8.3 Una proporción de la población

• La primera solución es paso a paso.
• La segunda solución utiliza una función de las calculadoras TI-83, 83+ u 84.

Supongamos que X = el número de personas de la muestra que tienen teléfonos móviles. X es binomial. $X~B\left(500,\frac{421}{500}\right)$.

Para calcular el intervalo de confianza, debe calcular p′, q′ y EBP.

n = 500

x = número de aciertos = 421

$p^{\prime }=\frac{x}{n}=\frac{421}{500}=\mathrm{0,842}$

p′ = 0,842 es la proporción de la muestra; es la estimación puntual de la proporción de la población.

q′ = 1 – p′ = 1 – 0,842 = 0,158

Como CL = 0,95, entonces α = 1 - CL = 1 - 0,95 = 0,05 $\left(\frac{\alpha }{2}\right)$ = 0,025.

Entonces $z_{\frac{\alpha }{2}}=z_{\mathrm{0,025}}=\mathrm{1,96}$

Utilice el comando invNorm(0,975, 0,1) de las calculadoras TI-83, 83+ u 84+ para calcular z_0,025. Recuerde que el área a la derecha de z_0,025 es 0,025 y el área a la izquierda de z_0,025 es 0,975. Esto también se puede calcular utilizando los comandos apropiados en otras calculadoras, una computadora o una tabla de probabilidad normal estándar.

$EBP=\left(z_{\frac{\alpha }{2}}\right)\sqrt{\frac{p^{\prime }{q}^{\prime }}{n}}=(\mathrm{1,96})\sqrt{\frac{(\mathrm{0,842})(\mathrm{0,158})}{500}}=\mathrm{0,032}$

$p\text{'}–EBP=\mathrm{0,842}–\mathrm{0,032}=\mathrm{0,81}$

$p^{\prime }+EBP=\mathrm{0,842}+\mathrm{0,032}=\mathrm{0,874}$

El intervalo de confianza para la proporción poblacional binomial verdadera es (p′ - EBP, p′ + EBP) = (0,810, 0,874).

Interpretación Estimamos con el 95 % de confianza que entre el 81 % y el 87,4 % de todos los residentes adultos de esta ciudad tienen teléfonos móviles.

Explicación del nivel de confianza del 95 %: El noventa y cinco por ciento de los intervalos de confianza construidos de este modo contendrían el valor real de la proporción de población de todos los residentes adultos de esta ciudad que tienen teléfonos móviles.

• La primera solución es paso a paso.
• La segunda solución utiliza una función de las calculadoras TI-83, 83+ u 84.

x = 300 y n = 500

$p^{\prime }=\frac{x}{n}=\frac{300}{500}=\mathrm{0,600}$

$q^{\prime }=1–p^{\prime }=1–\mathrm{0,600}=\mathrm{0,400}$

Como CL = 0,90, entonces α = 1 - CL = 1 - 0,90 = 0,10$\left(\frac{\alpha }{2}\right)$ = 0,05

$z_{\frac{\alpha }{2}}$ = z_0,05 = 1,645

Utilice el comando invNorm(0,95,0,1) de las calculadoras TI-83, 83+ u 84+ para hallar z_0,05. Recuerde que el área a la derecha de z_0,05 es 0,05 y el área a la izquierda de z_0,05 es 0,95. Esto también se puede calcular utilizando los comandos apropiados en otras calculadoras, una computadora, o una tabla de probabilidad normal estándar.

$EBP=\left(z_{\frac{\alpha }{2}}\right)\sqrt{\frac{p^{\prime }{q}^{\prime }}{n}}=(\mathrm{1,645})\sqrt{\frac{(\mathrm{0,60})(\mathrm{0,40})}{500}}=\mathrm{0,036}$

$p^{\prime }–EBP=\mathrm{0,60}–\mathrm{0,036}=\mathrm{0,564}$

$p^{\prime }+EBP=\mathrm{0,60}+\mathrm{0,036}=\mathrm{0,636}$

El intervalo de confianza para la proporción poblacional binomial verdadera es (p′ - EBP, p′ + EBP) = (0,564, 0,636).

• Interpretación Estimamos con un 90 % de confianza que el verdadero porcentaje de todos los estudiantes que están registrados como votantes está entre el 56,4 % y el 63,6 %.
• Redacción alternativa: Estimamos con un 90 % de confianza que entre el 56,4 % y el 63,6 % de TODOS los estudiantes están registrados como votantes.

Explicación del nivel de confianza del 90 % El noventa por ciento de los intervalos de confianza construidos de esta manera contienen el valor verdadero del porcentaje de población de estudiantes que están registrados como votantes.

Seis de los 25 estudiantes declararon haber fumado en la última semana, por lo que x = 6 y n = 25. Como estamos utilizando el método "más cuatro", utilizaremos x = 6 + 2 = 8 y n = 25 + 4 = 29.

$p^{\prime }=\frac{x}{n}=\frac{8}{29}\approx \mathrm{0,276}$

$q^{\prime }=1–p^{\prime }=1–\mathrm{0,276}=\mathrm{0,724}$

Como CL = 0,95, sabemos que α = 1 - 0,95 = 0,05 y $\frac{\alpha }{2}$ = 0,025.

$z_{\mathrm{0,025}}=\mathrm{1,96}$

$EPB=\left(z_{\frac{\alpha }{2}}\right)\sqrt{\frac{p^{\prime }{q}^{\prime }}{n}}=(\mathrm{1,96})\sqrt{\frac{\mathrm{0,276}(\mathrm{0,724})}{29}}\approx \mathrm{0,163}$

p′ - EPB = 0,276 - 0,163 = 0,113

p′ + EPB = 0,276 + 0,163 = 0,439

Tenemos un 95 % de confianza en que la verdadera proporción de estudiantes de estadística que fuman cigarrillos está entre 0,113 y 0,439.

Utilizando "más cuatro", tenemos x = 13 + 2 = 15 y n = 50 + 4 = 54.

$p^{\text{'}}=\frac{15}{54}\approx \mathrm{0,278}$

$q^{\text{'}}=1–p^{\text{'}}=1–\mathrm{0,241}=\mathrm{0,722}$

Como CL = 0,90, sabemos que α = 1 - 0,90 = 0,10 y $\frac{\alpha }{2}$ = 0,05.

$z_{\mathrm{0,05}}=\mathrm{1,645}$

$EPB=(z_{\frac{\alpha }{2}})\left(\sqrt{\frac{p^{\prime }{q}^{\prime }}{n}}\right)=(\mathrm{1,645})\left(\sqrt{\frac{(\mathrm{0,278})(\mathrm{0,722})}{54}}\right)\approx \mathrm{0,100}$

p′ - EPB = 0,278 - 0,100 = 0,178

p′ + EPB = 0,278 + 0,100 = 0,378

Estamos seguros en un 90 % de que entre el 17,8 % y el 37,8 % de todos los adolescentes declaran tener más de 500 amigos en Facebook.