7.1 Teorema del límite central de medias muestrales (promedios)

a. Supongamos que X = un valor de la población original desconocida. La pregunta de probabilidad le pide que calcule una probabilidad para la media de la muestra.

Supongamos que $\overline{x}$ = la media de una muestra de tamaño 25. Dado que μ_X = 90, σ_X = 15 y n = 25,

$\overline{x}$ ~ N$\left(90\text{, }\frac{15}{\sqrt{25}}\right)$.

Calcule P(85 < $\overline{x}$ < 92). Dibuje un gráfico.

P(85 < $\overline{x}$ < 92) = 0,6997

La probabilidad de que la media de la muestra esté entre 85 y 92 es de 0,6997.

b. Para calcular el valor que está dos desviaciones típicas por encima del valor esperado 90, utilice la fórmula:

valor = μ_x + (#deTSDEVs)$\left(\frac{{\sigma }_x}{\sqrt{n}}\right)$

valor = 90 + 2 $\left(\frac{15}{\sqrt{25}}\right)$ = 96

El valor que está dos desviaciones típicas por encima del valor esperado es 96.

El error estándar de la media es $\frac{\sigma x}{\sqrt{n}}$ = $\frac{15}{\sqrt{25}}$ = 3. Recordemos que el error estándar de la media es una descripción de la distancia (en promedio) que la media de la muestra estará de la media de la población en muestras aleatorias simples repetidas de tamaño n.

Supongamos que X = el tiempo, en horas, que se necesita para jugar un partido de fútbol.

La pregunta de probabilidad le pide que calcule una probabilidad para la media de tiempo de la muestra, en horas, que se necesita para jugar un partido de fútbol.

Supongamos que $\overline{x}$ = la media de tiempo, en horas, que se necesita para jugar un partido de fútbol.

Si μ_X = _________, σ_X = __________, y n = $\overline{X}$ ~ N(______, ______) por el teorema del límite central para las medias muestrales

μ_X = 2, σ_X = 0,5, n = 50, y X ~ N$\left(\text{2, }\frac{\mathrm{0,5}}{\sqrt{50}}\right)$

Calcule P(1,8 < $\overline{x}$ < 2,3). Dibuje un gráfico.

P(1,8 < $\overline{x}$ < 2,3) = 0,9977

normalcdf$\left(1.\text{8,2}\text{.3,2,}\frac{\mathrm{0,5}}{\sqrt{50}}\right)$ = 0,9977

La probabilidad de que la media de tiempo esté entre 1,8 horas y 2,3 horas es de 0,9977.

1. Como la media muestral tiende a apuntar a la media poblacional, tenemos μ_χ = μ = 34. La desviación típica de la muestra viene dada por σ_χ = $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ = $\frac{15}{\sqrt{100}}$ = $\frac{15}{10}$ = 1,5
2. El teorema del límite central establece que para tamaños de muestra grandes (n), la distribución de la muestra será aproximadamente normal.
3. La probabilidad de que la edad media de la muestra sea superior a 30 años viene dada por $P(\overline{X} > 30)$ = normalcdf(30,E99,34;1,5) = 0,9962
4. Supongamos que k = el percentil 95.
   k = invNorm$\left(\mathrm{0,}\text{95,34,}\frac{15}{\sqrt{100}}\right)$ = 36,5

1. {\mu }_{\overline{x}}=\mu =\mathrm{8,2}{\sigma }_{\overline{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{60}}=\mathrm{0,13}
2. Esto nos permite calcular la probabilidad de que las medias muestrales estén a una determinada distancia de la media, en muestras repetidas de tamaño 60.
3. Supongamos que k = el percentil 90
   k = invNorm$\left(\mathrm{0,}\text{90.8}\text{0,2,}\frac{1}{\sqrt{60}}\right)$ = 8.37. Estos valores indican que el 90 por ciento del tiempo promedio de interacción en la aplicación para los usuarios de la mesa es inferior a 8,37 minutos.
4. P(X < 5) $\overline{x}$ < 8,5) = normalcdf$\left(\text{8.8}\text{.5,8}\text{0,2,}\frac{1}{\sqrt{60}}\right)$ = 0,9293