Jay Abramson

Conceptos clave

10.1 La elipse

Una elipse es el conjunto de todos los puntos $(x, y)$ en un plano tal que la suma de sus distancias a dos puntos fijos es una constante. Cada punto fijo se llama foco (plural: focos).
Cuando se dan las coordenadas de los focos y los vértices de una elipse, podemos escribir la ecuación de la elipse en forma estándar. Vea el Ejemplo 1 y el Ejemplo 2.
Cuando se da una ecuación para una elipse centrada en el origen en forma estándar, podemos identificar sus vértices, covértices, focos y las longitudes y las posiciones de los ejes mayor y menor para graficar la elipse. Vea el Ejemplo 3 y el Ejemplo 4.
Cuando se da la ecuación de una elipse centrada en algún punto distinto del origen, podemos identificar sus rasgos principales y representarla gráficamente. Vea el Ejemplo 5 y el Ejemplo 6.
Las situaciones del mundo real se pueden modelar mediante las ecuaciones estándar de las elipses y luego evaluar para hallar las características clave, como las longitudes de los ejes y la distancia entre los focos. Vea el Ejemplo 7.

10.2 La hipérbola

Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos $(x, y)$ en un plano tal que la diferencia de las distancias entre $(x, y)$ y los focos es una constante positiva.
La forma estándar de una hipérbola se puede usar para hallar sus vértices y sus focos. Vea el Ejemplo 1.
Cuando se dan las coordenadas de los focos y los vértices de una hipérbola, podemos escribir la ecuación de la hipérbola en forma estándar. Vea el Ejemplo 2 y el Ejemplo 3.
Cuando se da una ecuación para una hipérbola, podemos identificar sus vértices, covértices, focos, asíntotas y longitudes y posiciones de los ejes transversal y conjugado para graficar la hipérbola. Vea el Ejemplo 4 y el Ejemplo 5.
Las situaciones del mundo real se pueden modelar utilizando las ecuaciones estándar de las hipérbolas. Por ejemplo, dadas las dimensiones de una torre de refrigeración de tiro natural, podemos hallar una ecuación hiperbólica que modele sus lados. Vea el Ejemplo 6.

10.3 La parábola

Una parábola es el conjunto de todos los puntos $(x, y)$ en un plano que están a la misma distancia de una línea fija, llamada la directriz, y un punto fijo (el foco) que no está en la directriz.
La forma estándar de una parábola con vértice $(0, 0)$ y el eje x como su eje de simetría se puede utilizar para graficar la parábola. Si los valores de $p > 0,$ la parábola se abre a la derecha. Si los valores de $p < 0,$ la parábola se abre a la izquierda. Vea el Ejemplo 1.
La forma estándar de una parábola con vértice $(0, 0)$ y el eje y como su eje de simetría se puede utilizar para graficar la parábola. Si los valores de $p > 0,$ la parábola se abre. Si los valores de $p < 0,$ la parábola se abre hacia abajo. Vea el Ejemplo 2.
Dados el foco y la directriz de una parábola, podemos escribir su ecuación en forma estándar. Vea el Ejemplo 3.
La forma estándar de una parábola con vértice $(h, k)$ y el eje de simetría paralelo al eje x se pueden usar para graficar la parábola. Si los valores de $p > 0,$ la parábola se abre a la derecha. Si los valores de $p < 0,$ la parábola se abre a la izquierda. Vea el Ejemplo 4.
La forma estándar de una parábola con vértice $(h, k)$ y el eje de simetría paralelo al eje y se pueden usar para graficar la parábola. Si los valores de $p > 0,$ la parábola se abre. Si los valores de $p < 0,$ la parábola se abre hacia abajo. Vea el Ejemplo 5.
Las situaciones del mundo real se pueden modelar mediante ecuaciones estándar de parábolas. Por ejemplo, dados el diámetro y el foco de una sección transversal de un reflector parabólico, podemos hallar una ecuación que modele sus lados. Vea el Ejemplo 6.

10.4 Rotación de ejes

Cuatro formas básicas pueden resultar de la intersección de un plano con un par de conos circulares rectos conectados cola con cola. Se trata de una elipse, un círculo, una hipérbola y una parábola.
Una sección cónica no degenerada tiene la forma general $A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0$ donde $A, B$ y $C$ no son todos cero. Los valores de $A, B,$ y $C$ determinan el tipo de sección cónica. Vea el Ejemplo 1.
Las ecuaciones de secciones cónicas con un término $x y$ se han girado alrededor del origen. Vea el Ejemplo 2.
La forma general se puede transformar en una ecuación en el sistema de coordenadas $x^{'}$ y $y^{'}$ sin $x^{'} y^{'}$ . Vea el Ejemplo 3 y el Ejemplo 4.
Una expresión se describe como invariante si permanece sin cambios después de la rotación. Como el discriminante es invariable, su observación nos permite identificar la sección cónica. Vea el Ejemplo 5.

10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares

Cualquier cónica puede estar determinada por un único foco, la excentricidad correspondiente y la directriz. También podemos definir una cónica en términos de un punto fijo, el foco $P (r, θ)$ en el polo, y una línea, la directriz, que es perpendicular al eje polar.
Una cónica es el conjunto de todos los puntos $e = \frac{P F}{P D},$ donde la excentricidad $e$ es un número real positivo. Cada cónica se puede escribir en términos de su ecuación polar. Vea el Ejemplo 1.
Las ecuaciones polares de las cónicas se pueden graficar. Vea el Ejemplo 2, el Ejemplo 3 y el Ejemplo 4.
Las cónicas se pueden definir en términos de un foco, una directriz y una excentricidad. Vea el Ejemplo 5 y el Ejemplo 6.
Podemos utilizar las identidades $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}, x = r \cos θ,$ y $y = r sen θ$ para convertir la ecuación de una cónica de forma polar a rectangular. Vea el Ejemplo 7.