Cap. 2Conceptos clave - Precálculo 2ed

Conceptos clave

2.1 Funciones lineales

Los pares ordenados y dados por una función lineal representan los puntos en una línea.
Las funciones lineales se representan con palabras, en notación de funciones, en forma tabular y en forma gráfica. Vea el Ejemplo 1.
La tasa de cambio de una función lineal también se conoce como la pendiente.
Una ecuación en la forma pendiente-intersección de una línea incluye la pendiente y el valor inicial de la función.
El valor inicial, o intersección en y, es el valor de salida cuando la entrada de una función lineal es cero. Es el valor de y del punto en el que la línea cruza el eje de y.
La función lineal creciente da lugar a un gráfico que se inclina hacia arriba, de izquierda a derecha, y tiene una pendiente positiva.
La función lineal decreciente da lugar a un gráfico que se inclina hacia abajo, de izquierda a derecha, y tiene una pendiente negativa.
La función lineal constante da lugar a un gráfico que es una línea horizontal.
El análisis de la pendiente en el contexto de un problema indica si la función lineal es creciente, decreciente o constante. Vea el Ejemplo 2.
La pendiente de una función lineal puede calcularse al dividir la diferencia entre los valores de y entre la diferencia de los correspondientes valores de x de dos puntos cualesquiera de la línea. Vea el Ejemplo 3 y el Ejemplo 4.
La pendiente y el valor inicial se pueden determinar dado un gráfico o dos puntos cualesquiera en la línea.
Un tipo de notación de función es la forma pendiente-intersección de una ecuación.
La forma punto-pendiente sirve para determinar una ecuación lineal cuando se da la pendiente de una línea y un punto. Vea el Ejemplo 5.
La forma punto-pendiente también es conveniente para hallar una ecuación lineal cuando se dan dos puntos por los que pasa una línea. Vea el Ejemplo 6.
La ecuación de una función lineal se puede escribir si la pendiente $m$ y el valor inicial $b$ son conocidas. Vea el Ejemplo 7, el Ejemplo 8, y el Ejemplo 9.
La función lineal puede utilizarse para resolver problemas del mundo real. Vea el Ejemplo 10 y el Ejemplo 11.
La función lineal puede escribirse de forma tabular. Vea el Ejemplo 12.

2.2 Gráficos de funciones lineales

Las funciones lineales pueden graficarse trazando puntos o utilizando la intersección en y, además de la pendiente. Vea el Ejemplo 1 y el Ejemplo 2.
Los gráficos de las funciones lineales pueden transformarse con desplazamientos hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda o hacia la derecha, así como mediante estiramiento, compresión y reflexión. Vea el Ejemplo 3.
La intersección en y, además de la pendiente, pueden utilizarse para escribir la ecuación de una línea.
La intersección en x es el punto en el cual el gráfico de una función lineal cruza el eje x. Vea el Ejemplo 4 y el Ejemplo 5.
Las líneas horizontales se escriben en la forma, $f (x) = b .$ Vea el Ejemplo 6.
Las líneas verticales se escriben en la forma, $x = b .$ Vea el Ejemplo 7.
Las líneas paralelas tienen la misma pendiente.
Las líneas perpendiculares tienen pendientes recíprocas negativas, suponiendo que ninguna es vertical. Vea el Ejemplo 8.
Una línea paralela a otra, que pasa por un punto dado, puede hallarse al sustituir en la ecuación el valor de la pendiente de la línea y los valores de x y de y del punto dado en la ecuación $f (x) = m x + b,$ y utilizando el $b$ resultante. Del mismo modo, también se puede utilizar la forma punto-pendiente de una ecuación. Vea el Ejemplo 9.
Una línea perpendicular a otra, que pasa por un punto dado, puede hallarse de la misma manera, con la excepción de utilizar la pendiente recíproca negativa. Vea el Ejemplo 10 y el Ejemplo 11.
Un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse al igualar las dos ecuaciones entre sí y resolver para $x .$ El valor de y se halla al evaluar cualquiera de las ecuaciones originales y utilizando este valor de x.
Un sistema de ecuaciones lineales también puede resolverse al hallar el punto de intersección en un gráfico. Vea el Ejemplo 12 y el Ejemplo 13.

2.3 Modelado con funciones lineales

Podemos utilizar las mismas estrategias de problemas que utilizaríamos para cualquier tipo de función.
Al modelar y resolver un problema, identifique las variables y busque los valores clave, incluso la pendiente y la intersección en y. Vea el Ejemplo 1.
Dibuje un diagrama, si procede. Vea el Ejemplo 2 y el Ejemplo 3.
Compruebe si la respuesta es razonable.
Los modelos lineales pueden construirse al identificar o calcular la pendiente y utilizar la intersección en y.
La intersección en x se halla al establecer $y = 0,$ que iguala la expresión $m x + b$ a 0.
El punto de intersección de un sistema de ecuaciones lineales es el punto en el que los valores de x y de y son iguales. Vea el Ejemplo 4.
Se puede utilizar un gráfico del sistema para identificar los puntos en los que una línea cae por debajo (o por encima) de la otra línea.

2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos

Los gráficos de dispersión muestran la relación entre dos conjuntos de datos. Vea el Ejemplo 1.
Los gráficos de dispersión representan modelos lineales o no lineales.
La línea de mejor ajuste puede estimarse o calcularse con una calculadora o un software estadístico. Vea el Ejemplo 2.
La interpolación sirve para predecir valores dentro del dominio y del rango de los datos, mientras que la extrapolación sirve para predecir valores fuera del dominio y del rango de los datos. Vea el Ejemplo 3.
El coeficiente de correlación, $r,$ indica el grado de relación lineal entre los datos. Vea el Ejemplo 5.
La línea de regresión es la que mejor se ajusta a los datos. Vea el Ejemplo 6.
La línea de regresión de mínimos cuadrados se halla al minimizar los cuadrados de las distancias de los puntos a una línea que pasa por los datos y puede utilizarse para hacer predicciones sobre cualquiera de las variables. Vea el Ejemplo 4.