8.1 La media de una población utilizando la distribución normal

• Puede utilizar la tecnología para calcular directamente el intervalo de confianza.
• La primera solución se muestra paso a paso.
• La segunda solución utiliza las calculadoras TI-83, 83+ y 84+
  

Para hallar el intervalo de confianza se necesita la media muestral, $\overline{x}$, y el EBM.

• $\overline{x}$ = 68
• EBM = $\left(z_{\frac{\alpha }{2}}\right)$$\left(\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\right)$
• σ = 3; n = 36; el nivel de confianza es del 90 % (CL = 0,90)

CL = 0,90 por lo que α = 1 – CL = 1 – 0,90 = 0,10

$\frac{\alpha }{2}$ = 0,05 $z_{\frac{\alpha }{2}}=z_{\mathrm{0,05}}$

El área a la derecha de z_0,05 es 0,05 y el área a la izquierda de z_0,05 es 1 - 0,05 = 0,95.

$z_{\frac{\alpha }{2}}\text{ = }{z}_{\mathrm{0,05}}\text{ = 1}\text{0,645}$

utilizando invNorm(0,95; 0, 1) en las calculadoras TI-83,83+ y 84+. Esto también se puede calcular utilizando los comandos apropiados en otras calculadoras, una computadora o una tabla de probabilidad para la distribución normal estándar.

EBM = (1,645)$\left(\frac{3}{\sqrt{36}}\right)$ = 0,8225

$\overline{x}$ – EBM = 68 – 0,8225 = 67,1775

$\overline{x}$ + EBM = 68 + 0,8225 = 68,8225

El intervalo de confianza del 90 % es (67,1775; 68,8225)

Interpretación Estimamos con un 90 % de confianza que la verdadera calificación media del examen de la población para todos los estudiantes de Estadística está entre 67,18 y 68,82.

Explicación del nivel de confianza del 90 % El noventa por ciento de los intervalos de confianza construidos de este modo contienen la verdadera puntuación media del examen estadístico. Por ejemplo, si construyéramos 100 de estos intervalos de confianza, esperaríamos que 90 de ellos contuvieran la verdadera puntuación media del examen de la población.

Para hallar el intervalo de confianza, hay que empezar por calcular la estimación puntual: la media de la muestra.

$\overline{x}=\mathrm{1,024}$

A continuación, calcule el EBM. Como está creando un intervalo de confianza del 98 %, CL = 0,98.

Figura 8.4

Se necesita calcular z_0,01 que tenga la propiedad de que el área bajo la curva de densidad normal a la derecha de z_0,01 es 0,01 y el área a la izquierda es 0,99. Utilice su calculadora, una computadora o una tabla de probabilidad para la distribución normal estándar para calcular z_0,01 = 2,326.

$EBM=(z_{\mathrm{0,01}})\frac{\sigma }{\sqrt{n}}=(\mathrm{2,326})\frac{\mathrm{0,337}}{\sqrt{30}}=\mathrm{0,1431}$

Para calcular el intervalo de confianza del 98 %, calcule $\overline{x}\pm EBM$.

$\overline{x}$ - EBM = 1,024 - 0,1431 = 0,8809

$\overline{x}$ - EBM = 1,024 - 0,1431 = 1,1671

Estimamos con un 98 % de confianza que la verdadera media de SAR para la población de teléfonos móviles en Estados Unidos está entre 0,8809 y 1,1671 vatios por kilogramo.

Para hallar el intervalo de confianza se necesita la media muestral, $\overline{x}$, y el EBM.

• $\overline{x}$ = 68
• EBM = $\left(z_{\frac{\alpha }{2}}\right)\left(\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\right)$
• σ = 3; n = 36; el nivel de confianza es del 95 % (CL = 0,95).

CL = 0,95 por lo que α = 1 – CL = 1 – 0,95 = 0,05

$\frac{\alpha }{2}=\mathrm{0,025}{z}_{\frac{\alpha }{2}}=z_{\mathrm{0,025}}$

El área a la derecha de z_0,025 es 0,025 y el área a la izquierda de z_0,025 es 1 – 0,025 = 0,975.

$z_{\frac{\alpha }{2}}=z_{\mathrm{0,025}}=\mathrm{1,96}$

cuando se utiliza invnorm(0,975,0,1) en las calculadoras TI-83, 83+ u 84+ (esto también se puede encontrar utilizando los comandos apropiados en otras calculadoras, utilizando una computadora o utilizando una tabla de probabilidad para la distribución normal estándar).

EBM = (1,96)$\left(\frac{3}{\sqrt{36}}\right)$ = 0,98

$\overline{x}$ - EBM = 68 - 0,98 = 67,02

$\overline{x}$ + EBM = 68 + 0,98 = 68,98

Observe que el EBM es mayor para un nivel de confianza del 95 % en el problema original.