Jay Abramson

Conceptos clave

9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables

Un sistema de ecuaciones lineales consiste en dos o más ecuaciones formadas por dos o más variables, de manera que todas las ecuaciones del sistema se consideran simultáneamente.
La solución de un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es cualquier par ordenado que satisface cada ecuación de forma independiente. Vea el Ejemplo 1.
Los sistemas de ecuaciones se clasifican en independientes con una solución, dependientes con un número infinito de soluciones o inconsistentes sin solución.
Un método para resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es utilizar un gráfico. En este método, graficamos las ecuaciones en el mismo conjunto de ejes. Vea el Ejemplo 2.
Otro método para resolver un sistema de ecuaciones lineales es la sustitución. Con este método, resolvemos una variable en una ecuación y sustituimos el resultado en la segunda ecuación. Vea el Ejemplo 3.
Un tercer método para resolver un sistema de ecuaciones lineales es la adición, con el cual podemos eliminar una variable sumando coeficientes opuestos de variables correspondientes. Vea el Ejemplo 4.
A menudo es necesario multiplicar una o ambas ecuaciones por una constante para facilitar la eliminación de una variable al sumar las dos ecuaciones. Vea el Ejemplo 5, el Ejemplo 6 y el Ejemplo 7.
Cualquiera de los dos métodos para resolver un sistema de ecuaciones da como resultado un enunciado falso para los sistemas inconsistentes porque están formados por líneas paralelas que nunca se intersecan. Vea el Ejemplo 8.
La solución de un sistema de ecuaciones dependientes siempre será verdadera porque ambas ecuaciones describen la misma línea. Vea el Ejemplo 9.
Los sistemas de ecuaciones se pueden usar para resolver problemas del mundo real en los que interviene más de una variable, como los relacionados con ingresos, costos y ganancias. Vea el Ejemplo 10 y el Ejemplo 11.

9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables

Un conjunto de soluciones es un triple ordenado ${(x, y, z)}$ que representa la intersección de tres planos en el espacio. Vea el Ejemplo 1.
Un sistema de tres ecuaciones de tres variables se puede resolver mediante una serie de pasos que obligan a eliminar una variable. Los pasos incluyen intercambiar el orden de las ecuaciones, multiplicar ambos lados de una ecuación por una constante distinta de cero y sumar un múltiplo que no sea cero de una ecuación a otra ecuación. Vea el Ejemplo 2.
Los sistemas de tres ecuaciones de tres variables son útiles para resolver muchos tipos de problemas del mundo real. Vea el Ejemplo 3.
Un sistema de ecuaciones de tres variables es inconsistente si no existe solución. Tras realizar las operaciones de eliminación, el resultado es una contradicción. Vea el Ejemplo 4.
Los sistemas de ecuaciones de tres variables que son inconsistentes pueden ser el resultado de tres planos paralelos, dos planos paralelos y un plano de intersección o tres planos que se intersecan con los otros dos, pero no en el mismo lugar.
Un sistema de ecuaciones de tres variables es dependiente si tiene un número infinito de soluciones. Tras realizar las operaciones de eliminación, el resultado es una identidad. Vea el Ejemplo 5.
Los sistemas de ecuaciones de tres variables que son dependientes pueden ser el resultado de tres planos idénticos, tres planos que se intersecan en una línea o dos planos idénticos que se intersecan con el tercero en una línea.

9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables

Hay tres tipos posibles de soluciones a un sistema de ecuaciones que representan una línea y una parábola: (1) ninguna solución, la línea no interseca la parábola; (2) una solución, la línea es tangente a la parábola; y (3) dos soluciones, la línea interseca la parábola en dos puntos. Vea el Ejemplo 1.
Hay tres tipos de soluciones posibles para un sistema de ecuaciones que representa un círculo y una línea: (1) ninguna solución, la línea no interseca el círculo; (2) una solución, la recta es tangente al círculo; (3) dos soluciones, la línea interseca el círculo en dos puntos. Vea el Ejemplo 2.
Hay cinco tipos posibles de soluciones al sistema de ecuaciones no lineales que representan una elipse y un círculo:
(1) ninguna solución, el círculo y la elipse no se intersecan; (2) una solución, el círculo y la elipse son tangentes entre sí; (3) dos soluciones, el círculo y la elipse se intersecan en dos puntos; (4) tres soluciones, el círculo y la elipse se intersecan en tres lugares; (5) cuatro soluciones, el círculo y la elipse se intersecan en cuatro puntos. Vea el Ejemplo 3.
Una inecuación se representa gráficamente de la misma manera que una ecuación, excepto que para > o <, dibujamos una línea discontinua y sombreamos la región que contiene el conjunto de soluciones. Vea el Ejemplo 4.
Las inecuaciones se resuelven de la misma manera que las igualdades, pero las soluciones a los sistemas de inecuaciones deben satisfacer ambas inecuaciones. Vea el Ejemplo 5.

9.4 Fracciones parciales

Descomponer $\frac{P (x)}{Q (x)}$ al escribir las fracciones parciales como $\frac{A}{a_{1} x + b_{1}} + \frac{B}{a_{2} x + b_{2}} .$ Para resolver, despeje las fracciones, amplíe el lado derecho, reúna términos semejantes y establezca coeficientes correspondientes iguales entre sí, para luego plantear y resolver un sistema de ecuaciones. Vea el Ejemplo 1.
La descomposición de $\frac{P (x)}{Q (x)}$ con factores lineales repetidos debe considerar los factores del denominador en potencias crecientes. Vea el Ejemplo 2.
La descomposición de $\frac{P (x)}{Q (x)}$ con un factor cuadrático irreducible no repetido necesita un numerador lineal sobre el factor cuadrático, como en $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{(a x^{2} + b x + c)} .$ Vea el Ejemplo 3.
En la descomposición de $\frac{P (x)}{Q (x)},$ donde $Q (x)$ tiene un factor cuadrático irreducible repetido, cuando los factores cuadráticos irreducibles se repiten, las potencias de los factores del denominador deben representarse en potencias crecientes como
$\frac{A x + B}{(a x^{2} + b x + c)} + \frac{A_{2} x + B_{2}}{{(a x^{2} + b x + c)}^{2}} + \dots + \frac{A_{n} x + B_{n}}{{(a x^{2} + b x + c)}^{n}} .$
Vea el Ejemplo 4.

9.5 Matrices y operaciones con matrices

Una matriz es un conjunto rectangular de números. Las entradas se organizan en filas y columnas.
Las dimensiones de una matriz se refieren al número de filas y al número de columnas. Un triángulo de $3 \times 2$ matriz tiene tres filas y dos columnas. Vea el Ejemplo 1.
Sumamos y restamos matrices de igual dimensión al sumar y restar las entradas correspondientes de cada matriz. Vea el Ejemplo 2, el Ejemplo 3, el Ejemplo 4 y el Ejemplo 5.
La multiplicación escalar consiste en multiplicar cada entrada de una matriz por una constante. Vea el Ejemplo 6.
La multiplicación escalar suele ser necesaria antes de que se produzca la suma o la resta. Vea el Ejemplo 7.
La multiplicación de matrices es posible cuando las dimensiones interiores son las mismas: el número de columnas de la primera matriz debe coincidir con el número de filas de la segunda.
La multiplicación de dos matrices, $A$ y $B,$ se obtiene multiplicando cada entrada de la fila 1 de $A$ por cada entrada de la columna 1 de $B;$ y multiplicar cada entrada de la fila 1 de $A$ por cada entrada en las columnas 2 de $B,$ y así sucesivamente. Vea el Ejemplo 8 y el Ejemplo 9.
Muchos problemas del mundo real se pueden resolver, a menudo, utilizando matrices. Vea el Ejemplo 10.
Podemos utilizar una calculadora para realizar operaciones con matrices después de guardar cada matriz como una variable de matriz. Vea el Ejemplo 11.

9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan

Una matriz aumentada es aquella que contiene los coeficientes y las constantes de un sistema de ecuaciones. Vea el Ejemplo 1.
Una matriz aumentada con la columna constante se puede representar como el sistema de ecuaciones original. Vea el Ejemplo 2.
Las operaciones con filas incluyen la multiplicación de una fila por una constante, la adición de una fila a otra fila y el intercambio de filas.
Podemos utilizar la eliminación de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones. Vea el Ejemplo 3, el Ejemplo 4 y el Ejemplo 5.
Las operaciones de fila se realizan en las matrices para obtener la forma escalonada por filas. Vea el Ejemplo 6.
Para resolver un sistema de ecuaciones, escríbalo en forma de matriz aumentada. Realice las operaciones de fila para obtener la forma escalonada por filas. Volver a sustituir para hallar las soluciones. Vea el Ejemplo 7 y el Ejemplo 8.
Se puede utilizar una calculadora para resolver sistemas de ecuaciones utilizando matrices. Vea el Ejemplo 9.
Muchos problemas del mundo real se pueden resolver con matrices aumentadas. Vea el Ejemplo 10 y el Ejemplo 11.

9.7 Resolver sistemas con inversas

Una matriz identidad tiene la propiedad $A I = I A = A .$ Vea el Ejemplo 1.
Una matriz invertible tiene la propiedad $A A^{−1} = A^{−1} A = I .$ Vea el Ejemplo 2.
Utilice la multiplicación de matrices y la identidad para hallar la inversa de una matriz $2 \times 2$ . Vea el Ejemplo 3.
El multiplicador inverso se puede hallar mediante una fórmula. Vea el Ejemplo 4.
Otro método para hallar la inversa es aumentándola con la identidad. Vea el Ejemplo 5.
Podemos aumentar una matriz $3 \times 3$ con la identidad a la derecha y utilizar las operaciones de fila para convertir la matriz original en la identidad, y la matriz de la derecha se convierte en la inversa. Vea el Ejemplo 6.
Escriba el sistema de ecuaciones como $A X = B,$ y multiplique ambos lados por la inversa de $A : A^{−1} A X = A^{−1} B .$ Vea el Ejemplo 7 y el Ejemplo 8.
También podemos utilizar una calculadora para resolver un sistema de ecuaciones con matrices inversas. Vea el Ejemplo 9.

9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer

El determinante para $[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]$ es $a d - b c .$ Vea el Ejemplo 1.
La regla de Cramer sustituye una columna variable por la columna constante. Las soluciones son $x = \frac{D_{x}}{D}, y = \frac{D_{y}}{D} .$ Vea el Ejemplo 2.
Para calcular el determinante de una matriz 3×3, aumente con las dos primeras columnas. Sume las tres entradas diagonales (de la izquierda superior a la derecha inferior) y reste las tres entradas diagonales (de la izquierda inferior a la derecha superior). Vea el Ejemplo 3.
Para resolver un sistema de tres ecuaciones en tres variables mediante la regla de Cramer, sustituya una columna variable por la columna de la constante para cada solución deseada $x = \frac{D_{x}}{D}, y = \frac{D_{y}}{D}, z = \frac{D_{c}}{D} .$ Vea el Ejemplo 4.
La regla de Cramer también es útil para hallar la solución de un sistema de ecuaciones sin solución o con infinitas soluciones. Vea el Ejemplo 5 y el Ejemplo 6.
Ciertas propiedades de los determinantes son útiles para resolver problemas. Por ejemplo:
- Si la matriz está en forma triangular superior, el determinante es igual al producto de las entradas por la diagonal principal.
- Cuando se intercambian dos filas, el determinante cambia de signo.
- Si dos filas o dos columnas son idénticas, el determinante es igual a cero.
- Si una matriz contiene una fila de ceros o una columna de ceros, el determinante es igual a cero.
- El determinante de una matriz inversa $A^{- 1}$ es el recíproco del determinante de la matriz $A .$
- Si cualquier fila o columna se multiplica por una constante, el determinante se multiplica por el mismo factor. Vea el Ejemplo 7 y el Ejemplo 8.