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Precálculo 2ed

Conceptos clave

Precálculo 2edConceptos clave

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Conceptos clave

2.1 Funciones lineales

  • Los pares ordenados y dados por una función lineal representan los puntos en una línea.
  • Las funciones lineales se representan con palabras, en notación de funciones, en forma tabular y en forma gráfica. Vea el Ejemplo 1.
  • La tasa de cambio de una función lineal también se conoce como la pendiente.
  • Una ecuación en la forma pendiente-intersección de una línea incluye la pendiente y el valor inicial de la función.
  • El valor inicial, o intersección en y, es el valor de salida cuando la entrada de una función lineal es cero. Es el valor de y del punto en el que la línea cruza el eje de y.
  • La función lineal creciente da lugar a un gráfico que se inclina hacia arriba, de izquierda a derecha, y tiene una pendiente positiva.
  • La función lineal decreciente da lugar a un gráfico que se inclina hacia abajo, de izquierda a derecha, y tiene una pendiente negativa.
  • La función lineal constante da lugar a un gráfico que es una línea horizontal.
  • El análisis de la pendiente en el contexto de un problema indica si la función lineal es creciente, decreciente o constante. Vea el Ejemplo 2.
  • La pendiente de una función lineal puede calcularse al dividir la diferencia entre los valores de y entre la diferencia de los correspondientes valores de x de dos puntos cualesquiera de la línea. Vea el Ejemplo 3 y el Ejemplo 4.
  • La pendiente y el valor inicial se pueden determinar dado un gráfico o dos puntos cualesquiera en la línea.
  • Un tipo de notación de función es la forma pendiente-intersección de una ecuación.
  • La forma punto-pendiente sirve para determinar una ecuación lineal cuando se da la pendiente de una línea y un punto. Vea el Ejemplo 5.
  • La forma punto-pendiente también es conveniente para hallar una ecuación lineal cuando se dan dos puntos por los que pasa una línea. Vea el Ejemplo 6.
  • La ecuación de una función lineal se puede escribir si la pendiente mm y el valor inicial bb son conocidas. Vea el Ejemplo 7, el Ejemplo 8, y el Ejemplo 9.
  • La función lineal puede utilizarse para resolver problemas del mundo real. Vea el Ejemplo 10 y el Ejemplo 11.
  • La función lineal puede escribirse de forma tabular. Vea el Ejemplo 12.

2.2 Gráficos de funciones lineales

  • Las funciones lineales pueden graficarse trazando puntos o utilizando la intersección en y, además de la pendiente. Vea el Ejemplo 1 y el Ejemplo 2.
  • Los gráficos de las funciones lineales pueden transformarse con desplazamientos hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda o hacia la derecha, así como mediante estiramiento, compresión y reflexión. Vea el Ejemplo 3.
  • La intersección en y, además de la pendiente, pueden utilizarse para escribir la ecuación de una línea.
  • La intersección en x es el punto en el cual el gráfico de una función lineal cruza el eje x. Vea el Ejemplo 4 y el Ejemplo 5.
  • Las líneas horizontales se escriben en la forma, f(x)=b.f(x)=b.Vea el Ejemplo 6.
  • Las líneas verticales se escriben en la forma, x=b.x=b.Vea el Ejemplo 7.
  • Las líneas paralelas tienen la misma pendiente.
  • Las líneas perpendiculares tienen pendientes recíprocas negativas, suponiendo que ninguna es vertical. Vea el Ejemplo 8.
  • Una línea paralela a otra, que pasa por un punto dado, puede hallarse al sustituir en la ecuación el valor de la pendiente de la línea y los valores de x y de y del punto dado en la ecuación f(x)=mx+b,f(x)=mx+b, y utilizando el bb resultante. Del mismo modo, también se puede utilizar la forma punto-pendiente de una ecuación. Vea el Ejemplo 9.
  • Una línea perpendicular a otra, que pasa por un punto dado, puede hallarse de la misma manera, con la excepción de utilizar la pendiente recíproca negativa. Vea el Ejemplo 10 y el Ejemplo 11.
  • Un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse al igualar las dos ecuaciones entre sí y resolver para x.x. El valor de y se halla al evaluar cualquiera de las ecuaciones originales y utilizando este valor de x.
  • Un sistema de ecuaciones lineales también puede resolverse al hallar el punto de intersección en un gráfico. Vea el Ejemplo 12 y el Ejemplo 13.

2.3 Modelado con funciones lineales

  • Podemos utilizar las mismas estrategias de problemas que utilizaríamos para cualquier tipo de función.
  • Al modelar y resolver un problema, identifique las variables y busque los valores clave, incluso la pendiente y la intersección en y. Vea el Ejemplo 1.
  • Dibuje un diagrama, si procede. Vea el Ejemplo 2 y el Ejemplo 3.
  • Compruebe si la respuesta es razonable.
  • Los modelos lineales pueden construirse al identificar o calcular la pendiente y utilizar la intersección en y.
  • La intersección en x se halla al establecer y=0, y=0, que iguala la expresión mx+b mx+b a 0.
  • El punto de intersección de un sistema de ecuaciones lineales es el punto en el que los valores de x y de y son iguales. Vea el Ejemplo 4.
  • Se puede utilizar un gráfico del sistema para identificar los puntos en los que una línea cae por debajo (o por encima) de la otra línea.

2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos

  • Los gráficos de dispersión muestran la relación entre dos conjuntos de datos. Vea el Ejemplo 1.
  • Los gráficos de dispersión representan modelos lineales o no lineales.
  • La línea de mejor ajuste puede estimarse o calcularse con una calculadora o un software estadístico. Vea el Ejemplo 2.
  • La interpolación sirve para predecir valores dentro del dominio y del rango de los datos, mientras que la extrapolación sirve para predecir valores fuera del dominio y del rango de los datos. Vea el Ejemplo 3.
  • El coeficiente de correlación, r,r, indica el grado de relación lineal entre los datos. Vea el Ejemplo 5.
  • La línea de regresión es la que mejor se ajusta a los datos. Vea el Ejemplo 6.
  • La línea de regresión de mínimos cuadrados se halla al minimizar los cuadrados de las distancias de los puntos a una línea que pasa por los datos y puede utilizarse para hacer predicciones sobre cualquiera de las variables. Vea el Ejemplo 4.
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