8.2 La media de una población utilizando la distribución t de Student

En la práctica, pocas veces conocemos la desviación típica de la población. En el pasado, cuando el tamaño de la muestra era grande, esto no suponía un problema para los estadísticos. Utilizaron la desviación típica de la muestra s como una estimación de σ y procedieron como antes para calcular un intervalo de confianza con resultados suficientemente cercanos. Sin embargo, los estadísticos se encontraron con problemas cuando el tamaño de la muestra era pequeño. El pequeño tamaño de la muestra provocó imprecisiones en el intervalo de confianza.

William S. Goset (1876-1937), de la fábrica de cerveza Guinness de Dublín (Irlanda), se encontró con este problema. Sus experimentos con lúpulo y cebada produjeron muy pocas muestras. La simple sustitución de σ por s no produjo resultados precisos cuando intentó calcular un intervalo de confianza. Se dio cuenta de que no podía utilizar una distribución normal para el cálculo; descubrió que la distribución real depende del tamaño de la muestra. Este problema lo llevó a “descubrir” lo que se llama la distribución t de Student. El nombre proviene del hecho de que Gosset escribió bajo el seudónimo de "Student".

Hasta mediados de los años 70, algunos estadísticos utilizaban la aproximación de la distribución normal para tamaños de muestra grandes y utilizaban la distribución t de Student solo para tamaños de muestra de como máximo 30. Con las calculadoras gráficas y las computadoras, la práctica actual es utilizar la distribución t de Student siempre que se utilice s como estimación de σ.

Si se extrae una muestra aleatoria simple de tamaño n de una población que tiene una distribución aproximadamente normal con media μ y desviación típica poblacional desconocida σ y se calcula la puntuación t t = $\frac{\overline{x}–\mu }{\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)}$, entonces las puntuaciones t siguen una distribución t de Student con n – 1 grados de libertad. La puntuación tt iene la misma interpretación que la puntuación z. Mide cuán lejos está $\overline{x}$ es de su media μ. Para cada tamaño de muestra n existe una distribución t de Student diferente.

Los grados de libertad, n – 1, proceden del cálculo de la desviación típica de la muestra s. En el H - TABLAS, utilizamos n desviaciones $(x–\overline{x}\text{valores})$ para calcular s. Como la suma de las desviaciones es cero, podemos hallar la última desviación una vez que conocemos las otras n – 1 desviaciones. Las otras n – 1 desviaciones pueden cambiar o variar libremente. Llamamos al número n - 1 los grados de libertad (df).

Las calculadoras y las computadoras pueden calcular fácilmente cualquier probabilidad t de Student. Las TI-83,83+ y 84+ tienen una función tcdf para calcular la probabilidad para valores dados de t. La gramática del comando tcdf es tcdf (límite inferior, límite superior, grados de libertad). Sin embargo, para los intervalos de confianza, necesitamos utilizar la probabilidad inversa para calcular el valor de t cuando conocemos la probabilidad.

Para la TI-84+ puede utilizar el comando invT del menú DISTRibution. El comando invT funciona de forma similar al invnorm. El comando invT requiere dos entradas: invT (área a la izquierda, grados de libertad). La salida es la puntuación t que corresponde al área que especificamos.

Las TI-83 y 83+ no tienen el comando invT (la TI-89 tiene un comando T inverso).

También se puede utilizar una tabla de probabilidad para la distribución t de Student La tabla muestra las puntuaciones t que corresponden al nivel de confianza (columna) y los grados de libertad (fila). (la TI-86 no tiene un programa o comando invT, por lo que si está utilizando esa calculadora, deberá utilizar una tabla de probabilidad para la distribución t de Student) Al utilizar una tabla t, tenga en cuenta que algunas tablas están formateadas para mostrar el nivel de confianza en los títulos de las columnas, mientras que los títulos de las columnas de algunas tablas pueden mostrar solo el área correspondiente en una o ambas colas.

Una tabla t de Student (vea el H - TABLAS) da las puntuaciones t dados los grados de libertad y la probabilidad de cola derecha. La mesa es muy limitada. Las calculadoras y las computadoras pueden calcular fácilmente cualquier probabilidad t de Student.

Si no se conoce la desviación típica de la población, el límite de error para una media poblacional es:

• $EBM=\left(t_{\frac{\alpha }{2}}\right)\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$,
• $t_{\frac{\sigma }{2}}$ es la puntuación t con un área a la derecha igual a $\frac{\alpha }{2}$,
• utilizar df = n - 1 grados de libertad, y
• s = desviación típica de la muestra.

El formato del intervalo de confianza es:
$(\overline{x}–EBM,\overline{x}+EBM)$.