Jay Abramson

Conceptos clave

12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos

Una función tiene un límite si los valores de salida se acercan a algún valor $L$ a medida que los valores de entrada se acercan a alguna cantidad $a .$ Vea el Ejemplo 1.
Se utiliza una notación abreviada para describir el límite de una función según la forma $\underset{x \to a}{lím} f (x) = L,$ que indica que a medida que $x$ se acerca a $a,$ tanto desde la izquierda de $x = a$ y desde la derecha de $x = a,$ el valor de salida se acerca a $L .$
Una función tiene un límite izquierdo si $f (x)$ se acerca a $L$ a medida que $x$ se acerca a $a$ donde $x < a .$ Una función tiene un límite derecho si $f (x)$ se acerca a $L$ a medida que $x$ se acerca a $a$ donde $x > a .$
Existen límites laterales si el límite izquierdo y el límite derecho de una función son iguales. Se dice que una función tiene un límite si tiene límites laterales.
Un gráfico proporciona un método visual para determinar el límite de una función.
Si la función tiene un límite a medida que $x$ se acerca a $a,$ las ramas del gráfico se acercarán a la misma coordenada $y$ cerca de $x = a$ desde la izquierda y desde la derecha. Vea el Ejemplo 2.
Se puede utilizar una tabla para determinar si una función tiene un límite. La tabla debe mostrar los valores de entrada que se acercan a $a$ desde ambas direcciones para poder evaluar los valores de salida resultantes. Si los valores de salida se acercan a algún número, la función tiene un límite. Vea el Ejemplo 3.
También se puede utilizar una herramienta gráfica para hallar un límite. Vea el Ejemplo 4.

12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites

Las propiedades de los límites se pueden utilizar para realizar operaciones sobre los límites de las funciones en vez de las propias funciones. Vea el Ejemplo 1.
El límite de una función polinómica puede hallarse calculando la suma de los límites de los términos individuales. Vea el Ejemplo 2 y el Ejemplo 3.
El límite de una función elevada a una potencia es igual a la misma potencia del límite de la función. Otro método es la sustitución directa. Vea el Ejemplo 4.
El límite de la raíz de una función es igual a la raíz correspondiente del límite de la función.
Una forma de hallar el límite de una función expresada como cociente es escribir el cociente en forma factorizada y simplificar. Vea el Ejemplo 5.
Otro método para hallar el límite de una fracción compleja es hallar el mínimo común denominador. Vea el Ejemplo 6.
Un límite que contenga una función que contenga una raíz se puede evaluar mediante un conjugado. Vea el Ejemplo 7.
Los límites de algunas funciones expresadas como cocientes se pueden hallar mediante la factorización. Vea el Ejemplo 8.
Una forma de evaluar el límite de un cociente que contenga valores absolutos es utilizando evidencias numéricas. También puede ser útil configurarlas por partes. Vea el Ejemplo 9.

12.3 Continuidad

Una función continua se puede representar mediante un gráfico sin agujeros ni interrupciones.
Una función cuyo gráfico tiene agujeros es una función discontinua.
Una función es continua en un número determinado si se cumplen tres condiciones:
- Condición 1: $f (a)$ .
- Condición 2: $\underset{x \to a}{lím} f (x)$ existe en $x = a .$
- Condición 3: $\underset{x \to a}{lím} f (x) = f (a) .$
Una función tiene una discontinuidad de salto si los límites izquierdo y derecho son diferentes, lo que hace que el gráfico "salte".
Una función tiene una discontinuidad removible si puede ser redefinida en su punto discontinuo para hacerla continua. Vea el Ejemplo 1.
Algunas funciones, como las polinómicas, son continuas en todas partes. Otras funciones, como las logarítmicas, son continuas en su dominio. Vea el Ejemplo 2 y el Ejemplo 3.
Para que una función definida por partes sea continua, cada parte debe ser continua en su parte del dominio y la función en su conjunto debe ser continua en los límites. Vea el Ejemplo 4 y el Ejemplo 5.

12.4 Derivadas

La pendiente de la línea secante que une dos puntos es la tasa media de cambio de la función entre esos puntos. Vea el Ejemplo 1.
La derivada, o tasa instantánea de cambio, es una medida de la pendiente de la curva de una función en un punto determinado, o la pendiente de la línea tangente a la curva en ese punto. Vea el Ejemplo 2, el Ejemplo 3 y el Ejemplo 4.
El cociente de diferencia es el cociente en la fórmula de la tasa instantánea de cambio:
$\frac{f (a + h) - f (a)}{h}$
Las tasas instantáneas de cambio se pueden usar para hallar soluciones a muchos problemas del mundo real. Vea el Ejemplo 5.
La tasa instantánea de cambio se puede hallar al observar la pendiente de una función en un punto de un gráfico y dibujar una línea tangente a la función en ese punto. Vea el Ejemplo 6.
Las tasas instantáneas de cambio se pueden interpretar para describir situaciones del mundo real. Vea el Ejemplo 7 y el Ejemplo 8.
Algunas funciones no son diferenciables en un punto o puntos. Vea el Ejemplo 9.
La forma punto-pendiente de una línea se puede usar para hallar la ecuación de una línea tangente a la curva de una función. Vea el Ejemplo 10.
La velocidad es un cambio de posición en relación con el tiempo. La velocidad instantánea describe la velocidad de un objeto en un instante dado. La velocidad media describe la velocidad mantenida durante un intervalo de tiempo.
El uso de la derivada permite calcular la velocidad instantánea aunque no haya tiempo transcurrido. Vea el Ejemplo 11.