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Precálculo 2ed

1.6 Funciones de valor absoluto

Precálculo 2ed1.6 Funciones de valor absoluto

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:
  • Graficar la función de valor absoluto.
  • Resolver una ecuación de valor absoluto.
  • Resolver una inecuación de valor absoluto.
La Vía Láctea.
Figura 1 Las distancias en el espacio profundo pueden medirse en todas las direcciones. Por ello, es útil considerar la distancia en términos de valores absolutos (créditos: "s58y"/Flickr)

Hasta la década de 1920, se creía que las llamadas nebulosas espirales eran nubes de polvo y gas en nuestra propia galaxia, a unas decenas de miles de años luz. Luego, el astrónomo Edwin Hubble demostró que estos objetos son galaxias en sí mismas, a distancias de millones de años luz. Hoy en día, los astrónomos pueden detectar galaxias que están a miles de millones de años luz. Las distancias en el universo se pueden medir en todas las direcciones. Por ello, vale la pena considerar la distancia como función de valor absoluto. En esta sección, investigaremos las funciones de valor absoluto.

Comprensión del valor absoluto

Recordemos que en su forma básica f(x)=| x |, f(x)=| x |, la función de valor absoluto, es una de las funciones de nuestra caja de herramientas. La función de valor absoluto se considera comúnmente como la que proporciona la distancia del número a cero en una línea numérica. Algebraicamente, para cualquier valor de entrada, la salida es el valor sin importar el signo.

Función de valor absoluto

La función de valor absoluto se define como una función definida por partes

f(x)=| x |={ x si x0 -x si x<0 f(x)=| x |={ x si x0 -x si x<0

Ejemplo 1

Determinar un número dentro de una distancia prescrita

Describa todos los valores x x dentro de o que incluyan una distancia de 4 del número 5.

Análisis

Observe que

4x-5 x-54 1x x9 4x-5 x-54 1x x9

Así que | x-5 |4 | x-5 |4 equivale a 1x9. 1x9.

Sin embargo, los matemáticos suelen preferir la notación en valor absoluto.

Inténtelo #1

Describa todos los valores x x a una distancia de 3 del número 2.

Ejemplo 2

Resistencia de un resistor

Las piezas eléctricas, como los resistores y los condensadores, vienen con valores especificados de sus parámetros de funcionamiento: resistencia, capacitancia, etc. Sin embargo, debido a la imprecisión en la fabricación, los valores reales de estos parámetros varían un poco de una pieza a otra, incluso cuando se supone que sean los mismos. Lo mejor que pueden hacer los fabricantes es garantizar que las variaciones se mantengan dentro de un rango específico, a menudo ±1 %,±5 %, ±1 %,±5 %, o ±10%. ±10%.

Supongamos que tenemos un resistor de 680 ohmios, ±5%. ±5%. Utilice la función de valor absoluto para expresar el rango de valores posibles de la resistencia real.

Inténtelo #2

Los alumnos que obtengan una puntuación inferior a 20 puntos de 80 superarán la prueba. Escríbalo como una distancia de 80 con la notación de valor absoluto.

Graficar una función de valor absoluto

La característica más significativa del gráfico de valor absoluto es el vértice en el que el gráfico cambia de dirección. Este punto se muestra en el origen en la Figura 3.

Gráfico de función absoluta
Figura 3

La Figura 4 muestra el gráfico de y=2 | x3 |+4. y=2 | x3 |+4. El gráfico de y=| x | y=| x | se ha desplazado 3 unidades a la derecha, se ha estirado verticalmente por un factor de 2 y se ha desplazado 4 unidades hacia arriba. Esto significa que el vértice se encuentra en ( 3,4 ) ( 3,4 ) para esta función transformada.

Gráfico de los diferentes tipos de transformaciones para una función absoluta.
Figura 4

Ejemplo 3

Escribir una ecuación para una función de valor absoluto

Escriba una ecuación para la función graficada en la Figura 5.

Gráfico de una función absoluta.
Figura 5

Análisis

Observe que estas ecuaciones son equivalentes desde el punto de vista algebraico: el estiramiento de una función de valor absoluto se escribe indistintamente como estiramiento o compresión vertical u horizontal. Nótese además que, si el factor de estiramiento vertical es negativo, también hay una reflexión sobre el eje de la x.

Preguntas y respuestas

Si no pudiéramos observar el estiramiento de la función a partir de los gráficos, ¿podríamos determinarlo algebraicamente?

Sí. Si no podemos determinar el estiramiento con base en la anchura del gráfico, podemos resolver el factor de estiramiento al colocar un par de valores conocidos para x x y f(x). f(x).

f(x)=a|x-3|-2 f(x)=a|x-3|-2

Ahora, sustituyendo en el punto (1, 2)

2 =a| 1-3 |-2 4=2 a a=2 2 =a| 1-3 |-2 4=2 a a=2

Inténtelo #3

Escriba la ecuación de la función de valor absoluto que se desplaza horizontalmente 2 unidades a la izquierda, se invierte verticalmente y se desplaza verticalmente hacia arriba 3 unidades.

Preguntas y respuestas

¿Los gráficos de las funciones de valor absoluto siempre se cruzan con el eje vertical? ¿Con el eje horizontal?

Sí, siempre se cruzan con el eje vertical. El gráfico de una función de valor absoluto intersecará el eje vertical cuando la entrada sea cero.

No, no siempre se cruzan con el eje horizontal. El gráfico puede o no intersecar el eje horizontal, dependiendo de cómo se haya desplazado y reflejado el gráfico. Es posible que la función de valor absoluto se cruce con el eje horizontal en cero, uno o dos puntos (ver la Figura 8).

Gráfico de los diferentes tipos de transformaciones para una función absoluta.
Figura 8 (a) La función valor absoluto no interseca el eje horizontal. (b) La función valor absoluto interseca el eje horizontal en un punto. (c) La función valor absoluto interseca el eje horizontal en dos puntos.

Resolver una ecuación de valor absoluto

Ahora que podemos graficar una función de valor absoluto, aprenderemos a resolver una ecuación de valor absoluto. Para resolver una ecuación como 8=| 2 x-6 |, 8=| 2 x-6 |, observamos que el valor absoluto será igual a 8 si la cantidad dentro del valor absoluto es 8 o -8. Esto nos lleva a dos ecuaciones distintas que podemos resolver independientemente.

2 x-6=8 o 2 x-6=-8 2 x=14 2 x=-2 x=7 x=-1 2 x-6=8 o 2 x-6=-8 2 x=14 2 x=-2 x=7 x=-1

Resulta útil saber cómo resolver problemas que impliquen funciones de valor absoluto. Por ejemplo, tendríamos que identificar números o puntos en una línea que están a una distancia determinada de un punto de referencia dado.

La ecuación de valor absoluto es aquella en la que la variable desconocida aparece en barras de valor absoluto. Por ejemplo,

| x |=4, | 2 x1 |=3 | 5x+2 |4=9 | x |=4, | 2 x1 |=3 | 5x+2 |4=9

Soluciones a las ecuaciones de valor absoluto

Para los números reales A A y B, B, una ecuación de la forma | A |=B, | A |=B, con la B0, B0, tendrá soluciones cuando A=B A=B o A=B. A=B. Si B<0, B<0, la ecuación | A |=B | A |=B no tiene solución.

Cómo

Dada la fórmula de una función de valor absoluto, hallar las intersecciones horizontales de su gráfico.

  1. Aísle el término de valor absoluto.
  2. Utilice | A |=B | A |=B para escribir A=B A=B o −A=B, −A=B, asumiendo que B>0. B>0.
  3. Resuelva para x. x.

Ejemplo 4

Hallar los ceros de una función de valor absoluto

Para la función f(x)=| 4x+1 |7 f(x)=| 4x+1 |7, halle los valores de xx tales que f(x)=0 f(x)=0 .

Inténtelo #4

Para la función f(x)=| 2 x1 |-3, f(x)=| 2 x1 |-3, calcule los valores de x x tales que f(x)=0. f(x)=0.

Preguntas y respuestas

¿Debemos esperar siempre dos respuestas al resolver | A |=B? | A |=B?

No. Podemos encontrar una, dos o incluso ninguna respuesta. Por ejemplo, no hay solución para 2 +| 3x-5 |=1. 2 +| 3x-5 |=1.

Cómo

Dada una ecuación de valor absoluto, resolverla.

  1. Aísle el término de valor absoluto.
  2. Utilice | A |=B | A |=B para escribir A=B A=B o A=−B. A=−B.
  3. Resuelva para x. x.

Ejemplo 5

Resolver una ecuación de valor absoluto

Resuelva 1=4| x-2 |+2. 1=4| x-2 |+2.

Preguntas y respuestas

En el Ejemplo 5, si f(x)=1 f(x)=1 y g(x)=4| x-2 |+2 g(x)=4| x-2 |+2 se graficarán en el mismo conjunto de ejes, ¿se cruzarían los gráficos?

No. Los gráficos de f f y g g no se cruzarían, como se muestra en la Figura 10. Esto confirma gráficamente que la ecuación 1=4| x-2 |+2 1=4| x-2 |+2 no tiene solución.

Gráfico de g(x)=4|x-2|+2 y f(x)=1.
Figura 10

Inténtelo #5

Halle dónde el gráfico de la función f(x)=-| x+2 |+3 f(x)=-| x+2 |+3 cruza los ejes horizontal y vertical.

Resolver una inecuación de valor absoluto

Las ecuaciones de valor absoluto no siempre implican igualdad. En cambio, quizá tengamos que resolver una ecuación dentro de un rango de valores. Utilizaríamos una inecuación de valor absoluto para resolver dicha ecuación. La inecuación de valor absoluto es una ecuación de la forma

|A|<B,|A|B,|A|>B,o|A|B, |A|<B,|A|B,|A|>B,o|A|B,

donde la expresión A A (y posiblemente, pero no usualmente B B ) depende de una variable x. x. Resolver la inecuación significa hallar el conjunto de todos los valores x x que satisfacen la inecuación. Normalmente este conjunto será un intervalo o la unión de dos intervalos.

Hay dos enfoques básicos para resolver inecuaciones de valor absoluto: el gráfico y el algebraico. La ventaja del enfoque gráfico es que podemos leer la solución al interpretar los gráficos de dos funciones. La ventaja del enfoque algebraico es que produce soluciones que serían difíciles de leer en el gráfico.

Por ejemplo, sabemos que todos los números dentro de las 200 unidades de 0 pueden expresarse como

| x |<200o200<x<200 | x |<200o200<x<200

Supongamos que queremos conocer todo el rendimiento posible de una inversión si pudiéramos ganar alguna cantidad de dinero entre 200 y 600 dólares. Podemos resolver algebraicamente el conjunto de valores x x tales que la distancia entre x x y 600 es menos de 200. Representamos la distancia entre x x y 600 como | x600 |. | x600 |.

|x600|<200    o    200<x600<200   200+600<x600+600<200+600                       400<x<800 |x600|<200    o    200<x600<200   200+600<x600+600<200+600                       400<x<800

Esto significa que nuestro rendimiento estaría entre 400 y 800 dólares.

A veces un problema de inecuación de valor absoluto se nos presentará en términos de una función de valor absoluto desplazada, estirada o comprimida, donde debemos determinar para qué valores de la entrada será la salida de la función negativa o positiva.

Cómo

Dada una inecuación de valor absoluto de la forma | xA |B | xA |B para números reales a a y b b donde b b es positivo, resolver la inecuación de valor absoluto algebraicamente.

  1. Halle los puntos límite al resolver | xA |=B. | xA |=B.
  2. Pruebe los intervalos creados por los puntos límite para determinar dónde | xA |B. | xA |B.
  3. Escriba el intervalo o la unión de intervalos que satisfagan la inecuación en notación de intervalo, inecuación o constructor de conjuntos.

Ejemplo 6

Resolver una inecuación de valor absoluto

Resuelva |x-5|<4. |x-5|<4.

Análisis

Para inecuaciones de valor absoluto,

|xA|<C, |xA|>C, C<xA<C, xA<C o xA>C. |xA|<C, |xA|>C, C<xA<C, xA<C o xA>C.

Los símbolos < < o > > pueden sustituirse por  o .  o .

Así que, para este ejemplo, podríamos utilizar este otro enfoque.

|x-5|<4 -4<x-5<4 Reescriba al eliminar las barras de valor absoluto. 4+5<x-5+5<4+5 Aísle x. 1<x<9 |x-5|<4 -4<x-5<4 Reescriba al eliminar las barras de valor absoluto. 4+5<x-5+5<4+5 Aísle x. 1<x<9

Inténtelo #6

Resuelva | x+2 |6. | x+2 |6.

Cómo

Dada una función de valor absoluto, resolver el conjunto de entradas donde la salida es positiva (o negativa)

  1. Iguale la función a cero y resuelva los puntos límite del conjunto de soluciones.
  2. Utilice puntos de prueba o un gráfico para determinar dónde la salida de la función es positiva o negativa.

Ejemplo 7

Usar el enfoque gráfico para resolver inecuaciones de valor absoluto

Dada la función f(x)=- 1 2 | 4x-5 |+3, f(x)=- 1 2 | 4x-5 |+3, determine los valores x x para los que los valores de la función son negativos.

Inténtelo #7

Resuelva 2 | k4 |6. 2 | k4 |6.

1.6 Ejercicios de sección

Verbales

1.

¿Cómo se resuelve la ecuación de valor absoluto?

2.

¿Cómo sabe si una función de valor absoluto tiene dos intersecciones en x sin representar gráficamente la función?

3.

Al resolver una función de valor absoluto, el término de valor absoluto aislado es igual a un número negativo. ¿Qué le dice eso sobre el gráfico de la función de valor absoluto?

4.

¿Cómo utilizar el gráfico de una función de valor absoluto para determinar los valores x para los que los valores de la función son negativos?

5.

¿Cómo se resuelve algebraicamente una inecuación de valor absoluto?

Algebraicos

6.

Describa todos los números x x que estén a una distancia de 4 del número 8. Exprese esto usando la notación de valor absoluto.

7.

Describa todos los números x x que estén a una distancia de 1 2 1 2 del número −4. Exprese esto usando la notación de valor absoluto.

8.

Describa la situación en la que la distancia en el punto x x desde 10 es al menos 15 unidades. Exprese esto usando la notación de valor absoluto.

9.

Halle todos los valores de la función f(x) f(x) tales que la distancia desde f(x) f(x) hasta el valor 8 sea inferior a 0,03 unidades. Exprese esto usando la notación de valor absoluto.

En los siguientes ejercicios, resuelva las ecuaciones que aparecen a continuación y exprese la respuesta con la notación de conjuntos.

10.

|x+3|=9 |x+3|=9

11.

|6-x|=5 |6-x|=5

12.

|5x-2 |=11 |5x-2 |=11

13.

|4x-2 |=11 |4x-2 |=11

14.

2 |4-x|=7 2 |4-x|=7

15.

3|5-x|=5 3|5-x|=5

16.

3|x+1|4=5 3|x+1|4=5

17.

5| x-4 |7=2 5| x-4 |7=2

18.

0=-| x-3 |+2 0=-| x-3 |+2

19.

2 | x-3 |+1=2 2 | x-3 |+1=2

20.

| 3x-2 |=7 | 3x-2 |=7

21.

| 3x-2 |=-7 | 3x-2 |=-7

22.

| 1 2 x-5 |=11 | 1 2 x-5 |=11

23.

| 1 3 x+5 |=14 | 1 3 x+5 |=14

24.

| 1 3 x+5 |+14=0 | 1 3 x+5 |+14=0

En los siguientes ejercicios, halle las intersecciones en x y en y de los gráficos de cada función.

25.

f(x)=2 | x+1 |10 f(x)=2 | x+1 |10

26.

f(x)=4| x-3 |+4 f(x)=4| x-3 |+4

27.

f(x)=-3| x-2 |-1 f(x)=-3| x-2 |-1

28.

f(x)=-2 | x+1 |+6 f(x)=-2 | x+1 |+6

En los siguientes ejercicios, resuelva cada inecuación y escriba la solución en notación de intervalo.

29.

| x-2 |>10 | x-2 |>10

30.

2 | v7 |442 2 | v7 |442

31.

| 3x-4 |8 | 3x-4 |8

32.

| x-4 |8 | x-4 |8

33.

| 3x-5 |13 | 3x-5 |13

34.

| 3x-5 |13 | 3x-5 |13

35.

| 3 4 x-5 |7 | 3 4 x-5 |7

36.

| 3 4 x-5 |+116 | 3 4 x-5 |+116

Gráficos

En los siguientes ejercicios, grafique la función de valor absoluto. Trace al menos cinco puntos a mano para cada gráfico.

37.

y=|x1| y=|x1|

38.

y=|x+1| y=|x+1|

39.

y=|x|+1 y=|x|+1

En los siguientes ejercicios, grafique a mano las funciones dadas.

40.

y=| x |-2 y=| x |-2

41.

y=-| x | y=-| x |

42.

y=-| x |-2 y=-| x |-2

43.

y=-| x-3 |-2 y=-| x-3 |-2

44.

f(x)=-|x1|-2 f(x)=-|x1|-2

45.

f(x)=-|x+3|+4 f(x)=-|x+3|+4

46.

f(x)=2 |x+3|+1 f(x)=2 |x+3|+1

47.

f(x)=3| x-2 |+3 f(x)=3| x-2 |+3

48.

f(x)=| 2 x-4 |-3 f(x)=| 2 x-4 |-3

49.

f( x )=| 3x+9 |+2 f( x )=| 3x+9 |+2

50.

f(x)=-| x1 |-3 f(x)=-| x1 |-3

51.

f(x)=-| x+4 |-3 f(x)=-| x+4 |-3

52.

f(x)= 1 2 | x+4 |-3 f(x)= 1 2 | x+4 |-3

En tecnología

53.

Utilice una herramienta gráfica para hacer un gráfico f(x)=10|x-2 | f(x)=10|x-2 | en la ventana de visualización [ 0,4 ]. [ 0,4 ]. Identifique el rango correspondiente. Muestre el gráfico.

54.

Utilice una herramienta gráfica para hacer un gráfico f(x)=100|x|+100 f(x)=100|x|+100 en la ventana de visualización [ 5,5 ]. [ 5,5 ]. Identifique el rango correspondiente. Muestre el gráfico.

En los siguientes ejercicios, grafique cada función con una herramienta gráfica. Especifique la ventana de visualización.

55.

f(x)=0,1| 0,1(0,2x) |+0,3 f(x)=0,1| 0,1(0,2x) |+0,3

56.

f(x)=4× 10 9 | x-(5× 10 9 ) |+2 × 10 9 f(x)=4× 10 9 | x-(5× 10 9 ) |+2 × 10 9

Extensiones

En los siguientes ejercicios, resuelva la inecuación.

57.

|-2 x- 2 3 (x+1)|+3>−1 |-2 x- 2 3 (x+1)|+3>−1

58.

Si es posible, halle todos los valores de a a tales que no haya x x para f(x)=2 | x+1 |+a. f(x)=2 | x+1 |+a.

59.

Si es posible, halle todos los valores de a a tales que no haya intersecciones en y intersecciones en y para f(x)=2 | x+1 |+a. f(x)=2 | x+1 |+a.

Aplicaciones en el mundo real

60.

Las ciudades A y B están en la misma línea este-oeste. Supongamos que la ciudad A está situada en el origen. Si la distancia entre la ciudad A y la ciudad B es de al menos 100 millas y x x representa la distancia de la ciudad B a la ciudad A, expréselo con la notación de valor absoluto.

61.

La verdadera proporción p p de personas que dan una calificación favorable al Congreso es del 8 % con un margen de error del 1,5 %. Describa esta afirmación mediante una ecuación de valor absoluto.

62.

Los alumnos que obtengan una puntuación inferior a 18 puntos del número 82 aprobarán un examen en particular. Escriba esta afirmación con la notación de valor absoluto y utilice la variable x x para la puntuación.

63.

Un maquinista debe producir un rodamiento que esté dentro de 0,01 pulgadas del diámetro correcto de 5,0 pulgadas. Utilizando x x como el diámetro del rodamiento, escriba esta afirmación con la notación de valor absoluto.

64.

La tolerancia de un rodamiento de bolas es de 0,01. Si el diámetro real del rodamiento debe ser de 2,0 pulgadas y el valor medido del diámetro es x x pulgadas, exprese la tolerancia con la notación de valor absoluto.

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