Jay Abramson

Conceptos clave

5.1 Ángulos

Un ángulo se forma a partir de la unión de dos rayas, al mantener fijo el lado inicial y rotar el lado terminal. La cantidad de rotación determina la medida del ángulo.
Un ángulo está en posición estándar si su vértice está en el origen y su lado inicial se encuentra a lo largo del eje positivo x. Un ángulo positivo se mide en sentido contrario a las agujas del reloj desde el lado inicial y un ángulo negativo se mide en sentido de las agujas del reloj.
Para dibujar un ángulo en posición estándar, dibuje el lado inicial a lo largo del eje positivo x y luego coloque el lado terminal de acuerdo con la fracción de una rotación completa que el ángulo representa. Vea el Ejemplo 1.
Además de en grados, la medida de un ángulo puede describirse en radianes. Vea el Ejemplo 2.
Para convertir entre grados y radianes, utilice la proporción $\frac{θ}{180} = \frac{θ^{R}}{π} .$ Vea el Ejemplo 3 y el Ejemplo 4.
Dos ángulos que tienen el mismo lado terminal reciben el nombre de ángulos coterminales.
Podemos hallar ángulos coterminales si sumamos o restamos 360° o $2 π .$ Vea el Ejemplo 5 y el Ejemplo 6.
Los ángulos coterminales se pueden hallar mediante el empleo de radianes, al igual que se hace con los grados. Vea el Ejemplo 7.
La longitud de un arco de círculo es una fracción de la circunferencia del círculo completo. Vea el Ejemplo 8.
El área del sector es una fracción del área del círculo completo. Vea el Ejemplo 9.
Un objeto que se mueve en una trayectoria circular tiene tanto velocidad lineal como angular.
La velocidad angular de un objeto que se desplaza en una trayectoria circular es la medida del ángulo por el que gira en una unidad de tiempo. Vea el Ejemplo 10.
La velocidad lineal de un objeto que recorre una trayectoria circular es la distancia que recorre en una unidad de tiempo. Vea el Ejemplo 11.

5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno

La búsqueda de los valores de las funciones del seno y del coseno comienza al dibujar un circulo unitario, centrado en el origen y con un radio de 1 unidad.
Utilizando el círculo unitario, el seno de un ángulo $t$ es igual al valor y del punto final en el círculo unitario de un arco de longitud $t$ mientras que el coseno de un ángulo $t$ es igual al valor x del punto final. Vea el Ejemplo 1.
Los valores del seno y del coseno se determinan más directamente cuando el punto correspondiente del círculo unitario cae sobre un eje. Vea el Ejemplo 2.
Cuando se conoce el seno o el coseno, podemos utilizar la identidad pitagórica para hallar el otro. La identidad pitagórica también sirve para determinar el seno y coseno de ángulos especiales. Vea el Ejemplo 3.
Las calculadoras y los programas de gráficos son útiles para hallar el seno y el coseno si se conoce el procedimiento adecuado para introducir la información. Vea el Ejemplo 4.
El dominio de las funciones seno y coseno son todos los números reales.
El rango de las funciones seno y coseno es $[- 1, 1] .$
El seno y el coseno de un ángulo tienen el mismo valor absoluto que el seno y el coseno de su ángulo de referencia.
Los signos del seno y del coseno se determinan a partir de los valores de x y de y en el cuadrante del ángulo original.
El ángulo de referencia es el ángulo de tamaño, $t,$ formado por el lado terminal del ángulo $t$ y el eje horizontal. Vea el Ejemplo 5.
Los ángulos de referencia pueden utilizarse para hallar el seno y el coseno del ángulo original. Vea el Ejemplo 6.
Los ángulos de referencia también se pueden utilizar para hallar las coordenadas de un punto en un círculo. Vea el Ejemplo 7.

5.3 Las otras funciones trigonométricas

La tangente de un ángulo es el cociente del valor de y con el valor de x del punto correspondiente en el círculo unitario.
La secante, la cotangente y la cosecante son recíprocas de otras funciones. La secante es la recíproca de la función coseno, la cotangente es la recíproca de la función tangente y la cosecante es la recíproca de la función seno.
Las seis funciones trigonométricas se determinan a partir de un punto en el círculo unitario. Vea el Ejemplo 1.
Las funciones trigonométricas también se determinan a partir de un ángulo. Vea el Ejemplo 2.
Las funciones trigonométricas de los ángulos fuera del primer cuadrante se determinan con ángulos de referencia. Vea el Ejemplo 3.
Se dice que una función es par si $f (- x) = f (x)$ e impar si $f (- x) = - f (x) .$
El coseno y la secante son pares; el seno, la tangente, la cosecante y la cotangente son impares.
Las propiedades pares e impares se utilizan para evaluar funciones trigonométricas. Vea el Ejemplo 4.
La identidad pitagórica permite hallar el coseno a partir del seno o el seno a partir del coseno.
Las identidades se utilizan para evaluar funciones trigonométricas. Vea el Ejemplo 5 y el Ejemplo 6.
Las identidades fundamentales, como la identidad pitagórica, pueden manipularse algebraicamente para producir nuevas identidades. Vea el Ejemplo 7.
Las funciones trigonométricas se repiten a intervalos regulares.
El periodo $P$ de una función repetitiva $f$ es el intervalo más pequeño, tal que $f (x + P) = f (x)$ para cualquier valor de $x .$
Los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos especiales se determinan mediante un análisis matemático.
Para evaluar las funciones trigonométricas de otros ángulos, podemos utilizar una calculadora o un programa informático. Vea el Ejemplo 10.

5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos

Podemos definir las funciones trigonométricas como cociente de las longitudes laterales de un triángulo rectángulo. Vea el Ejemplo 1.
Las mismas longitudes laterales pueden utilizarse para evaluar las funciones trigonométricas de cualquiera de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Vea el Ejemplo 2.
Podemos evaluar las funciones trigonométricas de los ángulos especiales si conocemos las longitudes laterales de los triángulos en los que se producen. Vea el Ejemplo 3.
Dos ángulos complementarios cualesquiera podrían ser los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo.
Si dos ángulos son complementarios, las identidades de la cofunción establecen que el seno de uno es igual al coseno del otro y viceversa. Vea el Ejemplo 4.
Podemos utilizar las funciones trigonométricas de un ángulo para calcular las longitudes laterales desconocidas.
Seleccione la función trigonométrica que representa el cociente del lado desconocido con el lado conocido. Vea el Ejemplo 5.
La trigonometría del triángulo rectángulo permite medir alturas y distancias inaccesibles.
La altura o distancia desconocida se determina al crear un triángulo rectángulo en el que la altura o distancia desconocida sea uno de los lados, en tanto que se conocen el otro lado y un ángulo. Vea el Ejemplo 6.