Jay Abramson

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Determinar si una relación representa una función.
Hallar el valor de una función.
Determinar si una función es biunívoca.
Utilizar la prueba de la línea vertical para identificar las funciones.
Graficar las funciones que aparecen en la biblioteca de funciones.

Un avión de pasajeros cambia de altitud a medida que aumenta su distancia desde el punto de partida de un vuelo. El peso de un niño en crecimiento aumenta con el tiempo. En cada caso, una cantidad depende de otra. Existe una relación entre ambas cantidades que podemos describir, analizar y utilizar para hacer predicciones. En esta sección, analizaremos estas relaciones.

Determinar si una relación representa una función

La relación es un conjunto de pares ordenados. El conjunto de las primeras componentes de cada par ordenado se llama dominio y el conjunto de las segundas componentes de cada par ordenado se llama rango. Considere el siguiente conjunto de pares ordenados. Los primeros números de cada par son los cinco primeros números naturales. El segundo número de cada par es el doble del primero.

{(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}

El dominio es ${1, 2, 3, 4, 5} .$ El rango es ${2, 4, 6, 8, 10} .$

Observe que cada valor en el dominio también se conoce como un valor de entrada, o variable independiente, y se suele marcar con la letra minúscula $x .$ Cada valor del rango se conoce también como valor de salida, o variable dependiente, y se suele marcar con letra minúscula $y .$

Una función $f$ es una relación que asigna un único valor del rango a cada valor del dominio. Es decir, no se repiten los valores x. Para nuestro ejemplo que relaciona los cinco primeros números naturales con los números del doble de sus valores, esta relación es una función porque cada elemento del dominio, ${1, 2, 3, 4, 5},$ está emparejado con exactamente un elemento del rango, ${2, 4, 6, 8, 10} .$

Consideremos ahora el conjunto de pares ordenados que relaciona los términos "par" e "impar" con los cinco primeros números naturales. Aparecerían como

{(impar, 1), (números, 2), (impar, 3), (números, 4), (impar, 5)}

Observe que cada elemento en el dominio, ${par, impar}$ no está emparejado con exactamente un elemento en el rango, ${1, 2, 3, 4, 5} .$ Por ejemplo, el término "impar" corresponde a tres valores del rango, ${1, 3, 5}$ y el término "par" corresponde a dos valores del rango, ${2, 4} .$ Esto viola la definición de una función, por lo que esta relación no es una función.

La Figura 1 compara las relaciones que son funciones y las que no lo son.

Tres relaciones que demuestran lo que constituye una función.

Figura 1 (a) Esta relación es una función porque cada entrada está asociada a una única salida. Observe que las entradas

q

y

r

producen una salida

n .

(b) Esta relación también es una función. En este caso, cada entrada está asociada a una única salida. (c) Esta relación no es una función porque la entrada

q

se asocia a dos salidas diferentes.

Función

Una función es una relación en la que cada valor de entrada posible conduce exactamente a un valor de salida. Decimos: "La salida es una función de la entrada".

Los valores de entrada constituyen el dominio, y los de salida, el rango.

Cómo

Dada una relación entre dos cantidades, determine si la relación es una función.

Identifique los valores de entrada.
Identifique los valores de salida.
Si cada valor de entrada conduce a un solo valor de salida, clasifique la relación como una función. Si cualquier valor de entrada conduce a dos o más salidas, no clasifique la relación como una función.

Ejemplo 1

Cómo determinar si las listas de precios de los menús son funciones

El menú de la cafetería, que se muestra en la Figura 2, consta de artículos y sus precios.

Ⓐ ¿El precio está en función del artículo?
Ⓑ ¿El artículo está en función del precio?

Una carta de precios de donas de una cafetería en la que una dona normal cuesta 1,49 dólares y una dona de gelatina y otra de chocolate 1,99 dólares.

Figura 2

Solución

Ⓐ Empecemos por considerar la entrada como los elementos del menú. Los valores de salida son entonces los precios. Vea la Figura 3.

Figura 3

Cada artículo del menú tiene un solo precio, por lo que el precio está en función del artículo.
Ⓑ Dos artículos del menú tienen el mismo precio. Si consideramos que los precios son los valores de entrada y los artículos son la salida, entonces el mismo valor de entrada podría tener más de una salida asociada. Vea la Figura 4.

Figura 4

Por lo tanto, el artículo no está en función del precio.

Ejemplo 2

Cómo determinar si las reglas de calificación de la clase son funciones

En una clase particular de Matemáticas, el porcentaje global de la calificación corresponde a un promedio de calificaciones. ¿El promedio de calificaciones está en función del porcentaje de calificaciones? ¿Es el porcentaje de calificación una función de la media de las calificaciones? La Tabla 1 muestra una posible regla para asignar puntos de calificación.

Porcentaje de calificaciones	0 a 56	57 a 61	62 a 66	67 a 71	72 a 77	78 a 86	87 a 91	92 a 100
Promedio de calificaciones	0,0	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0

Tabla 1

Solución

Para cualquier porcentaje de calificación obtenido, existe un promedio de calificación asociado, por lo que el promedio de calificación es una función del porcentaje de calificación. En otras palabras, si introducimos el porcentaje de calificación, la salida es un promedio de calificaciones específico.

En el sistema de calificaciones dado, hay un rango de porcentajes que corresponden al mismo promedio de calificaciones. Por ejemplo, los estudiantes que reciben un promedio de 3,0 pueden tener una variedad de porcentajes de calificaciones que van desde 78 hasta 86. Por lo tanto, el porcentaje de calificaciones no está en función del promedio de calificaciones.

Inténtelo #1

La Tabla 2¹ enumera los cinco mejores jugadores de béisbol de todos los tiempos por orden de clasificación.

Jugador	Clasificación
Babe Ruth	1
Willie Mays	2
Ty Cobb	3
Walter Johnson	4
Hank Aaron	5

Tabla 2

Ⓐ ¿La clasificación está en función del nombre del jugador?
Ⓑ ¿El nombre del jugador está en función de la clasificación?

Uso de la notación de función

Una vez que determinamos que una relación es una función, necesitamos mostrar y definir las relaciones funcionales para poder entenderlas y utilizarlas, y a veces también para poder programarlas en las computadoras. Hay varias formas de representar las funciones. La notación de función estándar es una representación que facilita el trabajo con las funciones.

Para representar "la altura es una función de la edad", empezamos por identificar las variables descriptivas $h$ para la altura y $a$ para la edad. Las letras $f, g,$ y $h$ se utilizan a menudo para representar funciones al igual que utilizamos $x, y,$ y $c$ para representar números y $A, B,$ y $C$ para representar conjuntos.

\begin{array}{l} h es f de a & Llamamos a la función f; la altura es una función de la edad . \\ h = f (a) & Utilizamos paréntesis para indicar la entrada de la función . \\ f (a) & Llamamos a la función f; la expresión se lee como " f de a .” \end{array}

Recuerde que podemos utilizar cualquier letra para designar la función; la notación $h (a)$ nos muestra que $h$ depende de $a .$ El valor $a$ debe introducirse en la función $h$ para obtener un resultado. Los paréntesis indican que la edad es la entrada en la función; no indican la multiplicación.

También podemos dar una expresión algebraica como entrada a una función. Por ejemplo $f (a + b)$ significa “primero se suman a y b, y el resultado es la entrada para la función f”. Las operaciones deben realizarse en este orden para obtener el resultado correcto.

Notación de función

La notación $y = f (x)$ define una función llamada $f .$ Esto se lee como $“ y$ es una función de $x ” .$ La letra $x$ representa el valor de entrada, o variable independiente. La letra $y,$ o $f (x),$ representa el valor de salida, o variable dependiente.

Ejemplo 3

Uso de la notación de función para los días de un mes

Utilice la notación de función para representar una función cuya entrada es el nombre de un mes y la salida es el número de días de ese mes. Supongamos que el dominio no incluye los años bisiestos.

Solución

El número de días de un mes es una función del nombre del mes, por lo que si nombramos la función $f,$ escribimos $días = f (mes)$ o $d = f (m) .$ El nombre del mes es la entrada de una "regla" que asocia un número específico (la salida) con cada entrada.

La función 31 = f(enero) donde 31 es la salida, f es la regla y enero es la entrada.

Figura 5

Por ejemplo, $f (marzo) = 31,$ porque marzo tiene 31 días. La notación $d = f (m)$ nos recuerda que el número de días, $d$ (la salida), depende del nombre del mes, $m$ (la entrada).

Análisis

Observe que las entradas de una función no tienen por qué ser números; las entradas de la función pueden ser nombres de personas, etiquetas de objetos geométricos o cualquier otro elemento que determine algún tipo de salida. Sin embargo, la mayoría de las funciones con las que trabajaremos en este libro tendrán números como entradas y salidas.

Ejemplo 4

Interpretación de la notación de función

Una función $N = f (y)$ da el número de oficiales de policía, $N,$ en una ciudad en el año $y .$ ¿Qué representa $f (2005) = 300$ ?

Solución

Cuando leemos $f (2005) = 300,$ vemos que el año de entrada es 2005. El valor de la salida, el número de policías $(N),$ es 300. Recuerde, $N = f (y) .$ El enunciado $f (2005) = 300$ nos dice que en el año 2005 había 300 policías en la ciudad.

Inténtelo #2

Utilice la notación de función para expresar el peso de un cerdo en libras en función de su edad en días $d .$

Preguntas y respuestas

En lugar de una notación como $y = f (x),$ podríamos utilizar el mismo símbolo para la salida que para la función, como por ejemplo $y = y (x),$ que significa “¿y es una función de x?"

Sí, esto se hace a menudo, especialmente en las asignaturas aplicadas que utilizan matemáticas superiores, como la Física y la Ingeniería. Sin embargo, al explorar las matemáticas en sí nos gusta mantener una distinción entre una función como $f,$ que es una regla o procedimiento, y la salida $y$ que obtenemos al aplicar $f$ a una entrada concreta $x .$ Por eso solemos utilizar una notación como $y = f (x), P = W (d),$ y así sucesivamente.

Representación de funciones mediante tablas

Un método habitual para representar las funciones es en forma de tabla. Las filas o columnas de la tabla muestran los valores de entrada y salida correspondientes. En algunos casos, estos valores representan todo lo que sabemos sobre la relación; otras veces, la tabla ofrece algunos ejemplos seleccionados de una relación más completa.

La Tabla 3 indica el número de entrada de cada mes (enero = 1, febrero = 2, y así sucesivamente) y el valor de salida del número de días de ese mes. Esta información representa todo lo que sabemos sobre los meses y días de un año determinado (que no es bisiesto). Observe que, en esta tabla, definimos una función de días al mes $f$ donde $D = f (m)$ identifica los meses por un número entero en lugar de por su nombre.

Número de mes, $m$ (entrada)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Días del mes, $D$ (salida)	31	28	31	30	31	30	31	31	30	31	30	31

Tabla 3

La Tabla 4 define una función $Q = g (n) .$ Recuerde que esta notación nos dice que $g$ es el nombre de la función que toma la entrada $n$ y da como salida $Q .$

$n$	1	2	3	4	5
$Q$	8	6	7	6	8

Tabla 4

La Tabla 5 muestra la edad de los niños en años y sus correspondientes alturas. Esta tabla muestra solo algunos de los datos disponibles sobre la altura y la edad de los niños. Observamos enseguida que esta tabla no representa una función porque el mismo valor de entrada, 5 años, tiene dos valores de salida diferentes, 40 in y 42 in.

Edad en años, $a$ (entrada)	5	5	6	7	8	9	10
Altura en pulgadas, $h$ (salida)	40	42	44	47	50	52	54

Tabla 5

Cómo

Dada una tabla de valores de entrada y salida, determine si la tabla representa una función.

Identifique los valores de entrada y salida.
Compruebe si cada valor de entrada está emparejado con un solo valor de salida. Si es así, la tabla representa una función.

Ejemplo 5

Identificación de tablas que representan funciones

¿Cuál tabla, la Tabla 6, la Tabla 7 o la Tabla 8, representa una función (si la hay)?

Entrada	Salida
2	1
5	3
8	6

Tabla 6

Entrada	Salida
-3	5
0	1
4	5

Tabla 7

Entrada	Salida
1	0
5	2
5	4

Tabla 8

Solución

La Tabla 6 y la Tabla 7 definen funciones. En ambas, cada valor de entrada corresponde exactamente a un valor de salida. La Tabla 8 no define una función porque el valor de entrada de 5 corresponde a dos valores de salida diferentes.

Cuando una tabla representa una función, los valores de entrada y salida correspondientes también pueden especificarse utilizando la notación de función.

La función representada por la Tabla 6 puede representarse escribiendo

f (2) = 1, f (5) = 3, y f (8) = 6

Del mismo modo, los enunciados

g (- 3) = 5, g (0) = 1, y g (4) = 5

representan la función en la Tabla 7.

La Tabla 8 no puede expresarse de forma similar porque no representa una función.

Inténtelo #3

¿La Tabla 9 representa una función?

Entrada	Salida
1	10
2	100
3	1.000

Tabla 9

Hallar los valores de entrada y salida de una función

Cuando conocemos un valor de entrada y queremos determinar el correspondiente valor de salida de una función, evaluamos la función. La evaluación siempre producirá un resultado porque cada valor de entrada de una función corresponde exactamente a un valor de salida.

Cuando conocemos un valor de salida y queremos determinar los valores de entrada que producirían ese valor de salida, establecemos la salida igual a la fórmula de la función y resolvemos la entrada. La resolución puede producir más de una solución porque diferentes valores de entrada pueden producir el mismo valor de salida.

Evaluación de funciones en formas algebraicas

Cuando tenemos una función en forma de fórmula, suele ser sencillo evaluar la función. Por ejemplo, la función $f (x) = 5 - 3 x^{2}$ se puede evaluar elevando al cuadrado el valor de entrada, multiplicando por 3 y restando el producto de 5.

Cómo

Dada la fórmula de una función, evalúe.

Sustituya la variable de entrada en la fórmula por el valor proporcionado.
Calcule el resultado.

Ejemplo 6

Evaluación de funciones en valores específicos

Evalúe $f (x) = x^{2} + 3 x - 4$ en:

Ⓐ $2$
Ⓑ $a$
Ⓒ $a + h$
Ⓓ Ahora evalúe $\frac{f (a + h) - f (a)}{h}$

Solución

Sustituya $x$ en la función con cada valor especificado.

Ⓐ Como el valor de entrada es un número, el 2, podemos utilizar el álgebra simple para simplificar.
$\begin{array}{l} f (2) = 2^{2} + 3 (2) - 4 \\ = 4 + 6 - 4 \\ = 6 \end{array}$
Ⓑ En este caso, el valor de entrada es una letra, por lo que no podemos simplificar más la respuesta.
$f (a) = a^{2} + 3 a - 4$
Ⓒ Con un valor de entrada $a + h,$ debemos utilizar la propiedad distributiva.
$\begin{array}{l} f (a + h) = {(a + h)}^{2} + 3 (a + h) - 4 \\ = a^{2} + 2 a h + h^{2} + 3 a + 3 h - 4 \end{array}$
Ⓓ En este caso, aplicamos los valores de entrada a la función más de una vez, y luego realizamos operaciones algebraicas sobre el resultado. Ya hemos comprobado que
$f (a + h) = a^{2} + 2 a h + h^{2} + 3 a + 3 h - 4$

y sabemos que

$f (a) = a^{2} + 3 a - 4$

Ahora combinamos los resultados y los simplificamos.

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} = \frac{(a^{2} + 2 a h + h^{2} + 3 a + 3 h - 4) - (a^{2} + 3 a - 4)}{h} \end{array} \\ \begin{array}{l} = \frac{2 a h + h^{2} + 3 h}{h} \\ = \frac{h (2 a + h + 3)}{h} & \begin{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} \end{matrix} Factorice h . \\ = 2 a + h + 3 & \begin{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} \end{matrix} Simplifique . \end{array} \end{array}$

Ejemplo 7

Evaluación de funciones

Dada la función $h (p) = p^{2} + 2 p,$ evaluar $h (4) .$

Solución

Para evaluar $h (4),$ sustituimos el valor 4 por la variable de entrada $p$ en la función dada.

\begin{array}{l} h (p) = p^{2} + 2 p \\ h (4) = {(4)}^{2} + 2 (4) \\ = 16 + 8 \\ = 24 \end{array}

Por lo tanto, para una entrada de 4, tenemos una salida de 24.

Inténtelo #4

Dada la función $g (m) = \sqrt{m - 4},$ evaluar $g (5) .$

Ejemplo 8

Resolución de funciones

Dada la función $h (p) = p^{2} + 2 p,$ resolver para $h (p) = 3.$

Solución

\begin{array}{l} h (p) = 3 \\ p^{2} + 2 p = 3 & Sustituya la función original h (p) = p^{2} + 2 p . \\ p^{2} + 2 p - 3 = 0 & Reste 3 de cada lado . \\ (p + 3)(p - 1) = 0 & Factorice . \end{array}

Si los valores de $(p + 3) (p - 1) = 0,$ o bien $(p + 3) = 0$ o $(p - 1) = 0$ (o ambos son iguales a 0). Estableceremos cada factor igual a 0 y resolveremos para $p$ en cada caso.

\begin{array}{l} (p + 3) = 0, & p = - 3 \\ (p - 1) = 0, & p = 1 \end{array}

Esto nos da dos soluciones. La salida $h (p) = 3$ cuando la entrada es $p = 1$ o $p = - 3.$ También podemos comprobarlo graficando como en la Figura 6. El gráfico verifica que $h (1) = h (- 3) = 3$ y $h (4) = 24.$

Gráfico de una parábola con los puntos marcados (-3, 3), (1, 3) y (4, 24).

Figura 6

Inténtelo #5

Dada la función $g (m) = \sqrt{m - 4},$ resuelva $g (m) = 2.$

Evaluación de funciones expresadas en fórmulas

Algunas funciones se definen mediante reglas o procedimientos matemáticos expresados en forma de ecuación. Si es posible expresar la salida de la función con una fórmula que implique la cantidad de entrada, entonces podemos definir una función en forma algebraica. Por ejemplo, la ecuación $2 n + 6 p = 12$ expresa una relación funcional entre $n$ y $p .$ Podemos reescribirlo para decidir si $p$ es una función de $n .$

Cómo

Dada una función en forma de ecuación, escriba su fórmula algebraica.

Resuelva la ecuación para aislar la variable de salida en un lado del signo igual, con el otro lado como una expresión que involucra solo la variable de entrada.
Utilice todos los métodos algebraicos habituales para resolver ecuaciones, como sumar o restar la misma cantidad a o desde ambos lados, o multiplicar o dividir ambos lados de la ecuación por la misma cantidad.

Ejemplo 9

Hallar la ecuación de una función

Exprese la relación $2 n + 6 p = 12$ como una función $p = f (n),$ si es posible.

Solución

Para expresar la relación en esta forma, necesitamos poder escribir la relación donde $p$ es una función de $n,$ lo que significa escribirlo como $p = [expresión que involucra n] .$

\begin{array}{l} 2 n + 6 p = 12 \\ 6 p = 12 - 2 n & \begin{matrix}  \end{matrix} Reste 2 n de ambos lados . \\ p = \frac{12 - 2 n}{6} & \begin{matrix}  \end{matrix} Divida ambos lados entre 6 y simplifique . \\ p = \frac{12}{6} - \frac{2 n}{6} \\ p = 2 - \frac{1}{3} n \end{array}

Por lo tanto, $p$ en función de $n$ se escribe como

p = f (n) = 2 - \frac{1}{3} n

Análisis

Es importante tener en cuenta que no toda relación expresada por una ecuación puede expresarse también como una función con una fórmula.

Ejemplo 10

Expresión de la ecuación de un círculo como función

¿La ecuación $x^{2} + y^{2} = 1$ representan una función con $x$ como entrada y $y$ como salida? Si es así, exprese la relación como una función $y = f (x) .$

Solución

Primero restamos $x^{2}$ de ambos lados.

y^{2} = 1 - x^{2}

Ahora tratamos de resolver para $y$ en esta ecuación.

\begin{array}{l} y = \pm \sqrt{1 - x^{2}} \\ = + \sqrt{1 - x^{2}} y - \sqrt{1 - x^{2}} \end{array}

Obtenemos dos salidas correspondientes a la misma entrada, por lo que esta relación no puede representarse como una única función $y = f (x) .$

Inténtelo #6

Si los valores de $x - 8 y^{3} = 0,$ exprese $y$ en función de $x .$

Preguntas y respuestas

¿Existen relaciones expresadas por una ecuación que sí representan una función pero que todavía no pueden ser representadas por una fórmula algebraica?

Sí, esto puede ocurrir. Por ejemplo, dada la ecuación $x = y + 2^{y},$ si queremos expresar $y$ en función de $x,$ no hay una fórmula algebraica simple que implique solo $x$ que es igual a $y .$ Sin embargo, cada $x$ determina un valor único para $y,$ y existen procedimientos matemáticos mediante los cuales $y$ se puede hallar con la precisión deseada. En este caso, decimos que la ecuación da una regla implícita (tácita) para $y$ en función de $x,$ aunque la fórmula no pueda escribirse explícitamente.

Evaluación de una función dada en forma de tabla

Como hemos visto anteriormente, podemos representar funciones en tablas. A la inversa, podemos utilizar la información de las tablas para escribir funciones, y podemos evaluar funciones utilizando las tablas. Por ejemplo, ¿qué tan bien recuerdan nuestras mascotas los buenos recuerdos que compartimos con ellas? Hay una leyenda urbana que dice que un pez dorado tiene una memoria de 3 segundos, pero esto es solo un mito. El pez dorado puede recordar hasta 3 meses, mientras que el pez betta tiene una memoria de hasta 5 meses. Y mientras que la capacidad de memoria de un cachorro no supera los 30 segundos, el perro adulto puede recordar durante 5 minutos. Esto es escaso comparado con un gato, cuya memoria dura 16 horas.

La función que relaciona el tipo de mascota con la duración de su memoria se visualiza más fácilmente con el uso de una tabla. Vea la Tabla 10.²

Mascota	Duración de la memoria en horas
Cachorro	0,008
Perro adulto	0,083
Gato	16
Pez dorado	2.160
Pez betta	3.600

Tabla 10

A veces, evaluar una función en forma de tabla puede ser más útil que utilizar ecuaciones. Llamemos aquí a la función $P .$ El dominio de la función es el tipo de mascota y el rango es un número real que representa el número de horas que dura la memoria de la mascota. Evaluamos la función $P$ en el valor de entrada de “pez dorado”. Escribiríamos $P (pez dorado) = 2.160.$ Observe que, para evaluar la función en forma de tabla, identificamos el valor de entrada y el correspondiente valor de salida de la fila pertinente de la tabla. La forma de tabla de la función $P$ parece ideal para esta función, más que escribirla en forma de párrafo o función.

Cómo

Dada una función representada por una tabla, identifique los valores específicos de salida y entrada.

Halle la entrada dada en la fila (o columna) de valores de entrada.
Identifique el valor de salida correspondiente emparejado con ese valor de entrada.
Halle los valores de salida dados en la fila (o columna) de valores de salida, anotando cada vez que aparece ese valor de salida.
Identifique el valor o los valores de entrada que corresponden al valor de salida dado.

Ejemplo 11

Evaluación y resolución de una función de tabla

Utilizando la Tabla 11,

Ⓐ Evalúe $g (3) .$
Ⓑ Resuelva $g (n) = 6.$

$n$	1	2	3	4	5
$g (n)$	8	6	7	6	8

Tabla 11

Solución

Ⓐ Al evaluar $g (3)$ significa determinar el valor de salida de la función $g$ para el valor de entrada de $n = 3.$ El valor de salida de la tabla correspondiente a $n n = 3$ es 7, así que $g (3) = 7.$
Ⓑ Al resolver $g (n) = 6$ significa identificar los valores de entrada, $n,$ que producen un valor de salida de 6. La tabla a continuación muestra dos soluciones: $2$ y $4.$

$n$	1	2	3	4	5
$g (n)$	8	6	7	6	8

Cuando introducimos 2 en la función $g,$ nuestra salida es de 6. Cuando introducimos 4 en la función $g,$ nuestra salida también es de 6.

Inténtelo #7

Con la tabla de Evaluación y resolución de una función tabular anterior, evalúe $g (1) .$

Hallar los valores de una función a partir de un gráfico

Evaluar una función mediante un gráfico también requiere encontrar el valor de salida correspondiente para un valor de entrada dado, solo que en este caso, encontramos el valor de salida mirando el gráfico. La resolución de una ecuación de función mediante un gráfico requiere encontrar todos los casos del valor de salida dados en el gráfico y observar el valor o valores de entrada correspondientes.

Ejemplo 12

Leer los valores de una función a partir de un gráfico

Dado el gráfico en la Figura 7,

Ⓐ Evalúe $f (2) .$
Ⓑ Resuelva $f (x) = 4.$

Gráfico de una parábola positiva centrada en (1, 0).

Figura 7

Solución

Ⓐ Para evaluar $f (2),$ ubique el punto de la curva donde $x = 2,$ y luego lea la coordenada y de ese punto. El punto tiene coordenadas $(2, 1),$ por lo que $f (2) = 1.$ Vea la Figura 8.

Figura 8
Ⓑ Para resolver $f (x) = 4,$ encontramos el valor de salida $4$ en el eje vertical. Al moverse horizontalmente a lo largo de la línea $y = 4,$ localizamos dos puntos de la curva con valor de salida $4:$ $(–1, 4)$ y $(3, 4) .$ Estos puntos representan las dos soluciones de $f (x) = 4:$ $−1$ o $3.$ Esto significa $f (–1) = 4$ y $f (3) = 4,$ o cuando la entrada es $−1$ o $3,$ la salida es $4 .$ Vea la Figura 9.

Figura 9

Inténtelo #8

Utilizando la Figura 7, resuelva $f (x) = 1.$

Cómo determinar si una función es biunívoca

Algunas funciones tienen un valor de salida determinado que corresponde a dos o más valores de entrada. Por ejemplo, en el gráfico de acciones que se muestra en la figura al principio de este capítulo, el precio de las acciones era de 1.000 dólares en cinco fechas diferentes, lo que significa que había cinco valores de entrada diferentes que daban como resultado el mismo valor de salida de 1.000 dólares.

Sin embargo, algunas funciones solo tienen un valor de entrada para cada valor de salida, así como solo tienen una salida para cada entrada. A estas funciones las llamamos funciones biunívocas. A modo de ejemplo, considere una escuela que solo utiliza calificaciones con letras y equivalentes decimales, como se indica en la Tabla 12.

Calificación en letras	Promedio de calificaciones
A	4,0
B	3,0
C	2,0
D	1,0

Tabla 12

Este sistema de calificación representa una función biunívoca, ya que cada letra de entrada produce un promedio de calificación particular como salida y cada promedio de calificación corresponde a una letra de entrada.

Para visualizar este concepto, veamos de nuevo las dos funciones simples esbozadas en la Figura 1(a) y la Figura 1(b). La función de la parte (a) muestra una relación que no es una función biunívoca porque las entradas $q$ y $r$ producen una salida $n .$ La función de la parte (b) muestra una relación que es una función biunívoca porque cada entrada está asociada a una única salida.

Función biunívoca

Una función biunívoca es una función en la que cada valor de salida corresponde exactamente a un valor de entrada.

Ejemplo 13

Determinar si una relación es una función biunívoca

¿El área de un círculo es una función de su radio? En caso afirmativo, ¿la función es biunívoca?

Solución

Un círculo de radio $r$ tiene una única medida de área dada por $A = π r^{2},$ así que para cualquier entrada, $r,$ solo hay una salida, $A .$ El área es una función del radio $r .$

Si la función es biunívoca, el valor de salida, el área, debe corresponder a un único valor de entrada, el radio. Cualquier medida de superficie $A$ está dada por la fórmula $A = π r^{2} .$ Como las áreas y los radios son números positivos, hay exactamente una solución $\sqrt{\frac{A}{π}} .$ Así pues, el área de un círculo es una función biunívoca del radio del círculo.

Inténtelo #9

Ⓐ ¿El saldo está en función del número de cuenta bancaria?
Ⓑ ¿El número de una cuenta bancaria está en función del saldo?
Ⓒ ¿El saldo es una función biunívoca del número de cuenta bancaria?

Inténtelo #10

Calcule lo siguiente:
Ⓐ Si cada calificación porcentual obtenida en un curso se traduce en una calificación en letras, ¿es la calificación en letras una función de la calificación porcentual?
Ⓑ En ese caso, ¿la función es biunívoca?

Uso de la prueba de la línea vertical

Como hemos visto en algunos ejemplos anteriores, podemos representar una función mediante un gráfico. Los gráficos muestran un gran número de pares de entrada-salida en un espacio reducido. La información visual que proporcionan suele facilitar la comprensión de las relaciones. Por convención, los gráficos se construyen normalmente con los valores de entrada en el eje horizontal y los valores de salida en el eje vertical.

Los gráficos más comunes nombran el valor de entrada $x$ y el valor de salida $y,$ y decimos $y$ es una función de $x,$ o $y = f (x)$ cuando la función se llama $f .$ El gráfico de la función es el conjunto de todos los puntos $(x, y)$ en el plano que satisface la ecuación $y = f (x) .$ Si la función está definida solo para unos pocos valores de entrada, entonces el gráfico de la función son solo unos pocos puntos, donde la coordenada x de cada punto es un valor de entrada y la coordenada y de cada punto es el valor de salida correspondiente. Por ejemplo, los puntos negros del gráfico de la Figura 10 nos indican que $f (0) = 2$ y $f (6) = 1.$ Sin embargo, el conjunto de todos los puntos $(x, y)$ lo que cumple con $y = f (x)$ es una curva. La curva mostrada incluye $(0, 2)$ y $(6, 1)$ porque la curva pasa por esos puntos.

Figura 10

La prueba de la línea vertical puede utilizarse para determinar si un gráfico representa una función. Si podemos dibujar cualquier línea vertical que cruce un gráfico más de una vez, entonces el gráfico no define una función, porque una función solo tiene un valor de salida para cada valor de entrada. Vea la Figura 11.

Tres gráficos que muestran visualmente lo que es y no es una función.

Figura 11

Cómo

Dado un gráfico, utilice la prueba de la línea vertical para determinar si el gráfico representa una función.

Inspeccione el gráfico para ver si alguna línea vertical dibujada interseca la curva más de una vez.
Si hay alguna línea de este tipo, determine que el gráfico no representa una función.

Ejemplo 14

Aplicación de la prueba de la línea vertical

¿Cuál de los gráficos de la Figura 12 representa una función $y = f (x) ?$

Figura 12

Solución

Si alguna línea vertical cruza un gráfico más de una vez, la relación representada por el gráfico no es una función. Observe que cualquier línea vertical pasaría por un solo punto de los dos gráficos mostrados en las partes (a) y (b) de la Figura 12. De esto podemos concluir que estos dos gráficos representan funciones. El tercer gráfico no representa una función porque, en la mayoría de los valores de x, una línea vertical intersecaría el gráfico en más de un punto, como se muestra en la Figura 13.

Figura 13

Inténtelo #11

¿El gráfico de la Figura 14 representa una función?

Gráfico de la función de valor absoluto.

Figura 14

Utilizar la prueba de la línea horizontal

Una vez que hemos determinado que un gráfico define una función, una forma fácil de determinar si es una función biunívoca es utilizar la prueba de la línea horizontal. Dibuje líneas horizontales a través del gráfico. Si alguna línea horizontal lo cruza más de una vez, entonces el gráfico no representa una función biunívoca.

Cómo

Dado un gráfico de una función, utilice la prueba de la línea horizontal para determinar si el gráfico representa una función biunívica.

Inspeccione el gráfico para ver si alguna línea horizontal dibujada interseca la curva más de una vez.
Si hay alguna línea de este tipo, determine que la función no es biunívoca.

Ejemplo 15

Aplicación de la prueba de la línea horizontal

Considere las funciones mostradas en la Figura 12(a) y la Figura 12(b). ¿Alguna de las funciones es biunívoca?

Solución

La función en la Figura 12(a) no es biunívoca. La línea horizontal que se muestra en la Figura 15 interseca el gráfico de la función en dos puntos (e incluso podemos encontrar líneas horizontales que la intersecan en tres puntos).

Figura 15

La función en la Figura 12(b) es biunívoca. Cualquier línea horizontal se cruzará con una línea diagonal como máximo una vez.

Inténtelo #12

¿El gráfico que se muestra en la Figura 12 es biunívoco?

Identificar las funciones básicas de la caja de herramientas

En este texto, exploraremos las funciones: las formas de sus gráficos, sus características únicas, sus fórmulas algebraicas y cómo resolver problemas con ellas. Cuando aprendemos a leer, empezamos por el alfabeto. Cuando aprendemos a hacer aritmética, empezamos con los números. Cuando trabajamos con funciones, es igualmente útil tener un conjunto base de elementos de construcción. Los llamamos "funciones de la caja de herramientas", que forman un conjunto de funciones básicas que conocemos con los nombres de gráfico, fórmula y propiedades especiales. Algunas de estas funciones están programadas en botones individuales de muchas calculadoras. Para estas definiciones utilizaremos $x$ como variable de entrada y $y = f (x)$ como variable de salida.

A lo largo de este libro veremos con frecuencia estas funciones de la caja de herramientas, sus combinaciones de funciones, sus gráficos y sus transformaciones. Será muy útil si podemos reconocer rápidamente estas funciones de la caja de herramientas y sus características por su nombre, fórmula, gráfico y propiedades básicas de la tabla. Los gráficos y los valores de la tabla de muestra se incluyen con cada función mostrada en la Tabla 13.

Funciones de la caja de herramientas
Nombre	Función	Gráfico
Constante	$f (x) = c,$ donde $c$ es una constante
Identidad	$f (x) = x$
Valor absoluto	$f (x) = \| x \|$
Función	$f (x) = x^{2}$
Cúbico	$f (x) = x^{3}$
Recíproco	$f (x) = \frac{1}{x}$
Recíproco al cuadrado	$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$
Raíz cuadrada	$f (x) = \sqrt{x}$
Raíz del cubo	$f (x) = \sqrt[3]{x}$

Tabla 13

Media

Acceda a los siguientes recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con las funciones.

1.1 Ejercicios de sección

Verbales

1.

¿Cuál es la diferencia entre una relación y una función?

2.

¿Cuál es la diferencia entre la entrada y la salida de una función?

3.

¿Por qué la prueba de la línea vertical nos indica si el gráfico de una relación representa una función?

4.

¿Cómo se puede determinar si una relación es una función biunívoca?

5.

¿Por qué la prueba de la línea horizontal nos indica si el gráfico de una función es biunívoco?

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, determine si la relación representa una función.

6.

${(a, b), (c, d), (a, c)}$

7.

${(a, b), (b, c), (c, c)}$

En los siguientes ejercicios, determine si la relación representa a $y$ en función de $x .$

8.

$5 x + 2 y = 10$

9.

$y = x^{2}$

10.

$x = y^{2}$

11.

$3 x^{2} + y = 14$

12.

$2 x + y^{2} = 6$

13.

$y = - 2 x^{2} + 40 x$

14.

$y = \frac{1}{x}$

15.

$x = \frac{3 y + 5}{7 y - 1}$

16.

$x = \sqrt{1 - y^{2}}$

17.

$y = \frac{3 x + 5}{7 x - 1}$

18.

$x^{2} + y^{2} = 9$

19.

$2 x y = 1$

20.

$x = y^{3}$

21.

$y = x^{3}$

22.

$y = \sqrt{1 - x^{2}}$

23.

$x = \pm \sqrt{1 - y}$

24.

$y = \pm \sqrt{1 - x}$

25.

$y^{2} = x^{2}$

26.

$y^{3} = x^{2}$

En los siguientes ejercicios, evalúe $f$ a los valores indicados $f (−3), f (2), f (- a), - f (a), f (a + h) .$

27.

$f (x) = 2 x - 5$

28.

$f (x) = - 5 x^{2} + 2 x - 1$

29.

$f (x) = \sqrt{2 - x} + 5$

30.

$f (x) = \frac{6 x - 1}{5 x + 2}$

31.

$f (x) = | x - 1 | - | x + 1 |$

32.

Dada la función $g (x) = 5 - x^{2},$ evaluar $\frac{g (x + h) - g (x)}{h}, h \neq 0 .$

33.

Dada la función $g (x) = x^{2} + 2 x,$ evaluar $\frac{g (x) - g (a)}{x - a}, x \neq a .$

34.

Dada la función $k (t) = 2 t - 1 :$

Ⓐ Evalúe $k (2) .$
Ⓑ Resuelva $k (t) = 7.$

35.

Dada la función $f (x) = 8 - 3 x :$

Ⓐ Evalúe $f (- 2) .$
Ⓑ Resuelva $f (x) = - 1.$

36.

Dada la función $p (c) = c^{2} + c :$

Ⓐ Evalúe $p (- 3) .$
Ⓑ Resuelva $p (c) = 2.$

37.

Dada la función $f (x) = x^{2} - 3 x :$

Ⓐ Evalúe $f (5) .$
Ⓑ Resuelva $f (x) = 4.$

38.

Dada la función $f (x) = \sqrt{x + 2} :$

Ⓐ Evalúe $f (7) .$
Ⓑ Resuelva $f (x) = 4.$

39.

Considere la relación $3 r + 2 t = 18.$

Ⓐ Escriba la relación como una función $r = f (t) .$
Ⓑ Evalúe $f (- 3) .$

Gráficos

En los siguientes ejercicios, utilice la prueba de la línea vertical para determinar qué gráficos muestran relaciones que son funciones.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

Dado el siguiente gráfico,

Ⓐ Evalúe $f (–1) .$
Ⓑ Resuelva para $f (x) = 3.$

53.

Dado el siguiente gráfico,

Ⓐ Evalúe $f (0) .$
Ⓑ Resuelva para $f (x) = –3.$

54.

Dado el siguiente gráfico,

Ⓐ Evalúe $f (4) .$
Ⓑ Resuelva para $f (x) = 1.$

En los siguientes ejercicios, determine si el gráfico dado es una función biunívoca.

55.

56.

57.

58.

59.

Numéricos

En los siguientes ejercicios, determine si la relación representa una función.

60.

${(–1, –1), (–2, –2), (−3, −3)}$

61.

${(3, 4), (4, 5), (5, 6)}$

62.

${(2, 5), (7, 11), (15, 8), (7, 9)}$

En los siguientes ejercicios, determine si la relación representada en forma de tabla representa $y$ en función de $x .$

63.

$x$	5	10	15
$y$	3	8	14

64.

$x$	5	10	15
$y$	3	8	8

65.

$x$	5	10	10
$y$	3	8	14

En los siguientes ejercicios, utilice la función $f$ representada en la Tabla 14.

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
f(x)	74	28	1	53	56	3	36	45	14	47

Tabla 14

66.

Evalúe $f (3) .$

67.

Resuelva $f (x) = 1.$

En los siguientes ejercicios, evalúe la función $f$ en los valores $f (- 2), f (- 1), f (0), f (1),$ y $f (2) .$

68.

$f (x) = 4 - 2 x$

69.

$f (x) = 8 - 3 x$

70.

$f (x) = 8 x^{2} - 7 x + 3$

71.

$f (x) = 3 + \sqrt{x + 3}$

72.

$f (x) = \frac{x - 2}{x + 3}$

73.

$f (x) = 3^{x}$

En los siguientes ejercicios, evalúe las expresiones, dadas las funciones $f, g,$ y $h :$

$f (x) = 3 x - 2$
$g (x) = 5 - x^{2}$
$h (x) = - 2 x^{2} + 3 x - 1$

74.

$3 f (1) - 4 g (- 2)$

75.

$f (\frac{7}{3}) - h (- 2)$

En tecnología

En los siguientes ejercicios, grafique $y = x^{2}$ en el dominio dado. Determine el rango correspondiente. Muestre cada gráfico.

76.

$[- 0,1, 0,1]$

77.

$[- 10, 10]$

78.

$[- 100, 100]$

En los siguientes ejercicios, grafique $y = x^{3}$ en el dominio dado. Determine el rango correspondiente. Muestre cada gráfico.

79.

$[- 0,1, 0 0,1]$

80.

$[- 10, 10]$

81.

$[- 100, 100]$

En los siguientes ejercicios, grafique $y = \sqrt{x}$ en el dominio dado. Determine el rango correspondiente. Muestre cada gráfico.

82.

$[0, 0 0,01]$

83.

$[0, 100]$

84.

$[0, 10.000]$

En los siguientes ejercicios, grafique $y = \sqrt[3]{x}$ en el dominio dado. Determine el rango correspondiente. Muestre cada gráfico.

85.

$[-0,001, 0,001]$

86.

$[-1.000, 1.000]$

87.

$[–1.000.000, 1.000.000]$

Aplicaciones en el mundo real

88.

La cantidad de basura, $G,$ producida por una ciudad con una población $p$ viene dada por $G = f (p) .$ $G$ se mide en toneladas por semana, y $p$ se mide en miles de personas.

Ⓐ La ciudad de Tola tiene una población de 40.000 habitantes y produce 13 toneladas de basura a la semana. Exprese esta información en términos de la función $f .$
Ⓑ Explique el significado de la afirmación $f (5) = 2.$

89.

El número de yardas cúbicas de tierra, $D,$ necesario para cubrir un jardín con un área de $a$ pies cuadrados viene dado por $D = g (a) .$

Ⓐ Un jardín con una superficie de 5.000 pies² requiere 50 yardas³ de tierra. Exprese esta información en términos de la función $g .$
Ⓑ Explique el significado de la afirmación $g (100) = 1.$

90.

Supongamos que $f (t)$ es el número de patos en un lago $t$ años después de 1990. Explique el significado de cada afirmación:

Ⓐ $f (5) = 30$
Ⓑ $f (10) = 40$

91.

Supongamos que $h (t)$ es la altura sobre el suelo, en pies, de un cohete $t$ segundos después del lanzamiento. Explique el significado de cada afirmación:

$h (1) = 200$
$h (2) = 350$

92.

Demuestre que la función $f (x) = 3 {(x - 5)}^{2} + 7$ Translation missing: es.screenreader.underlinenoTranslation missing: es.screenreader.end Translation missing: es.screenreader.underline es biunívoca.

Notas a pie de página

1http://www.baseball-almanac.com/legendary/lisn100.shtml. Consultado el 24 mar 2014.
2http://www.kgbanswers.com/how-long-is-a-dogs-memory-span/4221590. Consultado el 24 mar 2014.

1.1 Funciones y notación de funciones

Determinar si una relación representa una función

Cómo determinar si las listas de precios de los menús son funciones

Solución

Cómo determinar si las reglas de calificación de la clase son funciones

Solución

Uso de la notación de función

Uso de la notación de función para los días de un mes

Solución

Análisis

Interpretación de la notación de función

Solución

Representación de funciones mediante tablas

Identificación de tablas que representan funciones

Solución

Hallar los valores de entrada y salida de una función

Evaluación de funciones en formas algebraicas

Evaluación de funciones en valores específicos

Solución

Evaluación de funciones

Solución

Resolución de funciones

Solución

Evaluación de funciones expresadas en fórmulas

Hallar la ecuación de una función

Solución

Análisis

Expresión de la ecuación de un círculo como función

Solución

Evaluación de una función dada en forma de tabla

Evaluación y resolución de una función de tabla

Solución

Hallar los valores de una función a partir de un gráfico

Leer los valores de una función a partir de un gráfico

Solución

Cómo determinar si una función es biunívoca

Determinar si una relación es una función biunívoca

Solución

Uso de la prueba de la línea vertical

Aplicación de la prueba de la línea vertical

Solución

Utilizar la prueba de la línea horizontal

Aplicación de la prueba de la línea horizontal

Solución

Identificar las funciones básicas de la caja de herramientas

1.1 Ejercicios de sección

Verbales

Algebraicos

Gráficos

Numéricos

En tecnología

Aplicaciones en el mundo real

Notas a pie de página