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Precálculo 2ed

Conceptos clave

Precálculo 2edConceptos clave

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Funciones
    1. Introducción
    2. 1.1 Funciones y notación de funciones
    3. 1.2 Dominio y rango
    4. 1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos
    5. 1.4 Composición de las funciones
    6. 1.5 Transformación de funciones
    7. 1.6 Funciones de valor absoluto
    8. 1.7 Funciones inversas
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  3. 2 Funciones lineales
    1. Introducción
    2. 2.1 Funciones lineales
    3. 2.2 Gráficos de funciones lineales
    4. 2.3 Modelado con funciones lineales
    5. 2.4 Ajuste de modelos lineales a los datos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  4. 3 Funciones polinómicas y racionales
    1. Introducción
    2. 3.1 Números complejos
    3. 3.2 Funciones cuadráticas
    4. 3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas
    5. 3.4 Gráfico de funciones polinómicas
    6. 3.5 Dividir polinomios
    7. 3.6 Ceros de funciones polinómicas
    8. 3.7 Funciones racionales
    9. 3.8 Inversas y funciones radicales
    10. 3.9 Modelado mediante la variación
    11. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    12. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  5. 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Introducción
    2. 4.1 Funciones exponenciales
    3. 4.2 Gráficos de funciones exponenciales
    4. 4.3 Funciones logarítmicas
    5. 4.4 Gráficos de funciones logarítmicas
    6. 4.5 Propiedades logarítmicas
    7. 4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
    8. 4.7 Modelos exponenciales y logarítmicos
    9. 4.8 Ajustar modelos exponenciales a los datos
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  6. 5 Funciones trigonométricas
    1. Introducción
    2. 5.1 Ángulos
    3. 5.2 Círculo unitario: funciones seno y coseno
    4. 5.3 Las otras funciones trigonométricas
    5. 5.4 Trigonometría de triángulos rectángulos
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  7. 6 Funciones periódicas
    1. Introducción
    2. 6.1 Gráficos de las funciones seno y coseno
    3. 6.2 Gráficos de las otras funciones trigonométricas
    4. 6.3 Funciones trigonométricas inversas
    5. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    6. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  8. 7 Identidades trigonométricas y ecuaciones
    1. Introducción
    2. 7.1 Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
    3. 7.2 Identidades de suma y resta
    4. 7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
    5. 7.4 Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
    6. 7.5 Resolver ecuaciones trigonométricas
    7. 7.6 Modelado con funciones trigonométricas
    8. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    9. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  9. 8 Otras aplicaciones de la Trigonometría
    1. Introducción
    2. 8.1 Triángulos no rectángulos: ley de senos
    3. 8.2 Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
    4. 8.3 Coordenadas polares
    5. 8.4 Coordenadas polares: gráficos
    6. 8.5 Forma polar de los números complejos
    7. 8.6 Ecuaciones paramétricas
    8. 8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos
    9. 8.8 Vectores
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  10. 9 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
    1. Introducción
    2. 9.1 Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
    3. 9.2 Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
    4. 9.3 Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
    5. 9.4 Fracciones parciales
    6. 9.5 Matrices y operaciones con matrices
    7. 9.6 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
    8. 9.7 Resolver sistemas con inversas
    9. 9.8 Resolver sistemas con la regla de Cramer
    10. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    11. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  11. 10 Geometría analítica
    1. Introducción
    2. 10.1 La elipse
    3. 10.2 La hipérbola
    4. 10.3 La parábola
    5. 10.4 Rotación de ejes
    6. 10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares
    7. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    8. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  12. 11 Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
    1. Introducción
    2. 11.1 Secuencias y sus notaciones
    3. 11.2 Secuencias aritméticas
    4. 11.3 Secuencias geométricas
    5. 11.4 Series y sus notaciones
    6. 11.5 Principios de conteo
    7. 11.6 Teorema del binomio
    8. 11.7 Probabilidad
    9. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    10. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  13. 12 Introducción a Cálculo
    1. Introducción
    2. 12.1 Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
    3. 12.2 Hallar los límites: propiedades de los límites
    4. 12.3 Continuidad
    5. 12.4 Derivadas
    6. Revisión del capítulo
      1. Términos clave
      2. Ecuaciones clave
      3. Conceptos clave
    7. Ejercicios
      1. Ejercicios de repaso
      2. Examen de práctica
  14. A Funciones e identidades básicas
  15. Clave de respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
  16. Índice

Conceptos clave

10.1 La elipse

  • Una elipse es el conjunto de todos los puntos ( x,y ) ( x,y ) en un plano tal que la suma de sus distancias a dos puntos fijos es una constante. Cada punto fijo se llama foco (plural: focos).
  • Cuando se dan las coordenadas de los focos y los vértices de una elipse, podemos escribir la ecuación de la elipse en forma estándar. Vea el Ejemplo 1 y el Ejemplo 2.
  • Cuando se da una ecuación para una elipse centrada en el origen en forma estándar, podemos identificar sus vértices, covértices, focos y las longitudes y las posiciones de los ejes mayor y menor para graficar la elipse. Vea el Ejemplo 3 y el Ejemplo 4.
  • Cuando se da la ecuación de una elipse centrada en algún punto distinto del origen, podemos identificar sus rasgos principales y representarla gráficamente. Vea el Ejemplo 5 y el Ejemplo 6.
  • Las situaciones del mundo real se pueden modelar mediante las ecuaciones estándar de las elipses y luego evaluar para hallar las características clave, como las longitudes de los ejes y la distancia entre los focos. Vea el Ejemplo 7.

10.2 La hipérbola

  • Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos ( x,y ) ( x,y ) en un plano tal que la diferencia de las distancias entre ( x,y ) ( x,y ) y los focos es una constante positiva.
  • La forma estándar de una hipérbola se puede usar para hallar sus vértices y sus focos. Vea el Ejemplo 1.
  • Cuando se dan las coordenadas de los focos y los vértices de una hipérbola, podemos escribir la ecuación de la hipérbola en forma estándar. Vea el Ejemplo 2 y el Ejemplo 3.
  • Cuando se da una ecuación para una hipérbola, podemos identificar sus vértices, covértices, focos, asíntotas y longitudes y posiciones de los ejes transversal y conjugado para graficar la hipérbola. Vea el Ejemplo 4 y el Ejemplo 5.
  • Las situaciones del mundo real se pueden modelar utilizando las ecuaciones estándar de las hipérbolas. Por ejemplo, dadas las dimensiones de una torre de refrigeración de tiro natural, podemos hallar una ecuación hiperbólica que modele sus lados. Vea el Ejemplo 6.

10.3 La parábola

  • Una parábola es el conjunto de todos los puntos ( x,y ) ( x,y ) en un plano que están a la misma distancia de una línea fija, llamada la directriz, y un punto fijo (el foco) que no está en la directriz.
  • La forma estándar de una parábola con vértice ( 0,0 ) ( 0,0 ) y el eje x como su eje de simetría se puede utilizar para graficar la parábola. Si los valores de p>0, p>0, la parábola se abre a la derecha. Si los valores de p<0, p<0, la parábola se abre a la izquierda. Vea el Ejemplo 1.
  • La forma estándar de una parábola con vértice ( 0,0 ) ( 0,0 ) y el eje y como su eje de simetría se puede utilizar para graficar la parábola. Si los valores de p>0, p>0, la parábola se abre. Si los valores de p<0, p<0, la parábola se abre hacia abajo. Vea el Ejemplo 2.
  • Dados el foco y la directriz de una parábola, podemos escribir su ecuación en forma estándar. Vea el Ejemplo 3.
  • La forma estándar de una parábola con vértice ( h,k ) ( h,k ) y el eje de simetría paralelo al eje x se pueden usar para graficar la parábola. Si los valores de p>0, p>0, la parábola se abre a la derecha. Si los valores de p<0, p<0, la parábola se abre a la izquierda. Vea el Ejemplo 4.
  • La forma estándar de una parábola con vértice ( h,k ) ( h,k ) y el eje de simetría paralelo al eje y se pueden usar para graficar la parábola. Si los valores de p>0, p>0, la parábola se abre. Si los valores de p<0, p<0, la parábola se abre hacia abajo. Vea el Ejemplo 5.
  • Las situaciones del mundo real se pueden modelar mediante ecuaciones estándar de parábolas. Por ejemplo, dados el diámetro y el foco de una sección transversal de un reflector parabólico, podemos hallar una ecuación que modele sus lados. Vea el Ejemplo 6.

10.4 Rotación de ejes

  • Cuatro formas básicas pueden resultar de la intersección de un plano con un par de conos circulares rectos conectados cola con cola. Se trata de una elipse, un círculo, una hipérbola y una parábola.
  • Una sección cónica no degenerada tiene la forma general A x 2 +Bxy+C y 2 +Dx+Ey+F=0 A x 2 +Bxy+C y 2 +Dx+Ey+F=0 donde A,B A,B y C C no son todos cero. Los valores de A,B, A,B, y C C determinan el tipo de sección cónica. Vea el Ejemplo 1.
  • Las ecuaciones de secciones cónicas con un término xy xy se han girado alrededor del origen. Vea el Ejemplo 2.
  • La forma general se puede transformar en una ecuación en el sistema de coordenadas x x y y y sin x y x y . Vea el Ejemplo 3 y el Ejemplo 4.
  • Una expresión se describe como invariante si permanece sin cambios después de la rotación. Como el discriminante es invariable, su observación nos permite identificar la sección cónica. Vea el Ejemplo 5.

10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares

  • Cualquier cónica puede estar determinada por un único foco, la excentricidad correspondiente y la directriz. También podemos definir una cónica en términos de un punto fijo, el foco P(r,θ) P(r,θ) en el polo, y una línea, la directriz, que es perpendicular al eje polar.
  • Una cónica es el conjunto de todos los puntos e= PF PD , e= PF PD , donde la excentricidad e e es un número real positivo. Cada cónica se puede escribir en términos de su ecuación polar. Vea el Ejemplo 1.
  • Las ecuaciones polares de las cónicas se pueden graficar. Vea el Ejemplo 2, el Ejemplo 3 y el Ejemplo 4.
  • Las cónicas se pueden definir en términos de un foco, una directriz y una excentricidad. Vea el Ejemplo 5 y el Ejemplo 6.
  • Podemos utilizar las identidades r= x 2 + y 2 ,x=rcosθ, r= x 2 + y 2 ,x=rcosθ, y y=rsenθ y=rsenθ para convertir la ecuación de una cónica de forma polar a rectangular. Vea el Ejemplo 7.
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