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Precálculo 2ed

Conceptos clave

Precálculo 2edConceptos clave

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Conceptos clave

6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno

  • Las funciones periódicas se repiten a partir de un valor determinado. El valor más pequeño es el periodo. Las funciones básicas seno y coseno tienen un periodo de 2π. 2π.
  • La función senx senx es impar, por lo que su gráfico es simétrico respecto al origen. La función cosx cosx es par, por lo que su gráfico es simétrico con respecto al eje y.
  • El gráfico de una función sinusoidal tiene la misma forma general que una función seno o coseno.
  • En la fórmula general de una función sinusoidal, el periodo es P= 2 π | B | . P= 2 π | B | . Vea el Ejemplo 1.
  • En la fórmula general de una función sinusoidal, | A | | A | representa la amplitud. Si los valores de | A |>1, | A |>1, la función se estira, mientras que si | A |<1, | A |<1, la función se comprime. Vea el Ejemplo 2.
  • El valor C B C B en la fórmula general de una función sinusoidal indica el desplazamiento de fase. Vea el Ejemplo 3.
  • El valor D D en la fórmula general de una función sinusoidal indica el desplazamiento vertical desde la línea media. Vea el Ejemplo 4.
  • Las combinaciones de variaciones de funciones sinusoidales se determinan a partir de una ecuación. Vea el Ejemplo 5.
  • La ecuación de una función sinusoidal se determina a partir de un gráfico. Vea el Ejemplo 6 y el Ejemplo 7.
  • Una función se puede graficar al identificar su amplitud y su periodo. Vea el Ejemplo 8 y el Ejemplo 9.
  • Una función también se puede graficar al identificar su amplitud, periodo, desplazamiento de fase y desplazamiento horizontal. Vea el Ejemplo 10.
  • Las funciones sinusoidales pueden utilizarse para resolver problemas del mundo real. Vea el Ejemplo 11, el Ejemplo 12 y el Ejemplo 13.

6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas

  • La función tangente tiene periodo π. π.
  • f( x )=Atan( BxC )+D f( x )=Atan( BxC )+D es una tangente con estiramiento/compresión vertical u horizontal y desplazamiento. Vea el Ejemplo 1, el Ejemplo 2 y el Ejemplo 3.
  • La secante y la cosecante son funciones periódicas con un periodo de 2π. 2π. f( x )=Asec( BxC )+D f( x )=Asec( BxC )+D da un gráfico de la función secante desplazada, comprimida o estirada. Vea el Ejemplo 4 y el Ejemplo 5.
  • f( x )=Acsc( BxC )+D f( x )=Acsc( BxC )+D da un gráfico de la función cosecante desplazada, comprimida o estirada. Vea el Ejemplo 6 y el Ejemplo 7.
  • La función cotangente tiene periodo π π y asíntotas verticales en 0,±π,±2,2π,... 0,±π,±2,2π,...
  • El rango de la cotangente es ( -, ), ( -, ), y la función es decreciente en cada punto de su rango.
  • La cotangente es cero en ± π 2 ,±3,... 3π 2 ,... ± π 2 ,±3,... 3π 2 ,...
  • f( x )=Acot( BxC )+D f( x )=Acot( BxC )+D es una cotangente con estiramiento/compresión vertical u horizontal y desplazamiento. Vea el Ejemplo 8 y el Ejemplo 9.
  • Las situaciones del mundo real se pueden resolver con los gráficos de las funciones trigonométricas. Vea el Ejemplo 10.

6.3 Funciones trigonométricas inversas

  • La función inversa es aquella que "deshace" otra función. El dominio de la función inversa es el rango de la función original, mientras que el rango de la función inversa es el dominio de la función original.
  • Dado que las funciones trigonométricas no son biunívocas en sus dominios naturales, las funciones trigonométricas inversas se definen para dominios restringidos.
  • Para cualquier función trigonométrica f(x), f(x), si x= f 1 (y), x= f 1 (y), entonces f(x)=y. f(x)=y. Sin embargo, el que f(x)=y f(x)=y solo implica x= f 1 (y) x= f 1 (y) si x x está en el dominio restringido de f. f. Vea el Ejemplo 1.
  • Los ángulos especiales son las salidas de las funciones trigonométricas inversas para valores de entrada especiales; por ejemplo, π 4 = tan -1 (1)y π 6 = sen 1 ( 1 2 ). π 4 = tan -1 (1)y π 6 = sen 1 ( 1 2 ). Vea el Ejemplo 2.
  • Una calculadora devolverá un ángulo dentro del dominio restringido de la función trigonométrica original. Vea el Ejemplo 3.
  • Las funciones inversas nos permiten hallar un ángulo cuando se dan dos lados de un triángulo rectángulo. Vea el Ejemplo 4.
  • En la composición de funciones, si la función interior es una función trigonométrica inversa, existen expresiones exactas; por ejemplo sen( cos 1 ( x ) )= 1- x 2 . sen( cos 1 ( x ) )= 1- x 2 . Vea el Ejemplo 5.
  • Si la función interior es una función trigonométrica, las únicas combinaciones posibles son sen 1 ( cosx )= π 2 -x sen 1 ( cosx )= π 2 -x si 0xπ 0xπ y cos 1 ( senx )= π 2 -x cos 1 ( senx )= π 2 -x si π 2 x π 2 . π 2 x π 2 . Vea el Ejemplo 6 y el Ejemplo 7.
  • Al evaluar la composición de una función trigonométrica con una función trigonométrica inversa, dibuje un triángulo de referencia para determinar el cociente de lados que represente la salida de la función trigonométrica. Vea el Ejemplo 8.
  • Al evaluar la composición de una función trigonométrica con una función trigonométrica inversa, puede utilizar las identidades trigonométricas para determinar el cociente de los lados. Vea el Ejemplo 9.
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