Jay Abramson

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Representar una función lineal.
Determinar si una función lineal es creciente, decreciente o constante.
Calcular e interpretar la pendiente.
Escribir la forma punto-pendiente de una ecuación.
Escribir e interpretar una función lineal.

Vista frontal de un vagón de metro, el tren de levitación magnética.

Figura 1 Tren MagLev de Shanghai (créditos: "kanegen"/Flickr)

Al igual que el crecimiento de una planta de bambú, hay muchas situaciones que implican un cambio constante con el paso del tiempo. Pensemos, por ejemplo, en el primer tren comercial de levitación magnética del mundo, el Tren MagLev de Shaghai (Figura 1). Transporta cómodamente a los pasajeros en un viaje de 30 kilómetros desde el aeropuerto hasta la estación de metro en apenas ocho minutos.²

Supongamos que un tren de levitación magnética recorre una larga distancia, a una velocidad constante de 83 metros por segundo durante un tiempo una vez que se aleja 250 metros de la estación. ¿Cómo analizaríamos la distancia del tren a la estación en función del tiempo? En esta sección, investigaremos un tipo de función que sirve para este propósito, y la utilizaremos para investigar situaciones del mundo real como la distancia del tren a la estación en un momento dado.

Representar funciones lineales

La función que describe el movimiento del tren es una función lineal, la cual se define como una función con una tasa de cambio constante, es decir, un polinomio de grado 1. Hay varias formas de representar una función lineal, entre ellas la forma verbal, la notación de funciones, la forma tabular y la forma gráfica. Describiremos el movimiento del tren como una función mediante el empleo de cada método.

Representar una función lineal en forma verbal

Empecemos por describir la función lineal con palabras. Para el problema del tren que acabamos de considerar, se puede utilizar la siguiente frase para describir la relación de funciones.

La distancia entre el tren y la estación es una función del tiempo durante el cual el tren se mueve a una velocidad constante más su distancia original a la estación cuando comenzó a moverse a velocidad constante.

La velocidad es la tasa de cambio. Recordemos que la tasa de cambio es una medida de la rapidez con la que cambia la variable dependiente con respecto a la variable independiente. La tasa de cambio para este ejemplo es constante, lo que significa que es la misma para cada valor de entrada. A medida que el tiempo (entrada) aumenta en 1 segundo, la distancia correspondiente (salida) aumenta en 83 metros. El tren comenzó a moverse a esta velocidad constante a una distancia de 250 metros de la estación.

Representar una función lineal en notación de funciones

Otro enfoque para representar funciones lineales es utilizar la notación de funciones. Un ejemplo de notación de funciones es una ecuación escrita en lo que se conoce como forma pendiente-intersección de una línea, donde $x$ es el valor de entrada, $m$ es la tasa de cambio y $b$ es el valor inicial de la variable dependiente.

\begin{array}{l} Forma de la ecuación & y = m x + b \\ Notación de la ecuación & f (x) = m x + b \end{array}

En el ejemplo del tren, podríamos utilizar la notación $D (t)$ en la que la distancia total $D$ es una función del tiempo $t .$ La tasa, $m,$ es de 83 metros por segundo. El valor inicial de la variable dependiente $b$ es la distancia original de la estación, 250 metros. Podemos escribir una ecuación generalizada para representar el movimiento del tren.

D (t) = 83 t + 250

Representar una función lineal en forma tabular

Un tercer método para representar una función lineal es mediante el uso de una tabla. La relación entre la distancia de la estación y el tiempo se representa en la Figura 2. En la tabla, podemos ver que la distancia cambia en 83 metros por cada aumento de 1 segundo en el tiempo.

Tabla con la primera fila, denominada t, que contiene los segundos de 0 a 3, y con la segunda fila, denominada D(t), que contiene los metros de 250 a 499. La primera fila sube 1 segundo y la segunda sube 83 metros.

Figura 2 Representación tabular de la función D con los valores de entrada y salida seleccionados

Preguntas y respuestas

¿La entrada en el ejemplo anterior puede ser cualquier número real?

No. La entrada representa el tiempo, por lo que, si bien los números racionales e irracionales no negativos son posibles, los números reales negativos no son posibles para este ejemplo. La entrada consiste en números reales no negativos.

Representar una función lineal de forma gráfica

Otra forma de representar las funciones lineales es visualmente, mediante un gráfico. Podemos utilizar la relación de funciones de arriba, $D (t) = 83 t + 250,$ para dibujar un gráfico, representado en la Figura 3. Observe que el gráfico es una línea. Cuando trazamos una función lineal, el gráfico es siempre una recta.

La tasa de cambio, que es constante, determina la inclinación o pendiente de la línea. El punto en el que el valor de entrada es cero es la intersección vertical, o intersección en y, de la línea. Podemos ver en el gráfico de la Figura 3 que la intersección en y en el ejemplo del tren que acabamos de ver es $(0, 250)$ y representa la distancia del tren a la estación cuando comenzó a moverse a velocidad constante.

Gráfico de una función creciente con puntos en (-2, -4) y (0, 2).

Figura 3 el gráfico de

D (t) = 83 t + 250.

Los gráficos de las funciones lineales son líneas porque la tasa de cambio es constante.

Observe que el gráfico del ejemplo del tren está restringido, pero no siempre es así. Considere el gráfico de la línea $f (x) = 2 x +1.$ Pregúntese qué números se pueden introducir en la función, es decir, cuál es el dominio de la función. El dominio está compuesto por todos los números reales porque cualquier número puede duplicarse, y luego sumar uno al producto.

Función lineal

La función lineal es aquella cuya representación gráfica es una línea. Las funciones lineales se escriben en la forma pendiente-intersección de una línea.

f (x) = m x + b

donde $b$ es el valor inicial o de partida de la función (cuando se introduce, $x = 0$ ), y $m$ es la tasa de cambio constante de la función, o pendiente de la función. Así que la intersección en y está en $(0, b) .$

Ejemplo 1

Usar una función lineal para hallar la presión en un buceador

La presión, $P,$ en libras por pulgada cuadrada (PSI) en el buceador en la Figura 4 depende de su profundidad bajo la superficie del agua, $d,$ en pies. Esta relación puede modelarse mediante la ecuación $P (d) = 0,434 d + 14,696.$ Repita esta función con palabras.

Figura 4 (Créditos: Ilse Reijs y Jan-Noud Hutten)

Solución

Para replantear la función en palabras tenemos que describir cada parte de la ecuación. La presión en función de la profundidad es igual a cuatrocientos treinta y cuatro milésimas de la profundidad más catorce y seiscientos noventa y seis milésimas.

Análisis

El valor inicial, 14,696, es la presión en PSI sobre el buceador a una profundidad de 0 pies, que es la superficie del agua. La tasa de cambio, o pendiente, es de 0,434 PSI por pie. Esto nos indica que la presión sobre el buceador aumenta 0,434 PSI por cada pie que aumenta su profundidad.

Determinar si una función lineal es creciente, decreciente o constante

Las funciones lineales que hemos utilizado en los dos ejemplos anteriores aumentan con el tiempo, pero no todas lo hacen. La función lineal puede ser creciente, decreciente o constante. En el caso de una función creciente, como en el ejemplo del tren, los valores de salida aumentan a medida que aumentan los valores de entrada. El gráfico de la función creciente tiene una pendiente positiva. Una línea con pendiente positiva se inclina hacia arriba de izquierda a derecha como en Figura 5(a). En el caso de una función decreciente, la pendiente es negativa. Los valores de salida disminuyen a medida que aumentan los valores de entrada. Una línea con pendiente negativa se inclina hacia abajo de izquierda a derecha como en la Figura 5(b). Si la función es constante, los valores de salida son los mismos para todos los valores de entrada, por lo que la pendiente es cero. Una línea con pendiente cero es horizontal como en la Figura 5(c).

Tres gráficos que representan una función creciente, una función decreciente y una función constante.

Figura 5

Funciones crecientes y decrecientes

La pendiente determina si la función es una función lineal creciente, una función lineal decreciente o una función constante.

$f (x) = m x + b es una función creciente si m > 0,$
$f (x) = m x + b es una función decreciente si m < 0,$
$f (x) = m x + b es una función constante si m = 0,$

Ejemplo 2

Decidir si una función es creciente, decreciente o constante

Los estudios de principios de la primera década del siglo XXI indicaban que los adolescentes enviaban unos 60 mensajes de texto al día, mientras que los datos más recientes indican tasas de mensajería mucho más elevadas entre todos los usuarios, sobre todo teniendo en cuenta las diversas aplicaciones con las que la gente puede comunicarse. Para cada una de las siguientes situaciones, halle la función lineal que describa la relación entre el valor de entrada y el valor de salida. A continuación, determine si el gráfico de la función es creciente, decreciente o constante.

Ⓐ El número total de textos que envía un adolescente se considera en función del tiempo en días. La entrada es el número de días, y la salida es el número total de textos enviados.
Ⓑ Una persona tiene un límite de 500 mensajes de texto al mes en su plan de datos. La entrada es el número de días, y la salida es el número total de textos que quedan para el mes.
Ⓒ Una persona tiene un número ilimitado de mensajes de texto en su plan de datos por un costo de 50 dólares al mes. La entrada es el número de días, y la salida es el costo total de los mensajes de texto cada mes.

Solución

Analice cada función.

Ⓐ La función puede representarse como $f (x) = 60 x$ donde $x$ es el número de días. La pendiente, 60, es positiva, por lo que la función es creciente. Esto tiene sentido porque el número total de textos aumenta cada día.
Ⓑ La función puede representarse como $f (x) = 500 - 60 x$ donde $x$ es el número de días. En este caso, la pendiente es negativa, por lo que la función es decreciente. Esto tiene sentido porque el número de textos restantes disminuye cada día y esta función representa el número de textos restantes en el plan de datos después de $x$ días.
Ⓒ La función de costo puede representarse como $f (x) = 50$ porque el número de días no incide en el costo total. La pendiente es 0, por lo que la función es constante.

Calcular e interpretar la pendiente

En los ejemplos que hemos visto hasta ahora, nos han proporcionado la pendiente. Sin embargo, a menudo necesitamos calcular la pendiente dados los valores de entrada y salida. Dados dos valores de entrada, $x_{1}$ y $x_{2},$ y dos valores correspondientes para la salida, $y_{1}$ y $y_{2}$ , que puede representarse mediante un conjunto de puntos, $(x_{1}, y_{1})$ y $(x_{2}, y_{2})$ , podemos calcular la pendiente $m,$ como sigue

m = \frac{cambio en la salida (subida)}{cambio en la entrada (recorrido)} = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

donde $Δ y$ es el desplazamiento vertical y $Δ x$ es el desplazamiento horizontal. Observe en la notación de la función dos valores correspondientes a la salida $y_{1}$ y $y_{2}$ para la función $f,$ $y_{1} = f (x_{1})$ y $y_{2} = f (x_{2}),$ por lo que podríamos escribir de forma equivalente

m = \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}}

la Figura 6 indica cómo se calcula la pendiente de la línea entre los puntos, $(x_{1,} y_{1})$ y $(x_{2,} y_{2})$ . Recordemos que la pendiente mide la inclinación. Cuanto mayor sea el valor absoluto de la pendiente, más pronunciada será la línea.

Gráfico que muestra cómo calcular la pendiente de una línea

Figura 6 La pendiente de una función se calcula mediante el cambio en

y

dividido entre el cambio en

x .

Es indiferente la coordenada que se utilice como

(x_{2,} y_{2})

y cuál es

(x_{1}, y_{1}),

siempre que cada cálculo se inicie con los elementos del mismo par de coordenadas.

Preguntas y respuestas

¿Las unidades de la pendiente son siempre $\frac{unidades para la salida}{unidades para la entrada}$ ?

Sí. Piense en las unidades como el cambio del valor de salida por cada unidad de cambio en el valor de entrada. Un ejemplo de pendiente podría ser millas por hora o dólares por día. Observe que las unidades aparecen como el cociente de unidades para la salida por unidades para la entrada.

Calcular la pendiente

La pendiente, o tasa de cambio, de una función $m$ puede calcularse de acuerdo con lo siguiente:

m = \frac{cambio en la salida (subida)}{cambio en la entrada (recorrido)} = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

donde $x_{1}$ y $x_{2}$ son valores de entrada, $y_{1}$ y $y_{2}$ son valores de salida.

Cómo

Dados dos puntos a partir de una función lineal, calcule e interprete la pendiente.

Determine las unidades relativas a los valores de salida y entrada.
Calcule el cambio de los valores de salida y de entrada.
Interprete la pendiente como el cambio en los valores de salida por unidad del valor de entrada.

Ejemplo 3

Hallar la pendiente de una función lineal

Si los valores de $f (x)$ es una función lineal, y $(3, -2)$ y $(8, 1)$ son puntos de la recta, calcule la pendiente. ¿Esta función es creciente o decreciente?

Solución

Los pares de coordenadas son $(3, -2)$ y $(8, 1) .$ Para calcular la tasa de cambio, dividimos el cambio en la producción entre el cambio en la entrada.

m = \frac{cambio en la salida}{cambio en la entrada} = \frac{1 - (- 2)}{8 - 3} = \frac{3}{5}

También podríamos escribir la pendiente como $m = 0,6.$ La función es creciente porque $m > 0 .$

Análisis

Como se ha señalado anteriormente, el orden en el que escribimos los puntos no importa cuando calculamos la pendiente de la línea siempre que el primer valor de salida, o coordenada y, que se utilice se corresponda con el primer valor de entrada, o coordenada x, utilizado.

Inténtelo #1

Si los valores de $f (x)$ es una función lineal, y $(2, 3)$ y $(0, 4)$ son puntos de la recta, calcule la pendiente. ¿Esta función es creciente o decreciente?

Ejemplo 4

Determinar el cambio demográfico a partir de una función lineal

La población de la ciudad aumentó de 23.400 a 27.800 habitantes entre 2008 y 2012. Halle la variación de la población por año si suponemos que el cambio fue constante desde 2008 hasta 2012.

Solución

La tasa de cambio relaciona el cambio en la población con el cambio en el tiempo. La población aumentó en $27.800 - 23.400 = 4.400$ habitantes en el intervalo de cuatro años. Para hallar la tasa de cambio, hay que dividir el cambio en el número de personas entre el número de años.

\frac{4.400 personas}{4 años} = 1.100 \frac{personas}{año}

Así que la población aumentó en 1.100 habitantes al año.

Análisis

Como se nos dice que la población aumentó, esperaríamos que la pendiente sea positiva. Por lo tanto, esta pendiente positiva que hemos calculado es razonable.

Inténtelo #2

La población de una pequeña ciudad aumentó de 1.442 a 1.868 habitantes entre 2009 y 2012. Halle la variación de la población por año si suponemos que el cambio fue constante desde 2009 hasta 2012.

Escribir la forma punto-pendiente de una ecuación lineal

Hasta ahora, hemos utilizado la forma pendiente-intersección de la ecuación lineal para describir funciones lineales. Aquí aprenderemos otra forma de escribir una función lineal, la forma punto-pendiente.

y - y_{1} = m (x - x_{1})

La forma punto-pendiente se deriva de la fórmula de la pendiente.

\begin{array}{l} m = \frac{y - y_{1}}{x - x_{1}} & suponiendo que x \neq x_{1} \\ m (x - x_{1}) = \frac{y - y_{1}}{x - x_{1}} (x - x_{1}) & Multiplique ambos lados por (x - x_{1}) . \\ m (x - x_{1}) = y - y_{1} & Simplifique . \\ y - y_{1} = m (x - x_{1}) & Reacomode . \end{array}

Tenga presente que la forma pendiente-intersección y la forma punto-pendiente pueden utilizarse para describir la misma función. Podemos pasar de una forma a otra con el álgebra básica. Por ejemplo, supongamos que nos dan una ecuación en forma de punto-pendiente, $y - 4 = - \frac{1}{2} (x - 6)$ . Podemos convertirla a la forma pendiente-intersección, como se indica.

\begin{array}{l} y - 4 = - \frac{1}{2} (x - 6) \\ y - 4 = - \frac{1}{2} x + 3 & Distribuya el - \frac{1}{2} . \\ y = - \frac{1}{2} x + 7 & Sume 4 a cada lado . \end{array}

Por lo tanto, la misma línea puede describirse en forma de pendiente-intersección como $y = - \frac{1}{2} x + 7.$

Forma punto-pendiente de una ecuación lineal

La forma punto-pendiente de una ecuación lineal tiene la forma

y - y_{1} = m (x - x_{1})

donde $m$ es la pendiente, $x_{1} y y_{1}$ son las coordenadas de la $x y de la y$ de un punto concreto por el que pasa la línea.

Escribir la ecuación de una recta mediante un punto y la pendiente

La forma punto-pendiente es especialmente útil si conocemos un punto y la pendiente de una línea. Supongamos, por ejemplo, que nos dicen que una línea tiene una pendiente de 2 y pasa por el punto $(4, 1) .$ Sabemos que $m = 2$ y que $x_{1} = 4$ y $y_{1} = 1.$ Podemos sustituir estos valores en la ecuación general de punto-pendiente.

\begin{matrix} y - y_{1} = m (x - x_{1}) \\ y - 1 = 2 (x - 4) \end{matrix}

Si quisiéramos reescribir la ecuación en forma de pendiente-intersección, aplicaríamos técnicas algebraicas.

\begin{array}{l} y - 1 = 2 (x - 4) \\ y - 1 = 2 x - 8 & Distribuya el 2. \\ y = 2 x - 7 & Sume 1 a cada lado . \end{array}

Ambas ecuaciones, $y - 1 = 2 (x - 4)$ y $y = 2 x - 7,$ describen la misma línea. Vea la Figura 7.

Figura 7

Ejemplo 5

Escribir ecuaciones lineales mediante el empleo de un punto y la pendiente

Escriba la forma punto-pendiente de la ecuación de una línea con pendiente 3 que pasa por el punto $(6, -1) .$ Entonces, reescríbala en la forma pendiente-intersección.

Solución

Averigüemos lo que sabemos a partir de la información dada. La pendiente es 3, por lo que $m = 3.$ También conocemos un punto, por lo que sabemos que $x_{1} = 6$ y $y_{1} = −1.$ Ahora podemos sustituir estos valores en la ecuación general de punto-pendiente.

\begin{array}{l} y - y_{1} = m (x - x_{1}) \\ y - (- 1) = 3 (x - 6) & Sustituya los valores conocidos . \\ y + 1 = 3 (x - 6) & Distribuya - 1 para hallar la forma punto-pendiente . \end{array}

Luego usamos el álgebra para hallar la forma pendiente-intersección.

\begin{array}{l} y + 1 = 3 (x - 6) \\ y + 1 = 3 x - 18 & Distribuya 3 . \\ y = 3 x - 19 & Simplifique a la forma pendiente-intersección . \end{array}

Inténtelo #3

Escriba la forma punto-pendiente de una ecuación de una línea con una pendiente de $-2$ que pasa por el punto $(-2, 2) .$ Entonces, reescríbala en la forma pendiente-intersección.

Escribir la ecuación de una línea con dos puntos

La forma punto-pendiente de una ecuación también sirve si conocemos dos puntos cualesquiera por los que pasa una línea. Supongamos, por ejemplo, que sabemos que una línea pasa por los puntos $(0, 1)$ y $(3, 2) .$ Podemos utilizar las coordenadas de los dos puntos para calcular la pendiente.

\begin{array}{l} \begin{array}{l} m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} \end{array} \\ = \frac{2 - 1}{3 - 0} \\ = \frac{1}{3} \end{array}

Ahora podemos utilizar la pendiente que hemos calculado y las coordenadas de uno de los puntos para hallar la ecuación de la línea. Utilicemos (0, 1) para nuestro punto.

\begin{matrix} y - y_{1} = m (x - x_{1}) \\ y - 1 = \frac{1}{3} (x - 0) \end{matrix}

Como antes, podemos utilizar el álgebra para reescribir la ecuación en la forma pendiente-intersección.

\begin{array}{l} y - 1 = \frac{1}{3} (x - 0) \\ y - 1 = \frac{1}{3} x & Distribuya el \frac{1}{3} . \\ y = \frac{1}{3} x + 1 & Sume 1 a cada lado . \end{array}

Ambas ecuaciones describen la línea mostrada en la Figura 8.

Figura 8

Ejemplo 6

Escribir ecuaciones lineales con dos puntos

Escriba la forma punto-pendiente de la ecuación de una línea que pasa por los puntos (5, 1) y (8, 7). Luego reescríbala en la forma pendiente-intersección.

Solución

Empecemos por hallar la pendiente.

\begin{array}{l} \begin{array}{l} m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} \end{array} \\ = \frac{7 - 1}{8 - 5} \\ = \frac{6}{3} \\ = 2 \end{array}

Así que $m = 2.$ A continuación, sustituimos la pendiente y las coordenadas de uno de los puntos en la ecuación general punto-pendiente. Podemos elegir cualquiera de los dos puntos, pero utilizaremos $(5, 1) .$

\begin{matrix} y - y_{1} = m (x - x_{1}) \\ y - 1 = 2 (x - 5) \end{matrix}

La ecuación punto-pendiente de la línea es $y_{2} - 1 = 2 (x_{2} - 5) .$ Para reescribir la ecuación en forma de pendiente-intersección, utilizamos el álgebra.

\begin{array}{l} y - 1 = 2 (x - 5) \\ y - 1 = 2 x - 10 \\ y = 2 x - 9 \end{array}

La ecuación punto-intersección de la línea es $y = 2 x - 9.$

Inténtelo #4

Escriba la forma punto-pendiente de la ecuación de una línea que pasa por los puntos $(-1, 3)$ y $(0, 0) .$ Entonces, reescríbala en la forma pendiente-intersección.

Escribir e interpretar una ecuación para una función lineal

Ahora que hemos escrito las ecuaciones de las funciones lineales tanto en la forma pendiente-intersección como en la forma punto-pendiente, podemos elegir qué método utilizar en función de la información que nos brinden. Esa información puede proporcionarse en forma de gráfico, un punto y una pendiente, dos puntos, etc. Mire el gráfico de la función $f$ en la Figura 9.

Figura 9

No se nos da la pendiente de la línea, pero podemos elegir dos puntos cualesquiera para determinar la pendiente. Elijamos $(0, 7)$ y $(4, 4) .$ Podemos utilizar estos puntos para calcular la pendiente.

\begin{array}{l} \begin{array}{l} m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} \end{array} \\ \begin{array}{l} = \frac{4 - 7}{4 - 0} \\ = - \frac{3}{4} \end{array} \end{array}

Ahora podemos sustituir la pendiente y las coordenadas de uno de los puntos en la forma punto-pendiente.

\begin{array}{l} y - y_{1} = m (x - x_{1}) \\ y - 4 = - \frac{3}{4} (x - 4) \end{array}

Si queremos reescribir la ecuación en la forma pendiente-intersección, hallaríamos

\begin{array}{l} y - 4 = - \frac{3}{4} (x - 4) \\ y - 4 = - \frac{3}{4} x + 3 \\ y = - \frac{3}{4} x + 7 \end{array}

Si quisiéramos determinar la forma pendiente-intersección sin escribir primero la forma punto-pendiente, podríamos haber reconocido que la línea cruza el eje y cuando el valor de salida es 7. Por lo tanto, $b = 7.$ Ahora tenemos el valor inicial $b$ y la pendiente $m$ por lo que podemos sustituir $m$ y $b$ en la forma pendiente-intersección de una línea.

Así que la función es $f (x) = - \frac{3}{4} x + 7,$ y la ecuación lineal sería $y = - \frac{3}{4} x + 7.$

Cómo

Dado el gráfico de una función lineal, escribir una ecuación que represente la función.

Identifique dos puntos de la línea.
Utilice los dos puntos para calcular la pendiente.
Determine dónde la línea cruza el eje y para identificar la intersección en y mediante una inspección visual.
Sustituya la pendiente y la intersección en y en la forma pendiente-intersección de una ecuación lineal.

Ejemplo 7

Escribir una ecuación para una función lineal

Escriba una ecuación para una función lineal dado un gráfico de $f$ , que se muestra en la Figura 10.

Gráfico de una función creciente con puntos en (-3, 0) y (0, 1).

Figura 10

Solución

Identifique dos puntos en la línea, como $(0, 2)$ y $(- 2, –4) .$ Utilice los puntos para calcular la pendiente.

\begin{array}{l} \begin{array}{l} m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} \end{array} \\ = \frac{- 4 - 2}{- 2 - 0} \\ = \frac{- 6}{- 2} \\ = 3 \end{array}

Sustituya la pendiente y las coordenadas de uno de los puntos en la forma punto-pendiente.

\begin{matrix} y - y_{1} = m (x - x_{1}) \\ y - (- 4) = 3 (x - (- 2)) \\ y + 4 = 3 (x + 2) \end{matrix}

Podemos utilizar el álgebra para reescribir la ecuación en la forma de pendiente-intersección.

\begin{array}{l} y + 4 = 3 (x + 2) \\ y + 4 = 3 x + 6 \\ y = 3 x + 2 \end{array}

Análisis

Esto tiene sentido porque podemos ver en la Figura 11 que la línea cruza el eje y en el punto $(0, 2)$ , que es la intersección en y, por lo tanto $b = 2.$

Gráfico de una recta creciente con puntos en (0, 2) y (-2, -4).

Figura 11

Ejemplo 8

Escribir una ecuación para una función de costo lineal

Supongamos que Ben crea una empresa en la que incurre en un costo fijo de 1.250 dólares al mes por los gastos generales, que incluyen el alquiler de su oficina. Su costo de producción es de 37,50 dólares por artículo. Escriba una función lineal $C$ donde $C (x)$ es el costo de $x$ artículos producidos en un mes determinado.

Solución

El costo fijo está presente cada mes, 1.250 dólares. El costo variable abarca el costo de producción de cada artículo, que es de 37,50 dólares para Ben. El costo variable, denominado costo marginal, viene representado por $37,5.$ El costo en el que incurre Ben es la suma de estos dos costos, representados por $C (x) = 1.250 + 37,5 x .$

Análisis

Si Ben produce 100 artículos en un mes, su costo mensual viene representado por

\begin{array}{l} C (100) = 1.250 + 37,5 (100) \\ = 5.000 \end{array}

Así que su costo mensual sería de 5.000 dólares.

Ejemplo 9

Escribir una ecuación para una función lineal dados dos puntos

Si los valores de $f$ es una función lineal, con $f (3) = −2$ y $f (8) = 1$ , halle una ecuación para la función en la forma pendiente-intersección.

Solución

Podemos escribir los puntos dados mediante el empleo de coordenadas.

\begin{array}{l} f (3) = −2 \to (3, –2) \\ f (8) = 1 \to (8, 1) \end{array}

A continuación, podemos utilizar los puntos para calcular la pendiente.

\begin{array}{l} \begin{array}{l} m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} \end{array} \\ = \frac{1 - (- 2)}{8 - 3} \\ = \frac{3}{5} \end{array}

Sustituya la pendiente y las coordenadas de uno de los puntos en la forma punto-pendiente.

\begin{array}{l} y - y_{1} = m (x - x_{1}) \\ y - (- 2) = \frac{3}{5} (x - 3) \end{array}

Podemos utilizar el álgebra para reescribir la ecuación en la forma de pendiente-intersección.

\begin{array}{l} y + 2 = \frac{3}{5} (x - 3) \\ y + 2 = \frac{3}{5} x - \frac{9}{5} \\ y = \frac{3}{5} x - \frac{19}{5} \end{array}

Inténtelo #5

Si los valores de $f (x)$ es una función lineal, con $f (2) = - 11,$ y $f (4) = - 25,$ halle una ecuación para la función en la forma pendiente-intersección.

Modelar problemas del mundo real con funciones lineales

En el mundo real, los problemas no siempre se plantean explícitamente en términos de una función o se representan con un gráfico. Afortunadamente, podemos analizar el problema al representarlo primero como una función lineal y luego interpretar los componentes de la función. Siempre que conozcamos, o podamos averiguar, el valor inicial y la tasa de cambio de una función lineal, podremos resolver muchos tipos de problemas del mundo real.

Cómo

Dada una función lineal $f$ y el valor inicial y la tasa de cambio, evaluar $f (c) .$

Determine el valor inicial y la tasa de cambio (pendiente).
Sustituya los valores en $f (x) = m x + b .$
Evalúe la función en $x = c .$

Ejemplo 10

Usar la función lineal para determinar el número de canciones en una colección musical

Marcus tiene actualmente 200 canciones en su colección de música. Cada mes añade 15 canciones. Escriba una fórmula para el número de canciones, $N,$ en su colección en función del tiempo, $t,$ el número de meses. ¿Cuántas canciones tendrá en un año?

Solución

El valor inicial de esta función es 200 porque actualmente posee 200 canciones, por lo que $N (0) = 200,$ lo que significa que $b = 200.$

El número de canciones aumenta en 15 al mes, por lo que la tasa de cambio es de 15 canciones al mes. Por lo tanto, sabemos que $m = 15.$ Podemos sustituir el valor inicial y la tasa de cambio en la forma pendiente-intersección de una línea.

Podemos escribir la fórmula $N (t) = 15 t + 200.$

Con esta fórmula, podemos predecir cuántas canciones tendrá Marcus en 1 año (12 meses). En otras palabras, podemos evaluar la función en $t = 12.$

\begin{array}{l} N (12) = 15 (12) + 200 \\ = 180 + 200 \\ = 380 \end{array}

Marcus tendrá 380 canciones en 12 meses.

Análisis

Observe que N es una función lineal creciente. A medida que aumenta la entrada (el número de meses), también aumenta la salida (el número de canciones).

Ejemplo 11

Usar una función lineal para calcular el salario más las comisiones

Trabajando como vendedor de seguros, Ilya gana un salario base más una comisión por cada nueva póliza. Por lo tanto, el ingreso semanal de Ilya, $I,$ depende del número de pólizas, $n,$ que vende durante la semana. La semana pasada vendió 3 pólizas y ganó 760 dólares en la semana. La semana anterior, vendió 5 pólizas y ganó 920 dólares. Halle una ecuación para $I (n),$ e interprete el significado de los elementos de la ecuación.

Solución

La información dada nos da dos pares de entrada-salida $(3,760)$ y $(5,920) .$ Empezamos por estimar la tasa de cambio.

\begin{array}{l} m = \frac{920 - 760}{5 - 3} \\ = \frac{160 dólares}{2 pólizas} \\ = 80 dólares por cada póliza \end{array}

Llevar la cuenta de las unidades nos permite interpretar esta cantidad. Los ingresos aumentaron en 160 dólares cuando el número de pólizas aumentó en 2, por lo que la tasa de variación es de 80 dólares por cada póliza. Por lo tanto, Ilya gana una comisión de 80 dólares por cada póliza que venda durante la semana.

Entonces podemos resolver el valor inicial.

\begin{array}{l} I (n) = 80 n + b \\ 760 = 80 (3) + b & cuando n n = 3, I (3) = 760 \\ 760 - 80 (3) = b \\ 520 = b \end{array}

El valor de $b$ es el valor inicial de la función y representa los ingresos de Ilya cuando $n = 0,$ o cuando no se vendan nuevas pólizas. Podemos interpretarlo como el salario base de Ilya para la semana, que no depende del número de pólizas vendidas.

Ahora podemos escribir la ecuación final.

I (n) = 80 n + 520

Nuestra interpretación final es que el salario base de Ilya es de 520 dólares semanales y que gana una comisión adicional de 80 dólares por cada póliza que venda.

Ejemplo 12

Usar la forma tabular para escribir la ecuación de una función lineal

La Tabla 1 relaciona el número de ratas de una población con el tiempo, en semanas. Utilice la tabla para escribir la ecuación lineal.

w, número de semanas	0	2	4	6
P(w), número de ratas	1.000	1.080	1.160	1.240

Tabla 1

Solución

Podemos ver en la tabla que el valor inicial del número de ratas es 1.000, por lo que $b = 1.000.$

En lugar de resolver para $m,$ podemos decir, a partir de la tabla, que la población aumenta en 80 por cada 2 semanas que pasan. Esto significa que la tasa de cambio es de 80 ratas cada 2 semanas, lo que puede simplificarse a 40 ratas por semana.

P (w) = 40 w + 1.000

Si no nos fijamos en la tasa de cambio de la tabla, aún podemos resolver la pendiente con dos puntos cualesquiera de la tabla. Por ejemplo, al utilizar $(2, 1.080)$ y $(6, 1.240)$

\begin{array}{l} m = \frac{1.240 - 1.080}{6 - 2} \\ = \frac{160}{4} \\ = 40 \end{array}

Preguntas y respuestas

¿El valor inicial se proporciona siempre en una tabla de valores como en la Tabla 1?

No. A veces el valor inicial se proporciona en una tabla de valores, pero otras veces no. Si se ve una entrada de 0, entonces el valor inicial sería la salida correspondiente. Si no se proporciona el valor inicial porque no hay ningún valor de entrada en la tabla igual a 0, halle la pendiente, sustituya un par de coordenadas y la pendiente en $f (x) = m x + b,$ y resuelva para $b .$

Inténtelo #6

Se introdujo un nuevo abono en un árbol joven para probar su efecto en la altura. La Tabla 2 muestra la altura del árbol en pies, $x$ meses desde que comenzaron las mediciones. Escriba una función lineal, $H (x),$ donde $x$ es el número de meses transcurridos desde el inicio del experimento.

$x$	0	2	4	8	12
$H (x)$	12,5	13,5	14,5	16,5	18,5

Tabla 2

Media

Acceda a este recurso en línea para obtener más información y practicar con las funciones lineales.

Funciones lineales

2.1 Ejercicios de sección

Verbales

1.

Terry esquía por una colina empinada. La elevación de Terry, $E (t),$ en pies después de que $t$ segundos viene dada por $E (t) = 3.000 - 70 t .$ Escriba una frase completa que describa la elevación inicial de Terry y cómo cambia con el tiempo.

2.

María escala una montaña. La elevación de María, $E (t),$ en pies después de que $t$ minutos viene dada por $E (t) = 1.200 + 40 t .$ Escriba una frase completa que describa la elevación inicial de María y cómo va cambiando con el tiempo.

3.

Jessica se dirige caminando a su casa desde la casa de un amigo. Después de 2 minutos está a 1,4 millas de su casa. Doce minutos después de salir, está a 0,9 millas de su casa. ¿Cuál es su velocidad en millas por hora?

4.

Sonya se encuentra actualmente a 10 millas de su casa y se aleja caminando a 2 millas por hora. Escriba una ecuación para la distancia que le separa de su casa en t horas a partir de ahora.

5.

Un barco está a 100 millas de la marina y navega directamente hacia esta a 10 millas por hora. Escriba una ecuación para la distancia que separa el barco de la marina después de t horas.

6.

Timmy va a la feria con 40 dólares. Cada atracción cuesta 2 dólares. ¿Cuánto dinero le quedará después de $n$ atracciones?

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, determine si la ecuación de la curva puede escribirse como una función lineal.

7.

$y = \frac{1}{4} x + 6$

8.

$y = 3 x - 5$

9.

$y = 3 x^{2} - 2$

10.

$3 x + 5 y = 15$

11.

$3 x^{2} + 5 y = 15$

12.

$3 x + 5 y^{2} = 15$

13.

$- 2 x^{2} + 3 y^{2} = 6$

14.

$- \frac{x - 3}{5} = 2 y$

En los siguientes ejercicios, determine si cada función es creciente o decreciente.

15.

$f (x) = 4 x + 3$

16.

$g (x) = 5 x + 6$

17.

$a (x) = 5 - 2 x$

18.

$b (x) = 8 - 3 x$

19.

$h (x) = - 2 x + 4$

20.

$k (x) = - 4 x + 1$

21.

$j (x) = \frac{1}{2} x - 3$

22.

$p (x) = \frac{1}{4} x - 5$

23.

$n (x) = - \frac{1}{3} x - 2$

24.

$m (x) = - \frac{3}{8} x + 3$

En los siguientes ejercicios, calcule la pendiente de la línea que pasa por los dos puntos dados.

25.

$(2, 4)$ y $(4, 10)$

26.

$(1, 5)$ y $(4, 11)$

27.

$(–1, 4)$ y $(5, 2)$

28.

$(8, –2)$ y $(4, 6)$

29.

$(6, 11)$ y $(- 4, 3)$

En los siguientes ejercicios, dado cada conjunto de información, halle una ecuación lineal que satisfaga las condiciones, si es posible.

30.

$f (- 5) = - 4,$ y $f (5) = 2$

31.

$f (–1) = 4$ y $f (5) = 1$

32.

$(2, 4)$ y $(4, 10)$

33.

Pasa por $(1, 5)$ y $(4, 11)$

34.

Pasa por $(- 1, 4)$ y $(5, 2)$

35.

Pasa por $(- 2, 8)$ y $(4, 6)$

36.

intersección x en $(- 2, 0)$ y la intersección y en $(0, −3)$

37.

intersección x en $(- 5, 0)$ y la intersección y en $(0, 4)$

Gráficos

En los siguientes ejercicios, halle la pendiente de las líneas graficadas.

38.

39.

40.

En los siguientes ejercicios, escriba una ecuación para las líneas graficadas.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

Numéricos

En los siguientes ejercicios, ¿cuál de las tablas podría representar una función lineal? Para cada uno de los que podrían ser lineales, halle una ecuación lineal que modele los datos.

47.

$x$	0	5	10	15
$g (x)$	5	-10	-25	–40

48.

$x$	0	5	10	15
$h (x)$	5	30	105	230

49.

$x$	0	5	10	15
$f (x)$	–5	20	45	70

50.

$x$	5	10	20	25
$k (x)$	13	28	58	73

51.

$x$	0	2	4	6
$g (x)$	6	-19	–44	-69

52.

$x$	2	4	6	8
$f (x)$	-4	16	36	56

53.

$x$	2	4	6	8
$f (x)$	-4	16	36	56

54.

$x$	0	2	6	8
$k (x)$	6	31	106	231

En tecnología

55.

Si los valores de $f$ es una función lineal, $f (0,1) = 11,5, y f (0,4) = - 5,9,$ hallar una ecuación para la función.

56.

Grafique la función $f$ en un dominio de $[- 10, 10] : f (x) = 0,02 x - 0,01.$ Introduzca la función en una herramienta gráfica. Para la ventana de visualización, establezca el valor mínimo de $x$ para que sea $- 10$ y el valor máximo de $x$ para que sea $10.$

57.

Grafique la función $f$ en un dominio de $[- 10, 10] : f x) = 2, 500 x + 4, 000$

58.

La Tabla 3 muestra la entrada, $w,$ y la salida, $k,$ para una función lineal $k .$ a. Rellene los valores que faltan en la tabla. b. Escriba la función lineal $k,$ redondee a 3 decimales.

$w$	-10	5,5	67,5	b
$k$	30	-26	a	–44

Tabla 3

59.

La Tabla 4 muestra la entrada, $p,$ y la salida, $q,$ para una función lineal $q .$ a. Rellene los valores que faltan en la tabla. b. Escriba la función lineal $k .$

$p$	0,5	0,8	12	b
$q$	400	700	a	1.000.000

Tabla 4

60.

Represente gráficamente la función lineal $f$ en un dominio de $[- 10, 10]$ para la función cuya pendiente es $\frac{1}{8}$ y la intersección en y es $\frac{31}{16}$ . Marque los puntos para los valores de entrada de $- 10$ y $10.$

61.

Represente gráficamente la función lineal $f$ en un dominio de $[- 0,1, 0,1]$ para la función cuya pendiente es 75 y la intersección en y es $- 22,5$ . Marque los puntos para los valores de entrada de $- 0,1$ y $0,1.$

62.

Represente gráficamente la función lineal $f$ donde $f (x) = a x + b$ en el mismo conjunto de ejes en un dominio de $[- 4, 4]$ para los siguientes valores de $a$ y $b .$

$a = 2; b = 3$
$a = 2; b = 4$
$a = 2; b = - 4$
$a = 2; b = - 5$

Extensiones

63.

Calcule el valor de $x$ si una función lineal pasa por los siguientes puntos y tiene la siguiente pendiente: $(x, 2), (- 4, 6), m = 3$

64.

Calcule el valor de y si una función lineal pasa por los siguientes puntos y tiene la siguiente pendiente: $(10, y), (25, 100), m = - 5$

65.

Halle la ecuación de la línea que pasa por los siguientes puntos: $(a, b)$ y $(a, b + 1)$

66.

Halle la ecuación de la línea que pasa por los siguientes puntos: $(2 a, b)$ y $(a, b + 1)$

67.

Halle la ecuación de la línea que pasa por los siguientes puntos: $(a, 0)$ y $(c, d)$

Aplicaciones en el mundo real

68.

A mediodía, una camarera se da cuenta de que tienen 20 dólares en el tarro de las propinas. Si la camarera gana un promedio de 0,50 dólares de cada cliente, ¿cuánto tendrán en su tarro de propinas si atiende a $n$ más clientes durante su turno?

69.

La suscripción al gimnasio con dos sesiones de entrenamiento personal cuesta 125 dólares, comparado con 260 dólares por cinco sesiones. ¿Cuál es el costo por sesión?

70.

Una empresa de confección descubre que existe una relación lineal entre el número de camisas, $n,$ que puede vender y el precio, $p,$ que puede cobrar por cada una. En concreto, los datos históricos muestran que se pueden vender 1.000 camisas a un precio de $30$ dólares, mientras que 3.000 camisas pueden venderse a un precio de 22 dólares. Halle una ecuación lineal de la forma $p (n) = m n + b$ que da el precio $p$ que se puede cobrar por $n$ camisas.

71.

Una compañía telefónica cobra el servicio según la fórmula $C (n) = 24 + 0,1 n,$ donde $n$ es el número de minutos de conversación telefónica, y $C (n)$ es la tarifa mensual, en dólares. Halle e interprete la tasa de cambio y el valor inicial.

72.

Un agricultor descubre que existe una relación lineal entre el número de tallos de judías, $n,$ que planta y el rendimiento, $y,$ que produce cada planta. Cuando siembra 30 tallos, cada planta produce 30 onzas de judías. Cuando siembra 34 tallos, cada planta produce 28 onzas de judías. Halle una relación lineal de la forma $y = m n + b$ que da el rendimiento cuando se siembran $n$ tallos.

73.

La población de una ciudad en el año 1960 era de 287.500 habitantes. En 1989 la población era de 275.900 habitantes. Calcule la tasa de crecimiento demográfico y formule un enunciado acerca de la tasa de cambio de la población en habitantes por año.

74.

La población de una ciudad ha crecido linealmente. En 2003, la población era de 45.000 habitantes, y ha ido creciendo en 1.700 habitantes cada año. Escriba una ecuación, $P (t),$ para la población $t$ años después de 2003.

75.

Supongamos que el promedio de renta anual (en dólares) de los años 1990 a 1999 viene dado por la función lineal $I (x) = 1054 x + 23, 286,$ donde $x$ es el número de años posteriores a 1990. ¿Cuál de las siguientes opciones interpreta la pendiente en el contexto del problema?

En 1990, el promedio de renta anual era de 23.286 dólares.
En el periodo de diez años comprendido entre 1990 y 1999, el promedio de renta anual aumentó un total de 1.054 dólares.
Cada año de la década de los 90, el promedio de renta anual aumentó en 1.054 dólares.
El promedio de renta anual aumentó hasta un nivel de 23.286 dólares a finales de 1999.

76.

Cuando la temperatura es de 0 grados Celsius, la temperatura Fahrenheit es de 32. Cuando la temperatura Celsius es 100, la temperatura Fahrenheit correspondiente es 212. Exprese la temperatura Fahrenheit como una función lineal de $C,$ la temperatura Celsius, $F (C) .$

Calcule la tasa de cambio de temperatura Fahrenheit para cada unidad de cambio de temperatura Celsius.
Halle e interprete $F (28) .$
Halle e interprete $F (–40) .$

Notas a pie de página

2http://www.chinahighlights.com/shanghai/transportation/maglev-train.htm

2.1 Funciones lineales

Representar funciones lineales

Representar una función lineal en forma verbal

Representar una función lineal en notación de funciones

Representar una función lineal en forma tabular

Representar una función lineal de forma gráfica

Usar una función lineal para hallar la presión en un buceador

Solución

Análisis

Determinar si una función lineal es creciente, decreciente o constante

Decidir si una función es creciente, decreciente o constante

Solución

Calcular e interpretar la pendiente

Hallar la pendiente de una función lineal

Solución

Análisis

Determinar el cambio demográfico a partir de una función lineal

Solución

Análisis

Escribir la forma punto-pendiente de una ecuación lineal

Escribir la ecuación de una recta mediante un punto y la pendiente

Escribir ecuaciones lineales mediante el empleo de un punto y la pendiente

Solución

Escribir la ecuación de una línea con dos puntos

Escribir ecuaciones lineales con dos puntos

Solución

Escribir e interpretar una ecuación para una función lineal

Escribir una ecuación para una función lineal

Solución

Análisis

Escribir una ecuación para una función de costo lineal

Solución

Análisis

Escribir una ecuación para una función lineal dados dos puntos

Solución

Modelar problemas del mundo real con funciones lineales

Usar la función lineal para determinar el número de canciones en una colección musical

Solución

Análisis

Usar una función lineal para calcular el salario más las comisiones

Solución

Usar la forma tabular para escribir la ecuación de una función lineal

Solución

2.1 Ejercicios de sección

Verbales

Algebraicos

Gráficos

Numéricos

En tecnología

Extensiones

Aplicaciones en el mundo real

Notas a pie de página