Jay Abramson

Conceptos clave

3.1 Números complejos

La raíz cuadrada de cualquier número negativo se puede escribir como múltiplo de $i .$ Vea el Ejemplo 1.
Para representar un número complejo, utilizamos dos líneas numéricas, cruzadas para formar el plano complejo. El eje horizontal es el eje real y el eje vertical es el eje imaginario. Vea el Ejemplo 2.
Los números complejos se pueden sumar y restar al combinar las partes reales y las partes imaginarias. Vea el Ejemplo 3.
Los números complejos se pueden multiplicar y dividir.
Para multiplicar números complejos, distribuya igual que con los polinomios. Vea el Ejemplo 4, el Ejemplo 5 y el Ejemplo 8.
Para dividir números complejos, multiplique tanto el numerador como el denominador por el conjugado complejo del denominador para eliminar el número complejo del denominador. Vea el Ejemplo 6, el Ejemplo 7 y el Ejemplo 9.
Las potencias de $i$ son cíclicas, pues se repiten cada cuatro. Vea el Ejemplo 10.

3.2 Funciones cuadráticas

La función polinómica de grado dos se denomina función cuadrática.
El gráfico de una función cuadrática es una parábola. La parábola es una curva en forma de U que se abre hacia arriba o hacia abajo.
El eje de simetría es la línea vertical que pasa por el vértice. Los ceros, o intersecciones en $x$ , son los puntos en los que la parábola cruza el eje $x$ . La intersección en $y$ es el punto en el que la parábola cruza el eje $y$ . Vea el Ejemplo 1, el Ejemplo 7 y el Ejemplo 8.
Las funciones cuadráticas suelen escribirse en forma general. La forma estándar o de vértice sirve para identificar fácilmente el vértice de una parábola. Cualquiera de las dos formas puede escribirse a partir de un gráfico. Vea el Ejemplo 2.
El vértice se halla a partir de una ecuación que representa una función cuadrática. Vea el Ejemplo 3.
El dominio de la función cuadrática son todos los números reales. La gama varía según la función. Vea el Ejemplo 4.
El valor mínimo o máximo de la función cuadrática viene dado por el valor de $y$ del vértice.
El valor mínimo o máximo de la función cuadrática se utiliza para determinar el rango de la función y para resolver muchos tipos de problemas del mundo real, incluso de área e ingresos. Vea el Ejemplo 5 y el Ejemplo 6.
Algunas ecuaciones cuadráticas deberán resolverse con la fórmula cuadrática. Vea el Ejemplo 9.
El vértice y las intersecciones pueden identificarse e interpretarse para resolver problemas del mundo real. Vea el Ejemplo 10.

3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas

La función potencia es una base variable elevada a una potencia numérica. Vea el Ejemplo 1.
El comportamiento de un gráfico cuando la entrada disminuye más allá del límite y aumenta más allá del límite se denomina comportamiento final.
El comportamiento final depende de que la potencia sea par o impar. Vea el Ejemplo 2 y el Ejemplo 3.
La función polinómica es la suma de términos, cada uno de los cuales consiste en una función potencia transformada con número entero positivo. Vea el Ejemplo 4.
El grado de una función polinómica es la potencia más elevada de la variable que aparece en un polinomio. El término que contiene la potencia más elevada de la variable se denomina término principal. El coeficiente del término principal se denomina coeficiente principal. Vea el Ejemplo 5.
El comportamiento final de una función polinómica es el mismo que el de la función potencia representada por el término principal de la función. Vea el Ejemplo 6 y el Ejemplo 7.
Un polinomio de grado $n$ tendrá como máximo $n$ intersecciones en x y a lo sumo $n - 1$ puntos de inflexión. Vea el Ejemplo 8, el Ejemplo 9, el Ejemplo 10, el Ejemplo 11 y el Ejemplo 12.

3.4 Gráfico de funciones polinómicas

Las funciones polinómicas de grado 2 o más son fluidas y continuas. Vea el Ejemplo 1.
Para hallar los ceros de una función polinómica, si se puede, factorice la función y lleve a cero cada factor. Vea el Ejemplo 2, el Ejemplo 3 y el Ejemplo 4.
Otra forma de hallar las intersecciones en $x$ de una función polinómica es graficar la función e identificar los puntos en los que el gráfico cruza el eje $x$ . Vea el Ejemplo 5.
La multiplicidad de un cero determina cómo se comporta el gráfico en las intersecciones en $x$ . Vea el Ejemplo 6.
El gráfico de un polinomio cruza el eje horizontal en un cero con multiplicidad impar.
El gráfico de un polinomio toca el eje horizontal en un cero con multiplicidad par.
El comportamiento final de la función polinómica depende del término principal.
El gráfico de una función polinómica cambia de dirección en sus puntos de inflexión.
Una función polinómica de grado $n$ tiene como máximo $n - 1$ puntos de inflexión. Vea el Ejemplo 7.
Para graficar funciones polinómicas, halle los ceros y sus multiplicidades, determine el comportamiento final y verifique que el gráfico final tenga como máximo $n - 1$ puntos de inflexión. Vea el Ejemplo 8 y el Ejemplo 10.
Graficar una función polinómica ayuda a estimar los extremos locales y globales. Vea el Ejemplo 11.
El teorema del valor intermedio nos indica que, si $f (a) y f (b)$ tienen signos opuestos, entonces existe al menos un valor $c$ entre $a$ y $b$ para los cuales $f (c) = 0 .$ Vea el Ejemplo 9.

3.5 Dividir polinomios

La división larga de polinomios se utiliza para dividir un polinomio entre cualquier polinomio de grado igual o inferior. Vea el Ejemplo 1 y el Ejemplo 2.
El algoritmo de la división nos señala que un dividendo polinómico se puede escribir como el producto del divisor y el cociente sumado al restante.
La división sintética es un atajo que se utiliza para dividir un polinomio entre un binomio en la forma $x - k .$ Vea el Ejemplo 3, el Ejemplo 4 y el Ejemplo 5.
La división polinómica se utiliza para resolver problemas de aplicación, como el área y el volumen. Vea el Ejemplo 6.

3.6 Ceros de funciones polinómicas

Para hallar $f (k),$ determine el restante del polinomio $f (x)$ cuando se divide entre $x - k .$ Vea el Ejemplo 1.
$k$ es un cero de $f (x)$ si y solo si $(x - k)$ es un factor de $f (x) .$ Vea el Ejemplo 2.
Cada cero racional de una función polinómica con coeficientes enteros será igual a un factor del término constante dividido entre un factor del coeficiente principal. Vea el Ejemplo 3 y el Ejemplo 4.
Cuando el coeficiente principal es 1, los posibles ceros racionales son los factores del término constante.
La división sintética puede utilizarse para hallar los ceros de una función polinómica. Vea el Ejemplo 5.
Según el teorema fundamental, toda función polinómica tiene al menos un cero complejo. Vea el Ejemplo 6.
Toda función polinómica de grado superior a 0 tiene al menos un cero complejo.
Teniendo en cuenta las multiplicidades, una función polinómica tendrá el mismo número de factores que su grado. Cada factor tendrá la forma $(x - c),$ donde $c$ es un número complejo. Vea el Ejemplo 7.
El número de ceros reales positivos de una función polinómica es o bien el número de cambios de signo de la función o bien menor que el número de cambios de signo en un número entero par.
El número de ceros reales negativos de una función polinómica es el número de cambios de signo de $f (- x)$ o menos que el número de cambios de signo por un número entero par. Vea el Ejemplo 8.
Las ecuaciones polinómicas modelan muchas situaciones en el mundo real. La resolución de las ecuaciones es más fácil de realizar mediante la división sintética. Vea el Ejemplo 9.

3.7 Funciones racionales

Podemos utilizar la notación de flecha para describir el comportamiento local y el comportamiento final de las funciones de la caja de herramientas $f (x) = \frac{1}{x}$ y $f (x) = \frac{1}{x^{2}} .$ Vea el Ejemplo 1.
Una función que se nivela en un valor horizontal tiene una asíntota horizontal. Una función puede tener más de una asíntota vertical. Vea el Ejemplo 2.
Los problemas de aplicación que implican tasas y concentraciones a menudo implican funciones racionales. Vea el Ejemplo 3.
El dominio de una función racional incluye todos los números reales excepto aquellos que hacen que igualan el denominador a cero. Vea el Ejemplo 4.
Las asíntotas verticales de una función racional se darán cuando el denominador de la función sea igual a cero y el numerador sea distinto a cero. Vea el Ejemplo 5.
Puede producirse una discontinuidad removible en el gráfico de una función racional si una entrada hace que tanto el numerador como el denominador sean cero. Vea el Ejemplo 6.
El comportamiento final de una función racional reflejará el de la relación de los términos principales de las funciones del numerador y del denominador. Vea el Ejemplo 7, el Ejemplo 8, el Ejemplo 9 y el Ejemplo 10.
Grafique funciones racionales al hallar las intersecciones, el comportamiento en las intersecciones y las asíntotas, así como el comportamiento final. Vea el Ejemplo 11.
Si una función racional tiene intersecciones en x en $x = x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n},$ asíntotas verticales en $x = v_{1}, v_{2}, \dots, v_{m},$ y ninguna $x_{i} = cualquier v_{j},$ entonces la función se puede escribir de la forma
$\begin{array}{l} \begin{array}{l} f (x) = a \frac{{(x - x_{1})}^{p_{1}} {(x - x_{2})}^{p_{2}} \dots {(x - x_{n})}^{p_{n}}}{{(x - v_{1})}^{q_{1}} {(x - v_{2})}^{q_{2}} \dots {(x - v_{m})}^{q_{n}}} \end{array} \end{array}$
Vea el Ejemplo 12.

3.8 Inversas y funciones radicales

La inversa de una función cuadrática es una función de raíz cuadrada.
Si los valores de $f^{- 1}$ es la inversa de una función $f,$ entonces $f$ es la inversa de la función $f^{- 1} .$ Vea el Ejemplo 1.
Aunque no es posible hallar la inversa de la mayoría de las funciones polinómicas, algunos polinomios básicos son invertibles. Vea el Ejemplo 2.
Para hallar la inversa de determinada función, debemos restringirla a un dominio en el que sea biunívoca. Vea el Ejemplo 3 y el Ejemplo 4.
Cuando hallamos la inversa de una función radical, necesitamos una restricción en el dominio de la respuesta. Vea el Ejemplo 5 y el Ejemplo 7.
Las funciones inversas y radicales se utilizan para resolver problemas de aplicación. Vea el Ejemplo 6 y el Ejemplo 8.

3.9 Modelado mediante la variación

La relación en la que una cantidad es una constante multiplicada por otra cantidad se denomina variación directa. Vea el Ejemplo 1.
Dos variables que son directamente proporcionales entre sí tendrán una relación constante.
La relación en la que una cantidad es una constante dividida entre otra cantidad se denomina variación inversa. Vea el Ejemplo 2.
Dos variables que son inversamente proporcionales entre sí tendrán un múltiplo constante. Vea el Ejemplo 3.
En muchos problemas, la variable varía directa o inversamente con múltiples variables. Este tipo de relación recibe el nombre de variación conjunta. Vea el Ejemplo 4.