 5+2 x .

Preguntas y respuestas

¿Puede haber funciones en las que el dominio y el rango no se intersequen en absoluto?

Sí. Por ejemplo, la función f(x)=- 1 x f(x)=- 1 x tiene como dominio el conjunto de todos los números reales positivos, pero tiene como rango el conjunto de todos los números reales negativos. Como ejemplo más extremo, las entradas y salidas de una función pueden ser categorías completamente diferentes (por ejemplo, nombres de días de la semana como entradas y números como salidas, como en un gráfico de asistencia), en estos casos el dominio y el rango no tienen elementos en común.

Usar notaciones para especificar el dominio y el rango

En los ejemplos anteriores, utilizamos inecuaciones y listas para describir el dominio de las funciones. También podemos utilizar desigualdades, u otros enunciados que puedan definir conjuntos de valores o datos, para describir el comportamiento de la variable en la notación del constructor de conjuntos. Por ejemplo, { x|10x<30 } { x|10x<30 } describe el comportamiento de x x en la notación del constructor de conjuntos. Las llaves {} {} se leen como "el conjunto de", y la barra vertical | se lee como "tal que", por lo que leeríamos { x|10x<30 } { x|10x<30 } como "el conjunto de valores x tales que 10 es menor o igual que x, x, y x x es menos de 30”.

La Figura 5 compara la notación de inecuación, la notación del constructor de conjuntos y la notación intervalos.

Resumen de las notaciones para las inecuaciones, del constructor de conjuntos y los intervalos.
Figura 5

Para combinar dos intervalos utilizando la notación de inecuación o la notación del constructor de conjuntos, utilizamos la palabra “o”. Como hemos visto en los ejemplos anteriores, utilizamos el símbolo de unión, , , para combinar dos intervalos no conectados. Por ejemplo, la unión de los conjuntos {2 ,3,5} {2 ,3,5} y {4,6} {4,6} es el conjunto {2 ,3,4,5,6}. {2 ,3,4,5,6}. Es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a uno u otro (o a ambos) de los dos conjuntos originales. En el caso de conjuntos con un número finito de elementos como este, no es necesario enumerar los elementos en orden ascendente de valor numérico. Si los dos conjuntos originales tienen algunos elementos en común, esos elementos deben figurar solo una vez en el conjunto de unión. Para conjuntos de números reales en intervalos, otro ejemplo de unión es

{ x|  | x |3 }=( -,-3 ][ 3, ) { x|  | x |3 }=( -,-3 ][ 3, )

Notación del constructor de conjuntos y notación intervalo

La notación del constructor de conjuntos es un método para especificar un conjunto de elementos que satisfacen una determinada condición. Tiene la forma {x|enunciado de x} {x|enunciado de x} que se lee como "el conjunto de todos los x x tales que el enunciado sobre x x es cierto”. Por ejemplo,

{ x|4<x12 } { x|4<x12 }

La notación intervalo es una forma de describir conjuntos que incluyen todos los números reales entre un límite inferior que puede o no incluirse y un límite superior que puede o no incluirse. Los valores de los puntos finales aparecen entre corchetes o paréntesis. Un corchete indica la inclusión en el conjunto, y un paréntesis indica la exclusión del conjunto. Por ejemplo,

( 4,12 ] ( 4,12 ]

Cómo

Dado un gráfico de líneas, describa el conjunto de valores utilizando la notación intervalo.

  1. Identifique los intervalos que se incluirán en el conjunto determinando dónde se superpone la línea gruesa a la línea real.
  2. En el extremo izquierdo de cada intervalo, utilice “[“ con cada valor final que deba incluirse en el conjunto (punto sólido) o “(“ para cada valor final excluido (punto abierto).
  3. En el extremo derecho de cada intervalo, utilice “]” con cada valor final que deba incluirse en el conjunto (punto relleno) o “)” para cada valor final excluido (punto abierto).
  4. Utilice el símbolo de unión para combinar todos los intervalos en un solo conjunto.

Ejemplo 5

Describir conjuntos en la línea de números reales

Describa los intervalos de valores mostrados en la Figura 6 utilizando la notación de inecuación, la notación del constructor de conjuntos y la notación intervalo.

Gráfico de línea de 1<=x<=3 y 5<x.
Figura 6

Inténtelo #5

Dada la Figura 7, especifique el conjunto graficado en

  1. palabras
  2. notación del constructor de conjuntos
  3. notación de intervalos
Gráfico de línea de -2<=x, -1<=x<3.
Figura 7

Hallar el dominio y el rango de los gráficos

Otra forma de identificar el dominio y el rango de las funciones es mediante el uso de gráficos. Dado que el dominio se refiere al conjunto de posibles valores de entrada, el dominio de un gráfico consiste en todos los valores de entrada mostrados en el eje x. El rango es el conjunto de posibles valores de salida, que se muestran en el eje y. Tenga en cuenta que si el gráfico continúa más allá de la porción que podemos ver, el dominio y el rango pueden ser mayores que los valores visibles. Vea la Figura 8.

Gráfico de un polinomio que muestra que el eje x es el dominio y el eje y es el rango
Figura 8

Podemos observar que el gráfico se extiende horizontalmente desde −5 −5 a la derecha sin límite, por lo que el dominio es [ −5, ). [ −5, ). La extensión vertical del gráfico son todos los valores del rango 5 5 y por debajo, por lo que el rango es ( -∞,5 ]. ( -∞,5 ]. Observe que el dominio y el rango se escriben siempre de menor a mayor valor, o de izquierda a derecha, para el dominio, y de la parte inferior del gráfico a la superior para el rango.

Ejemplo 6

Encontrar el dominio y el rango de un gráfico

Halle el dominio y el rango de la función f f cuyo gráfico se muestra en la Figura 9.

Gráfico de una función de (-3, 1].
Figura 9

Ejemplo 7

Hallar el dominio y el rango a partir de un gráfico de la producción de petróleo

Calcule el dominio y el rango de la función f f cuyo gráfico se muestra en la Figura 11.

Gráfico de la producción de crudo de Alaska en el que el eje y son los miles de barriles por día y el eje - (negativo) son los años.
Figura 11 (créditos: modificación del trabajo de la Administración de Información Energética de EE. UU.)4

Inténtelo #6

Dada la Figura 12, identifique el dominio y el rango utilizando la notación intervalo.

Gráfico del aumento de la población mundial en el que el eje y representa los millones de personas y el eje x el año.
Figura 12

Preguntas y respuestas

¿El dominio y el rango de una función pueden coincidir?

Sí. Por ejemplo, el dominio y el rango de la función de raíz cúbica son el conjunto de todos los números reales.

Hallar dominios y rangos de las funciones de la caja de herramientas

Ahora volveremos a nuestro conjunto de funciones de la caja de herramientas para determinar el dominio y el rango de cada una.

Función constante f(x)=c.
Figura 13 Para la función constante f(x)=c, f(x)=c, el dominio consiste en todos los números reales; no hay restricciones en la entrada. El único valor de salida es la constante c, c, por lo que el rango es el conjunto {c} {c} que contiene este único elemento. En notación intervalo, esto se escribe como [c,c], [c,c], el intervalo que comienza y termina con c. c.
Función de identidad f(x)=x.
Figura 14 Para la función de identidad f(x)=x, f(x)=x, no hay ninguna restricción en x. x. Tanto el dominio como el rango son el conjunto de todos los números reales.
Función absoluta f(x)=|x|.
Figura 15 Para la función de valor absoluto f(x)=| x |, f(x)=| x |, no hay ninguna restricción en x. x. Sin embargo, como el valor absoluto se define como una distancia de 0, la salida solo puede ser mayor o igual a 0.
Función cuadrática f(x)=x^2.
Figura 16 Para la función cuadrática f(x)= x 2 , f(x)= x 2 , el dominio son todos los números reales, ya que la extensión horizontal del gráfico es toda la recta de números reales. Dado que el gráfico no incluye ningún valor negativo para el rango, este es solo números reales no negativos.
Función cúbica f(x)-x^3.
Figura 17 Para la función cúbica f(x)= x 3 , f(x)= x 3 , el dominio son todos los números reales porque la extensión horizontal del gráfico es toda la recta de números reales. Lo mismo ocurre con la extensión vertical del gráfico, por lo que el dominio y el rango incluyen todos los números reales.
Función recíproca f(x)=1/x.
Figura 18 Para la función recíproca f(x)= 1 x , f(x)= 1 x , no podemos dividir entre 0, por lo que debemos excluir el 0 del dominio. Además, 1 dividido entre cualquier valor nunca puede ser 0, por lo que el rango tampoco incluirá 0. En la notación del constructor de conjuntos, también podríamos escribir {x|x0}, {x|x0}, el conjunto de todos los números reales que no son cero.
Función recíproca al cuadrado f(x)=1/x^2
Figura 19 Para la función recíproca al cuadrado f(x)= 1 x 2 , f(x)= 1 x 2 , no podemos dividir entre 0, 0, por lo que debemos excluir 0 0 del dominio. Tampoco hay x x que puede dar una salida de 0, por lo que también se excluye el 0 del rango. Observe que la salida de esta función es siempre positiva debido al cuadrado en el denominador, por lo que el rango solo incluye números positivos.
Función de raíz cuadrada f(x)=sqrt(x).
Figura 20 Para la función de raíz cuadrada f(x)= x , f(x)= x , no podemos sacar la raíz cuadrada de un número real negativo, por lo que el dominio debe ser 0 o mayor. El rango también excluye los números negativos porque la raíz cuadrada de un número positivo x x se define como positivo, aunque el cuadrado del número negativo x x también nos da x. x.
Función de raíz cúbica f(x)=x^(1/3).
Figura 21 Para la función de raíz cúbica f(x)= x 3 , f(x)= x 3 , el dominio y el rango incluyen todos los números reales. Observe que no hay problema en tomar una raíz cúbica, o cualquier raíz entera impar, de un número negativo, y la salida resultante es negativa (es una función impar).

Cómo

Dada la fórmula de una función, determine el dominio y el rango.

  1. Excluya del dominio cualquier valor de entrada que resulte en una división entre cero.
  2. Excluya del dominio cualquier valor de entrada que tenga salidas numéricas no reales (o indefinidas).
  3. Utilice los valores de entrada válidos para determinar el rango de los valores de salida.
  4. Observe el gráfico de la función y los valores de la tabla para confirmar el comportamiento real de la función.

Ejemplo 8

Encontrar el dominio y el rango usando las funciones de la caja de herramientas

Halle el dominio y el rango de f(x)=2 x 3 -x. f(x)=2 x 3 -x.

Ejemplo 9

Hallar el dominio y el rango

Halle el dominio y el rango de f(x)= 2 x+1 . f(x)= 2 x+1 .

Ejemplo 10

Hallar el dominio y el rango

Halle el dominio y el rango de f(x)=2 x+4 . f(x)=2 x+4 .

Análisis

La Figura 22 representa la función f. f.

Gráfico de una función de raíz cuadrada en (-4, 0).
Figura 22

Inténtelo #7

Halle el dominio y el rango de f( x )=- 2 -x . f( x )=- 2 -x .

Graficar funciones definidas por partes

A veces, nos encontramos con una función que requiere más de una fórmula para obtener la salida dada. Por ejemplo, en las funciones de la caja de herramientas, introducimos la función de valor absoluto f(x)=| x |. f(x)=| x |. Con un dominio de todos los números reales y un rango de valores mayor o igual a 0, el valor absoluto puede definirse como la magnitud, o módulo, de un valor de un número real sin importar el signo. Es la distancia desde el 0 en la línea numérica. Todas estas definiciones requieren que la salida sea mayor o igual a 0.

Si introducimos 0, o un valor positivo, la salida es la misma que la entrada.

f(x)=xsix0 f(x)=xsix0

Si introducimos un valor negativo, la salida es la opuesta a la entrada.

f(x)=-xsix<0 f(x)=-xsix<0

Ya que esto requiere dos procesos o piezas diferentes, la función de valor absoluto es un ejemplo de función definida por partes. Una función definida por partes es una función en la que se utiliza más de una fórmula para definir la salida sobre diferentes partes del dominio.

Utilizamos funciones definidas por partes para describir situaciones en las que una regla o relación cambia cuando el valor de entrada cruza ciertos "límites". Por ejemplo, a menudo nos encontramos con situaciones en las que el costo por pieza de un determinado artículo se descuenta una vez que el número de pedidos supera un determinado valor. Las categorías impositivas son otro ejemplo real de funciones definidas por partes. Por ejemplo, consideremos un sistema fiscal simple en el que los ingresos hasta 10.000 dólares se gravan al 10 %, y cualquier ingreso adicional se grava al 20 %. El impuesto sobre una renta total S S sería 0,1S 0,1S si S$10.000 S$10.000 y $1.000+0,2(S$10.000) $1.000+0,2(S$10.000) si S>$10.000. S>$10.000.

Función definida por partes

Una función definida por partes es una función en la que se utiliza más de una fórmula para definir la salida. Cada fórmula tiene su propio dominio, y el dominio de la función es la unión de todos estos dominios más pequeños. Anotamos esta idea así:

f(x)={ fórmula 1     si x está en el dominio 1 fórmula 2     si x está en el dominio 2 fórmula 3     si x está en el dominio 3 f(x)={ fórmula 1     si x está en el dominio 1 fórmula 2     si x está en el dominio 2 fórmula 3     si x está en el dominio 3

En notación definida por partes, la función de valor absoluto es

| x |={ x    si  x0 -x  si  x<0 | x |={ x    si  x0 -x  si  x<0

Cómo

Dada una función definida por partes, escriba la fórmula e identifique el dominio de cada intervalo.

  1. Identifique los intervalos a los que se aplican las diferentes reglas.
  2. Determine las fórmulas que describan cómo calcular una salida a partir de una entrada en cada intervalo.
  3. Utilice llaves y enunciado “si” para escribir la función.

Ejemplo 11

Escribir una función definida por partes

El museo cobra 5 dólares por persona por una visita guiada con un grupo de 1 a 9 personas o una tarifa fija de 50 dólares por un grupo de 10 o más personas. Escriba una función que relacione el número de personas, n, n, al costo, C. C.

Análisis

La función se representa en la Figura 23. El gráfico es una línea diagonal desde n=0 n=0 a n=10 n=10 y una constante después. En este ejemplo, las dos fórmulas coinciden en el punto de encuentro donde n=10, n=10, pero no todas las funciones definidas por partes tienen esta propiedad.

Gráfico de C(n).
Figura 23

Ejemplo 12

Trabajar con una función definida por partes

Una empresa de telefonía móvil utiliza la siguiente función para determinar el costo, C, C, en dólares para g g gigabytes de transferencia de datos.

C(g)={ 25 si 0<g<2 25+10(g2 ) si g2 C(g)={ 25 si 0<g<2 25+10(g2 ) si g2

Halle el costo de utilizar 1,5 gigabytes de datos y el costo de utilizar 4 gigabytes de datos.

Análisis

La función se representa en la Figura 24. Podemos ver dónde cambia la función de una constante a una identidad desplazada y estirada en g=2. g=2. Trazamos los gráficos de las diferentes fórmulas en un conjunto común de ejes, asegurándonos de que cada fórmula se aplica en su propio dominio.

Gráfico de C(g)
Figura 24

Cómo

Dada una función definida por partes, dibuje un gráfico.

  1. Indique en el eje x los límites definidos por los intervalos en cada parte del dominio.
  2. Para cada parte del dominio, grafique en ese intervalo usando la ecuación correspondiente a esa parte. No grafique dos funciones en un intervalo porque violaría el criterio de una función.

Ejemplo 13

Graficar una función definida por partes

Dibuje un gráfico de la función.

f(x)={ x 2 si x1 3 si 1<x2 x si x>2 f(x)={ x 2 si x1 3 si 1<x2 x si x>2

Análisis

Observe que el gráfico pasa la prueba de la línea vertical incluso en x=1 x=1 y x=2 x=2 porque los puntos (1,3)(1,3) y (2 ,2 )(2 ,2 ) no forman parte del gráfico de la función, aunque (1,1)(1,1) y (2 ,3)(2 ,3) sí lo son.

Inténtelo #8

Grafique la siguiente función definida por partes.

f(x)={ x 3 si x<-1 -2 si 1<x<4 x si x>4 f(x)={ x 3 si x<-1 -2 si 1<x<4 x si x>4

Preguntas y respuestas

¿Se puede aplicar más de una fórmula de una función definida por partes a un valor del dominio?

No. Cada valor corresponde a una ecuación de una fórmula definida por partes.

1.2 Ejercicios de sección

Verbales

1.

¿Por qué el dominio difiere para las distintas funciones?

2.

¿Cómo se determina el dominio de una función definida por una ecuación?

3.

Explique por qué el dominio de f(x)= x 3 f(x)= x 3 es diferente del dominio de f(x)= x . f(x)= x .

4.

Al describir conjuntos de números utilizando la notación intervalo, ¿cuándo se utiliza un paréntesis y cuándo un corchete?

5.

¿Cómo se grafica una función definida por partes?

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle el dominio de cada función utilizando la notación intervalo.

6.

f(x)=-2 x(x1)(x-2 ) f(x)=-2 x(x1)(x-2 )

7.

f(x)=5-2 x 2 f(x)=5-2 x 2

8.

f( x )=3 x-2 f( x )=3 x-2

9.

f( x )=3- 6-2 x f( x )=3- 6-2 x

10.

f(x)= 4-3x f(x)= 4-3x

11.

f(x)= x 2 +4 f(x)= x 2 +4

12.

f(x)= 1-2 x 3 f(x)= 1-2 x 3

13.

f(x)= x1 3 f(x)= x1 3

14.

f(x)= 9 x-6 f(x)= 9 x-6

15.

f( x )= 3x+1 4x+2 f( x )= 3x+1 4x+2

16.

f( x )= x+4 x-4 f( x )= x+4 x-4

17.

f(x)= x-3 x 2 +9x22 f(x)= x-3 x 2 +9x22

18.

f(x)= 1 x 2 -x-6 f(x)= 1 x 2 -x-6

19.

f(x)= 2 x 3 250 x 2 -2 x-15 f(x)= 2 x 3 250 x 2 -2 x-15

20.

5 x-3 5 x-3

21.

2 x+1 5-x 2 x+1 5-x

22.

f(x)= x-4 x-6 f(x)= x-4 x-6

23.

f(x)= x-6 x-4 f(x)= x-6 x-4

24.

f(x)= x x f(x)= x x

25.

f(x)= x 2 -9x x 2 81 f(x)= x 2 -9x x 2 81

26.

Halle el dominio de la función f(x)= 2 x 3 50x f(x)= 2 x 3 50x al:

  1. utilizar el álgebra.
  2. graficar la función en el radicando y determinar los intervalos en el eje x para los cuales el radicando es no negativo.

Gráficos

En los siguientes ejercicios, escriba el dominio y el rango de cada función utilizando la notación intervalo.

27.
Gráfico de una función de (2, 8].
28.
Gráfico de una función de [4, 8).
29.
Gráfico de una función de [-4, 4].
30.
Gráfico de una función de [2, 6].
31.
Gráfico de una función de [-5, 3).
32.
Gráfico de una función de [-3, 2).
33.
Gráfico de una función desde (-infinito, 2].
34.
Gráfico de una función desde [-4, infinito).
35.
Gráfico de una función de [-6, -1/6]U[1/6, 6]/.
36.
Gráfico de una función desde (-2,5, infinito).
37.
Gráfico de una función desde [-3, infinito).

En los siguientes ejercicios, dibuje un gráfico de la función definida por partes. Escriba el dominio en notación intervalo.

38.

f(x)={ x+1 si x<2 -2 x-3 si x2 f(x)={ x+1 si x<2 -2 x-3 si x2

39.

f(x)={ 2 x1 si x<1 1+x si x1 f(x)={ 2 x1 si x<1 1+x si x1

40.

f(x)={ x+1six<0 x1six>0 f(x)={ x+1six<0 x1six>0

41.

f( x )={ 3 si x<0 x si x0 f( x )={ 3 si x<0 x si x0

42.

f(x)={ x 2       si x<0 1-x  si x>0 f(x)={ x 2       si x<0 1-x  si x>0

43.

f(x)={ x 2 x+2 six<0 six0 f(x)={ x 2 x+2 six<0 six0

44.

f( x )={ x+1 si x<1 x 3 si x1 f( x )={ x+1 si x<1 x 3 si x1

45.

f(x)={ |x| 1 six<2 six2 f(x)={ |x| 1 six<2 six2

Numéricos

En los siguientes ejercicios, dada cada función f, f, evaluar f(−3),f(−2),f(–1) f(−3),f(−2),f(–1) y f(0). f(0).

46.

f(x)={ x+1 si x<2 -2 x-3 si x2 f(x)={ x+1 si x<2 -2 x-3 si x2

47.

f(x)={ 1 si x3 0 si x>3 f(x)={ 1 si x3 0 si x>3

48.

f(x)={ 2 x 2 +3 si x-1 5x-7 si x>1 f(x)={ 2 x 2 +3 si x-1 5x-7 si x>1

En los siguientes ejercicios, dada cada función f, f, evaluar f(–1),f(0),f(2 ) f(–1),f(0),f(2 ) y f(4). f(4).

49.

f(x)={ 7x+3 si x<0 7x+6 si x0 f(x)={ 7x+3 si x<0 7x+6 si x0

50.

f( x )={ x 2 -2 si x<2 4+| x-5 | si x2 f( x )={ x 2 -2 si x<2 4+| x-5 | si x2

51.

f( x )={ 5x si x<0 3 si 0x3 x 2 si x>3 f( x )={ 5x si x<0 3 si 0x3 x 2 si x>3

En los siguientes ejercicios, escriba el dominio de la función definida por partes en notación intervalo.

52.

f(x)={ x+1 six<2 -2 x-3six2 f(x)={ x+1 six<2 -2 x-3six2

53.

f(x)={ x 2 -2  six<1 - x 2 +2 six>1 f(x)={ x 2 -2  six<1 - x 2 +2 six>1

54.

f(x)={ 2 x-3 -3 x 2 six<0 six2 f(x)={ 2 x-3 -3 x 2 six<0 six2

En tecnología

55.

Grafique y= 1 x 2 y= 1 x 2 en la ventana de visualización [-0,5,-0,1] [-0,5,-0,1] y [0,1,0,5]. [0,1,0,5]. Determine el rango correspondiente para la ventana de visualización. Muestre los gráficos.

56.

Grafique y= 1 x y= 1 x en la ventana de visualización [-0,5,-0,1] [-0,5,-0,1] y [0,1,0,5]. [0,1,0,5]. Determine el rango correspondiente para la ventana de visualización. Muestre los gráficos.

Extensión

57.

Supongamos que el rango de una función f f es [−5,8]. [−5,8]. ¿Cuál es el rango de |f(x)|? |f(x)|?

58.

Cree una función cuyo rango sean todos los números reales no negativos.

59.

Cree una función en la que el dominio sea x>2. x>2.

Aplicaciones en el mundo real

60.

La altura h h de un proyectil es una función del tiempo t t que está en el aire. La altura en pies para t t segundos viene dada por la función h(t)=–16 t 2 +96t. h(t)=–16 t 2 +96t. ¿Cuál es el dominio de la función? ¿Qué significa el dominio en el contexto del problema?

61.

El costo en dólares de hacer x x artículos viene dada por la función C(x)=10x+500. C(x)=10x+500.

  1. El costo fijo se determina cuando se producen cero artículos. Halle el costo fijo de este artículo.
  2. ¿Cuál es el costo de fabricación de 25 artículos?
  3. Supongamos que el costo máximo permitido es de 1.500 dólares. ¿Cuáles son el dominio y el rango de la función de costos, C(x)? C(x)?

Notas a pie de página

  • 3The Numbers: Where Data and the Movie Business Meet. “Box Office History for Horror Movies.” http://www.the-numbers.com/market/genre/Horror. Consultado el 24 mar 2014.
  • 4http://www.eia.gov/dnav/pet/hist/LeafHandler.ashx?n=PET&s=MCRFPAK2&f=A.
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