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Precálculo 2ed

1.7 Funciones inversas

Precálculo 2ed1.7 Funciones inversas

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Verificar funciones inversas.
  • Determinar el dominio y el rango de una función inversa, y restringir el dominio de una función para que sea biunívoca.
  • Hallar o evaluar la inversa de una función.
  • Utilizar el gráfico de una función biunívoca para trazar su función inversa en los mismos ejes.

Una bomba de calor reversible es un sistema de climatización que es un acondicionador de aire y un calentador en un solo aparato. Si funciona en una dirección, bombea el calor de una casa para proporcionar refrigeración. Funcionando a la inversa, bombea calor al edificio desde el exterior, incluso en tiempo frío, para proporcionar calefacción. La bomba de calor es varias veces más eficiente que la calefacción por resistencia eléctrica convencional.

Si algunas máquinas físicas pueden funcionar en dos direcciones, podríamos preguntarnos si algunas de las "máquinas" de funciones que hemos estado estudiando también pueden funcionar al revés. La Figura 1 ofrece una representación visual de esta cuestión. En esta sección, consideraremos la naturaleza inversa de las funciones.

Diagrama de función y lo que sería su inversa.
Figura 1 ¿Una "máquina" de funciones puede operar a la inversa?

Comprobar que dos funciones son inversas

Betty viaja a Milán para un desfile de modas y quiere saber cuál será la temperatura. No conoce la escala Celsius. Para hacerse una idea de cómo se relacionan las medidas de temperatura, Betty quiere convertir 75 grados Fahrenheit a grados Celsius, mediante la fórmula

C= 5 9 (F32) C= 5 9 (F32)

y sustituye 75 por F F para calcular

5 9 (7532)24°C. 5 9 (7532)24°C.

Sabiendo que una temperatura agradable de 75 grados Fahrenheit equivale a unos 24 grados Celsius, Betty obtiene la previsión meteorológica de la semana a partir de la Figura 2 para Milán, y quiere convertir todas las temperaturas a grados Fahrenheit.

Previsión del tiempo de lunes a jueves.
Figura 2

Al principio, Betty se plantea utilizar la fórmula que ya ha encontrado para efectuar las conversiones. Después de todo, conoce el álgebra y puede resolver fácilmente la ecuación para F F después de sustituir un valor por C. C. Por ejemplo, para convertir 26 grados Celsius, podría escribir

26= 5 9 (F32) 26 9 5 =F32 F=26 9 5 +3279 26= 5 9 (F32) 26 9 5 =F32 F=26 9 5 +3279

Sin embargo, después de considerar esta opción por un momento, se da cuenta de que resolver la ecuación para cada una de las temperaturas será terriblemente tedioso. Se percata de que, dado que la evaluación es más fácil que la resolución, sería mucho más conveniente tener otra fórmula, que tome la temperatura Celsius y dé como resultado la temperatura Fahrenheit.

La fórmula que busca Betty corresponde a la idea de función inversa, que es aquella para la que la entrada de la función original se convierte en la salida de la función inversa y la salida de la función original se convierte en la entrada de la función inversa.

Dada una función f(x), f(x), representamos su inversa como f 1 (x), f 1 (x), que se lee como f f inversa de x. x. El elevado −1 −1 forma parte de la notación. No es un exponente; no implica una potencia de −1 −1. En otras palabras, f 1 (x) f 1 (x) no significa 1 f(x) 1 f(x) porque 1 f(x) 1 f(x) es el recíproco de f f y no la inversa.

La notación "exponencial" proviene de una analogía entre la composición de funciones y la multiplicación: al igual que a -1 a=1 a -1 a=1 (1 es el elemento de identidad para la multiplicación) para cualquier número no nulo a, a, por lo que f 1 f f 1 f es igual a la función de identidad, es decir:

( f 1 f )(x)= f 1 ( f(x) )= f 1 ( y )=x ( f 1 f )(x)= f 1 ( f(x) )= f 1 ( y )=x

Esto es válido para todos los valores x x en el dominio de f. f. Informalmente, esto significa que las funciones inversas se "deshacen" entre sí. Sin embargo, así como el cero no tiene recíproco, algunas funciones no tienen inversa.

Dada una función f(x), f(x), podemos verificar si alguna otra función g(x) g(x) es la inversa de f(x) f(x) al comprobar si g(f(x))=x g(f(x))=x o f(g(x))=x f(g(x))=x es verdadera. Podemos probar cualquier ecuación que sea más conveniente, porque son lógicamente equivalentes (es decir, si una es verdadera, entonces también lo es la otra).

Por ejemplo, y=4x y=4x y y= 1 4 x y= 1 4 x son funciones inversas.

( f 1 f )(x)= f 1 ( 4x )= 1 4 ( 4x )=x ( f 1 f )(x)= f 1 ( 4x )= 1 4 ( 4x )=x

y

( f f 1 )(x)=f( 1 4 x )=4( 1 4 x )=x ( f f 1 )(x)=f( 1 4 x )=4( 1 4 x )=x

Algunos pares de coordenadas del gráfico de la función y=4x y=4x son (-2, -8), (0, 0) y (2, 8). Algunos pares de coordenadas del gráfico de la función y= 1 4 x y= 1 4 x son (-8, -2), (0, 0) y (8, 2). Si intercambiamos la entrada y la salida de cada par de coordenadas de una función, los pares de coordenadas intercambiados aparecerían en el gráfico de la función inversa.

Función inversa

Para cualquier función biunívoca f(x)=y, f(x)=y, una función f 1 ( x ) f 1 ( x ) es la función inversa de f f si f 1 (y)=x. f 1 (y)=x. Esto también puede escribirse como f 1 (f(x))=x f 1 (f(x))=x para todos los valores x x en el dominio de f. f. También se deduce que f( f 1 (x))=x f( f 1 (x))=x para todos los valores x x en el dominio de f 1 f 1 si f 1 f 1 es la inversa de f. f.

La notación f 1 f 1 se lee f f inversa”. Como cualquier otra función, podemos utilizar cualquier nombre de variable como entrada para f 1 , f 1 , por lo que a menudo escribiremos f 1 (x), f 1 (x), que leemos como f f inversa de x. x. Tenga en cuenta que

f 1 (x) 1 f(x) f 1 (x) 1 f(x)

y no todas las funciones tienen inversas.

Ejemplo 1

Identificar una función inversa para un determinado par de entrada-salida

Si para una determinada función biunívoca f(2 )=4 f(2 )=4 y f(5)=12, f(5)=12, ¿cuáles son los valores de entrada y salida correspondientes a la función inversa?

Análisis

Observe que, si mostramos los pares de coordenadas en forma tabular, la entrada y la salida están claramente invertidas. Vea la Tabla 1.

( x,f(x) ) ( x,f(x) ) ( x,g(x) ) ( x,g(x) )
( 2 ,4 ) ( 2 ,4 ) ( 4,2 ) ( 4,2 )
( 5,12 ) ( 5,12 ) ( 12,5 ) ( 12,5 )
Tabla 1

Inténtelo #1

Dado que h -1 (6)=2 , h -1 (6)=2 , ¿cuáles son los valores correspondientes de entrada y salida de la función original h? h?

Cómo

Dadas dos funciones f(x) f(x) y g(x), g(x), compruebe si las funciones son inversas entre sí.

  1. Determine si f(g(x))=x f(g(x))=x o g(f(x))=x. g(f(x))=x.
  2. Si ambos enunciados son verdaderos, entonces g= f 1 g= f 1 y f= g 1 . f= g 1 . Si cualquiera de los dos enunciados es falso, entonces ambos son falsos, y g f 1 g f 1 y f g 1 . f g 1 .

Ejemplo 2

Comprobar relaciones inversas de forma algebraica

Si los valores de f( x )= 1 x+2 f( x )= 1 x+2 y g( x )= 1 x -2 , g( x )= 1 x -2 , es g= f 1 ? g= f 1 ?

Análisis

Observe que las operaciones inversas están en orden inverso a las operaciones de la función original.

Inténtelo #2

Si los valores de f( x )= x 3 -4 f( x )= x 3 -4 y g( x )= x+4 3 , g( x )= x+4 3 , es g= f 1 ? g= f 1 ?

Ejemplo 3

Determinar las relaciones inversas para las funciones de potencia

Si los valores de f(x)= x 3 f(x)= x 3 (la función del cubo) y g(x)= 1 3 x, g(x)= 1 3 x, es g= f 1 ? g= f 1 ?

Análisis

La inversa correcta del cubo es, por supuesto, la raíz cúbica x 3 = x 1 3 , x 3 = x 1 3 , es decir: el tercio es un exponente, no un multiplicador.

Inténtelo #3

Si los valores de f( x )= ( x1 ) 3 yg( x )= x 3 +1, f( x )= ( x1 ) 3 yg( x )= x 3 +1, es g= f 1 ? g= f 1 ?

Hallar el dominio y el rango de las funciones inversas

Las salidas de la función f f son las entradas a f 1 , f 1 , por lo que el rango de f f es también el dominio de f 1 . f 1 . Asimismo, dado que las entradas a f f son las salidas de f 1 , f 1 , el dominio de f f es el rango de f 1 . f 1 . Podemos visualizar la situación como en la Figura 3.

Dominio y rango de una función y su inversa.
Figura 3 Dominio y rango de una función y su inversa

Cuando una función no tenga inversa, es posible crear una función en un dominio limitado donde sí la tenga. Por ejemplo, la inversa de f(x)= x f(x)= x es f 1 (x)= x 2 , f 1 (x)= x 2 , porque un cuadrado "deshace" una raíz cuadrada; pero el cuadrado es apenas la inversa de la raíz cuadrada en el dominio [ 0, ), [ 0, ), ya que ese es el rango de f(x)= x . f(x)= x .

Podemos ver este problema desde el otro lado, comenzando con la función cuadrada (cuadrática de la caja de herramientas) f(x)= x 2 . f(x)= x 2 . Si queremos construir la inversa de esta función, nos encontramos con un problema, porque para cada salida dada de la función cuadrática, hay dos entradas correspondientes (excepto cuando la entrada es 0). Por ejemplo, la salida 9 de la función cuadrática corresponde a las entradas 3 y -3. Sin embargo, la salida de una función es la entrada para su inversa; si esta entrada inversa corresponde a más de una salida inversa (entrada de la función original), ¡entonces la "inversa" no es una función en absoluto! Por decirlo de otra manera, la función cuadrática no es una función biunívoca; no pasa la prueba de la línea horizontal, por lo que no tiene ninguna función inversa. Para que tenga una inversa, deberá ser una función biunívoca.

En muchos casos, si la función no es biunívoca, podemos restringirla a una parte de su dominio en la que lo sea. Por ejemplo, podemos hacer una versión restringida de la función cuadrada f(x)= x 2 f(x)= x 2 con su dominio limitado a [ 0, ), [ 0, ), que es una función biunívoca (pasa la prueba de la línea horizontal) y que tiene una inversa (la función de raíz cuadrada).

Si los valores de f(x)= ( x1 ) 2 f(x)= ( x1 ) 2 en [ 1, ), [ 1, ), entonces la función inversa es f 1 (x)= x +1. f 1 (x)= x +1.

  • El dominio de f f = rango de f 1 f 1 = [ 1, ). [ 1, ).
  • El dominio de f 1 f 1 = rango de f f = [ 0, ). [ 0, ).

Preguntas y respuestas

¿Una función puede tener más de una inversa?

No. Si dos funciones supuestamente diferentes, digamos, g g y h, h, cumplen la definición de ser inversas de otra función f, f, entonces, se puede demostrar que g=h. g=h. Acabamos de ver que algunas funciones tienen inversas únicamente si restringimos el dominio de la función original. En estos casos, puede que haya más de una manera de restringir el dominio, para dar lugar a diferentes inversas. Sin embargo, en cualquier dominio, la función original sigue teniendo una sola inversa.

Dominio y rango de las funciones inversas

El rango de una función f(x) f(x) es el dominio de la función inversa f 1 (x). f 1 (x).

El dominio de f(x) f(x) es el rango de f 1 (x). f 1 (x).

Cómo

Dada una función, hallar el dominio y el rango de su inversa.

  1. Si la función es biunívoca, anote el rango de la función original como el dominio de la inversa, y anote el dominio de la función original como el rango de la inversa.
  2. Si hay que restringir el dominio de la función original para que sea biunívoca, entonces este dominio restringido se convierte en el rango de la función inversa.

Ejemplo 4

Hallar los inversos de las funciones de la caja de herramientas

Identifique cuáles de las funciones de la caja de herramientas, además de la función cuadrática, no son biunívocas y halle un dominio restringido en el que cada función sea biunívoca, si es que lo hay. Las funciones de la caja de herramientas se repasan en la Tabla 2. Restringimos el dominio de tal manera que la función asume todos los valores y exactamente una vez.

Constante Identidad Función Cúbico Recíproco
f(x)=c f(x)=c f(x)=x f(x)=x f(x)= x 2 f(x)= x 2 f(x)= x 3 f(x)= x 3 f(x)= 1 x f(x)= 1 x
Recíproco al cuadrado Raíz del cubo Raíz cuadrada Valor absoluto
f(x)= 1 x 2 f(x)= 1 x 2 f(x)= x 3 f(x)= x 3 f(x)= x f(x)= x f(x)=| x | f(x)=| x |
Tabla 2

Análisis

Podemos ver que estas funciones (si no están restringidas) no son biunívocas al observar sus gráficos, los que se muestran en la Figura 4. Ninguno de los dos pasarían la prueba de la línea horizontal. Sin embargo, si una función se restringe a un determinado dominio para que pase la prueba de la línea horizontal, entonces en ese dominio restringido, puede tener una inversa.

Gráfico de una función absoluta.
Figura 4 (a) Valor absoluto (b) Recíproco al cuadrado

Inténtelo #4

El dominio de la función f f es (1,) (1,) y el rango de la función f f es (-∞,–2). (-∞,–2). Halle el dominio y el rango de la función inversa.

Hallar y evaluar funciones inversas

Una vez que tenemos una función biunívoca, podemos evaluar su inversa en entradas específicas de la función inversa o construir una representación completa de la función inversa en muchos casos.

Invertir funciones tabulares

Supongamos que queremos hallar la inversa de una función representada en forma tabular. Recuerde que el dominio de la función es el rango de la inversa y el rango de la función es el dominio de la inversa. Así que tenemos que intercambiar el dominio y el rango.

Cada fila (o columna) de entradas se convierte en la fila (o columna) de salidas de la función inversa. Del mismo modo, cada fila (o columna) de salidas se convierte en la fila (o columna) de entradas para la función inversa.

Ejemplo 5

Interpretar la inversa de una función tabular

Una función f(t) f(t) se da en la Tabla 3, donde se indica la distancia en millas que ha recorrido un automóvil en t t minutos. Halle e interprete f 1 (70). f 1 (70).

t (minutos) t (minutos) 30 50 70 90
f( t ) (millas) f( t ) (millas) 20 40 60 70
Tabla 3

Inténtelo #5

Utilizando la Tabla 4, halle e interprete (a) f(60), f(60), y (b) f 1 (60). f 1 (60).

t (minutos) t (minutos) 30 50 60 70 90
f( t ) (millas) f( t ) (millas) 20 40 50 60 70
Tabla 4

Evaluación de la inversa de una función, dado el gráfico de la función original

Vimos en Funciones y notación de funciones que el dominio de una función puede leerse a partir de la extensión horizontal de su gráfico. Hallamos el dominio de la función inversa observando la extensión vertical del gráfico de la función original, ya que esta corresponde a la extensión horizontal de la función inversa. Del mismo modo, hallamos el rango de la función inversa a partir de la extensión horizontal del gráfico de la función original, ya que es la extensión vertical de la función inversa. Si queremos evaluar una función inversa, hallamos su entrada dentro de su dominio, que es todo o parte del eje vertical del gráfico de la función original.

Cómo

Dado el gráfico de una función, evaluar su inversa en determinados puntos.

  1. Halle la entrada deseada en el eje y del gráfico dado.
  2. Lea la salida de la función inversa desde el eje x del gráfico dado.

Ejemplo 6

Evaluar una función y su inversa a partir de un gráfico en determinados puntos

Una función g(x) g(x) se da en la Figura 5. Calcule g(3) g(3) y g 1 (3). g 1 (3).

Gráfico de g(x).
Figura 5

Inténtelo #6

Con el gráfico de la Figura 6, (a) halle g 1 (1), g 1 (1), y (b) calcule g 1 (4). g 1 (4).

Hallar las inversas de las funciones representadas por fórmulas

A veces necesitaremos conocer una función inversa para todos los elementos de su dominio, no solo para algunos. Si la función original viene dada como una fórmula —por ejemplo, y y en función de x—  x—  a menudo podemos hallar la función inversa al resolver para obtener x x en función de y. y.

Cómo

Dada una función representada por una fórmula, hallar la inversa.

  1. Asegúrese de que f f sea una función biunívoca.
  2. Resuelva para x. x.
  3. Intercambie la x x y y. y.

Ejemplo 7

Invertir la función Fahrenheit a Celsius

Halle la fórmula de la función inversa que dé la temperatura Fahrenheit en función de la temperatura Celsius.

C= 5 9 (F32) C= 5 9 (F32)

Inténtelo #7

Resuelva para x x en términos de y y dado y= 1 3 (x-5) y= 1 3 (x-5)

Ejemplo 8

Resolver para hallar la función inversa

Halle la inversa de la función f( x )= 2 x-3 +4. f( x )= 2 x-3 +4.

Análisis

El dominio y el rango de f f excluyen los valores 3 y 4, respectivamente. f f y f 1 f 1 son iguales en dos puntos, pero no son la misma función, como podemos ver al crear la Tabla 5.

x x 1 2 5 f 1 (y) f 1 (y)
f(x) f(x) 3 2 5 y y
Tabla 5

Ejemplo 9

Resolver para hallar la inversa con radicales

Halle la inversa de la función f(x)=2 + x-4 . f(x)=2 + x-4 .

Análisis

La fórmula que hallamos para f 1 ( x ) f 1 ( x ) luce válida para todos los valores reales de x. x. Sin embargo, el que f 1 f 1 deberá tener una inversa (a saber, f f ) por lo que tenemos que restringir el dominio de f 1 f 1 con [2 ,) [2 ,) para hacer de f 1 f 1 una función biunívoca. Este dominio de f 1 f 1 es exactamente el rango de f. f.

Inténtelo #8

¿Cuál es la inversa de la función f(x)=2 - x ? f(x)=2 - x ? Indique los dominios tanto de la función como de la función inversa.

Hallar funciones inversas y sus gráficos

Ahora que podemos hallar la inversa de una función, exploraremos los gráficos de las funciones y sus inversas. Volvamos a la función cuadrática f(x)= x 2 f(x)= x 2 restringida al dominio [0,), [0,), en el que esta función es biunívoca, y grafíquela como en la Figura 7.

Gráfico de f(x).
Figura 7 Función cuadrática restringida al dominio [0, ∞).

Restringir el dominio a [0,) [0,) hace que la función sea biunívoca (obviamente pasará la prueba de la línea horizontal), por lo que tiene una inversa en este dominio restringido.

Ya sabemos que la inversa de la función cuadrática de la caja de herramientas es la función de raíz cuadrada, es decir, f 1 (x)= x . f 1 (x)= x . ¿Qué sucede si graficamos tanto f f y f 1 f 1 en el mismo conjunto de ejes, donde utilizamos el eje x x para la entrada, tanto para f como para   f 1 ? f como para   f 1 ?

Observamos una clara relación: el gráfico de f 1 (x) f 1 (x) es el gráfico de f(x) f(x) reflejado sobre la línea diagonal y=x, y=x, que llamaremos línea de identidad, y que se indica en la Figura 8.

Gráfico de f(x) y f^(-1)(x).
Figura 8 Funciones cuadradas y de raíz cuadrada en el dominio no negativo

Esta relación se observará en todas las funciones biunívocas, porque es el resultado de que la función y su inversa intercambien entradas y salidas. Esto equivale a intercambiar los papeles de los ejes vertical y horizontal.

Ejemplo 10

Hallar la inversa de una función por medio de la reflexión sobre la línea de identidad

Dado el gráfico de f(x) f(x) en la Figura 9, dibuje un gráfico de f 1 (x). f 1 (x).

Gráfico de f^(-1)(x).
Figura 9

Inténtelo #9

Dibuje los gráficos de las funciones f f y f 1 f 1 a partir del Ejemplo 8.

Preguntas y respuestas

¿Existe alguna función que sea igual a su propia inversa?

Sí. Si los valores de f= f 1 , f= f 1 , entonces f( f( x ) )=x, f( f( x ) )=x, y podemos pensar en varias funciones que tienen esta propiedad. La función de identidad la tiene, y también la función recíproca, porque

1 1 x =x 1 1 x =x

Cualquier función f( x )=cx, f( x )=cx, donde c c es una constante, también es igual a su propia inversa.

Media

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1.7 Ejercicios de sección

Verbales

1.

¿Por qué la prueba de la línea horizontal es una forma eficaz de determinar si la función es biunívoca? Explique.

2.

¿Por qué restringimos el dominio de la función f(x)= x 2 f(x)= x 2 para dar con la inversa de la función?

3.

¿Una función puede ser su propia inversa? Explique.

4.

¿Las funciones biunívocas son siempre crecientes o decrecientes? ¿Por qué sí o por qué no?

5.

¿Cómo se halla la inversa de una función de forma algebraica?

Algebraicos

6.

Demuestre que la función f(x)=ax f(x)=ax es su propia inversa para todos los números reales a. a.

En los siguientes ejercicios, calcule f 1 (x) f 1 (x) por cada función.

7.

f(x)=x+3 f(x)=x+3

8.

f(x)=x+5 f(x)=x+5

9.

f(x)=2 -x f(x)=2 -x

10.

f(x)=3-x f(x)=3-x

11.

f(x)= x x+2 f(x)= x x+2

12.

f(x)= 2 x+3 5x+4 f(x)= 2 x+3 5x+4

En los siguientes ejercicios, halle un dominio en el que cada función f f sea biunívoca y no decreciente. Escriba el dominio en notación de intervalo. Entonces calcule la inversa de f f restringida a ese dominio.

13.

f(x)= (x+7) 2 f(x)= (x+7) 2

14.

f(x)= (x-6) 2 f(x)= (x-6) 2

15.

f(x)= x 2 -5 f(x)= x 2 -5

16.

Dado que f( x )= x 2 +x f( x )= x 2 +x y g(x)= 2 x 1-x : g(x)= 2 x 1-x :

  1. Halle f(g(x)) f(g(x)) y g(f(x)). g(f(x)).
  2. ¿Qué nos dice la respuesta sobre la relación entre f(x) f(x) y g(x)? g(x)?

En los siguientes ejercicios, utilice la composición de funciones para verificar que f(x) f(x) y g(x) g(x) son funciones inversas.

17.

f(x)= x1 3 f(x)= x1 3 y g(x)= x 3 +1 g(x)= x 3 +1

18.

f(x)=-3x+5 f(x)=-3x+5 y g(x)= x-5 -3 g(x)= x-5 -3

Gráficos

En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para determinar si cada función es biunívoca.

19.

f(x)= x f(x)= x

20.

f(x)= 3x+1 3 f(x)= 3x+1 3

21.

f(x)=−5x+1 f(x)=−5x+1

22.

f(x)= x 3 27 f(x)= x 3 27

En los siguientes ejercicios, determine si el gráfico representa una función biunívoca.

23.
Gráfico de una parábola.
24.
Gráfico de función escalonada.

En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de f f que se muestra en la Figura 11.

Gráfico de una línea.
Figura 11
25.

Halle f( 0 ). f( 0 ).

26.

Resuelva f(x)=0, f(x)=0,

27.

Calcule f 1 ( 0 ). f 1 ( 0 ).

28.

Resuelva f 1 ( x )=0, f 1 ( x )=0,

En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la función biunívoca que se muestra en la Figura 12.

Gráfico de una función de raíz cuadrada.
Figura 12
29.

Dibuje el gráfico de f 1 . f 1 .

30.

Halle f(6) y  f 1 (2 ). f(6) y  f 1 (2 ).

31.

Si el gráfico completo de f f se muestra, halle el dominio de f. f.

32.

Si el gráfico completo de f f se muestra, halle el rango de f. f.

Numéricos

En los siguientes ejercicios, evalúe o resuelva, suponiendo que la función f f es biunívoca.

33.

Si los valores de f(6)=7, f(6)=7, calcule f 1 (7). f 1 (7).

34.

Si f(3)=2 , f(3)=2 , calcule f 1 (2 ). f 1 (2 ).

35.

Si f 1 ( -4 )=-8, f 1 ( -4 )=-8, calcule f(8). f(8).

36.

Si f 1 ( 2 )=-1, f 1 ( 2 )=-1, calcule f(-1). f(-1).

En los siguientes ejercicios, utilice los valores que aparecen en la Tabla 6 para evaluar o resolver.

x x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
f(x) f(x) 8 0 7 4 2 6 5 3 9 1
Tabla 6
37.

Halle f( 1 ). f( 1 ).

38.

Resuelva f(x)=3. f(x)=3.

39.

Calcule f 1 ( 0 ). f 1 ( 0 ).

40.

Resuelva f 1 ( x )=7. f 1 ( x )=7.

41.

Utilice la representación tabular de f f en la Tabla 7 con el objeto de crear una tabla para f 1 ( x ). f 1 ( x ).

x x 3 6 9 13 14
f(x) f(x) 1 4 7 12 16
Tabla 7

En tecnología

En los siguientes ejercicios, halle la función inversa. A continuación, grafique la función y su inversa.

42.

f(x)= 3 x-2 f(x)= 3 x-2

43.

f(x)= x 3 -1 f(x)= x 3 -1

44.

Calcule la función inversa de f(x)= 1 x1 . f(x)= 1 x1 . Utilice una herramienta gráfica para calcular su dominio y rango. Escriba el dominio y el rango en notación de intervalo.

Aplicaciones en el mundo real

45.

Para convertir de x x grados Celsius a y y grados Fahrenheit, utilizamos la fórmula f(x)= 9 5 x+32. f(x)= 9 5 x+32. Halle la función inversa, si existe, y explique su significado.

46.

La circunferencia C C de un círculo es la función de su radio, dada por C(r)=2 πr. C(r)=2 πr. Exprese el radio de un círculo en función de su circunferencia. Llame a esta función r(C). r(C). Halle r(36π) r(36π) e interprete su significado.

47.

Un automóvil viaja a una velocidad constante de 80 millas por hora. La distancia que recorre el automóvil en millas es una función del tiempo, t, t, en horas, dadas por d(t)=50t. d(t)=50t. Halle la función inversa al expresar el tiempo de viaje en términos de la distancia recorrida. Llame a esta función t(d). t(d). Halle t(180) t(180) e interprete su significado.

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