Cap. 6Conceptos clave - Precálculo 2ed

Conceptos clave

6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno

Las funciones periódicas se repiten a partir de un valor determinado. El valor más pequeño es el periodo. Las funciones básicas seno y coseno tienen un periodo de $2 π .$
La función $sen x$ es impar, por lo que su gráfico es simétrico respecto al origen. La función $\cos x$ es par, por lo que su gráfico es simétrico con respecto al eje y.
El gráfico de una función sinusoidal tiene la misma forma general que una función seno o coseno.
En la fórmula general de una función sinusoidal, el periodo es $P = \frac{2 π}{| B |} .$ Vea el Ejemplo 1.
En la fórmula general de una función sinusoidal, $| A |$ representa la amplitud. Si los valores de $| A | > 1,$ la función se estira, mientras que si $| A | < 1,$ la función se comprime. Vea el Ejemplo 2.
El valor $\frac{C}{B}$ en la fórmula general de una función sinusoidal indica el desplazamiento de fase. Vea el Ejemplo 3.
El valor $D$ en la fórmula general de una función sinusoidal indica el desplazamiento vertical desde la línea media. Vea el Ejemplo 4.
Las combinaciones de variaciones de funciones sinusoidales se determinan a partir de una ecuación. Vea el Ejemplo 5.
La ecuación de una función sinusoidal se determina a partir de un gráfico. Vea el Ejemplo 6 y el Ejemplo 7.
Una función se puede graficar al identificar su amplitud y su periodo. Vea el Ejemplo 8 y el Ejemplo 9.
Una función también se puede graficar al identificar su amplitud, periodo, desplazamiento de fase y desplazamiento horizontal. Vea el Ejemplo 10.
Las funciones sinusoidales pueden utilizarse para resolver problemas del mundo real. Vea el Ejemplo 11, el Ejemplo 12 y el Ejemplo 13.

6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas

La función tangente tiene periodo $π .$
$f (x) = A \tan (B x - C) + D$ es una tangente con estiramiento/compresión vertical u horizontal y desplazamiento. Vea el Ejemplo 1, el Ejemplo 2 y el Ejemplo 3.
La secante y la cosecante son funciones periódicas con un periodo de $2 π .$ $f (x) = A \sec (B x - C) + D$ da un gráfico de la función secante desplazada, comprimida o estirada. Vea el Ejemplo 4 y el Ejemplo 5.
$f (x) = A \csc (B x - C) + D$ da un gráfico de la función cosecante desplazada, comprimida o estirada. Vea el Ejemplo 6 y el Ejemplo 7.
La función cotangente tiene periodo $π$ y asíntotas verticales en $0, \pm π, \pm2, 2 π, ...$
El rango de la cotangente es $(- \infty, \infty),$ y la función es decreciente en cada punto de su rango.
La cotangente es cero en $\pm \frac{π}{2}, \pm3,... \frac{3 π}{2}, ...$
$f (x) = A \cot (B x - C) + D$ es una cotangente con estiramiento/compresión vertical u horizontal y desplazamiento. Vea el Ejemplo 8 y el Ejemplo 9.
Las situaciones del mundo real se pueden resolver con los gráficos de las funciones trigonométricas. Vea el Ejemplo 10.

6.3 Funciones trigonométricas inversas

La función inversa es aquella que "deshace" otra función. El dominio de la función inversa es el rango de la función original, mientras que el rango de la función inversa es el dominio de la función original.
Dado que las funciones trigonométricas no son biunívocas en sus dominios naturales, las funciones trigonométricas inversas se definen para dominios restringidos.
Para cualquier función trigonométrica $f (x),$ si $x = f^{- 1} (y),$ entonces $f (x) = y .$ Sin embargo, el que $f (x) = y$ solo implica $x = f^{- 1} (y)$ si $x$ está en el dominio restringido de $f .$ Vea el Ejemplo 1.
Los ángulos especiales son las salidas de las funciones trigonométricas inversas para valores de entrada especiales; por ejemplo, $\frac{π}{4} = \tan^{- 1} (1) y \frac{π}{6} = {sen}^{- 1} (\frac{1}{2}) .$ Vea el Ejemplo 2.
Una calculadora devolverá un ángulo dentro del dominio restringido de la función trigonométrica original. Vea el Ejemplo 3.
Las funciones inversas nos permiten hallar un ángulo cuando se dan dos lados de un triángulo rectángulo. Vea el Ejemplo 4.
En la composición de funciones, si la función interior es una función trigonométrica inversa, existen expresiones exactas; por ejemplo $sen (\cos^{- 1} (x)) = \sqrt{1 - x^{2}} .$ Vea el Ejemplo 5.
Si la función interior es una función trigonométrica, las únicas combinaciones posibles son ${sen}^{- 1} (\cos x) = \frac{π}{2} - x$ si $0 \leq x \leq π$ y $\cos^{- 1} (sen x) = \frac{π}{2} - x$ si $- \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2} .$ Vea el Ejemplo 6 y el Ejemplo 7.
Al evaluar la composición de una función trigonométrica con una función trigonométrica inversa, dibuje un triángulo de referencia para determinar el cociente de lados que represente la salida de la función trigonométrica. Vea el Ejemplo 8.
Al evaluar la composición de una función trigonométrica con una función trigonométrica inversa, puede utilizar las identidades trigonométricas para determinar el cociente de los lados. Vea el Ejemplo 9.