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Precálculo 2ed

11.2 Secuencias aritméticas

Precálculo 2ed11.2 Secuencias aritméticas

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Hallar la diferencia común de una secuencia aritmética.
  • Escribir términos de una secuencia aritmética.
  • Utilizar una fórmula recursiva para una secuencia aritmética.
  • Utilizar una fórmula explícita para una secuencia aritmética.

Las empresas suelen hacer grandes compras, como computadoras y vehículos, para uso empresarial. El valor contable de estos suministros disminuye cada año a efectos fiscales. Esta disminución de valor se denomina depreciación. Un método para calcular la depreciación es la depreciación lineal, en la que el valor del activo disminuye en la misma cantidad cada año.

Como ejemplo, consideremos a una mujer que inicia un pequeño negocio de contratación. Compra un camión nuevo por 25.000 dólares. Después de cinco años, calcula que podrá vender el camión por 8.000 dólares. Por lo tanto, la pérdida de valor del camión será de 17.000 dólares, lo que supone 3.400 dólares al año durante cinco años. El camión valdrá 21.600 dólares después del primer año, 18.200 dólares después de dos años, 14.800 dólares después de tres años, 11.400 dólares después de cuatro años y 8.000 dólares al final de cinco años. En esta sección, consideraremos tipos específicos de secuencias que nos permitirán calcular la depreciación, como el valor del camión.

Hallar diferencias comunes

Se dice que los valores del camión del ejemplo forman una secuencia aritmética porque cambian en una cantidad constante cada año. Cada término aumenta o disminuye en el mismo valor constante llamado diferencia común de la secuencia. Para esta secuencia, la diferencia común es de –3.400.

Una secuencia, {25.000, 21.600, 18.200, 14.800, 8.000}, que muestra que los términos difieren solo en –3.400.

La siguiente secuencia es otro ejemplo de secuencia aritmética. En este caso, la constante es 3. Puede elegir cualquier término de la secuencia y sumar 3 para calcular el término siguiente.

La secuencia {3, 6, 9, 12, 15, ...} que muestra que los términos solo difieren en 3.

Secuencia aritmética

La secuencia aritmética es aquella en que la diferencia entre términos consecutivos es siempre la misma. Esta constante se denomina la diferencia común. Si los valores de a 1 a 1 es el primer término de una secuencia aritmética y dd es la diferencia común, la secuencia será:

{ a n }={ a 1 , a 1 +d, a 1 +2d, a 1 +3d,...} { a n }={ a 1 , a 1 +d, a 1 +2d, a 1 +3d,...}

Ejemplo 1

Hallar diferencias comunes

¿Cada secuencia es aritmética? Si es así, halle la diferencia común.

  1. Ⓐ {1,2 ,4,8,16,...} {1,2 ,4,8,16,...}
  2. Ⓑ {−3,1,5,9,13,...} {−3,1,5,9,13,...}

Análisis

El gráfico de cada una de estas secuencias se muestra en la Figura 1. Podemos ver en los gráficos que, aunque ambas secuencias muestran crecimiento, a a no es lineal mientras que b b es lineal. Las secuencias aritméticas tienen una tasa de cambio constante, por lo que sus gráficos serán siempre puntos sobre una línea.

Dos gráficos de secuencias aritméticas. El gráfico (a) crece exponencialmente mientras que el gráfico (b) crece linealmente.
Figura 1

Preguntas y respuestas

Si nos dicen que una secuencia es aritmética, ¿tenemos que restar cada término del siguiente para calcular la diferencia común?

No. Si sabemos que la secuencia es aritmética, podemos elegir un término cualquiera de la secuencia y restarlo del término siguiente para calcular la diferencia común.

Inténtelo #1

¿La secuencia dada es aritmética? Si es así, halle la diferencia común.

{18,16,14,12,10,…} {18,16,14,12,10,…}

Inténtelo #2

¿La secuencia dada es aritmética? Si es así, halle la diferencia común.

{1,3,6,10,15,…} {1,3,6,10,15,…}

Escribir términos de secuencias aritméticas

Ahora que podemos reconocer una secuencia aritmética, hallaremos los términos si nos dan el primer término y la diferencia común. Los términos se pueden hallar empezando por el primer término y sumando la diferencia común repetidamente. Además, cualquier término se puede hallar también introduciendo los valores de n n y d d en la siguiente fórmula.

a n = a 1 +(n–1)d a n = a 1 +(n–1)d

Cómo

Dado el primer término y la diferencia común de una secuencia aritmética, halle los primeros términos.

  1. Sume la diferencia común al primer término para hallar el segundo término.
  2. Sume la diferencia común al segundo término para hallar el tercer término.
  3. Continúe hasta identificar todos los términos deseados.
  4. Escriba los términos separados por comas entre corchetes.

Ejemplo 2

Escribir términos de secuencias aritméticas

Escriba los cinco primeros términos de la secuencia aritmética con a 1 =17 a 1 =17 y d=-3 d=-3 .

Análisis

Como era de esperar, el gráfico de la secuencia consiste en puntos sobre una línea, como se muestra en la Figura 2.

Gráfico de la secuencia aritmética. Los puntos forman una línea negativa.
Figura 2

Inténtelo #3

Enumere los cinco primeros términos de la secuencia aritmética con a 1 =1 a 1 =1 y d=5 d=5 .

Cómo

Dado cualquier primer término y cualquier otro término de una secuencia aritmética, halle un término dado.

  1. Sustituya los valores dados por a 1 , a n ,n a 1 , a n ,n en la fórmula a n = a 1 +(n–1)d a n = a 1 +(n–1)d para resolver para d. d.
  2. Halle un término dado sustituyendo los valores apropiados de a 1 ,n, a 1 ,n, y d d en la fórmula a n = a 1 +(n–1)d. a n = a 1 +(n–1)d.

Ejemplo 3

Escribir términos de secuencias aritméticas

Dados a 1 =8 a 1 =8 y a 4 =14 a 4 =14 , calcule a 5 a 5 .

Análisis

Observe que la diferencia común se suma al primer término una vez para hallar el segundo término, dos veces para hallar el tercero, tres veces para hallar el cuarto, y así sucesivamente. El décimo término se podría hallar al sumar la diferencia común al primer término nueve veces o mediante la ecuación a n = a 1 +( n–1 )d. a n = a 1 +( n–1 )d.

Inténtelo #4

Dados a 3 =7 a 3 =7 y a 5 =17 a 5 =17 , calcule a 2 a 2 .

Usar fórmulas recursivas para secuencias aritméticas

Algunas secuencias aritméticas se definen en términos del término anterior mediante una fórmula recursiva. La fórmula proporciona una regla algebraica para determinar los términos de la secuencia. Una fórmula recursiva nos permite hallar cualquier término de una secuencia aritmética utilizando una función del término anterior. Cada término es la suma del término anterior y la diferencia común. Por ejemplo, si la diferencia común es 5, entonces cada término es el término anterior más 5. Como en cualquier fórmula recursiva, hay que dar el primer término.

a n = a n–1 +d n≥2 a n = a n–1 +d n≥2

Fórmula recursiva para una secuencia aritmética

La fórmula recursiva para una secuencia aritmética con diferencia común d d es:

a n = a n–1 +d n≥2 a n = a n–1 +d n≥2

Cómo

Dada una secuencia aritmética, escriba su fórmula recursiva.

  1. Reste cualquier término del término siguiente para hallar la diferencia común.
  2. Indique el término inicial y sustituya la diferencia común en la fórmula recursiva de las secuencias aritméticas.

Ejemplo 4

Escribir una fórmula recursiva para una secuencia aritmética

Escriba una fórmula recursiva para la secuencia aritmética.

{−18, -7, 4, 15, 26, …} {−18, -7, 4, 15, 26, …}

Análisis

Vemos que la diferencia común es la pendiente de la línea que se forma cuando graficamos los términos de la secuencia, como se muestra en la Figura 3. El patrón de crecimiento de la secuencia muestra la diferencia constante de 11 unidades.

Gráfico de la secuencia aritmética. Los puntos forman una línea positiva.
Figura 3

Preguntas y respuestas

¿Tenemos que restar el primer término del segundo para calcular la diferencia común?

No. Podemos restar cualquier término de la secuencia al término siguiente. Sin embargo, lo más habitual es restar el primer término del segundo porque suele ser el método más sencillo para calcular la diferencia común.

Inténtelo #5

Escriba una fórmula recursiva para la secuencia aritmética.

{25,  37,  49,  61,  …} {25,  37,  49,  61,  …}

Usar fórmulas explícitas para secuencias aritméticas

Podemos pensar en una secuencia aritmética como una función en el dominio de los números naturales; es una función lineal porque tiene una tasa de cambio constante. La diferencia común es la tasa de cambio constante, o la pendiente de la función. Podemos construir la función lineal si conocemos la pendiente y la intersección vertical.

a n = a 1 + d ( n – 1 ) a n = a 1 + d ( n – 1 )

Para calcular la intersección y de la función, podemos restar la diferencia común del primer término de la secuencia. Considere la siguiente secuencia.

Una secuencia, {200, 150, 100, 50, 0, ...}, que muestra que los términos difieren solo en –50.

La diferencia común es −50 −50 , por lo que la secuencia representa una función lineal con una pendiente de −50 −50 . Para calcular la intersección en y y, restamos −50 −50 a partir de 200:200−(−50)=200+50=250 200:200−(−50)=200+50=250 . También puede calcular la intersección y y al graficar la función y determinar dónde una línea que conecta los puntos intersecaría el eje vertical. El gráfico se muestra en la Figura 4.

Gráfico de la secuencia aritmética. Los puntos forman una línea negativa.
Figura 4

Recordemos que la forma de intersección de la pendiente de una línea es y=mx+b. y=mx+b. Cuando se trata de secuencias, utilizamos a n a n en vez de y y y n n en vez de x. x. Si conocemos la pendiente y la intersección vertical de la función, podemos sustituirlas por m m y b b en la forma de intersección de la pendiente de una línea. Al sustituir −50 −50 para la pendiente y 250 250 para la intersección vertical, obtenemos la siguiente ecuación:

a n =-50n+250 a n =-50n+250

No necesitamos calcular la intersección vertical para escribir una fórmula explícita para una secuencia aritmética. Otra fórmula explícita para esta secuencia es a n =200−50(n–1) a n =200−50(n–1) , que se simplifica en a n =-50n+250. a n =-50n+250.

Fórmula explícita para una secuencia aritmética

Una fórmula explícita para el enésimo enésimo término de una secuencia aritmética está dada por

a n = a 1 +d(n–1) a n = a 1 +d(n–1)

Cómo

Dados los primeros términos de una secuencia aritmética, escriba una fórmula explícita.

  1. Halle la diferencia común, a 2 - a 1 . a 2 - a 1 .
  2. Sustituya la diferencia común y el primer término en a n = a 1 +d(n–1). a n = a 1 +d(n–1).

Ejemplo 5

Escribir la fórmula explícita del enésimo término de una secuencia aritmética

Escriba una fórmula explícita para la secuencia aritmética.

{2 , 12, 22, 32, 42, …} {2 , 12, 22, 32, 42, …}

Análisis

El gráfico de esta secuencia, representado en la Figura 5, muestra una pendiente de 10 y una intersección vertical de −8 −8 .

Gráfico de la secuencia aritmética. Los puntos forman una línea positiva.
Figura 5

Inténtelo #6

Escriba una fórmula explícita para la siguiente secuencia aritmética.

{50,47,44,41,…} {50,47,44,41,…}

Hallar el número de términos de una secuencia aritmética finita

Se pueden utilizar fórmulas explícitas para determinar el número de términos de una secuencia aritmética finita. Tenemos que hallar la diferencia común y luego determinar cuántas veces hay que sumar la diferencia común al primer término para obtener el término final de la secuencia.

Cómo

Dados los tres primeros términos y el último término de una secuencia aritmética finita, halle el número total de términos.

  1. Halle la diferencia común d. d.
  2. Sustituya la diferencia común y el primer término en a n = a 1 +d(n–1). a n = a 1 +d(n–1).
  3. Sustituya el último término por a n a n y resuelva para n. n.

Ejemplo 6

Hallar el número de términos de una secuencia aritmética finita

Halle el número de términos de la secuencia aritmética finita.

{8, 1, -6, ..., -41} {8, 1, -6, ..., -41}

Inténtelo #7

Halle el número de términos de la secuencia aritmética finita.

{6, 11, 16, ..., 56} {6, 11, 16, ..., 56}

Resolver problemas de aplicación con secuencias aritméticas

En muchos problemas de aplicación, a menudo, tiene sentido utilizar un término inicial de a 0 a 0 en vez de a 1 . a 1 . En estos problemas, modificamos ligeramente la fórmula explícita para tener en cuenta la diferencia en los términos iniciales. Utilizamos la siguiente fórmula:

a n = a 0 + d n a n = a 0 + d n

Ejemplo 7

Resolver problemas de aplicación con secuencias aritméticas

Un niño de cinco años recibe una asignación de 1 dólar a la semana. Sus padres le prometen un aumento anual de 2 dólares a la semana.

  1. Ⓐ Escriba una fórmula para la asignación semanal del niño en un año determinado.
  2. Ⓑ ¿Cuál será la asignación del niño cuando tenga 16 años?

Inténtelo #8

Una mujer decide salir a correr 10 minutos todos los días de esta semana y planea aumentar el tiempo de su carrera diaria en 4 minutos cada semana. Escriba una fórmula para el tiempo de su carrera después de n semanas. ¿Cuánto durará su carrera diaria dentro de 8 semanas?

Media

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar las secuencias aritméticas.

11.2 Ejercicios de sección

Verbales

1.

¿Qué es una secuencia aritmética?

2.

¿Cómo se halla la diferencia común de una secuencia aritmética?

3.

¿Cómo se determina si una secuencia es aritmética?

4.

¿Cuáles son las principales diferencias entre utilizar una fórmula recursiva y utilizar una fórmula explícita para describir una secuencia aritmética?

5.

Describa en qué se parecen las funciones lineales y las secuencias aritméticas. ¿En qué se diferencian?

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle la diferencia común de la secuencia aritmética proporcionada.

6.

{ 5 , 11 , 17 , 23 , 29 , ... } { 5 , 11 , 17 , 23 , 29 , ... }

7.

{ 0 , 1 2 , 1 , 3 2 , 2 , ... } { 0 , 1 2 , 1 , 3 2 , 2 , ... }

En los siguientes ejercicios, determine si la secuencia es aritmética. Si es así, halle la diferencia común.

8.

{ 11,4 , 9,3 , 7,2 , 5,1 , 3 , ... } { 11,4 , 9,3 , 7,2 , 5,1 , 3 , ... }

9.

{ 4 , 16 , 64 , 256 , 1.024 , ... } { 4 , 16 , 64 , 256 , 1.024 , ... }

En los siguientes ejercicios, escriba los cinco primeros términos de la secuencia aritmética dado el primer término y la diferencia común.

10.

a 1 =−25 a 1 =−25 , d=−9 d=−9

11.

a 1 =0 a 1 =0 , d= 2 3 d= 2 3

En los siguientes ejercicios, escriba los cinco primeros términos de la serie aritmética dados dos términos.

12.

a 1 =17, a 7 =−31 a 1 =17, a 7 =−31

13.

a 13 =−60, a 33 =−160 a 13 =−60, a 33 =−160

En los siguientes ejercicios, halle el término especificado para la secuencia aritmética dado el primer término y la diferencia común.

14.

El primer término es 3, la diferencia común es 4, halle el 5.º término.

15.

El primer término es 4, la diferencia común es 5, halle el 4.º término.

16.

El primer término es 5, la diferencia común es 6, halle el 8.º término.

17.

El primer término es 6, la diferencia común es 7, halle el 6.º término.

18.

El primer término es 7, la diferencia común es 8, halle el 7.º término.

En los siguientes ejercicios, halle el primer término dados dos términos de una secuencia aritmética.

19.

Halle el primer término o a 1 a 1 de una secuencia aritmética si a 6 =12 a 6 =12 y a 14 =28. a 14 =28.

20.

Halle el primer término o a 1 a 1 de una secuencia aritmética si a 7 =21 a 7 =21 y a 15 =42. a 15 =42.

21.

Halle el primer término o a 1 a 1 de una secuencia aritmética si a 8 =40 a 8 =40 y a 23 =115. a 23 =115.

22.

Halle el primer término o a 1 a 1 de una secuencia aritmética si a 9 =54 a 9 =54 y a 17 =102. a 17 =102.

23.

Halle el primer término o a 1 a 1 de una secuencia aritmética si a 11 =11 a 11 =11 y a 21 =16. a 21 =16.

En los siguientes ejercicios, halle el término especificado dados dos términos de una secuencia aritmética.

24.

a 1 =33 a 1 =33 y a 7 =−15. a 7 =−15. Halle a 4 . a 4 .

25.

a 3 =−17,1 a 3 =−17,1 y a 10 =−15,7 a 10 =−15,7 Halle a 21 . a 21 .

En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula recursiva para escribir los cinco primeros términos de la secuencia aritmética.

26.

a 1 =39; a n = a n–1 -3 a 1 =39; a n = a n–1 -3

27.

a 1 =−19; a n = a n–1 −1,4 a 1 =−19; a n = a n–1 −1,4

En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula recursiva para cada secuencia aritmética.

28.

a ={ 40,60,80,... } a ={ 40,60,80,... }

29.

a ={17,26,35,...} a ={17,26,35,...}

30.

a ={-1,2 ,5,...} a ={-1,2 ,5,...}

31.

a ={12,17,22,...} a ={12,17,22,...}

32.

a ={−15,-7,1,...} a ={−15,-7,1,...}

33.

a ={8,9,10,3,11,7,...} a ={8,9,10,3,11,7,...}

34.

a ={−0,52,−1,02,−1,52,...} a ={−0,52,−1,02,−1,52,...}

35.

a ={ 1 5 , 9 20 , 7 10 ,... } a ={ 1 5 , 9 20 , 7 10 ,... }

36.

a ={ - 1 2 ,- 5 4 ,-2 ,... } a ={ - 1 2 ,- 5 4 ,-2 ,... }

37.

a ={ 1 6 ,− 11 12 ,-2 ,... } a ={ 1 6 ,− 11 12 ,-2 ,... }

En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula recursiva para la secuencia aritmética dada, y luego halle el término especificado.

38.

a ={7, 4, 1, ...}; a ={7, 4, 1, ...}; Halle el 17.º término.

39.

a ={4, 11, 18, ...}; a ={4, 11, 18, ...}; Halle el 14.º término.

40.

a ={2 , 6, 10, ...}; a ={2 , 6, 10, ...}; Halle el 12.º término.

En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula explícita para escribir los cinco primeros términos de la secuencia aritmética.

41.

a n =24−4n a n =24−4n

42.

a n = 1 2 n– 1 2 a n = 1 2 n– 1 2

En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula explícita para cada secuencia aritmética.

43.

a ={3,5,7,...} a ={3,5,7,...}

44.

a ={32,24,16,...} a ={32,24,16,...}

45.

a ={-5, 95, 195, ...} a ={-5, 95, 195, ...}

46.

a ={-17, –217, –417,...} a ={-17, –217, –417,...}

47.

a ={1,8, 3,6, 5,4, ...} a ={1,8, 3,6, 5,4, ...}

48.

a ={−18,1,-16,2,-14,3,...} a ={−18,1,-16,2,-14,3,...}

49.

a ={15,8,18,5,21,2,...} a ={15,8,18,5,21,2,...}

50.

a ={ 1 3 ,- 4 3 ,−3, ... } a ={ 1 3 ,- 4 3 ,−3, ... }

51.

a ={ 0, 1 3 , 2 3 ,... } a ={ 0, 1 3 , 2 3 ,... }

52.

a ={ -5,- 10 3 ,- 5 3 ,… } a ={ -5,- 10 3 ,- 5 3 ,… }

En los siguientes ejercicios, halle el número de términos de la secuencia aritmética finita dada.

53.

a ={3,-4,−11, ...,-60} a ={3,-4,−11, ...,-60}

54.

a ={1,2,1,4,1,6,...,3,8} a ={1,2,1,4,1,6,...,3,8}

55.

a ={ 1 2 ,2 , 7 2 ,...,8 } a ={ 1 2 ,2 , 7 2 ,...,8 }

Gráficos

En los siguientes ejercicios, determine si el gráfico mostrado representa una secuencia aritmética.

56.
Gráfico de un diagrama de dispersión con puntos marcados: (1, –4), (2, –2), (3, 0), (4, 2) y (5, 4). El eje x está marcado como n y el eje y está marcado como a_n.
57.
Gráfico de un diagrama de dispersión con puntos marcados: (1, 1,5), (2, 2,25), (3, 3,375), (4, 5,0625) y (5, 7,5938). El eje x está marcado como n y el eje y está marcado como a_n.

En los siguientes ejercicios, utilice la información proporcionada para graficar los primeros 5 términos de la secuencia aritmética.

58.

a 1 =0,d=4 a 1 =0,d=4

59.

a 1 =9; a n = a n–1 -10 a 1 =9; a n = a n–1 -10

60.

a n =−12+5n a n =−12+5n

En tecnología

En los siguientes ejercicios, siga los pasos para trabajar con la secuencia aritmética a n n =3n–2 a n n =3n–2 utilizando una calculadora gráfica:

  • Presione [MODE]
    • Seleccione SEQ en la cuarta línea
    • Seleccione DOT en la quinta línea
    • Presione [ENTER]
  • Presione [Y=]
    • nMín. nMín. es el primer número de conteo de la secuencia. Establezca nMín.=1 nMín.=1
    • u(n) u(n) es el patrón de la secuencia. Establezca u(n)=3n–2 u(n)=3n–2
    • u(nMín.) u(nMín.) es el primer número de la secuencia. Establezca u(nMín.)=1 u(nMín.)=1
  • Presione [2ND] y luego [WINDOW] para ir a TBLSET
    • Establezca TblStart=1 TblStart=1
    • Establezca ΔTbl=1 ΔTbl=1
    • Configure Indpnt: Auto y Depend: Auto
  • Presione [2ND] y luego [GRAPH] para ir a TABLE
61.

¿Cuáles son los siete primeros términos que aparecen en la columna con el título u(n)? u(n)?

62.

Utilice la flecha de desplazamiento hacia abajo para ir a n=50. n=50. ¿Qué valor se da para u(n)? u(n)?

63.

Presione [WINDOW]. Establezca nMín.=1 nMín.=1, nMáx.=5nMáx.=5, xMín.=0xMín.=0, xMáx.=6xMáx.=6, yMín.=-1yMín.=-1 y yMáx.=14. yMáx.=14. A continuación, presione [GRAPH]. Grafique la secuencia tal y como aparece en la calculadora graficadora.

En los siguientes ejercicios, siga los pasos dados anteriormente para trabajar con la secuencia aritmética a n = 1 2 n+5 a n = 1 2 n+5 utilizando una calculadora gráfica.

64.

¿Cuáles son los siete primeros términos que aparecen en la columna con el título u(n) u(n) en la función TABLE?

65.

Grafique la secuencia tal y como aparece en la calculadora graficadora. Asegúrese de ajustar la configuración de WINDOW según sea necesario.

Extensiones

66.

Dé dos ejemplos de secuencias aritméticas cuyos 4.º términos sean 9. 9.

67.

Dé dos ejemplos de secuencias aritméticas cuyos 10.º términos sean 206. 206.

68.

Halle el 5.º término de la secuencia aritmética {9b,5b,b,…}. {9b,5b,b,…}.

69.

Halle el 11.º término de la secuencia aritmética {3a-2b,a+2b,-a+6b…}. {3a-2b,a+2b,-a+6b…}.

70.

¿En qué término la secuencia {5,4,14,5,23,6,...} {5,4,14,5,23,6,...} supera 151?

71.

¿En qué término la secuencia { 17 3 , 31 6 , 14 3 ,... } { 17 3 , 31 6 , 14 3 ,... } comienza a tener valores negativos?

72.

¿Para qué términos la secuencia aritmética finita { 5 2 , 19 8 , 9 4 ,..., 1 8 } { 5 2 , 19 8 , 9 4 ,..., 1 8 } tienen valores enteros?

73.

Escriba una secuencia aritmética utilizando una fórmula recursiva. Muestre los 4 primeros términos y luego halle el 31.º término.

74.

Escriba una secuencia aritmética utilizando una fórmula explícita. Muestre los 4 primeros términos y luego halle el 28.º término.

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