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Precálculo 2ed

2.2 Gráficos de funciones lineales

Precálculo 2ed2.2 Gráficos de funciones lineales

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Graficar funciones lineales.
  • Escribir la ecuación de una función lineal a partir del gráfico de una línea.
  • Dadas las ecuaciones de dos líneas, determinar si sus gráficos son paralelos o perpendiculares.
  • Escribir la ecuación de una línea paralela o perpendicular a una línea dada.
  • Resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Dos compañías telefónicas de la competencia ofrecen diferentes planes de pago. Los dos planes cobran la misma tarifa por minuto de larga distancia, pero cobran una tarifa plana mensual diferente. Un consumidor quiere determinar si los dos planes costarán alguna vez la misma cantidad para un número determinado de minutos de larga distancia utilizados. El costo total de cada plan de pago puede representarse mediante una función lineal. Para resolver el problema, tendremos que comparar las funciones. En esta sección, consideraremos los métodos de comparación de funciones mediante gráficos.

Gráficos de funciones lineales

En Funciones lineales, vimos que el gráfico de una función lineal es una línea recta. También pudimos ver los puntos de la función, así como el valor inicial de un gráfico. Por lo tanto, al graficar dos funciones, podemos comparar más fácilmente sus características.

Existen tres métodos básicos para graficar funciones lineales. El primero es trazar puntos y luego dibujar una línea a través de ellos. El segundo consiste en utilizar la intersección en y, así como la pendiente. El tercero es utilizar transformaciones de la función de identidad f(x)=x.f(x)=x.

Graficar una función mediante el trazado de puntos

Para hallar los puntos de una función, podemos elegir los valores de entrada, evaluar la función en estos valores de entrada y calcular los valores de salida. Los valores de entrada y los correspondientes valores de salida forman pares de coordenadas. A continuación, trazamos los pares de coordenadas en una cuadrícula. En general, deberíamos evaluar la función en un mínimo de dos entradas para hallar al menos dos puntos en el gráfico. Por ejemplo, dada la función, f(x)=2 x,f(x)=2 x, podríamos utilizar los valores de entrada 1 y 2. Evaluando la función para un valor de entrada de 1 se obtiene un valor de salida de 2, que se representa con el punto (1,2 ).(1,2 ). Evaluando la función para un valor de entrada de 2 se obtiene un valor de salida de 4, representado por el punto (2 ,4).(2 ,4). A menudo se aconseja elegir tres puntos, porque si no caen en la misma línea, sabemos que hemos cometido un error.

Cómo

Dada una función lineal, dibuje un gráfico trazando puntos.

  1. Elija un mínimo de dos valores de entrada.
  2. Evalúe la función en cada valor de entrada.
  3. Utilice los valores de salida resultantes para identificar los pares de coordenadas.
  4. Trace los pares de coordenadas en una cuadrícula.
  5. Dibuje una línea que pase por los puntos.

Ejemplo 1

Graficar mediante el trazado de puntos

Grafique f(x)=-2 3x+5f(x)=-2 3x+5 mediante el trazado de puntos.

Análisis

El gráfico de la función es una línea como se espera para una función lineal. Además, el gráfico tiene una inclinación hacia abajo, lo que indica una pendiente negativa. Esto también se espera de la tasa de cambio constante negativa en la ecuación de la función.

Inténtelo #1

Grafique f(x)=-34x+6f(x)=-34x+6 mediante el trazado de puntos.

Graficar una función mediante la intersección en y, además de la pendiente

Otra forma de representar gráficamente las funciones lineales es utilizar las características específicas de la función en lugar de trazar puntos. La primera característica es su intersección en y, que es el punto en el que el valor de entrada es cero. Para hallar la intersección en y, podemos establecer x=0x=0 en la ecuación.

La otra característica de la función lineal es su pendiente m,m, que es una medida de su inclinación. Recordemos que la pendiente es la tasa de cambio de la función. La pendiente de una función es igual la relación entre la variación de las salidas y de las entradas. Otra forma de pensar en la pendiente es dividir la diferencia vertical, o subida, entre la diferencia horizontal, o recorrido. Hallamos tanto la intersección en y como la pendiente en Funciones lineales.

Consideremos la función siguiente.

f(x)=12 x+1f(x)=12 x+1

La pendiente es 12 .12 . Dado que la pendiente es positiva, sabemos que el gráfico se inclinará hacia arriba y de izquierda a derecha. La intersección en y es el punto del gráfico cuando x=0.x=0. El gráfico cruza el eje y en (0,1).(0,1). Ahora conocemos la pendiente y la intersección en y. Podemos empezar a graficar al trazar el punto (0,1)(0,1) Sabemos que la pendiente se eleva sobre el recorrido, m=subidarecorrido.m=subidarecorrido. De nuestro ejemplo, tenemos m=12 ,m=12 , lo que significa que la subida es 1 y el recorrido es 2. Por lo tanto, a partir de nuestra intersección en y (0,1),(0,1), podemos subir 1 y luego recorrer 2, o recorrer 2 y luego subir 1. Lo repetimos hasta que tengamos unos cuantos puntos, y entonces trazamos una línea a través de los puntos como se muestra en la Figura 2.

Figura 2

Interpretación gráfica de una función lineal

En la ecuación f(x)=mx+bf(x)=mx+b

  • bb es la intersección en y del gráfico e indica el punto (0,b)(0,b) en el que el gráfico cruza el eje y.
  • mm es la pendiente de la línea e indica el desplazamiento vertical (subida) y horizontal (recorrido) entre cada par de puntos sucesivos. Recordemos la fórmula de la pendiente:
m= cambio en la salida (subida) cambio en la entrada (recorrido) = Δy Δx = y 2 - y 1 x 2 - x 1 m= cambio en la salida (subida) cambio en la entrada (recorrido) = Δy Δx = y 2 - y 1 x 2 - x 1

Preguntas y respuestas

¿Todas las funciones lineales tienen intersecciones en y?

Sí. Todas las funciones lineales cruzan el eje y, por lo que tienen intersecciones en y. (Nota: La línea vertical paralela al eje y no tiene intersección en y, pero no es una función).

Cómo

Dada la ecuación de una función lineal, graficar la función mediante la intersección en y, además de la pendiente.

  1. Evalúe la función en un valor de entrada de cero para hallar la intersección en y.
  2. Identifique la pendiente como la tasa de cambio del valor de entrada.
  3. Trace el punto representado por la intersección en y.
  4. Utilice subidarecorridosubidarecorrido para determinar al menos dos puntos más en la línea.
  5. Trace la línea que pasa por los puntos.

Ejemplo 2

Graficar mediante la intersección en y, además de la pendiente

Grafique f(x)=-2 3x+5f(x)=-2 3x+5 mediante la intersección en y, además de la pendiente.

Análisis

El gráfico se inclina hacia abajo y de izquierda a derecha, lo que significa que tiene una pendiente negativa, como era de esperar.

Inténtelo #2

Halle un punto en el gráfico que hemos dibujado en el Ejemplo 2 que tenga un valor de x negativo.

Graficar una función mediante transformaciones

Otra opción para graficar es utilizar transformaciones de la función de identidad f(x)=xf(x)=x. Una función puede transformarse mediante un desplazamiento hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda o hacia la derecha. Una función también puede transformarse mediante una reflexión, un estiramiento o una compresión.

Estiramiento o compresión vertical

En la ecuación f(x)=mx,f(x)=mx, el plano mm actúa como el estiramiento o la compresión vertical de la función de identidad. Cuando mm es negativo, también hay una reflexión vertical del gráfico. Observe que en la Figura 4 al multiplicar la ecuación de f(x)=xf(x)=x por mm estira el gráfico de ff por un factor de mm unidades si m>1m>1 y comprime el gráfico de ff por un factor de mm unidades si 0<m<1.0<m<1. Esto significa que, cuanto mayor sea el valor absoluto de m,m, mayor será la pendiente.

Figura 4 Estiramiento y compresión vertical, y reflexión en la función f ( x ) = x . f ( x ) = x .
Desplazamiento vertical

En f(x)=mx+b,f(x)=mx+b, el plano bb actúa como el desplazamiento vertical, al mover el gráfico hacia arriba y hacia abajo sin afectar la pendiente de la línea. Observe en la Figura 5 que la adición de un valor de bb a la ecuación de f(x)=xf(x)=x desplaza el gráfico de ff un total de bb unidades hacia arriba si bb es positivo y |b||b| unidades hacia abajo si bb es negativo.

Figura 5 Este gráfico ilustra los desplazamientos verticales de la función f ( x ) = x . f ( x ) = x .

El uso de estiramiento o compresión vertical junto con desplazamiento vertical es otra forma de ver la identificación de diferentes tipos de funciones lineales. Aunque esta no sea la forma más fácil de graficar este tipo de funciones, es importante practicar cada método.

Cómo

Dada la ecuación de una función lineal, utilizar las transformaciones para graficar la función lineal en la forma f(x)=mx+b.f(x)=mx+b.

  1. Grafique f(x)=x.f(x)=x.
  2. Estire o comprima verticalmente el gráfico por un factor m.m.
  3. Desplace el gráfico hacia arriba o hacia abajo bb unidades.

Ejemplo 3

Graficar mediante el empleo de transformaciones

Grafique f(x)=12 x-3f(x)=12 x-3 utilizando transformaciones.

Inténtelo #3

Grafique f(x)=4+2 x,f(x)=4+2 x, utilizando transformaciones.

Preguntas y respuestas

En el Ejemplo 3, ¿podríamos haber dibujado el gráfico invirtiendo el orden de las transformaciones?

No. El orden de las transformaciones sigue el orden de las operaciones. Cuando la función se evalúa en una entrada determinada, la salida correspondiente se calcula siguiendo el orden de las operaciones. Por eso realizamos primero la compresión. Por ejemplo, siguiendo el orden: supongamos que la entrada sea 2.

f(2)= 1 2 (2)3 =1-3 =-2 f(2)= 1 2 (2)3 =1-3 =-2

Escribir la ecuación de una función a partir del gráfico de una recta

Recuerde que en Funciones lineales, escribimos la ecuación de una función lineal a partir de un gráfico. Ahora podemos ampliar lo que sabemos con respecto a la graficación de funciones lineales para analizar los gráficos de manera pormenorizada. Comience por echar un vistazo a la Figura 8. Podemos ver de inmediato que el gráfico cruza el eje y en el punto (0, 4)(0, 4) así que esta es la intersección y.

Figura 8

Entonces podemos calcular la pendiente al hallar la subida y el recorrido. Podemos elegir dos puntos cualesquiera, pero veamos el punto (2 ,0). (2 ,0). Para llegar desde este punto hasta la intersección en y, debemos movernos hacia arriba 4 unidades (subida) y hacia la derecha 2 unidades (recorrido). Por lo que la pendiente deberá ser

m= subida recorrido = 4 2 =2 m= subida recorrido = 4 2 =2

Sustituyendo la pendiente y la intersección en y en la forma pendiente-intersección de una línea se obtiene

y=2 x+4y=2 x+4

Cómo

Dado el gráfico de una función lineal, hallar la ecuación que describe la función.

  1. Identifique la intersección en y de una ecuación.
  2. Elija dos puntos para determinar la pendiente.
  3. Sustituya la intersección en y, además de la pendiente en la forma pendiente-intersección de una línea.

Ejemplo 4

Relacionar las funciones lineales con sus gráficos

Relacione cada ecuación de las funciones lineales con una de las líneas en la Figura 9.

  1. f(x)=2 x+3f(x)=2 x+3
  2. g(x)=2 x-3g(x)=2 x-3
  3. h(x)=-2 x+3h(x)=-2 x+3
  4. j(x)=12 x+3j(x)=12 x+3
Figura 9

Hallar la intersección en x de una línea

Hasta ahora, hemos hallado las intersecciones en y de una función: el punto en el que el gráfico de la función cruza el eje y. Una función también puede tener una intersección en x, que es la coordenada de la x del punto donde el gráfico de la función cruza el eje x. En otras palabras, es el valor de entrada cuando el valor de salida es cero.

Para hallar la intersección en x, se establece una función f(x)f(x) igual a cero y se resuelve para el valor de x.x. Por ejemplo, considere la función indicada.

f(x)=3x-6f(x)=3x-6

Iguale la función a 0 y resuelva para x.x.

0=3x-6 6=3x 2 =x x=2 0=3x-6 6=3x 2 =x x=2

El gráfico de la función cruza el eje x en el punto (2 , 0).(2 , 0).

Preguntas y respuestas

¿Todas las funciones lineales tienen intersecciones en x?

No. Sin embargo, las funciones lineales de la forma y=c,y=c, donde cc es un número real distinto a cero, son los únicos ejemplos de funciones lineales sin intersección en x. Por ejemplo, y=5y=5 es una línea horizontal 5 unidades por encima del eje x. Esta función no tiene intersecciones en x, como se muestra en la Figura 11.

Gráfico de y = 5.
Figura 11

intersección en x

La intersección en x de la función es el valor de xx cuando f(x)=0,f(x)=0, Se puede resolver mediante la ecuación 0=mx+b.0=mx+b.

Ejemplo 5

Hallar una intersección en x

Calcule la intersección en x de f(x)=12 x3,f(x)=12 x3,

Análisis

El gráfico de la función se muestra en la Figura 12. Observamos que la intersección en x es (6, 0)(6, 0) como esperábamos.

Figura 12 El gráfico de la función lineal f ( x ) = 1 2 x 3, f ( x ) = 1 2 x 3,

Inténtelo #4

Calcule la intersección en x de f(x)=14x4.f(x)=14x4.

Describir líneas horizontales y verticales

Hay dos casos especiales de líneas en un gráfico: horizontales y verticales. La línea horizontal indica una salida constante o valor de y. En la Figura 13, vemos que la salida tiene un valor de 2 para cada valor de entrada. Por lo tanto, la variación en las salidas entre dos puntos cualesquiera es 0. En la fórmula de la pendiente, el numerador es 0, por lo que la pendiente es 0. Si utilizamos m= 0,0m= 0,0 en la ecuación f(x)=mx+b,f(x)=mx+b, la ecuación se simplifica a f(x)=b.f(x)=b. En otras palabras, el valor de la función es una constante. Este gráfico representa la función f(x)=2.f(x)=2.

Figura 13 Una línea horizontal que representa la función f ( x ) = 2. f ( x ) = 2.

Una línea vertical indica una entrada constante o valor de x. Podemos ver que el valor de entrada para cada punto de la línea es 2, pero el valor de salida varía. Dado que este valor de entrada se asigna a más de un valor de salida, una línea vertical no representa una función. Observe que entre dos puntos cualesquiera, el cambio en los valores de entrada es cero. En la fórmula de la pendiente, el denominador será cero, por lo que la pendiente de una línea vertical es indefinida.

Observe que una línea vertical, como la que aparece en la Figura 14, tiene una intersección en x, pero no tiene intersección en y, a menos que sea la línea x=0.x=0. Este gráfico representa la línea x=2. x=2.

Figura 14 La línea vertical, x = 2 , x = 2 , que no representa una función.

Líneas horizontales y verticales

Las líneas pueden ser horizontales o verticales.

Una línea horizontal se define por una ecuación de la forma f(x)=b.f(x)=b.

Una línea vertical se define por una ecuación de la forma x=a.x=a.

Ejemplo 6

Escribir la ecuación de una línea horizontal

Escriba la ecuación de la línea representada gráficamente en la Figura 15.

Gráfico de x = 7.
Figura 15

Ejemplo 7

Escribir la ecuación de una línea vertical

Escriba la ecuación de la línea representada gráficamente en la Figura 16.

Gráfico de dos funciones donde la línea azul clara es y = -2/3x + 7, y la línea azul oscura es y = -x + 1.
Figura 16

Determinar si las líneas son paralelas o perpendiculares

Las dos líneas en la Figura 17 son líneas paralelas: nunca se intersecan. Observe que tienen exactamente la misma inclinación, lo que significa que sus pendientes son idénticas. La única diferencia entre las dos líneas es la intersección en y. Si desplazamos una línea verticalmente hacia la intersección en y de la otra, se convertirían en la misma línea.

Gráfico de dos funciones donde la línea azul oscura es y = -2/3x + 1, y la línea azul clara es y = -2/3x +7. Observe que son líneas paralelas.
Figura 17 Líneas paralelas.

Podemos determinar a partir de sus ecuaciones si dos líneas son paralelas al comparar sus pendientes. Si las pendientes son iguales y las intersecciones en y son diferentes, las líneas son paralelas. Si las pendientes son diferentes, las líneas no son paralelas.

f(x)=-2 x+6 f(x)=-2 x-4 }son paralelas f(x)=3x+2 f(x)=2 x+2 }no son paralelas f(x)=-2 x+6 f(x)=-2 x-4 }son paralelas f(x)=3x+2 f(x)=2 x+2 }no son paralelas

A diferencia de las líneas paralelas, las líneas perpendiculares sí se intersecan. Su intersección forma un ángulo recto o de 90 grados. Las dos líneas en la Figura 18 son perpendiculares.

Gráfico de dos funciones donde la línea azul es perpendicular a la línea naranja.
Figura 18 Líneas perpendiculares.

Las líneas perpendiculares no tienen la misma pendiente. Las pendientes de las líneas perpendiculares son diferentes entre sí de una manera específica. La pendiente de una línea es el recíproco negativo de la pendiente de la otra línea. El producto de un número por su recíproco es 1. Por lo tanto, si m1m1 y m2m2 son recíprocos negativos entre sí, se pueden multiplicar entre sí para obtener –1.

m1m2=-1m1m2=-1

Para calcular el recíproco de un número, divídalo entre 1. Así, el recíproco de 8 es 18,18, y el recíproco de 1818 es 8. Para hallar el recíproco negativo, primero hay que calcular el recíproco y luego cambiar el signo.

Al igual que con las líneas paralelas, podemos determinar si dos líneas son perpendiculares al comparar sus pendientes, suponiendo que las líneas no sean horizontales ni verticales. La pendiente de cada una de las líneas de abajo es el recíproco negativo de la otra, por lo que son perpendiculares.

f(x)= 1 4 x+2 recíproco negativo de 1 4  es -4 f(x)=4x+3 recíproco negativo de4 es  1 4 f(x)= 1 4 x+2 recíproco negativo de 1 4  es -4 f(x)=4x+3 recíproco negativo de4 es  1 4

El producto de las pendientes es -1.

4(14)=-14(14)=-1

Líneas paralelas y perpendiculares

Dos líneas son paralelas si no se intersecan. Las pendientes de las líneas son las mismas.

f(x)=m1x+b1 y g(x)=m2x+b2 son paralelas si m1=m2.f(x)=m1x+b1 y g(x)=m2x+b2 son paralelas si m1=m2.

Si y solo si b1=b2b1=b2 y m1=m2,m1=m2, decimos que las líneas coinciden. Las líneas coincidentes son la misma línea.

Dos líneas son perpendiculares si se intersecan en ángulos rectos.

f(x)= m 1 x+ b 1  y g(x)= m 2 x+ b 2  son perpendiculares si  m 1 m 2 =-1, y así  m 2 =- 1 m 1 . f(x)= m 1 x+ b 1  y g(x)= m 2 x+ b 2  son perpendiculares si  m 1 m 2 =-1, y así  m 2 =- 1 m 1 .

Ejemplo 8

Identificar líneas paralelas y perpendiculares

Dadas las funciones siguientes, identifique las funciones cuyos gráficos sean un par de líneas paralelas y un par de líneas perpendiculares.

f(x)=2 x+3 h(x)=-2 x+2 g(x)= 1 2 x-4 j(x)=2 x-6 f(x)=2 x+3 h(x)=-2 x+2 g(x)= 1 2 x-4 j(x)=2 x-6

Análisis

Un gráfico de las líneas se muestra en la Figura 19.

Gráfico de cuatro funciones, donde la línea azul es h(x) = -2x + 2, la línea naranja es f(x) = 2x + 3, la línea verde es j(x) = 2x - 6, y la línea roja es g(x) = 1/2x - 4.
Figura 19

El gráfico muestra que las líneas f(x)=2 x+3f(x)=2 x+3 y j(x)=2 x6j(x)=2 x6 son paralelas, y las líneas g(x)=12 x4g(x)=12 x4 y h(x)=-2 x+2h(x)=-2 x+2 son perpendiculares.

Escribir la ecuación de una línea paralela o perpendicular a una línea dada

Si conocemos la ecuación de una línea, podemos utilizar lo que sabemos sobre la pendiente para escribir la ecuación de una línea que sea paralela o perpendicular a la línea dada.

Escribir ecuaciones de líneas paralelas

Supongamos, por ejemplo, que nos dan la siguiente ecuación.

f(x)=3x+1f(x)=3x+1

Sabemos que la pendiente de la línea formada por la función es 3. También sabemos que la intersección en y es (0,1).(0,1). Cualquier otra línea con una pendiente de 3 será paralela a f(x).f(x). Así que las líneas formadas por todas las funciones siguientes serán paralelas a f(x).f(x).

g(x)=3x+6 h(x)=3x+1 p(x)=3x+ 2 3 g(x)=3x+6 h(x)=3x+1 p(x)=3x+ 2 3

Supongamos entonces que queremos escribir la ecuación de una línea que es paralela a ff y pasa por el punto (1, 7).(1, 7). Ya sabemos que la pendiente es 3. Lo único que tenemos que hacer es determinar cuál valor para bb dará la línea correcta. Podemos empezar con la forma punto-pendiente de una ecuación para una línea, y luego reescribirla en la forma pendiente-intersección.

y y 1 =m(x x 1 ) y-7=3(x1) y-7=3x-3         y=3x+4 y y 1 =m(x x 1 ) y-7=3(x1) y-7=3x-3         y=3x+4

Así que g(x)=3x+4g(x)=3x+4 es paralela a f(x)=3x+1f(x)=3x+1 y pasa por el punto (1, 7).(1, 7).

Cómo

Dada la ecuación de una función y un punto por el que pasa su gráfico, escribir la ecuación de una línea paralela a la línea dada que pase por el punto dado.

  1. Calcule la pendiente de la función.
  2. Sustituya los valores dados en la ecuación general de punto-pendiente o en la ecuación pendiente-intersección de una línea.
  3. Simplifique.

Ejemplo 9

Hallar una línea paralela a una línea dada

Halle una línea paralela al gráfico de f(x)=3x+6f(x)=3x+6 que pasa por el punto (3, 0).(3, 0).

Análisis

Podemos confirmar que las dos líneas son paralelas al representarlas gráficamente. La Figura 20 muestra que las dos líneas nunca se intersecan.

Gráfico de dos funciones, donde la línea azul es y = 3x + 6, y la línea naranja es y = 3x - 9.
Figura 20

Escribir ecuaciones de líneas perpendiculares

Podemos utilizar un proceso muy similar para escribir la ecuación de una línea perpendicular a una línea dada. Sin embargo, en lugar de utilizar la misma pendiente, utilizamos el recíproco negativo de la pendiente dada. Supongamos que nos dan la siguiente función:

f(x)=2 x+4f(x)=2 x+4

La pendiente de la línea es 2, y su recíproco negativo es 12 .12 . Cualquier función con una pendiente de 1212 será perpendicular a f(x).f(x). Así que las líneas formadas por todas las siguientes funciones serán perpendiculares a f(x).f(x).

g(x)=- 1 2 x+4 h(x)=- 1 2 x+2 p(x)=- 1 2 x 1 2 g(x)=- 1 2 x+4 h(x)=- 1 2 x+2 p(x)=- 1 2 x 1 2

Al igual que antes, podemos reducir nuestras opciones para una línea perpendicular particular si sabemos que pasa por un punto determinado. Supongamos entonces que queremos escribir la ecuación de una línea que es perpendicular a f(x)f(x) y pasa por el punto (4, 0).(4, 0). Ya sabemos que la pendiente es 12 .12 . Ahora podemos utilizar el punto para hallar la intersección en y al sustituir los valores dados en la forma pendiente-intersección de una línea y resolver para b.b.

g(x)=mx+b 0=- 1 2 (4)+b 0=-2 +b 2=b b=2 g(x)=mx+b 0=- 1 2 (4)+b 0=-2 +b 2=b b=2

La ecuación de la función con pendiente de 1212 y una intersección en y de 2 es

g(x)=-12 x+2.g(x)=-12 x+2.

Así que g(x)=-12 x+2g(x)=-12 x+2 es perpendicular a f(x)=2 x+4f(x)=2 x+4 y pasa por el punto (4, 0).(4, 0). Tenga en cuenta que las líneas perpendiculares pueden no parecer obviamente perpendiculares en una calculadora gráfica, a menos que utilicemos la función de zoom cuadrado.

Preguntas y respuestas

Una línea horizontal tiene una pendiente de cero y una línea vertical tiene una pendiente indefinida. Estas dos líneas son perpendiculares, pero el producto de sus pendientes no es -1. ¿No contradice este hecho la definición de líneas perpendiculares?

No. Para dos funciones lineales perpendiculares, el producto de sus pendientes es -1. Sin embargo, una línea vertical no es una función, por lo que la definición no se contradice.

Cómo

Dada la ecuación de una función y un punto por el que pasa su gráfico, escribir la ecuación de una línea perpendicular a la línea dada.

  1. Calcule la pendiente de la función.
  2. Determine el recíproco negativo de la pendiente.
  3. Sustituya la nueva pendiente y los valores de xx y yy a partir del par de coordenadas facilitado en g(x)=mx+b.g(x)=mx+b.
  4. Resuelva para b.b.
  5. Escriba la ecuación de la línea.

Ejemplo 10

Hallar la ecuación de una línea perpendicular

Halle la ecuación de una línea perpendicular a f(x)=3x+3f(x)=3x+3 que pasa por el punto (3, 0).(3, 0).

Análisis

El gráfico de las dos líneas se muestra en la Figura 21 a continuación.

Gráfico de dos funciones donde la línea azul es g(x) = -1/3x + 1, y la recta naranja es f(x) = 3x + 6.
Figura 21

Inténtelo #5

Dada la función h(x)=2 x-4,h(x)=2 x-4, escribir una ecuación para la línea que pasa por (0,0)(0,0) que es

  1. paralela a h(x)h(x)
  2. perpendicular a h(x)h(x)

Cómo

Dados dos puntos de una línea y un tercer punto, escribir la ecuación de la recta perpendicular que pasa por el punto.

  1. Determine la pendiente de la línea que pasa por los puntos.
  2. Calcule el recíproco negativo de la pendiente.
  3. Utilice la forma pendiente-intersección o la forma punto-pendiente para escribir la ecuación al sustituir los valores conocidos.
  4. Simplifique.

Ejemplo 11

Hallar la ecuación de una línea perpendicular a una línea dada que pasa por un punto

Una línea pasa por los puntos (2 , 6)(2 , 6) y (4,5).(4,5). Halle la ecuación de una línea perpendicular que pasa por el punto (4,5).(4,5).

Inténtelo #6

Una línea pasa por los puntos, (–2,−15) (–2,−15) y (2,−3). (2,−3). Halle la ecuación de una línea perpendicular que pasa por el punto, (6,4). (6,4).

Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante un gráfico

Un sistema de ecuaciones lineales incluye dos o más ecuaciones lineales. Los gráficos de dos líneas se intersecan en un mismo punto si no son paralelos. Dos líneas paralelas también pueden intersecarse si son coincidentes, lo que significa que son la misma línea y se cruzan en cada punto. En el caso de dos líneas que no son paralelas, el único punto de intersección satisfará ambas ecuaciones y, por lo tanto, representará la solución del sistema.

Para hallar este punto cuando las ecuaciones están dadas como funciones, podemos resolver para un valor de entrada de manera que f(x)=g(x).f(x)=g(x). En otras palabras, podemos establecer las fórmulas de las líneas iguales entre sí y resolver la entrada que satisface la ecuación.

Ejemplo 12

Hallar un punto de intersección algebraicamente

Halle el punto de intersección de las líneas h(t)=3t-4h(t)=3t-4 y j(t)=5t.j(t)=5t.

Análisis

Si observamos la Figura 22, este resultado luce razonable.

Gráfico de dos funciones h(t) = 3t - 4 y j(t) = t +5 y su intersección en (9/4, 11/4).
Figura 22

Preguntas y respuestas

Si se nos pidiera hallar el punto de intersección de dos líneas paralelas distintas, ¿algo en el proceso de solución debería alertarnos de que no hay soluciones?

Sí. Tras igualar las dos ecuaciones, el resultado sería la contradicción "0 = número real distinto de cero".

Inténtelo #7

Observe el gráfico en la Figura 22 e identifique lo siguiente para la función j(t):j(t):

  1. intersección en y
  2. intersección en x
  3. pendiente
  4. ¿Es j(t)j(t) paralela o perpendicular a h(t)h(t) (o ninguna de las dos)?
  5. ¿Es j(t)j(t) una función creciente o decreciente (o ninguna de las dos)?
  6. Describa la transformación para j(t)j(t) de la función de la caja de herramientas de identidad f(x)=x.f(x)=x.

Ejemplo 13

Hallar el punto de equilibrio

Una empresa vende cascos deportivos. La empresa incurre en un costo fijo único de 250.000 dólares. La producción de cada casco cuesta 120 dólares y se vende por 140 dólares.

  1. Halle la función de costo, C,C, para producir xx cascos, en dólares.
  2. Halle la función de ingresos, R,R, a partir de las ventas de xx cascos, en dólares.
  3. Halle el punto de equilibrio, el punto de intersección de los dos gráficos CC y R.R.

Análisis

Esto significa que, si la empresa vende 12.500 cascos, alcanza el punto de equilibrio; tanto las ventas como los costos incurridos equivalen a 1,75 millones de dólares. Vea la Figura 23

Gráfico de las dos funciones, C(x) y R(x) donde se muestra que por debajo de (12.500, 1.750.000) la empresa pierde dinero y por encima de ese punto la empresa obtiene beneficios.
Figura 23

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con los gráficos de las funciones lineales.

2.2 Ejercicios de sección

Verbales

1.

Si los gráficos de dos funciones lineales son paralelos, describa la relación entre las pendientes y las intersecciones en y.

2.

Si los gráficos de dos funciones lineales son perpendiculares, describa la relación entre las pendientes y las intersecciones en y.

3.

Si una línea horizontal tiene la ecuación f(x)=af(x)=a y una línea vertical tiene la ecuación x=a,x=a, ¿cuál es el punto de intersección? Explique por qué lo que ha encontrado es el punto de intersección.

4.

Explique cómo hallar una línea paralela a una función lineal que pase por un punto dado.

5.

Explique cómo hallar una línea perpendicular a una función lineal que pase por un punto dado.

Algebraicos

En los siguientes ejercicios determine si las líneas dadas por las ecuaciones de abajo son paralelas, perpendiculares o no son ni paralelas ni perpendiculares:

6.

4x-7y=10 7x+4y=1 4x-7y=10 7x+4y=1

7.

3y+x=12 y=8x+1 3y+x=12 y=8x+1

8.

3y+4x=12 6y=8x+1 3y+4x=12 6y=8x+1

9.

6x-9y=10 3x+2 y=1 6x-9y=10 3x+2 y=1

10.

y= 2 3 x+1 3x+2 y=1 y= 2 3 x+1 3x+2 y=1

11.

y= 3 4 x+1 -3x+4y=1 y= 3 4 x+1 -3x+4y=1

En los siguientes ejercicios, halle las intersecciones en x y en y de cada ecuación.

12.

f( x )=-x+2 f( x )=-x+2

13.

g(x)=2 x+4g(x)=2 x+4

14.

h( x )=3x-5 h( x )=3x-5

15.

k( x )=-5x+1 k( x )=-5x+1

16.

-2 x+5y=20 -2 x+5y=20

17.

7x+2 y=56 7x+2 y=56

En los siguientes ejercicios, utilice las descripciones de cada par de líneas que se dan a continuación para calcular las pendientes de la línea 1 y la línea 2. ¿Cada par de líneas es paralelo, perpendicular o ninguno de los dos?

18.
  • Línea 1: Pasa por (0,6)(0,6) y (3,−24)(3,−24)
  • Línea 2: Pasa por (–1,19)(–1,19) y (8,−71)(8,−71)
19.
  • Línea 1: Pasa por (–8,−55)(–8,−55) y (10,89)(10,89)
  • Línea 2: Pasa por (9,-44)(9,-44) y (4,−14)(4,−14)
20.
  • Línea 1: Pasa por (2 ,3)(2 ,3) y (4,-1)(4,-1)
  • Línea 2: Pasa por (6,3)(6,3) y (8,5)(8,5)
21.
  • Línea 1: Pasa por (1,7)(1,7) y (5,5)(5,5)
  • Línea 2: Pasa por (–1,−3)(–1,−3) y (1,1)(1,1)
22.
  • Línea 1: Pasa por (0,5)(0,5) y (3,3)(3,3)
  • Línea 2: Pasa por (1,−5)(1,−5) y (3,–2)(3,–2)
23.
  • Línea 1: Pasa por (2 ,5)(2 ,5) y (5,–1)(5,–1)
  • Línea 2: Pasa por (−3,7)(−3,7) y (3,−5)(3,−5)
24.

Escriba la ecuación de una línea paralela a f(x)=-5x-3f(x)=-5x-3 y que pasa por el punto (2 , –12).(2 , –12).

25.

Escriba la ecuación de una línea paralela a g(x)=3x1g(x)=3x1 y que pasa por el punto (4,9).(4,9).

26.

Escriba la ecuación de una línea perpendicular a h(t)=-2 t+4h(t)=-2 t+4 y que pasa por el punto ( 4, –1).( 4, –1).

27.

Escriba la ecuación de una línea perpendicular a p(t)=3t+4p(t)=3t+4 y que pasa por el punto (3,1).(3,1).

28.

Halle el punto en el que la línea f(x)=-2 x1f(x)=-2 x1 cruza la línea g(x)=-x.g(x)=-x.

29.

Halle el punto en el que la línea f(x)=2 x+5f(x)=2 x+5 cruza la línea g(x)=-3x5.g(x)=-3x5.

30.

Use el álgebra para hallar el punto en el que la línea f(x)=45x+27425f(x)=45x+27425 cruza la línea h(x)=94x+7310.h(x)=94x+7310.

31.

Use el álgebra para hallar el punto en el que la línea f(x)=74x+45760f(x)=74x+45760 cruza la línea g(x)=43x+315.g(x)=43x+315.

Gráficos

En los siguientes ejercicios, relacione la ecuación lineal dada con su gráfico en la Figura 24.

Figura 24
32.

f( x )=-x1 f( x )=-x1

33.

f(x)=-2 x1f(x)=-2 x1

34.

f(x)=-12 x1f(x)=-12 x1

35.

f(x)=2 f(x)=2

36.

f(x)=2 +xf(x)=2 +x

37.

f(x)=3x+2 f(x)=3x+2

En los siguientes ejercicios, dibuje una línea con las características dadas.

38.

Una intersección en x de (4, 0)(4, 0) y la intersección y de (0, -2)(0, -2)

39.

Una intersección en x de (2 , 0)(2 , 0) y la intersección y de (0, 4)(0, 4)

40.

Una intersección en y de (0, 7)(0, 7) y pendiente 32 32

41.

Una intersección en y de (0, 3)(0, 3) y pendiente 2525

42.

Pasando por los puntos (6, -2)(6, -2) y (6, -6)(6, -6)

43.

Pasando por los puntos (3, -4)(3, -4) y (3, 0) (3, 0)

En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de cada ecuación.

44.

f(x)=-2 x1f(x)=-2 x1

45.

g(x)=-3x+2 g(x)=-3x+2

46.

h(x)=13x+2 h(x)=13x+2

47.

k(x)=2 3x-3k(x)=2 3x-3

48.

f( t )=3+2 t f( t )=3+2 t

49.

p(t)=-2 +3tp(t)=-2 +3t

50.

x=3x=3

51.

x=-2 x=-2

52.

r(x)=4r(x)=4

53.

q(x)=3q(x)=3

54.

4x=-9y+364x=-9y+36

55.

x3-y4=1x3-y4=1

56.

3x-5y=153x-5y=15

57.

3x=153x=15

58.

3y=123y=12

59.

Si los valores de g(x)g(x) es la transformación de f(x)=xf(x)=x después de una compresión vertical en 3 4 , 3 4 , un desplazamiento hacia la derecha en 2, y un desplazamiento hacia abajo en 4

  1. Escriba una ecuación para g(x).g(x).
  2. ¿Cuál es la pendiente de esta línea?
  3. Calcule la intersección en y de esta línea.
60.

Si los valores de g(x)g(x) es la transformación de f(x)=xf(x)=x después de una compresión vertical en 13,13, un desplazamiento hacia la izquierda en 1, y un desplazamiento hacia arriba en 3

  1. Escriba una ecuación para g(x).g(x).
  2. ¿Cuál es la pendiente de esta línea?
  3. Calcule la intersección en y de esta línea.

En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la línea que se muestra en el gráfico.

61.
62.
63.
64.

En los siguientes ejercicios, halle el punto de intersección de cada par de líneas, si existe. Si no existe, indique que no hay punto de intersección.

65.

y= 3 4 x+1 -3x+4y=12 y= 3 4 x+1 -3x+4y=12

66.

2 x-3y=12 5y+x=30 2 x-3y=12 5y+x=30

67.

2 x=y-3y+4x=15 2 x=y-3y+4x=15

68.

x-2y+2 =3 x-y=3 x-2y+2 =3 x-y=3

69.

5x+3y=65 x-y=-5 5x+3y=65 x-y=-5

Extensiones

70.

Halle la ecuación de la línea paralela a la línea g(x)=0,01x+20,01g(x)=0,01x+20,01 a través del punto (1, 2 ).(1, 2 ).

71.

Halle la ecuación de la línea perpendicular a la línea g(x)=0,01x+20,01g(x)=0,01x+20,01 a través del punto (1, 2 ).(1, 2 ).

En los siguientes ejercicios, utilice las funciones f(x)=0,1x+200 y g(x)=20x+0,1.f(x)=0,1x+200 y g(x)=20x+0,1.

72.

Halle el punto de intersección de las líneas ff y g.g.

73.

¿Dónde es f(x)f(x) mayor que g(x)?g(x)? ¿Dónde es g(x)g(x) mayor que f(x)?f(x)?

Aplicaciones en el mundo real

74.

Una empresa de alquiler de vehículos ofrece dos planes.

  • Plan A: 30 dólares al día y 0,18 dólares por milla.
  • Plan B: 50 dólares al día, con millaje ilimitado gratuito.

¿Cuántas millas tendría que recorrer para que el plan B le permitiera ahorrar dinero?

75.

Una compañía de telefonía móvil ofrece dos planes de minutos.

  • Plan A: 20 dólares al mes y 1 dólar por cada cien mensajes de texto.
  • Plan B: 50 dólares al mes con mensajes de texto ilimitados y gratuitos.

¿Cuántos mensajes de texto tendría que enviar al mes para que el plan B le permitiera ahorrar dinero?

76.

Una compañía de telefonía móvil ofrece dos planes de minutos.

  • Plan A: 15 dólares al mes y 2 dólares por cada 300 mensajes de texto.
  • Plan B: 25 dólares al mes y 0,50 dólares por cada 100 mensajes de texto.

¿Cuántos mensajes de texto tendría que enviar al mes para que el plan B le permitiera ahorrar dinero?

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