Objetivos de aprendizaje
En esta sección, podrá:
- Identificar los pasos para modelar y resolver.
- Construir modelos lineales a partir de descripciones verbales.
- Construir sistemas de modelos lineales.
Elan es una estudiante universitaria que planea pasar el verano en Seattle. Ahorró 3.500 dólares para su viaje y prevé gastar 400 dólares cada semana en alquiler, comida y actividades. ¿Cómo podemos escribir un modelo lineal que represente la situación? ¿Cuál sería la intersección en x y qué puede aprender Elan de ella? Para responder estas y otras interrogantes por el estilo, podemos crear un modelo por medio de una función lineal. Los modelos como este pueden ser extremadamente útiles para analizar las relaciones y hacer predicciones basadas en estas. En esta sección, exploraremos ejemplos de modelos de función lineal.
Identificar los pasos para modelar y resolver problemas
Cuando se modelan escenarios con funciones lineales y se resuelven problemas que implican cantidades con una tasa de cambio constante, solemos seguir las mismas estrategias de problemas que utilizaríamos para cualquier tipo de función. Repasémoslos brevemente:
- Identifique las cantidades cambiantes y, a continuación, defina las variables descriptivas que representen esas cantidades. Cuando sea pertinente, haga un dibujo o defina un sistema de coordenadas.
- Lea atentamente el problema para identificar la información importante. Busque información que proporcione valores para las variables o valores para partes del modelo funcional, como la pendiente y el valor inicial.
- Lea detenidamente el problema para determinar qué es lo que queremos encontrar, identificar, resolver o interpretar.
- A partir de la información suministrada, identifique una vía de solución a lo que tratamos de hallar. A menudo, esto implicará la comprobación y el seguimiento de las unidades, la construcción de una tabla o incluso la búsqueda de una fórmula para la función que se utiliza para modelar el problema.
- Cuando sea necesario, escriba una fórmula para la función.
- Resuelva o evalúe la función con la fórmula.
- Reflexione si su respuesta es razonable para la situación dada y si tiene sentido matemático.
- Exprese claramente su resultado con las unidades adecuadas, y responda con frases completas cuando sea necesario.
Construir modelos lineales
Ahora echemos un vistazo a la estudiante en Seattle. En la situación de Elan hay dos cantidades cambiantes: el tiempo y el dinero. La cantidad de dinero que le queda mientras está de vacaciones depende del tiempo que se quede. Podemos utilizar esta información para definir nuestras variables, incluidas las unidades.
- Salida: dinero restante, en dólares
- Entrada: tiempo, en semanas
Por lo tanto, la cantidad de dinero restante depende del número de semanas:
También podemos identificar el valor inicial y la tasa de cambio.
- Valor inicial: ahorró 3.500 dólares, por lo que 3.500 dólares es el valor inicial de
- Tasa de cambio: prevé gastar 400 dólares cada semana, por lo que –400 dólares semanales es la tasa de cambio, o la pendiente.
Observe que la unidad de dólares por semana coincide con la unidad de nuestra variable de salida dividida entre nuestra variable de entrada. Además, dado que la pendiente es negativa, la función lineal es decreciente. Esto debería tener sentido porque gasta dinero cada semana.
La tasa de cambio es constante, por lo que podemos empezar con el modelo lineal Entonces podemos sustituir la intersección y la pendiente que se han proporcionado.
Para calcular la intersección en llevamos la salida a cero y resolvemos para la entrada.
Las intersecciones en es de 8,75 semanas. Ya que esto representa el valor de entrada cuando la salida sea cero, podríamos decir que a Elan no le quedará dinero después de 8,75 semanas.
Al modelar cualquier situación de la vida real con funciones, suele haber un dominio limitado en el que ese modelo será válido: casi ninguna tendencia continúa indefinidamente. Aquí el dominio se refiere al número de semanas. En este caso, no tiene sentido hablar de valores de entrada inferiores a cero. Un valor negativo de entrada podría referirse a un número de semanas antes de que Elan ahorrara 3.500 dólares, pero el escenario analizado plantea la pregunta una vez que ahorró 3.500 dólares porque es cuando comienza su viaje y su gasto posterior. También es probable que este modelo no sea válido después de la intersección en , a no ser que Elan utilice una tarjeta de crédito y se endeude. El dominio representa el conjunto de valores de entrada, por lo que el dominio razonable para esta función es:
En el ejemplo anterior, se nos dio una descripción escrita de la situación. Hemos seguido los pasos para el modelado de un problema con el fin de analizar la información. Sin embargo, no siempre se suministra la misma información. A veces se nos proporciona una intersección. Otras veces se nos da un valor de salida. Debemos tener cuidado de analizar la información que se nos suministra y utilizarla adecuadamente para construir un modelo lineal.
Utilizar una intersección dada para construir un modelo
Algunos problemas del mundo real proporcionan la intersección en , que es la constante o valor inicial. Una vez que se conoce la intersección en , la intersección en puede calcularse. Supongamos, por ejemplo, que Hannah planea pagar un préstamo sin intereses que contrajo de sus padres. El saldo de su préstamo es de 1.000 dólares. Tiene previsto pagar 250 dólares al mes hasta que su saldo sea de 0. La intersección en es el importe inicial de su deuda, es decir, 1.000 dólares. La tasa de cambio, o pendiente, es de -250 dólares al mes. Podemos entonces utilizar la forma pendiente-intersección y la información dada para elaborar un modelo lineal.
Ahora podemos establecer la función igual a 0, y resolver para para hallar la intersección en .
Las intersecciones en es el número de meses que tarde en llevar el saldo a 0 dólares. La intersección en es 4 meses, por lo que Hannah tardará cuatro meses para pagar su préstamo.
Utilizar una entrada y una salida dadas para construir un modelo
Muchas aplicaciones en el mundo real no son tan directas como las que acabamos de considerar. En cambio, nos exigen que identifiquemos algún aspecto de una función lineal. A veces se nos pide que evaluemos el modelo lineal con una entrada determinada o que establezcamos la ecuación del modelo lineal igual a una salida especificada.
Cómo
Dado un problema verbal que incluya dos pares de valores de entrada y salida, utilizar la función lineal para resolver un problema.
- Identifique los valores de entrada y salida.
- Convierta los datos en dos pares de coordenadas.
- Calcule la pendiente.
- Escriba el modelo lineal.
- Utilice el modelo para hacer una predicción al evaluar la función en un determinado valor de .
- Utilice el modelo para identificar un valor de que resulte en un determinado valor de .
- Responda la pregunta planteada.
Ejemplo 1
Usar un modelo lineal para investigar la población de una ciudad
La población de una ciudad ha crecido linealmente. En 2004 la población era de 6.200 habitantes. En 2009 la población había crecido hasta los 8.100 habitantes. Supongamos que esta tendencia se mantiene.
- Ⓐ Prediga la población en 2013.
- Ⓑ Identifique el año en el que la población alcanzará los 15.000 habitantes.
Solución
Las dos cantidades que cambian son el tamaño de la población y el tiempo. Aunque podríamos utilizar el valor real del año como cantidad de entrada, hacerlo así tiende a llevar a ecuaciones muy engorrosas, porque la intersección en correspondería al año 0, ¡hace más de 2.000 años!
Para que el cálculo sea más llevadero, definiremos nuestra entrada como el número de años desde 2004:
- Entrada: años desde 2004
- Salida: la población de la ciudad
Para predecir la población en 2013 necesitaríamos primero una ecuación para la población. Del mismo modo, para determinar cuándo la población alcanzaría los 15.000 habitantes, tendríamos que resolver la entrada que proporcionaría una salida de 15.000. Para escribir una ecuación, necesitamos el valor inicial y la tasa de cambio o la pendiente.
Para determinar la tasa de cambio, utilizaremos el cambio en la salida con respecto al cambio en la entrada.
El problema nos da dos pares de entrada-salida. Convirtiéndolos para que coincidan con nuestras variables definidas, el año 2004 correspondería a lo que da el punto Observe que mediante nuestra elección inteligente de la definición de la variable, nos hemos "dado" la intersección en y de la función. El año 2009 correspondería a lo que da el punto
Los dos pares de coordenadas son: y Recordemos que anteriormente en el capítulo nos topamos con ejemplos en los que se nos proporcionaban dos puntos. Podemos utilizar estos valores para calcular la pendiente.
Ya conocemos la intersección en y de la línea, por lo que podemos escribir inmediatamente la ecuación:
Para predecir la población en 2013, evaluamos nuestra función en
Si la tendencia se mantiene, nuestro modelo prevé una población de 9.620 habitantes en 2013.
Para saber cuándo la población alcanzará los 15.000 habitantes, podemos establecer y resolver para
Nuestro modelo predice que la población alcanzará los 15.000 habitantes en poco más de 23 años después de 2004, es decir, alrededor del año 2027.
Inténtelo #1
Una empresa vende rosquillas. Tienen un costo fijo de 25.000 dólares por concepto de alquiler, seguro y otros gastos. El costo de producción de cada rosquilla es de 0,25 dólares.
Ⓐ Escriba un modelo lineal para representar el costo de la empresa como función de es el número de rosquillas que se producen.
Ⓑ Halle e interprete la intersección en y.
Inténtelo #2
La población de una ciudad ha crecido linealmente. En 2008, la población era de 28.200 habitantes. En 2012, la población era de 36.800 habitantes. Supongamos que esta tendencia se mantiene.
- Ⓐ Prediga la población en 2014.
- Ⓑ Identifique el año en que la población alcanzará los 54.000 habitantes.
Utilizar un diagrama para modelar un problema
En muchas aplicaciones del mundo real es útil hacer un dibujo para tener una idea de cómo las variables que representan la entrada y la salida se utilizan para responder una pregunta. Para dibujar el cuadro, primero hay que considerar lo que pide el problema. A continuación, determine la entrada y la salida. El diagrama debería relacionar las variables. Con frecuencia se dibujan formas o figuras geométricas. A menudo, las distancias se trazan. Si se dibuja un triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras relaciona los lados. Si se dibuja un rectángulo, es útil etiquetar la anchura y la altura.
Ejemplo 2
Usar un diagrama para modelar la distancia recorrida
Anna y Emanuel comienzan en la misma intersección. Anna camina hacia el este, a 4 millas por hora, mientras que Emanuel camina hacia el sur, a 3 millas por hora. Se comunican con una radio bidireccional que tiene un alcance de 2 millas. ¿Cuánto tiempo después de que empiecen a caminar dejarán de estar en contacto a través de la radio?
Solución
En esencia, podemos responder parcialmente a esta pregunta al afirmar que dejarán de tener contacto por radio cuando estén a 2 millas de distancia, lo que nos lleva a plantear una nueva pregunta:
"¿Cuánto tiempo les llevará estar a 2 millas de distancia?”.
En este problema, nuestras cantidades cambiantes son el tiempo y la posición. Sin embargo, en última instancia, necesitamos saber cuánto tiempo tardarán en estar a 2 millas de distancia. Vemos que el tiempo será nuestra variable de entrada, así que definiremos nuestras variables de entrada y salida.
- Entrada: tiempo en horas.
- Salida: distancia en millas, y distancia en millas
Ya que no es obvio cómo definir nuestra variable de salida, empezaremos por hacer un dibujo como en la Figura 2.
Valor inicial: ambos comienzan en la misma intersección, así que cuando la distancia recorrida por cada persona también debería ser 0. Por lo tanto, el valor inicial de cada uno es 0.
Tasa de cambio: Anna camina 4 millas por hora y Emanuel camina 3 millas por hora, que son ambas tasas de cambio. La pendiente para es 4 y la pendiente para es 3.
Con esos valores podemos escribir fórmulas para la distancia que ha caminado cada persona.
Para este problema, las distancias desde el punto de partida son importantes. Para anotarlos, podemos definir un sistema de coordenadas al identificar el "punto de partida" en la intersección en la que ambos comenzaron. Entonces podemos utilizar la variable, que hemos introducido anteriormente, para representar la posición de Anna y definirla como una medida desde el punto de partida en dirección hacia el este. Asimismo, podemos utilizar la variable para representar la posición de Emanuel, medida desde el punto de partida en dirección hacia el sur. Tenga en cuenta que al definir el sistema de coordenadas, hemos especificado tanto el punto de partida de la medida como su dirección.
Podemos entonces definir una tercera variable, para que sea la medida de la distancia entre Anna y Emanuel. Mostrar las variables en el diagrama suele ser útil, como podemos apreciar en la Figura 3.
Recordemos que necesitamos saber el tiempo que tarda la distancia entre ellos, para que sea igual a 2 millas. Observe que, para cualquier entrada dada las salidas y representan las distancias.
La Figura 2 nos muestra que podemos utilizar el teorema de Pitágoras porque hemos dibujado un ángulo recto.
Con el teorema de Pitágoras obtenemos
En este escenario solo consideramos valores positivos de por lo que nuestra distancia siempre será positiva. Podemos simplificar esta respuesta a Esto significa que la distancia entre Anna y Emanuel es también una función lineal. Dado que es una función lineal, ahora podemos responder la pregunta de cuándo la distancia entre ellos será de 2 millas. Estableceremos la salida y resolvemos para
Saldrán del contacto por radio en 0,4 horas o 24 minutos.
Preguntas y respuestas
¿Debería dibujar diagramas cuando me dan información con base en una forma geométrica?
Sí. Haga un croquis de la cifra y marque las cantidades y las incógnitas en este.
Ejemplo 3
Usar un diagrama para modelar la distancia entre ciudades
Hay una carretera recta que va desde la ciudad de Westborough hasta Agritown, a 30 millas al este y 10 millas al norte. A mitad de camino, esta carretera se une a otra, perpendicular a la primera, que conduce a la ciudad de Eastborough. Si la ciudad de Eastborough está situada a 20 millas directamente al este de la ciudad de Westborough, ¿a qué distancia está el cruce de carreteras de Westborough?
Solución
En este caso valdría la pena hacer un dibujo de la situación. Vea la Figura 4. A continuación, sería útil introducir un sistema de coordenadas. Aunque podríamos situar el origen en cualquier lugar, situarlo en Westborough luce conveniente. Esto sitúa a Agritown en las coordenadas y a Eastborough en
Usando este punto junto con el origen, podemos calcular la pendiente de la línea de Westborough a Agritown:
La ecuación de la carretera de Westborough a Agritown sería:
A partir de esto, podemos determinar que la carretera perpendicular a Eastborough tendrá la pendiente Debido a que la ciudad de Eastborough está en el punto (20, 0), podemos hallar la ecuación:
Ahora podemos hallar las coordenadas del cruce de las carreteras al dar con la intersección de estas líneas. Igualarlas,
Las carreteras se cruzan en el punto (18, 6). Con la fórmula de la distancia, ahora podemos hallar la distancia desde Westborough hasta el cruce
Análisis
Un buen uso de los modelos lineales es aprovechar el hecho de que los gráficos de estas funciones son líneas. Esto significa que las aplicaciones en el mundo real que hablan de mapas necesitan funciones lineales para modelar las distancias entre los puntos de referencia.
Inténtelo #3
Hay una carretera recta que va de la ciudad de Timpson a Ashburn 60 millas al este y 12 millas al norte. A mitad de camino, la carretera se cruza con una segunda vía, perpendicular a la primera, que conduce a la ciudad de Garrison. Si la ciudad de Garrison está situada a 22 millas directamente al este de la ciudad de Timpson, ¿a qué distancia está el cruce de carreteras de Timpson?
Construir sistemas de modelos lineales
Las situaciones en el mundo real que incluyen dos o más funciones lineales pueden modelarse con un sistema de ecuaciones lineales. Recuerde que, al resolver un sistema de ecuaciones lineales, buscamos los puntos que tienen en común las dos líneas. Normalmente, hay tres tipos de respuestas posibles, como se indica en la Figura 5.
Cómo
Dada una situación que representa un sistema de ecuaciones lineales, escribir el sistema de ecuaciones e identificar la solución.
- Identifique la entrada y la salida de cada modelo lineal.
- Identifique la pendiente y la intersección en y de cada modelo lineal.
- Halle la solución al igualar las dos funciones lineales y resolver para o halle el punto de intersección en un gráfico.
Ejemplo 4
Construir un sistema de modelos lineales para elegir una empresa de alquiler de camiones
Jamal está eligiendo entre dos empresas de alquiler de camiones. La primera, Keep on Trucking, Inc., cobra una cuota inicial de 20 dólares y luego 59 céntimos por milla. La segunda, Move It Your Way, cobra una cuota inicial de 16 dólares y luego 63 céntimos por milla.3. ¿Cuándo será Keep on Trucking, Inc. la mejor opción para Jamal?
Solución
Las dos cantidades importantes en este problema son el costo y el número de millas recorridas. Dado que tenemos que considerar dos empresas, definiremos dos funciones.
| Entrada | distancia recorrida en millas. |
| Salidas | costo, en dólares, del alquiler de Keep on Trucking costo, en dólares, del alquiler en Move It Your Way. |
| Valor inicial | Anticipo: y |
| Tasa de cambio | /milla y /milla |
La función lineal es de la forma Con las tasas de cambio y los cobros iniciales podemos escribir las ecuaciones
Con estas ecuaciones podemos determinar cuándo Keep on Trucking, Inc. será la mejor opción. Ya que lo único que tenemos para tomar esa decisión son los costos, buscamos cuándo Move It Your Way, costará menos o cuándo El camino de la solución nos llevará a dar con las ecuaciones de las dos funciones, hallar la intersección y luego ver dónde la función es menor.
Estos gráficos se encuentran en la Figura 6, con en azul.
Para hallar la intersección, igualamos las ecuaciones y resolvemos:
Esto nos indica que el costo de las dos compañías será el mismo si se recorren 100 millas. Ya sea al observar el gráfico o al notar que crece a un ritmo más lento, podemos concluir que Keep on Trucking, Inc. será el precio más barato cuando se recorran más de 100 millas, es decir:
Media
Acceda a este recurso en línea para obtener más información y practicar con los modelos de funciones lineales.
2.3 Ejercicios de sección
Verbales
Explique cómo encontrar la variable de entrada en un problema matemático que utiliza una función lineal.
Explique cómo hallar la variable de salida en un problema matemático que utiliza una función lineal.
Explique cómo interpretar el valor inicial en un problema matemático que utiliza una función lineal.
Explique cómo determinar la pendiente en un problema matemático que utiliza una función lineal.
Algebraicos
Halle el área de un paralelogramo delimitado por el eje y, la línea la línea y la línea paralela a pasando por
Halle el área de un triángulo delimitado por el eje x, la línea y la línea perpendicular a que pasa por el origen.
Halle el área de un triángulo delimitado por el eje y, la línea y la línea perpendicular a que pasa por el origen.
Halle el área de un paralelogramo delimitado por el eje x, la línea la línea y la línea paralela a pasando por
En los siguientes ejercicios, considere este escenario: La población de una ciudad ha disminuido a un ritmo constante. En 2010 la población era de 5.900 habitantes. Para 2012, la población había descendido a 4.700. Supongamos que esta tendencia se mantiene.
Identifique el año en el que la población llegará a 0.
En los siguientes ejercicios, considere este escenario: La población de una ciudad ha aumentado a un ritmo constante. En 2010 la población era de 46.020 habitantes. En 2012 la población se había incrementado a 52.070 habitantes. Supongamos que esta tendencia se mantiene.
Identifique el año en que la población alcanzará los 75.000 habitantes.
En los siguientes ejercicios, considere este escenario: Una ciudad tiene una población inicial de 75.000 habitantes. Crece a un ritmo constante de 2.500 al año durante 5 años.
Halle la función lineal que modela la población de la ciudad en función del año, donde es el número de años transcurridos desde el inicio del modelo.
Halle un dominio y un rango razonables para la función
Si la función , halle e interprete la pendiente de la función.
¿Cuál es la salida en el año 12 desde el inicio del modelo?
En los siguientes ejercicios, considere este escenario: Un bebé pesa 7,5 libras al nacer. Aumenta media libra al mes durante su primer año.
Halle un dominio y un rango razonables para la función .
Si se representa gráficamente la función W, halle e interpreta la pendiente de la función.
¿Cuál es la salida cuando la entrada es 6,2? Interprete su respuesta.
En los siguientes ejercicios, considere este escenario: El número de personas afectadas por el resfriado común en los meses de invierno se redujo en 205 cada año desde 2005 hasta 2010. En 2005, 12.025 personas se vieron afectadas.
Halle la función lineal que modela el número de personas afectadas por el resfriado común en función del año,
Halle un dominio y un rango razonables para la función
Si se grafica la función , halle e interprete la pendiente de la función.
¿En qué año el número de personas será de 9.700?
Gráficos
En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la Figura 7, que muestra el beneficio, en miles de dólares, de una empresa en un año determinado, donde representa el número de años desde 1980.
Halle e interprete la intersección en y.
Halle e interprete la pendiente.
En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la Figura 8, que muestra el beneficio, en miles de dólares, de una empresa en un año determinado, donde representa el número de años desde 1980.
Halle e interprete la intersección en y.
Halle e interprete la pendiente.
Numéricos
En los siguientes ejercicios, utilice la mediana del valor de la vivienda en Misisipi y Hawái (ajustado a la inflación) que aparece en la Tabla 2. Supongamos que el valor de la vivienda cambia linealmente.
| Año | Misisipi | Hawái |
|---|---|---|
| 1950 | $25.200 | $74.400 |
| 2000 | $71.400 | $272.700 |
Si estas tendencias se mantienen, ¿cuál sería la mediana del valor de la vivienda en Misisipi en 2010?
Si suponemos que la tendencia lineal existía antes de 1950 y continúa después de 2000, ¿en cuántos años la mediana del valor de las viviendas en los dos estados será (o era) igual? (La respuesta puede ser absurda).
En los siguientes ejercicios, utilice la mediana del valor de las vivienda en Indiana y Alabama (ajustado a la inflación) que aparece en la Tabla 3. Supongamos que el valor de la vivienda cambia linealmente.
| Año | Indiana | Alabama |
|---|---|---|
| 1950 | $37.700 | $27.100 |
| 2000 | $94.300 | $85.100 |
¿En qué estado ha aumentado más el valor de la vivienda?
Si estas tendencias se mantienen, ¿cuál sería la mediana del valor de la vivienda en Indiana en 2010?
Si suponemos que la tendencia lineal existía antes de 1950 y continúa después de 2000, ¿en cuántos años la mediana del valor de la vivienda en los dos estados será (o era) igual? (La respuesta puede ser absurda).
Aplicaciones en el mundo real
En 2004, la población escolar era de 1.001 estudiantes. En 2008 la población había crecido hasta los 1.697 estudiantes. Supongamos que la población cambia linealmente.
- Ⓐ ¿Cuánto creció la población entre el año 2004 y el año 2008?
- Ⓑ ¿Cuánto tiempo tardó la población en pasar de 1.001 a 1.697 estudiantes?
- Ⓒ ¿Cuál es el crecimiento promedio de la población por año?
- Ⓓ ¿Cuál era la población en el año 2000?
- Ⓔ Halle una ecuación para la población, de la escuela t años después del año 2000.
- Ⓕ Utilizando su ecuación, prediga la población escolar en 2011.
En 2003, la población de una ciudad era de 1.431 habitantes. En 2007 la población había crecido hasta los 2.134 habitantes. Supongamos que la población cambia linealmente.
- Ⓐ ¿Cuánto creció la población entre el año 2003 y el año 2007?
- Ⓑ ¿Cuánto tiempo tardó la población en pasar de 1.431 a 2.134 habitantes?
- Ⓒ ¿Cuál es el crecimiento promedio de la población por año?
- Ⓓ ¿Cuál era la población en el año 2000?
- Ⓔ Halle una ecuación para la población, de la ciudad años después del año 2000.
- Ⓕ Utilizando su ecuación, prediga la población de la ciudad en 2014.
Una compañía telefónica tiene un plan mensual de telefonía móvil en el que el cliente paga una cuota mensual fija y luego una determinada cantidad de dinero por minuto utilizado para las llamadas de voz y video. Si un cliente utiliza 410 minutos, el costo mensual será de 71,50 dólares. Si el cliente utiliza 720 minutos, el costo mensual será de 118 dólares.
- Ⓐ Halle una ecuación lineal para el costo mensual del plan de telefonía móvil en función de x, el número de minutos mensuales utilizados.
- Ⓑ Interprete la pendiente y la intersección en y de la ecuación.
- Ⓒ Utilice su ecuación para calcular el costo mensual total si se utilizan 687 minutos.
Una compañía telefónica tiene un plan mensual de datos para teléfonos móviles en el que el cliente paga una cuota mensual fija de 10 dólares y luego una determinada cantidad de dinero por megabyte (MB) de datos utilizados en el teléfono. Si el cliente utiliza 20 MB, el costo mensual será de 11,20 dólares. Si el cliente utiliza 130 MB, el costo mensual será de 17,80 dólares.
- Ⓐ Halle una ecuación lineal para el costo mensual del plan de datos en función de , el número de MB utilizados.
- Ⓑ Interprete la pendiente y la intersección en y de la ecuación.
- Ⓒ Utilice su ecuación para calcular el costo mensual total si se utilizan 250 MB.
En 1991, la población de alces en un parque se midió en 4.360 ejemplares. En 1999, la población se elevó a 5.880 ejemplares. Supongamos que la población sigue cambiando linealmente.
- Ⓐ Halle una fórmula para la población de alces, P desde 1990.
- Ⓑ ¿Cuál es la previsión de su modelo con respecto a la población de alces en 2003?
En 2003, la población de búhos en un parque se midió en 340. En 2007, la población se volvió a medir y eran 285 búhos. La población cambia linealmente. Supongamos que la entrada sean los años desde 1990.
- Ⓐ Halle una fórmula para la población de búhos, Supongamos que la entrada sean los años desde 2003.
- Ⓑ ¿Cuál es la población de búhos que su modelo predice para 2012?
La Reserva Federal de Helio tenía unos 16.000 millones de pies cúbicos de helio en 2010 y se está agotando en unos 2.100 millones de pies cúbicos cada año.
- Ⓐ Dé una ecuación lineal para el resto de las reservas federales de helio, en términos de el número de años desde 2010.
- Ⓑ En 2015, ¿cuáles serán las reservas de helio?
- Ⓒ Si el ritmo de agotamiento no cambia, ¿en qué año se agotará la Reserva Federal de Helio?
Supongamos que las reservas mundiales de petróleo en 2014 son de 1,8 mil millones de barriles. Si, en promedio, las reservas totales disminuyen en 25.000 millones de barriles de petróleo cada año:
- Ⓐ Dé una ecuación lineal para el resto de las reservas de petróleo, en términos de el número de años desde ahora.
- Ⓑ Dentro de siete años, ¿cuáles serán las reservas de petróleo?
- Ⓒ Si el ritmo de disminución de las reservas es constante, ¿cuándo se agotarán las reservas mundiales de petróleo?
Está eligiendo entre dos planes diferentes de telefonía móvil de prepago. El primero cobra una tarifa de 26 céntimos por minuto. El segundo cobra una cuota mensual de 19,95 dólares más 11 céntimos por minuto. ¿Cuántos minutos tendría que utilizar en un mes para que el segundo plan sea preferible?
Está eligiendo entre dos empresas diferentes de lavado de ventanas. La primera cobra 5 dólares por cada ventana. La segunda cobra una tarifa base de 40 dólares más 3 dólares por cada ventana. ¿Cuántas ventanas necesitaría tener para que la segunda empresa sea preferible?
Al momento de contratarlo en un nuevo empleo de venta de joyas, le dan dos opciones de pago:
- Opción A: Salario base de 17.000 dólares al año con una comisión del de las ventas que realice.
- Opción B: Salario base de 20.000 dólares al año con una comisión del de las ventas que realice.
¿Cuántas joyas tendría que vender para que la opción A devengue mayores ingresos?
Al momento de contratarlo en un nuevo empleo de venta de productos electrónicos, le dan dos opciones de pago:
- Opción A: Salario base de 14.000 dólares al año con una comisión del de las ventas que realice.
- Opción B: Salario base de 19.000 dólares al año con una comisión del de las ventas que realice.
¿Cuántos aparatos electrónicos tendría que vender para que la opción A produjera mayores ingresos?
Al momento de contratarlo en un nuevo empleo de venta de productos electrónicos, le dan dos opciones de pago:
- Opción A: Salario base de 20.000 dólares al año con una comisión del de las ventas que realice.
- Opción B: Salario base de 26.000 dólares al año con una comisión del de las ventas que realice.
¿Cuántos aparatos electrónicos tendría que vender para que la opción A produjera mayores ingresos?
Al momento de contratarlo en un nuevo empleo de venta de productos electrónicos, le dan dos opciones de pago:
- Opción A: Salario base de 10.000 dólares al año con una comisión del de las ventas que realice.
- Opción B: Salario base de 20.000 dólares al año con una comisión del de las ventas que realice.
¿Cuántos aparatos electrónicos tendría que vender para que la opción A produjera mayores ingresos?
Notas a pie de página
- 3Tarifas obtenidas el 2 de agosto de 2010 de http://www.budgettruck.com y http://www.uhaul.com/