Jay Abramson

Conceptos clave

1.1 Funciones y notación de funciones

Una relación es un conjunto de pares ordenados. Una función es un tipo específico de relación en la que cada valor de dominio, o entrada, conduce exactamente a un valor de rango, o salida. Vea el Ejemplo 1 y el Ejemplo 2.
La notación de función es un método abreviado para relacionar la entrada con la salida de la forma $y = f (x) .$ Vea el Ejemplo 3 y el Ejemplo 4.
En forma de tabla, una función puede representarse mediante filas o columnas que se refieren a los valores de entrada y salida. Vea el Ejemplo 5.
Para evaluar una función, determinamos un valor de salida para un valor de entrada correspondiente. Las formas algebraicas de una función se pueden evaluar sustituyendo la variable de entrada por un valor determinado. Vea el Ejemplo 6 y el Ejemplo 7.
Para resolver el valor de una función específica, determinamos los valores de entrada que producen el valor de salida específico. Vea el Ejemplo 8.
La forma algebraica de una función puede escribirse a partir de una ecuación. Vea el Ejemplo 9 y el Ejemplo 10.
Los valores de entrada y salida de una función pueden identificarse a partir de una tabla. Vea el Ejemplo 11.
Relacionar los valores de entrada con los de salida en un gráfico es otra forma de evaluar una función. Vea el Ejemplo 12.
Una función es biunívoca si cada valor de salida corresponde a un solo valor de entrada. Vea el Ejemplo 13.
Un gráfico representa una función si cualquier línea vertical dibujada en él lo interseca en no más de un punto. Vea el Ejemplo 14.
El gráfico de una función biunívoca pasa la prueba de la línea horizontal. Vea el Ejemplo 15.

1.2 Dominio y rango

El dominio de una función incluye todos los valores reales de entrada que no nos harían intentar una operación matemática indefinida, como dividir entre cero o sacar la raíz cuadrada de un número negativo.
El dominio de una función puede determinarse enumerando los valores de entrada de un conjunto de pares ordenados. Vea el Ejemplo 1.
El dominio de una función también puede determinarse identificando los valores de entrada de una función escrita como una ecuación. Vea el Ejemplo 2, el Ejemplo 3 y el Ejemplo 4.
Los valores de los intervalos representados en una recta numérica pueden describirse utilizando la notación de inecuación, la notación del constructor de conjuntos y la notación intervalo. Vea el Ejemplo 5.
Para muchas funciones, el dominio y el rango se pueden determinar a partir de un gráfico. Vea el Ejemplo 6 y el Ejemplo 7.
La comprensión de las funciones de la caja de herramientas puede utilizarse para encontrar el dominio y el rango de las funciones relacionadas. Vea el Ejemplo 8, el Ejemplo 9 y el Ejemplo 10.
Una función definida por partes se describe con más de una fórmula. Vea el Ejemplo 11 y el Ejemplo 12.
Una función definida por partes se puede graficar utilizando cada fórmula algebraica en su subdominio asignado. Vea el Ejemplo 13.

1.3 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos

La tasa de cambio relaciona el cambio de una cantidad de salida con el de una cantidad de entrada. La tasa de cambio promedio se determina utilizando solo los datos iniciales y finales. Vea el Ejemplo 1.
La identificación de los puntos que marcan el intervalo en un gráfico puede utilizarse para hallar la tasa de cambio promedio. Vea el Ejemplo 2.
La comparación de pares de valores de entrada y salida en una tabla también puede utilizarse para encontrar la tasa de cambio promedio. Vea el Ejemplo 3.
Una tasa de cambio promedio también se puede calcular determinando los valores de la función en los puntos finales de un intervalo descrito por una fórmula. Vea el Ejemplo 4 y el Ejemplo 5.
A veces, la tasa de cambio promedio puede determinarse como una expresión. Vea el Ejemplo 6.
Una función es creciente cuando su tasa de cambio es positiva y decreciente cuando su tasa de cambio es negativa. Vea el Ejemplo 7.
Un máximo local es cuando una función pasa de ser creciente a decreciente y tiene un valor de salida mayor (más positivo o menos negativo) que los valores de salida en los valores de entrada vecinos.
Un mínimo local es cuando la función pasa de ser decreciente a creciente (a medida que aumenta la entrada) y tiene un valor de salida menor (más negativo o menos positivo) que los valores de salida en los valores de entrada vecinos.
Los mínimos y los máximos también se llaman extremos.
Podemos encontrar los extremos locales de un gráfico. Vea el Ejemplo 8 y el Ejemplo 9.
Los puntos más altos y más bajos de un gráfico indican los máximos y los mínimos. Vea el Ejemplo 10.

1.4 Composición de las funciones

Podemos realizar operaciones algebraicas con funciones. Vea el Ejemplo 1.
Cuando las funciones se combinan, la salida de la primera función (interna) se convierte en la entrada de la segunda función (externa).
La función producida al combinar dos funciones es una función compuesta. Vea el Ejemplo 2 y el Ejemplo 3.
Al interpretar el significado de las funciones compuestas hay que tener en cuenta el orden de composición de las mismas. Vea el Ejemplo 4.
Se puede evaluar una función compuesta evaluando la función interna utilizando el valor de entrada dado y luego evaluando la función externa tomando como entrada la salida de la función interna.
Se puede evaluar una función compuesta a partir de una tabla. Vea el Ejemplo 5.
Se puede evaluar una función compuesta a partir de un gráfico. Vea el Ejemplo 6.
Se puede evaluar una función compuesta a partir de una fórmula. Vea el Ejemplo 7.
El dominio de una función compuesta consiste en aquellas entradas en el dominio de la función interna que corresponden a salidas de la función interna que están en el dominio de la función externa. Vea el Ejemplo 8 y el Ejemplo 9.
Al igual que las funciones pueden combinarse para formar una función compuesta, las funciones compuestas pueden descomponerse en funciones más simples.
A menudo, las funciones pueden descomponerse de más de una manera. Vea el Ejemplo 10.

1.5 Transformación de funciones

Una función puede desplazarse verticalmente al sumar una constante a la salida. Vea el Ejemplo 1 y el Ejemplo 2.
Una función puede desplazarse horizontalmente al sumar una constante a la entrada. Vea el Ejemplo 3, el Ejemplo 4 y el Ejemplo 5.
Relacionar el desplazamiento con el contexto de un problema permite comparar e interpretar los desplazamientos verticales y horizontales. Vea el Ejemplo 6.
A menudo se combina el desplazamiento vertical con el horizontal. Vea el Ejemplo 7 y el Ejemplo 8.
La reflexión vertical refleja un gráfico con respecto al eje $x$ . Un gráfico puede reflejarse verticalmente al multiplicar la salida por -1.
La reflexión horizontal refleja un gráfico con respecto al eje $y$ . Un gráfico puede relejarse horizontalmente al multiplicar la entrada por -1.
Un gráfico puede reflejarse tanto vertical como horizontalmente. El orden en que se aplican las reflexiones no afecta el gráfico final. Vea el Ejemplo 9.
Una función presentada en forma tabular también puede reflejarse al multiplicar los valores de las filas o columnas de entrada y salida según corresponda. Vea el Ejemplo 10.
La función presentada en forma de ecuación puede reflejarse al aplicar las transformaciones una a la vez. Vea el Ejemplo 11.
Las funciones pares son simétricas con respecto al eje $y$ , mientras que las funciones impares son simétricas respecto al origen.
Las funciones pares satisfacen la condición $f (x) = f (- x) .$
Las funciones impares cumplen la condición $f (x) = - f (- x) .$
Una función puede ser impar, par o ninguna de las dos. Vea el Ejemplo 12.
Una función puede comprimirse o estirarse verticalmente al multiplicar la salida por una constante. Vea el Ejemplo 13, el Ejemplo 14 y el Ejemplo 15.
Una función puede comprimirse o estirarse horizontalmente al multiplicar la entrada por una constante. Vea el Ejemplo 16, el Ejemplo 17 y el Ejemplo 18.
El orden en el que se apliquen las distintas transformaciones no afecta la función final. Las transformaciones verticales y horizontales deberán aplicarse en el orden indicado. Sin embargo, una transformación vertical puede combinarse con una transformación horizontal en cualquier orden. Vea el Ejemplo 19 y el Ejemplo 20.

1.6 Funciones de valor absoluto

La función de valor absoluto se utiliza habitualmente para medir las distancias entre los puntos. Vea el Ejemplo 1.
Los problemas aplicados, como los rangos de valores posibles, también se resuelven con la función de valor absoluto. Vea el Ejemplo 2.
El gráfico de la función valor absoluto se parece a una letra V. Tiene un vértice en el que el gráfico cambia de dirección. Vea el Ejemplo 3.
En una ecuación de valor absoluto, una incógnita de la variable es la entrada de una función de valor absoluto.
Si el valor absoluto de una expresión es igual a un número positivo, espere dos soluciones para la incógnita. Vea el Ejemplo 4.
La ecuación de valor absoluto puede tener una solución, dos soluciones o ninguna solución. Vea el Ejemplo 5.
La inecuación de valor absoluto es similar a una ecuación de valor absoluto, pero tiene la forma $| A | < B, | A | \leq B, | A | > B, o | A | \geq B .$ Se resuelve al delimitar el conjunto de soluciones y luego probar cuáles segmentos están en el conjunto. Vea el Ejemplo 6.
Las inecuaciones de valor absoluto se resuelven gráficamente. Vea el Ejemplo 7.

1.7 Funciones inversas

Si los valores de $g (x)$ es la inversa de $f (x),$ entonces $g (f (x)) = f (g (x)) = x .$ Vea el Ejemplo 1, el Ejemplo 2 y el Ejemplo 3.
Cada una de las funciones de la caja de herramientas tiene una inversa. Vea el Ejemplo 4.
Para que una función tenga una inversa, deberá ser biunívoca (pasar la prueba de la línea horizontal).
Aquella función que no sea biunívoca en todo su dominio puede serlo en parte de su dominio.
Para una función tabular, intercambie las filas de entrada y salida para obtener la inversa. Vea el Ejemplo 5.
La inversa de la función puede determinarse en puntos específicos en su gráfico. Vea el Ejemplo 6.
Para hallar la inversa de una fórmula, resuelva la ecuación $y = f (x)$ para $x$ en función de $y .$ A continuación, intercambie las etiquetas $x$ y $y .$ Vea el Ejemplo 7, el Ejemplo 8 y el Ejemplo 9.
El gráfico de una función inversa es la reflexión del gráfico de la función original a través de la línea $y = x .$ Vea el Ejemplo 10.