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Precálculo 2ed

2.3 Modelado con funciones lineales

Precálculo 2ed2.3 Modelado con funciones lineales

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Identificar los pasos para modelar y resolver.
  • Construir modelos lineales a partir de descripciones verbales.
  • Construir sistemas de modelos lineales.
Figura 1 (Créditos: EEK Photography/Flickr)

Elan es una estudiante universitaria que planea pasar el verano en Seattle. Ahorró 3.500 dólares para su viaje y prevé gastar 400 dólares cada semana en alquiler, comida y actividades. ¿Cómo podemos escribir un modelo lineal que represente la situación? ¿Cuál sería la intersección en x y qué puede aprender Elan de ella? Para responder estas y otras interrogantes por el estilo, podemos crear un modelo por medio de una función lineal. Los modelos como este pueden ser extremadamente útiles para analizar las relaciones y hacer predicciones basadas en estas. En esta sección, exploraremos ejemplos de modelos de función lineal.

Identificar los pasos para modelar y resolver problemas

Cuando se modelan escenarios con funciones lineales y se resuelven problemas que implican cantidades con una tasa de cambio constante, solemos seguir las mismas estrategias de problemas que utilizaríamos para cualquier tipo de función. Repasémoslos brevemente:

  1. Identifique las cantidades cambiantes y, a continuación, defina las variables descriptivas que representen esas cantidades. Cuando sea pertinente, haga un dibujo o defina un sistema de coordenadas.
  2. Lea atentamente el problema para identificar la información importante. Busque información que proporcione valores para las variables o valores para partes del modelo funcional, como la pendiente y el valor inicial.
  3. Lea detenidamente el problema para determinar qué es lo que queremos encontrar, identificar, resolver o interpretar.
  4. A partir de la información suministrada, identifique una vía de solución a lo que tratamos de hallar. A menudo, esto implicará la comprobación y el seguimiento de las unidades, la construcción de una tabla o incluso la búsqueda de una fórmula para la función que se utiliza para modelar el problema.
  5. Cuando sea necesario, escriba una fórmula para la función.
  6. Resuelva o evalúe la función con la fórmula.
  7. Reflexione si su respuesta es razonable para la situación dada y si tiene sentido matemático.
  8. Exprese claramente su resultado con las unidades adecuadas, y responda con frases completas cuando sea necesario.

Construir modelos lineales

Ahora echemos un vistazo a la estudiante en Seattle. En la situación de Elan hay dos cantidades cambiantes: el tiempo y el dinero. La cantidad de dinero que le queda mientras está de vacaciones depende del tiempo que se quede. Podemos utilizar esta información para definir nuestras variables, incluidas las unidades.

  • Salida: M, M, dinero restante, en dólares
  • Entrada: t, t, tiempo, en semanas

Por lo tanto, la cantidad de dinero restante depende del número de semanas: M(t) M(t)

También podemos identificar el valor inicial y la tasa de cambio.

  • Valor inicial: ahorró 3.500 dólares, por lo que 3.500 dólares es el valor inicial de M. M.
  • Tasa de cambio: prevé gastar 400 dólares cada semana, por lo que –400 dólares semanales es la tasa de cambio, o la pendiente.

Observe que la unidad de dólares por semana coincide con la unidad de nuestra variable de salida dividida entre nuestra variable de entrada. Además, dado que la pendiente es negativa, la función lineal es decreciente. Esto debería tener sentido porque gasta dinero cada semana.

La tasa de cambio es constante, por lo que podemos empezar con el modelo lineal M( t )=mt+b. M( t )=mt+b. Entonces podemos sustituir la intersección y la pendiente que se han proporcionado.

Para calcular la intersección en x x llevamos la salida a cero y resolvemos para la entrada.

0=-400t+3.500 t= 3.500 400 =8,75 0=-400t+3.500 t= 3.500 400 =8,75

Las intersecciones en x x es de 8,75 semanas. Ya que esto representa el valor de entrada cuando la salida sea cero, podríamos decir que a Elan no le quedará dinero después de 8,75 semanas.

Al modelar cualquier situación de la vida real con funciones, suele haber un dominio limitado en el que ese modelo será válido: casi ninguna tendencia continúa indefinidamente. Aquí el dominio se refiere al número de semanas. En este caso, no tiene sentido hablar de valores de entrada inferiores a cero. Un valor negativo de entrada podría referirse a un número de semanas antes de que Elan ahorrara 3.500 dólares, pero el escenario analizado plantea la pregunta una vez que ahorró 3.500 dólares porque es cuando comienza su viaje y su gasto posterior. También es probable que este modelo no sea válido después de la intersección en x x , a no ser que Elan utilice una tarjeta de crédito y se endeude. El dominio representa el conjunto de valores de entrada, por lo que el dominio razonable para esta función es: 0t8,75. 0t8,75.

En el ejemplo anterior, se nos dio una descripción escrita de la situación. Hemos seguido los pasos para el modelado de un problema con el fin de analizar la información. Sin embargo, no siempre se suministra la misma información. A veces se nos proporciona una intersección. Otras veces se nos da un valor de salida. Debemos tener cuidado de analizar la información que se nos suministra y utilizarla adecuadamente para construir un modelo lineal.

Utilizar una intersección dada para construir un modelo

Algunos problemas del mundo real proporcionan la intersección en y y , que es la constante o valor inicial. Una vez que se conoce la intersección en y y , la intersección en x x puede calcularse. Supongamos, por ejemplo, que Hannah planea pagar un préstamo sin intereses que contrajo de sus padres. El saldo de su préstamo es de 1.000 dólares. Tiene previsto pagar 250 dólares al mes hasta que su saldo sea de 0. La intersección en y y es el importe inicial de su deuda, es decir, 1.000 dólares. La tasa de cambio, o pendiente, es de -250 dólares al mes. Podemos entonces utilizar la forma pendiente-intersección y la información dada para elaborar un modelo lineal.

f(x)=mx+b =250x+1.000 f(x)=mx+b =250x+1.000

Ahora podemos establecer la función igual a 0, y resolver para x x para hallar la intersección en x x .

0=250x+1.000 1.000=250x 4=x x=4 0=250x+1.000 1.000=250x 4=x x=4

Las intersecciones en x x es el número de meses que tarde en llevar el saldo a 0 dólares. La intersección en x x es 4 meses, por lo que Hannah tardará cuatro meses para pagar su préstamo.

Utilizar una entrada y una salida dadas para construir un modelo

Muchas aplicaciones en el mundo real no son tan directas como las que acabamos de considerar. En cambio, nos exigen que identifiquemos algún aspecto de una función lineal. A veces se nos pide que evaluemos el modelo lineal con una entrada determinada o que establezcamos la ecuación del modelo lineal igual a una salida especificada.

Cómo

Dado un problema verbal que incluya dos pares de valores de entrada y salida, utilizar la función lineal para resolver un problema.

  1. Identifique los valores de entrada y salida.
  2. Convierta los datos en dos pares de coordenadas.
  3. Calcule la pendiente.
  4. Escriba el modelo lineal.
  5. Utilice el modelo para hacer una predicción al evaluar la función en un determinado valor de x x .
  6. Utilice el modelo para identificar un valor de x x que resulte en un determinado valor de y y .
  7. Responda la pregunta planteada.

Ejemplo 1

Usar un modelo lineal para investigar la población de una ciudad

La población de una ciudad ha crecido linealmente. En 2004 la población era de 6.200 habitantes. En 2009 la población había crecido hasta los 8.100 habitantes. Supongamos que esta tendencia se mantiene.

  1. Prediga la población en 2013.
  2. Identifique el año en el que la población alcanzará los 15.000 habitantes.

Inténtelo #1

Una empresa vende rosquillas. Tienen un costo fijo de 25.000 dólares por concepto de alquiler, seguro y otros gastos. El costo de producción de cada rosquilla es de 0,25 dólares.

Escriba un modelo lineal para representar el costo C C de la empresa como función de x, x, es el número de rosquillas que se producen.
Halle e interprete la intersección en y.

Inténtelo #2

La población de una ciudad ha crecido linealmente. En 2008, la población era de 28.200 habitantes. En 2012, la población era de 36.800 habitantes. Supongamos que esta tendencia se mantiene.

  1. Prediga la población en 2014.
  2. Identifique el año en que la población alcanzará los 54.000 habitantes.

Utilizar un diagrama para modelar un problema

En muchas aplicaciones del mundo real es útil hacer un dibujo para tener una idea de cómo las variables que representan la entrada y la salida se utilizan para responder una pregunta. Para dibujar el cuadro, primero hay que considerar lo que pide el problema. A continuación, determine la entrada y la salida. El diagrama debería relacionar las variables. Con frecuencia se dibujan formas o figuras geométricas. A menudo, las distancias se trazan. Si se dibuja un triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras relaciona los lados. Si se dibuja un rectángulo, es útil etiquetar la anchura y la altura.

Ejemplo 2

Usar un diagrama para modelar la distancia recorrida

Anna y Emanuel comienzan en la misma intersección. Anna camina hacia el este, a 4 millas por hora, mientras que Emanuel camina hacia el sur, a 3 millas por hora. Se comunican con una radio bidireccional que tiene un alcance de 2 millas. ¿Cuánto tiempo después de que empiecen a caminar dejarán de estar en contacto a través de la radio?

Preguntas y respuestas

¿Debería dibujar diagramas cuando me dan información con base en una forma geométrica?

Sí. Haga un croquis de la cifra y marque las cantidades y las incógnitas en este.

Ejemplo 3

Usar un diagrama para modelar la distancia entre ciudades

Hay una carretera recta que va desde la ciudad de Westborough hasta Agritown, a 30 millas al este y 10 millas al norte. A mitad de camino, esta carretera se une a otra, perpendicular a la primera, que conduce a la ciudad de Eastborough. Si la ciudad de Eastborough está situada a 20 millas directamente al este de la ciudad de Westborough, ¿a qué distancia está el cruce de carreteras de Westborough?

Análisis

Un buen uso de los modelos lineales es aprovechar el hecho de que los gráficos de estas funciones son líneas. Esto significa que las aplicaciones en el mundo real que hablan de mapas necesitan funciones lineales para modelar las distancias entre los puntos de referencia.

Inténtelo #3

Hay una carretera recta que va de la ciudad de Timpson a Ashburn 60 millas al este y 12 millas al norte. A mitad de camino, la carretera se cruza con una segunda vía, perpendicular a la primera, que conduce a la ciudad de Garrison. Si la ciudad de Garrison está situada a 22 millas directamente al este de la ciudad de Timpson, ¿a qué distancia está el cruce de carreteras de Timpson?

Construir sistemas de modelos lineales

Las situaciones en el mundo real que incluyen dos o más funciones lineales pueden modelarse con un sistema de ecuaciones lineales. Recuerde que, al resolver un sistema de ecuaciones lineales, buscamos los puntos que tienen en común las dos líneas. Normalmente, hay tres tipos de respuestas posibles, como se indica en la Figura 5.

Figura 5

Cómo

Dada una situación que representa un sistema de ecuaciones lineales, escribir el sistema de ecuaciones e identificar la solución.

  1. Identifique la entrada y la salida de cada modelo lineal.
  2. Identifique la pendiente y la intersección en y de cada modelo lineal.
  3. Halle la solución al igualar las dos funciones lineales y resolver para x, x, o halle el punto de intersección en un gráfico.

Ejemplo 4

Construir un sistema de modelos lineales para elegir una empresa de alquiler de camiones

Jamal está eligiendo entre dos empresas de alquiler de camiones. La primera, Keep on Trucking, Inc., cobra una cuota inicial de 20 dólares y luego 59 céntimos por milla. La segunda, Move It Your Way, cobra una cuota inicial de 16 dólares y luego 63 céntimos por milla.3. ¿Cuándo será Keep on Trucking, Inc. la mejor opción para Jamal?

Media

Acceda a este recurso en línea para obtener más información y practicar con los modelos de funciones lineales.

2.3 Ejercicios de sección

Verbales

1.

Explique cómo encontrar la variable de entrada en un problema matemático que utiliza una función lineal.

2.

Explique cómo hallar la variable de salida en un problema matemático que utiliza una función lineal.

3.

Explique cómo interpretar el valor inicial en un problema matemático que utiliza una función lineal.

4.

Explique cómo determinar la pendiente en un problema matemático que utiliza una función lineal.

Algebraicos

5.

Halle el área de un paralelogramo delimitado por el eje y, la línea x=3, x=3, la línea f(x)=1+2 x, f(x)=1+2 x, y la línea paralela a f(x) f(x) pasando por ( 2 , 7 ). ( 2 , 7 ).

6.

Halle el área de un triángulo delimitado por el eje x, la línea f(x)=12 1 3 x, f(x)=12 1 3 x, y la línea perpendicular a f(x) f(x) que pasa por el origen.

7.

Halle el área de un triángulo delimitado por el eje y, la línea f(x)=9 6 7 x, f(x)=9 6 7 x, y la línea perpendicular a f(x) f(x) que pasa por el origen.

8.

Halle el área de un paralelogramo delimitado por el eje x, la línea g(x)=2 , g(x)=2 , la línea f(x)=3x, f(x)=3x, y la línea paralela a f(x) f(x) pasando por (6,1). (6,1).

En los siguientes ejercicios, considere este escenario: La población de una ciudad ha disminuido a un ritmo constante. En 2010 la población era de 5.900 habitantes. Para 2012, la población había descendido a 4.700. Supongamos que esta tendencia se mantiene.

9.

Prediga la población en 2016.

10.

Identifique el año en el que la población llegará a 0.

En los siguientes ejercicios, considere este escenario: La población de una ciudad ha aumentado a un ritmo constante. En 2010 la población era de 46.020 habitantes. En 2012 la población se había incrementado a 52.070 habitantes. Supongamos que esta tendencia se mantiene.

11.

Prediga la población en 2016.

12.

Identifique el año en que la población alcanzará los 75.000 habitantes.

En los siguientes ejercicios, considere este escenario: Una ciudad tiene una población inicial de 75.000 habitantes. Crece a un ritmo constante de 2.500 al año durante 5 años.

13.

Halle la función lineal que modela la población de la ciudad P P en función del año, t, t, donde t t es el número de años transcurridos desde el inicio del modelo.

14.

Halle un dominio y un rango razonables para la función P. P.

15.

Si se grafica la función P P , halle e interprete las intersecciones en x y en y.

16.

Si la función P P , halle e interprete la pendiente de la función.

17.

¿Cuándo se llegará a los 100.000?

18.

¿Cuál es la salida en el año 12 desde el inicio del modelo?

En los siguientes ejercicios, considere este escenario: Un bebé pesa 7,5 libras al nacer. Aumenta media libra al mes durante su primer año.

19.

Halle la función lineal que modele el peso del bebé W W en función de su edad, en meses, t. t.

20.

Halle un dominio y un rango razonables para la función WW.

21.

Si se grafica la función W W, halle e interprete las intersecciones en x y en y.

22.

Si se representa gráficamente la función W, halle e interpreta la pendiente de la función.

23.

¿Cuándo pesó el bebé 10,4 libras?

24.

¿Cuál es la salida cuando la entrada es 6,2? Interprete su respuesta.

En los siguientes ejercicios, considere este escenario: El número de personas afectadas por el resfriado común en los meses de invierno se redujo en 205 cada año desde 2005 hasta 2010. En 2005, 12.025 personas se vieron afectadas.

25.

Halle la función lineal que modela el número de personas afectadas por el resfriado común C C en función del año, t. t.

26.

Halle un dominio y un rango razonables para la función C. C.

27.

Si se grafica la función C C , halle e interprete las intersecciones en x y en y.

28.

Si se grafica la función C C , halle e interprete la pendiente de la función.

29.

¿Cuándo llegará la salida a 0?

30.

¿En qué año el número de personas será de 9.700?

Gráficos

En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la Figura 7, que muestra el beneficio, y, y, en miles de dólares, de una empresa en un año determinado, t, t, donde t t representa el número de años desde 1980.

Gráfico de una línea desde (15, 150) hasta (25, 130).
Figura 7
31.

Calcule la función lineal y, y, donde y y depende de t, t, el número de años desde 1980.

32.

Halle e interprete la intersección en y.

33.

Halle e interprete la intersección en x.

34.

Halle e interprete la pendiente.

En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la Figura 8, que muestra el beneficio, y, y, en miles de dólares, de una empresa en un año determinado, t, t, donde t t representa el número de años desde 1980.

Gráfico de una línea desde (15, 150) hasta (25, 450).
Figura 8
35.

Calcule la función lineal y, y, donde y y depende de t, t, el número de años desde 1980.

36.

Halle e interprete la intersección en y.

37.

Halle e interprete la intersección en x.

38.

Halle e interprete la pendiente.

Numéricos

En los siguientes ejercicios, utilice la mediana del valor de la vivienda en Misisipi y Hawái (ajustado a la inflación) que aparece en la Tabla 2. Supongamos que el valor de la vivienda cambia linealmente.

Año Misisipi Hawái
1950 $25.200 $74.400
2000 $71.400 $272.700
Tabla 2
39.

¿En qué estado ha aumentado más el valor de la vivienda?

40.

Si estas tendencias se mantienen, ¿cuál sería la mediana del valor de la vivienda en Misisipi en 2010?

41.

Si suponemos que la tendencia lineal existía antes de 1950 y continúa después de 2000, ¿en cuántos años la mediana del valor de las viviendas en los dos estados será (o era) igual? (La respuesta puede ser absurda).

En los siguientes ejercicios, utilice la mediana del valor de las vivienda en Indiana y Alabama (ajustado a la inflación) que aparece en la Tabla 3. Supongamos que el valor de la vivienda cambia linealmente.

Año Indiana Alabama
1950 $37.700 $27.100
2000 $94.300 $85.100
Tabla 3
42.

¿En qué estado ha aumentado más el valor de la vivienda?

43.

Si estas tendencias se mantienen, ¿cuál sería la mediana del valor de la vivienda en Indiana en 2010?

44.

Si suponemos que la tendencia lineal existía antes de 1950 y continúa después de 2000, ¿en cuántos años la mediana del valor de la vivienda en los dos estados será (o era) igual? (La respuesta puede ser absurda).

Aplicaciones en el mundo real

45.

En 2004, la población escolar era de 1.001 estudiantes. En 2008 la población había crecido hasta los 1.697 estudiantes. Supongamos que la población cambia linealmente.

  1. ¿Cuánto creció la población entre el año 2004 y el año 2008?
  2. ¿Cuánto tiempo tardó la población en pasar de 1.001 a 1.697 estudiantes?
  3. ¿Cuál es el crecimiento promedio de la población por año?
  4. ¿Cuál era la población en el año 2000?
  5. Halle una ecuación para la población, P, P, de la escuela t años después del año 2000.
  6. Utilizando su ecuación, prediga la población escolar en 2011.
46.

En 2003, la población de una ciudad era de 1.431 habitantes. En 2007 la población había crecido hasta los 2.134 habitantes. Supongamos que la población cambia linealmente.

  1. ¿Cuánto creció la población entre el año 2003 y el año 2007?
  2. ¿Cuánto tiempo tardó la población en pasar de 1.431 a 2.134 habitantes?
  3. ¿Cuál es el crecimiento promedio de la población por año?
  4. ¿Cuál era la población en el año 2000?
  5. Halle una ecuación para la población, PP de la ciudad tt años después del año 2000.
  6. Utilizando su ecuación, prediga la población de la ciudad en 2014.
47.

Una compañía telefónica tiene un plan mensual de telefonía móvil en el que el cliente paga una cuota mensual fija y luego una determinada cantidad de dinero por minuto utilizado para las llamadas de voz y video. Si un cliente utiliza 410 minutos, el costo mensual será de 71,50 dólares. Si el cliente utiliza 720 minutos, el costo mensual será de 118 dólares.

  1. Halle una ecuación lineal para el costo mensual del plan de telefonía móvil en función de x, el número de minutos mensuales utilizados.
  2. Interprete la pendiente y la intersección en y de la ecuación.
  3. Utilice su ecuación para calcular el costo mensual total si se utilizan 687 minutos.
48.

Una compañía telefónica tiene un plan mensual de datos para teléfonos móviles en el que el cliente paga una cuota mensual fija de 10 dólares y luego una determinada cantidad de dinero por megabyte (MB) de datos utilizados en el teléfono. Si el cliente utiliza 20 MB, el costo mensual será de 11,20 dólares. Si el cliente utiliza 130 MB, el costo mensual será de 17,80 dólares.

  1. Halle una ecuación lineal para el costo mensual del plan de datos en función de xx, el número de MB utilizados.
  2. Interprete la pendiente y la intersección en y de la ecuación.
  3. Utilice su ecuación para calcular el costo mensual total si se utilizan 250 MB.
49.

En 1991, la población de alces en un parque se midió en 4.360 ejemplares. En 1999, la población se elevó a 5.880 ejemplares. Supongamos que la población sigue cambiando linealmente.

  1. Halle una fórmula para la población de alces, P desde 1990.
  2. ¿Cuál es la previsión de su modelo con respecto a la población de alces en 2003?
50.

En 2003, la población de búhos en un parque se midió en 340. En 2007, la población se volvió a medir y eran 285 búhos. La población cambia linealmente. Supongamos que la entrada sean los años desde 1990.

  1. Halle una fórmula para la población de búhos, P.P. Supongamos que la entrada sean los años desde 2003.
  2. ¿Cuál es la población de búhos que su modelo predice para 2012?
51.

La Reserva Federal de Helio tenía unos 16.000 millones de pies cúbicos de helio en 2010 y se está agotando en unos 2.100 millones de pies cúbicos cada año.

  1. Dé una ecuación lineal para el resto de las reservas federales de helio, R,R, en términos de t,t, el número de años desde 2010.
  2. En 2015, ¿cuáles serán las reservas de helio?
  3. Si el ritmo de agotamiento no cambia, ¿en qué año se agotará la Reserva Federal de Helio?
52.

Supongamos que las reservas mundiales de petróleo en 2014 son de 1,8 mil millones de barriles. Si, en promedio, las reservas totales disminuyen en 25.000 millones de barriles de petróleo cada año:

  1. Dé una ecuación lineal para el resto de las reservas de petróleo, R,R, en términos de t,t, el número de años desde ahora.
  2. Dentro de siete años, ¿cuáles serán las reservas de petróleo?
  3. Si el ritmo de disminución de las reservas es constante, ¿cuándo se agotarán las reservas mundiales de petróleo?
53.

Está eligiendo entre dos planes diferentes de telefonía móvil de prepago. El primero cobra una tarifa de 26 céntimos por minuto. El segundo cobra una cuota mensual de 19,95 dólares más 11 céntimos por minuto. ¿Cuántos minutos tendría que utilizar en un mes para que el segundo plan sea preferible?

54.

Está eligiendo entre dos empresas diferentes de lavado de ventanas. La primera cobra 5 dólares por cada ventana. La segunda cobra una tarifa base de 40 dólares más 3 dólares por cada ventana. ¿Cuántas ventanas necesitaría tener para que la segunda empresa sea preferible?

55.

Al momento de contratarlo en un nuevo empleo de venta de joyas, le dan dos opciones de pago:

  • Opción A: Salario base de 17.000 dólares al año con una comisión del 12 %12 % de las ventas que realice.
  • Opción B: Salario base de 20.000 dólares al año con una comisión del 5 %5 % de las ventas que realice.

¿Cuántas joyas tendría que vender para que la opción A devengue mayores ingresos?

56.

Al momento de contratarlo en un nuevo empleo de venta de productos electrónicos, le dan dos opciones de pago:

  • Opción A: Salario base de 14.000 dólares al año con una comisión del 10 %10 % de las ventas que realice.
  • Opción B: Salario base de 19.000 dólares al año con una comisión del 4 %4 % de las ventas que realice.

¿Cuántos aparatos electrónicos tendría que vender para que la opción A produjera mayores ingresos?

57.

Al momento de contratarlo en un nuevo empleo de venta de productos electrónicos, le dan dos opciones de pago:

  • Opción A: Salario base de 20.000 dólares al año con una comisión del 12 %12 % de las ventas que realice.
  • Opción B: Salario base de 26.000 dólares al año con una comisión del 3 %3 % de las ventas que realice.

¿Cuántos aparatos electrónicos tendría que vender para que la opción A produjera mayores ingresos?

58.

Al momento de contratarlo en un nuevo empleo de venta de productos electrónicos, le dan dos opciones de pago:

  • Opción A: Salario base de 10.000 dólares al año con una comisión del 9 %9 % de las ventas que realice.
  • Opción B: Salario base de 20.000 dólares al año con una comisión del 4 %4 % de las ventas que realice.

¿Cuántos aparatos electrónicos tendría que vender para que la opción A produjera mayores ingresos?

Notas a pie de página

  • 3Tarifas obtenidas el 2 de agosto de 2010 de http://www.budgettruck.com y http://www.uhaul.com/
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