4.1 Función de Distribución de Probabilidad (PDF) para una variable aleatoria discreta
Supongamos que la PDF del número de años que se tarda en obtener una licenciatura en ciencias (Bachelor of Science B.S.) se da en la Tabla 4.31.
| x | P(x) |
|---|---|
| 3 | 0,05 |
| 4 | 0,40 |
| 5 | 0,30 |
| 6 | 0,15 |
| 7 | 0,10 |
- Defina la variable aleatoria X en palabras.
- ¿Qué significa que los valores cero, uno y dos no están incluidos para x en la PDF?
4.2 Media o valor esperado y desviación típica
Un grupo de teatro organiza una recaudación de fondos. Vende 100 boletos de rifa a 5 dólares cada uno. Supongamos que usted compra cuatro entradas. El premio consiste en dos pases para un espectáculo de Broadway, por un valor total de 150 dólares.
- ¿Qué le interesa aquí?
- Defina la variable aleatoria X en palabras.
- Enumere los valores que puede tomar X.
- Construya una PDF.
- Si esta recaudación de fondos se repite a menudo y siempre se compran cuatro boletos, ¿cuál sería el promedio de ganancias esperada por rifa?
El juego consiste en seleccionar una carta de una baraja normal de 52 cartas y lanzar una moneda. La moneda es justa y tiene la misma probabilidad de salir cara o cruz.
- Si la carta es de figura y la moneda sale cara, gana 6 dólares.
- Si la carta es de figura y la moneda cae en cruz, gana 2 dólares.
- Si la carta no es de figura, pierde 2 dólares, sin importar lo que muestre la moneda.
- Calcule el valor esperado para este juego (ganancia o pérdida neta esperada).
- Explique lo que indican sus cálculos sobre sus ganancias y pérdidas promedio a largo plazo en este juego.
- ¿Debe jugar a este juego para ganar dinero?
Compra un billete de lotería que cuesta 10 dólares. Solo hay 100 boletos a la venta en esta lotería. Hay un premio de 500 dólares, dos premios de 100 dólares y cuatro premios de 25 dólares. Calcule su ganancia o pérdida esperada.
Complete la PDF y responda las preguntas.
| x | P(x) | xP(x) |
|---|---|---|
| 0 | 0,3 | |
| 1 | 0,2 | |
| 2 | ||
| 3 | 0,4 |
- Calcule la probabilidad de que x = 2.
- Calcule el valor esperado.
Suponga que le ofrecen el siguiente "trato" Lance un dado. Si saca un seis, gana 10 dólares. Si saca un cuatro o un cinco, gana 5 dólares. Si saca un uno, dos o tres, paga 6 dólares.
- ¿Qué le interesa en última instancia (el valor de la tirada o el dinero que gana)?
- Defina la variable aleatoria X en palabras.
- Enumere los valores que puede tomar X.
- Construya una PDF.
- A lo largo de este juego, ¿cuál es el promedio de ganancias que espera obtener por partida?
- Con base en los valores numéricos, ¿debería aceptar el trato? Explique su decisión con frases completas.
Un inversionista de capital de riesgo, dispuesto a invertir 1.000.000 de dólares, tiene tres inversiones para elegir. La primera inversión, una compañía de software, tiene un 10 % de posibilidades de devolver 5.000.000 de dólares de ganancia, un 30 % de posibilidades de devolver 1.000.000 de dólares de ganancia y un 60 % de posibilidades de perder el millón de dólares. La segunda compañía, una compañía de hardware, tiene un 20 % de posibilidades de obtener 3.000.000 de dólares de ganancia, un 40 % de posibilidades de obtener 1.000.000 de dólares de ganancia y un 40 % de posibilidades de perder el millón de dólares. La tercera compañía, una compañía de biotecnología, tiene un 10 % de posibilidades de obtener 6.000.000 de dólares de ganancia, un 70 % de no obtener ganancias ni pérdidas y un 20 % de perder el millón de dólares.
- Construya una PDF para cada inversión.
- Calcule el valor esperado para cada inversión.
- ¿Cuál es la inversión más segura? ¿Por qué cree que es así?
- ¿Cuál es la inversión más arriesgada? ¿Por qué cree que es así?
- ¿Qué inversión tiene la mayor rentabilidad esperada, en promedio?
Supongamos que 20.000 adultos casados de Estados Unidos son encuestados al azar sobre el número de hijos que tienen. Los resultados se recopilan y se utilizan como probabilidades teóricas. Supongamos que X = el número de hijos que tienen las personas casadas.
| x | P(x) | xP(x) |
|---|---|---|
| 0 | 0,10 | |
| 1 | 0,20 | |
| 2 | 0,30 | |
| 3 | ||
| 4 | 0,10 | |
| 5 | 0,05 | |
| 6 (o más) | 0,05 |
- Calcule la probabilidad de que un adulto casado tenga tres hijos.
- En palabras, ¿qué representa el valor esperado en este ejemplo?
- Calcule el valor esperado.
- ¿Es más probable que un adulto casado tenga de dos a tres hijos o de cuatro a seis? ¿Cómo lo sabe?
Supongamos que la PDF del número de años que se tarda en obtener un título de licenciado en ciencias (Bachelor of Science, B.S.) se da en la Tabla 4.34.
| x | P(x) |
|---|---|
| 3 | 0,05 |
| 4 | 0,40 |
| 5 | 0,30 |
| 6 | 0,15 |
| 7 | 0,10 |
En promedio, ¿cuántos años cree que tarda una persona en obtener una licenciatura en Ciencias?
Las personas que acuden a los videoclubs suelen alquilar más de un DVD a la vez. En la siguiente tabla se da la distribución de probabilidad de los alquileres de DVD por cliente en Video To Go. En esta tienda hay un límite de cinco videos por cliente, por lo que nadie alquila nunca más de cinco DVD.
| x | P(x) |
|---|---|
| 0 | 0,03 |
| 1 | 0,50 |
| 2 | 0,24 |
| 3 | |
| 4 | 0,07 |
| 5 | 0,04 |
- Describa la variable aleatoria X con palabras.
- Calcule la probabilidad de que un cliente alquile tres DVD.
- Calcule la probabilidad de que un cliente alquile al menos cuatro DVD.
- Calcule la probabilidad de que un cliente alquile como máximo dos DVD.
Otra tienda, Entertainment Headquarters, alquila DVD y videojuegos. La distribución de probabilidad de los alquileres de DVD por cliente en esta tienda es la siguiente. También tienen un límite de cinco DVD por cliente.x P(x) 0 0,35 1 0,25 2 0,20 3 0,10 4 0,05 5 0,05 Tabla 4.36 - ¿En qué tienda es mayor el número esperado de DVD alquilados por cliente?
- Si Video to Go calcula que tendrá 300 clientes la próxima semana, ¿cuántos DVD espera alquilar la próxima semana? Responda en forma de frase.
- Si Video to Go espera 300 clientes la próxima semana, y Entertainment HQ proyecta que tendrá 420 clientes, ¿en qué tienda es mayor el número esperado de alquileres de DVD para la próxima semana? Explique.
- ¿Cuál de los dos videoclubs experimenta más variación en el número de alquileres de DVD por cliente? ¿Cómo lo sabe?
Un “amigo” le ofrece el siguiente “trato”. Por una tarifa de 10 dólares, puede elegir un sobre de una caja que contiene 100 sobres aparentemente idénticos. Sin embargo, cada sobre contiene un cupón para un regalo.
- Diez de los cupones son para un regalo que tiene un valor de 6 dólares.
- Ochenta de los cupones son para un regalo que tiene un valor de 8 dólares.
- Seis de los cupones son para un regalo que tiene un valor de 12 dólares.
- Cuatro de los cupones son para un regalo que tiene un valor de 40 dólares.
Según la ganancia o la pérdida financiera a largo plazo, ¿debería jugar el juego?
- Sí, espero ganar dinero.
- No, espero perder dinero.
- No importa. Espero llegar a un punto de equilibrio.
La Universidad Estatal de Florida tiene 14 clases de Estadística programadas para su trimestre de verano 2013. Una clase tiene cupos para 30 estudiantes, ocho clases tienen cupos para 60 estudiantes, una clase tiene cupos para 70 estudiantes y cuatro clases tienen cupos para 100 estudiantes.
- ¿Cuál es el tamaño promedio de las clases, suponiendo que cada una de ellas esté llena?
- Hay cupos para 980 estudiantes. Supongamos que el cupo de cada clase está completo y seleccionamos un estudiante de Estadística al azar. Supongamos que la variable aleatoria X igual al tamaño de la clase del estudiante. Definir la PDF para X.
- Calcule la media de X.
- Calcule la desviación típica de X.
En una lotería, hay 250 premios de 5 dólares, 50 premios de 25 dólares y diez premios de 100 dólares. Suponiendo que se emitan y vendan 10.000 billetes, ¿cuál es el precio justo que se debe cobrar para alcanzar el equilibrio?
4.3 Distribución binomial
Según un artículo reciente, el número promedio de bebés que nacen con una pérdida de audición significativa (sordera) es de aproximadamente dos por cada 1.000 bebés en una sala de cuidados sana. El número asciende a un promedio de 30 por cada 1.000 bebés en una sala de cuidados intensivos.
Supongamos que se estudian al azar 1.000 bebés de salas de cuidados sanas. Calcule la probabilidad de que exactamente dos bebés hayan nacido sordos.
Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. Recientemente, un enfermero comentó que cuando un paciente llama a la línea de asesoramiento médico para decir que tiene gripe, la probabilidad de que realmente la tenga (y no solo un desagradable resfriado) es solo del 4 %. De los siguientes 25 pacientes que llaman para decir que tienen gripe, nos interesa saber cuántos realmente la tienen.
Indique la distribución de X.
En promedio, por cada 25 pacientes que llaman, ¿cuántos espera que tengan gripe?
Las personas que acuden a los videoclubs suelen alquilar más de un DVD a la vez. La distribución de probabilidad de los alquileres de DVD por cliente en Video To Go es Tabla 4.37. En esta tienda hay un límite de cinco videos por cliente, por lo que nadie alquila nunca más de cinco DVD.
| x | P(x) |
|---|---|
| 0 | 0,03 |
| 1 | 0,50 |
| 2 | 0,24 |
| 3 | |
| 4 | 0,07 |
| 5 | 0,04 |
- Describa la variable aleatoria X con palabras.
- Calcule la probabilidad de que un cliente alquile tres DVD.
- Calcule la probabilidad de que un cliente alquile al menos cuatro DVD.
- Calcule la probabilidad de que un cliente alquile como máximo dos DVD.
Un reportero del periódico escolar decide hacer una encuesta al azar a 12 estudiantes para ver si asistirán a las festividades del Tet (Año Nuevo vietnamita) este año. Basándose en años anteriores, sabe que el 18 % de los estudiantes asisten a las festividades del Tet. Estamos interesados en el número de estudiantes que asistirán a las festividades.
- Defina la variable aleatoria X en palabras.
- Enumere los valores que puede tomar X.
- Describa la distribución de X. X ~ _____(_____,_____)
- ¿Cuántos de los 12 estudiantes esperamos que asistan a las festividades?
- Calcule la probabilidad de que asistan como máximo cuatro estudiantes.
- Calcule la probabilidad de que asistan más de dos estudiantes.
Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: La probabilidad de que los San José Sharks ganen un partido cualquiera es de 0,3694, basándose en un historial de 13 años de 382 victorias de 1.034 partidos jugados (a partir de una fecha determinada). El próximo calendario mensual contiene 12 partidos.
Supongamos que X = el número de partidos ganados en ese mes.
¿Cuál es la probabilidad de que los San José Sharks ganen seis partidos en ese mes?
- 0,1476
- 0,2336
- 0,7664
- 0,8903
¿Cuál es la probabilidad de que los San José Sharks ganen al menos cinco partidos en ese mes?
- 0,3694
- 0,5266
- 0,4734
- 0,2305
Un estudiante toma una prueba de diez preguntas de verdadero-falso, pero no ha estudiado y estima al azar cada respuesta. Calcule la probabilidad de que el estudiante apruebe el examen con una calificación de, al menos, el 70 % de las preguntas correctas.
Un estudiante toma un examen de 32 preguntas de opción múltiple, pero no ha estudiado y estima al azar cada respuesta. Cada pregunta tiene tres posibles opciones de respuesta. Calcule la probabilidad de que el estudiante estime correctamente más del 75 % de las preguntas.
Se lanzan seis dados de diferentes colores. Nos interesa el número de dados que muestran un uno.
- Defina la variable aleatoria X en palabras.
- Enumere los valores que puede tomar X.
- Describa la distribución de X. X ~ _____(_____,_____)
- En promedio, ¿cuántos dados se espera que muestren un uno?
- Calcule la probabilidad de que los seis dados muestren un uno.
- ¿Es más probable que tres o que cuatro dados muestren un uno? Utilice números para justificar su respuesta numéricamente.
Más del 96 % de los institutos universitarios y universidades más grandes (más de 15.000 inscritos en total) tienen alguna oferta en línea. Supongamos que se eligen al azar 13 de estas instituciones. Nos interesa el número de los que ofrecen cursos a distancia.
- Defina la variable aleatoria X en palabras.
- Enumere los valores que puede tomar X.
- Describa la distribución de X. X ~ _____(_____,_____)
- En promedio, ¿cuántas escuelas espera que ofrezcan este tipo de cursos?
- Calcule la probabilidad de que como máximo diez ofrezcan esos cursos.
- ¿Es más probable que 12 o 13 ofrezcan estos cursos? Utilice los números para justificar su respuesta numéricamente y responda con una oración completa.
Supongamos que alrededor del 85 % de los estudiantes que se gradúan asisten a su graduación. Se elige al azar un grupo de 22 estudiantes que se gradúan.
- Defina la variable aleatoria X en palabras.
- Enumere los valores que puede tomar X.
- Describa la distribución de X. X ~ _____(_____,_____)
- ¿Cuántos se espera que asistan a su graduación?
- Calcule la probabilidad de que asistan 17 o 18.
- Basándose en los valores numéricos, ¿le sorprendería que los 22 asistieran a la graduación? Justifique su respuesta numéricamente.
En The Fencing Center el 60 % de los esgrimistas utilizan el florete como arma principal. Encuestamos al azar a 25 esgrimistas de The Fencing Center. Nos interesa el número de esgrimistas que no utilizan el florete como arma principal.
- Defina la variable aleatoria X en palabras.
- Enumere los valores que puede tomar X.
- Describa la distribución de X. X ~ _____(_____,_____)
- ¿Cuántos se espera que no utilicen el florete como arma principal?
- Calcule la probabilidad de que seis no utilicen el florete como arma principal.
- Basándose en los valores numéricos, ¿le sorprendería que los 25 no utilizaran el florete como arma principal? Justifique su respuesta numéricamente.
Aproximadamente el 8 % de los estudiantes de una escuela secundaria local participan en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria. Se elige al azar un grupo de 60 estudiantes de último año. Nos interesa el número que han participado en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria.
- Defina la variable aleatoria X en palabras.
- Enumere los valores que puede tomar X.
- Describa la distribución de X. X ~ _____(_____,_____)
- ¿Cuántos estudiantes de último año se espera que hayan participado en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria?
- Basándose en los valores numéricos, ¿le sorprendería que ninguno de los estudiantes del último año participara en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria? Justifique su respuesta numéricamente.
- Basándose en los valores numéricos, ¿es más probable que cuatro o que cinco de los estudiantes del último año hayan participado en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria? Justifique su respuesta numéricamente.
La posibilidad de una auditoría del Servicio de Impuestos Internos (Internal Revenue Service, IRS) para una declaración de impuestos con más de 25.000 dólares de ingresos es de alrededor del 2 % al año. Nos interesa el número esperado de auditorías que tiene una persona con esos ingresos en un periodo de 20 años. Supongamos que cada año es independiente.
- Defina la variable aleatoria X en palabras.
- Enumere los valores que puede tomar X.
- Describa la distribución de X. X ~ _____(_____,_____)
- ¿Cuántas auditorías se esperan en un periodo de 20 años?
- Calcule la probabilidad de que una persona no sea auditada en absoluto.
- Calcule la probabilidad de que una persona sea auditada más de dos veces.
Se ha calculado que solo un 30 % de los residentes de California tienen suministros adecuados para terremotos. Supongamos que se encuesta al azar a 11 residentes de California. Nos interesa saber el número de personas que disponen de suministros adecuados para terremotos.
- Defina la variable aleatoria X en palabras.
- Enumere los valores que puede tomar X.
- Describa la distribución de X. X ~ _____(_____,_____)
- ¿Cuál es la probabilidad de que, al menos, ocho tengan suministros adecuados para terremotos?
- ¿Es más probable que ninguno o que todos los residentes encuestados dispongan de suministros adecuados para terremotos? ¿Por qué?
- ¿Cuántos residentes espera que tengan suministros adecuados para terremotos?
Hay dos juegos similares para el Año Nuevo chino y el Año Nuevo vietnamita. En la versión china, se utilizan dados imparciales con los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6 junto con un tablero con esos números. En la versión vietnamita, se utilizan dados de feria con dibujos de calabaza, pez, gallo, cangrejo, cangrejo de río y ciervo. El tablero también tiene esos seis objetos. Jugaremos con apuestas de 1 dólar. El jugador apuesta por un número u un objeto. La “casa” tira tres dados. Si ninguno de los dados muestra el número u objeto al que se apostó, la casa se queda con el 1 dólar apostado. Si uno de los dados muestra el número u objeto al que se apostó (y los otros dos no lo muestran), el jugador recupera su apuesta de 1 dólar, más 1 dólar de ganancia. Si dos de los dados muestran el número u objeto al que se apostó (y el tercer dado no lo muestra), el jugador recupera su apuesta de 1 dólar, más 2 dólares de ganancia. Si los tres dados muestran el número u objeto al que se apostó, el jugador recupera su apuesta de 1 dólar, más 3 dólares de ganancia. Supongamos que X = número de coincidencias y Y = ganancia por juego.
- Defina la variable aleatoria X en palabras.
- Enumere los valores que puede tomar X.
- Describa la distribución de X. X ~ _____(_____,_____)
- Enumere los valores que puede adoptar Y. Luego, construya una tabla de PDF que incluya tanto X como Y y sus probabilidades.
- Calcule el promedio de coincidencias esperadas a largo plazo de jugar este juego para el jugador.
- Calcule las ganancias promedio esperadas a largo plazo de este juego para el jugador.
- Determine quién tiene la ventaja, el jugador o la casa.
Según el Banco Mundial, solo el 9 % de la población de Uganda tenía acceso a la electricidad en 2009. Supongamos que tomamos una muestra aleatoria de 150 personas en Uganda. Supongamos que X = el número de personas que tienen acceso a la electricidad.
- ¿Cuál es la distribución de probabilidad de X?
- Use las fórmulas y calcule la media y la desviación típica de X.
- Utilice su calculadora para calcular la probabilidad de que 15 personas de la muestra tengan acceso a la electricidad.
- Calcule la probabilidad de que como máximo diez personas de la muestra tengan acceso a la electricidad.
- Calcule la probabilidad de que más de 25 personas de la muestra tengan acceso a la electricidad.
La tasa de alfabetización de un país mide la proporción de personas de 15 años en adelante que saben leer y escribir. La tasa de alfabetización en Afganistán es del 28,1 %. Supongamos que elige al azar a 15 personas en Afganistán. Supongamos que X = el número de personas alfabetizadas.
- Dibuje un gráfico de la distribución de probabilidad de X.
- Use las fórmulas y calcule (i) la media y (ii) la desviación típica de X.
- Calcule la probabilidad de que más de cinco personas de la muestra sepan leer y escribir. ¿Es más probable que tres o cuatro personas sepan leer y escribir?
4.4 Distribución geométrica
Una consumidora que quiera comprar un Miata rojo de segunda mano llamará a los concesionarios hasta que halle uno que tenga ese automóvil. Calcula que la probabilidad de que cualquier concesionario independiente tenga el automóvil será del 28 %. Nos interesa el número de concesionarios a los que debe llamar.
- Defina la variable aleatoria X en palabras.
- Enumere los valores que puede tomar X.
- Describa la distribución de X. X ~ _____(_____,_____)
- En promedio, ¿a cuántos concesionarios tendríamos que llamar hasta hallar uno que tenga el automóvil?
- Calcule la probabilidad de que tenga que llamar como máximo a cuatro concesionarios.
- Calcule la probabilidad de que deba llamar a tres o cuatro concesionarios.
Supongamos que la probabilidad de que un adulto en Estados Unidos vea el supertazón es del 40 %. Cada persona se considera independiente. Nos interesa saber el número de adultos en Estados Unidos que debemos encuestar hasta hallar uno que vea el supertazón.
- Defina la variable aleatoria X en palabras.
- Enumere los valores que puede tomar X.
- Describa la distribución de X. X ~ _____(_____,_____)
- ¿A cuántos adultos en Estados Unidos espera encuestar hasta hallar uno que vea el supertazón?
- Calcule la probabilidad de que deba preguntar a siete personas.
- Calcule la probabilidad de que deba preguntar a tres o cuatro personas.
Se ha calculado que solo un 30 % de los residentes de California tienen suministros adecuados para terremotos. Supongamos que nos interesa saber el número de residentes de California que debemos encuestar hasta que hallemos uno que no tenga los suministros adecuados para un terremoto.
- Defina la variable aleatoria X en palabras.
- Enumere los valores que puede tomar X.
- Describa la distribución de X. X ~ _____(_____,_____)
- ¿Cuál es la probabilidad de que tengamos que encuestar a uno o a dos residentes hasta que hallemos uno que no tenga los suministros adecuados para un terremoto?
- ¿Cuál es la probabilidad de que debamos encuestar, al menos, tres residentes de California hasta que hallemos uno que no tenga suministros adecuados para un terremoto?
- ¿A cuántos residentes de California hay que encuestar hasta que se halle uno que no tenga los suministros adecuados para un terremoto?
- ¿A cuántos residentes de California hay que encuestar hasta que se halle uno que sí tenga los suministros adecuados para un terremoto?
En uno de sus catálogos de primavera, L. L. Bean® anunciaba calzado en 29 de las 192 páginas de su catálogo. Supongamos que tomamos al azar 20 páginas. Nos interesa el número de páginas que anuncian calzado. Cada página puede ser elegida más de una vez.
- Defina la variable aleatoria X en palabras.
- Enumere los valores que puede tomar X.
- Describa la distribución de X. X ~ _____(_____,_____)
- ¿Cuántas páginas espera que anuncien calzado?
- ¿Es probable que las veinte anuncien calzado en ellas? ¿Por qué sí o por qué no?
- ¿Cuál es la probabilidad de que menos de diez anuncien calzado en ellas?
- Recordatorio: Una página puede ser elegida más de una vez. Nos interesa saber el número de páginas que debemos inspeccionar aleatoriamente hasta hallar una que tenga calzado anunciado. Defina la variable aleatoria X y dé su distribución.
- ¿Cuál es la probabilidad de que solo tenga que inspeccionar como máximo tres páginas para hallar una que anuncie calzado en ella?
- ¿Cuántas páginas espera tener que inspeccionar para hallar una que anuncie calzado?
Suponga que está haciendo el experimento de probabilidad de lanzar un dado imparcial de seis lados. Supongamos que F es el evento de sacar un cuatro o un cinco. Le interesa saber cuántas veces tiene que lanzar el dado para obtener el primer cuatro o cinco como resultado.
- p = probabilidad de acierto (se produce el evento F)
- q = probabilidad de fallo (el evento F no se produce)
- Escriba la descripción de la variable aleatoria X.
- ¿Cuáles son los valores que puede asumir X?
- Calcule los valores de p y q.
- Calcule la probabilidad de que la primera ocurrencia del evento F (sacar un cuatro o un cinco) sea en el segundo ensayo.
Ellen tiene práctica de música tres días a la semana. Practica los tres días el 85 % del tiempo, dos días el 8 % del tiempo, un día el 4 % del tiempo y ningún día el 3 % del tiempo. Se selecciona una semana al azar. ¿Qué valores toma X?
El Banco Mundial registra la prevalencia del VIH en países de todo el mundo. Según sus datos, “la prevalencia del VIH se refiere al porcentaje de personas de 15 a 49 años que están infectadas por el VIH”.1 En Sudáfrica, la prevalencia del VIH es del 17,3 %. Supongamos que X = el número de personas a quienes se les hace la prueba hasta hallar una persona infectada por el VIH.
- Dibuje un gráfico de la distribución de la variable aleatoria discreta X.
- ¿Cuál es la probabilidad de que haya que hacer la prueba a 30 personas para hallar una con el VIH?
- ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que preguntar a diez personas?
- Calcule la (i) media y (ii) desviación típica de la distribución de X.
Según un reciente sondeo de Pew Research, el 75 % de los mileniales (personas nacidas entre 1981 y 1995) tienen un perfil en una red social. Supongamos que X = el número de mileniales a quienes pregunta hasta hallar una persona sin perfil en una red social.
- Describa la distribución de X.
- Calcule (i) la media y (ii) la desviación típica de X.
- ¿Cuál es la probabilidad de que haya que preguntar a diez personas para hallar a una persona sin red social?
- ¿Cuál es la probabilidad de que haya que preguntar a 20 personas para hallar a una persona sin red social?
- ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que preguntar a un máximo de cinco personas?
4.5 Distribución hipergeométrica
Un grupo de estudiantes de artes marciales tiene previsto participar en una demostración en los próximos días. Seis son estudiantes de taekwondo; siete son estudiantes de karate Shotokan. Supongamos que se eligen al azar ocho estudiantes para participar en la primera demostración. Nos interesa el número de estudiantes de karate Shotokan en esa primera demostración.
- Defina la variable aleatoria X en palabras.
- Enumere los valores que puede tomar X.
- Describa la distribución de X. X ~ _____(_____,_____)
- ¿Cuántos estudiantes de karate Shotokan esperamos que haya en esa primera demostración?
En uno de sus catálogos de primavera, L. L. Bean® anunciaba calzado en 29 de las 192 páginas de su catálogo. Supongamos que tomamos al azar 20 páginas. Nos interesa el número de páginas que anuncian calzado. Cada página puede ser elegida como máximo una vez.
- Defina la variable aleatoria X en palabras.
- Enumere los valores que puede tomar X.
- Describa la distribución de X. X ~ _____(_____,_____)
- ¿Cuántas páginas espera que anuncien calzado?
- Calcule la desviación típica.
Supongamos que se está formando un grupo de trabajo sobre tecnología para estudiar el conocimiento de la tecnología entre instructores. Supongamos que diez personas serán elegidas al azar para formar parte del comité de un grupo de 28 voluntarios, 20 de los cuales tienen conocimientos técnicos y ocho no. Nos interesa el número de miembros del comité que no tienen conocimientos técnicos.
- Defina la variable aleatoria X en palabras.
- Enumere los valores que puede tomar X.
- Describa la distribución de X. X ~ _____(_____,_____)
- ¿Cuántos instructores espera que haya en el comité que no sean técnicamente competentes?
- Calcule la probabilidad de que, al menos, cinco miembros del comité no sean técnicamente competentes.
- Calcule la probabilidad de que como máximo tres miembros del comité no sean técnicamente competentes.
Supongamos que nueve atletas de Massachusetts tienen previsto aparecer en un acto benéfico. Los nueve son elegidos al azar entre ocho voluntarios de los Boston Celtics y cuatro de los New England Patriots. Nos interesa el número de Patriots elegidos.
- Defina la variable aleatoria X en palabras.
- Enumere los valores que puede tomar X.
- Describa la distribución de X. X ~ _____(_____,_____)
- ¿Elige a los nueve atletas con o sin reemplazo?
Una mano de bridge se define como 13 cartas sacadas al azar y sin reemplazo de un mazo de 52 cartas. En un mazo estándar hay 13 cartas de cada palo: corazones, picas, tréboles y diamantes. ¿Cuál es la probabilidad de que se reparta una mano que no contenga un corazón?
- ¿Cuál es el grupo de interés?
- ¿Cuántos hay en el grupo de interés?
- ¿Cuántos hay en el otro grupo?
- Supongamos que X = _________. ¿Qué valores toma X?
- La pregunta de probabilidad es P(_______).
- Calcule la probabilidad en cuestión.
- Calcule (i) la media y (ii) la desviación típica de X.
4.6 Distribución de Poisson
La central de llamadas de un despacho de abogados de Minneapolis recibe un promedio de 5,5 llamadas telefónicas durante el mediodía de los lunes. La experiencia demuestra que el personal actual puede atender hasta seis llamadas en una hora. Supongamos que X = el número de llamadas recibidas a mediodía.
- Calcule la media y la desviación típica de X.
- ¿Cuál es la probabilidad de que el despacho reciba como máximo seis llamadas el lunes a mediodía?
- Calcule la probabilidad de que el despacho de abogados reciba seis llamadas a mediodía. ¿Qué significa esto para el personal del despacho de abogados que recibe, en promedio, 5,5 llamadas telefónicas al mediodía?
- ¿Cuál es la probabilidad de que el despacho reciba más de ocho llamadas al mediodía?
La maternidad del Dr. José Fabella Memorial Hospital de Manila, Filipinas es una de las más concurridas del mundo, con un promedio de 60 nacimientos diarios. Supongamos que X = el número de nacimientos en una hora.
- Calcule la media y la desviación típica de X.
- Dibuje un gráfico de la distribución de probabilidad de X.
- ¿Cuál es la probabilidad de que en la maternidad nazcan tres bebés durante una hora?
- ¿Cuál es la probabilidad de que en la maternidad nazcan como máximo tres bebés durante una hora?
- ¿Cuál es la probabilidad de que en la maternidad nazcan más de cinco bebés durante una hora?
Un fabricante de bombillas para árboles de navidad sabe que el 3 % de sus bombillas son defectuosas. Calcule la probabilidad de que una cadena de 100 luces contenga como máximo cuatro bombillas defectuosas mediante las distribuciones binomial y de Poisson.
El número promedio de hijos que tiene una japonesa a lo largo de su vida es de 1,37. Supongamos que se elige una japonesa al azar.
- Defina la variable aleatoria X en palabras.
- Enumere los valores que puede tomar X.
- Describa la distribución de X. X ~ _____(_____,_____)
- Calcule la probabilidad de que no tenga hijos.
- Calcule la probabilidad de que tenga menos hijos que el promedio de japonesas.
- Calcule la probabilidad de que tenga más hijos que el promedio de japonesas.
El promedio de hijos que tiene una española a lo largo de su vida es de 1,47. Supongamos que se elige al azar una española.
- Defina la variable aleatoria X en palabras.
- Enumere los valores que puede tomar X.
- Describa la distribución de X. X ~ _____(_____,_____)
- Calcule la probabilidad de que no tenga hijos.
- Calcule la probabilidad de que tenga menos hijos que el promedio de españolas.
- Calcule la probabilidad de que tenga más hijos que el promedio de españolas.
Las gatas fértiles producen un promedio de tres camadas al año. Supongamos que se elige al azar una gata fértil. En un año, halla la probabilidad de que produzca:
- Defina la variable aleatoria X en palabras.
- Enumere los valores que puede tomar X.
- Demuestre la distribución de X. X ~ _______
- Calcule la probabilidad de que no tenga camadas en un año.
- Calcule la probabilidad de que tenga, al menos, dos camadas en un año.
- Calcule la probabilidad de que tenga exactamente tres camadas en un año.
La probabilidad de tener suerte adicional debido a una galleta de la fortuna es de un 3 % aproximadamente. Dada una bolsa de 144 galletas de la fortuna, nos interesa saber el número de galletas con suerte adicional. Se pueden utilizar dos distribuciones para resolver este problema, pero solo use una.
- Defina la variable aleatoria X en palabras.
- Enumere los valores que puede tomar X.
- Describa la distribución de X. X ~ _____(_____,_____)
- ¿Cuántas galletas esperamos que tengan suerte adicional?
- Calcule la probabilidad de que ninguna de las galletas tenga suerte adicional.
- Calcule la probabilidad de que más de tres tengan suerte adicional.
- A medida que aumenta n, ¿qué ocurre con las probabilidades si usa las dos distribuciones? Explique con oraciones completas.
Según el sitio web del Departamento de Salud Mental de Carolina del Sur, por cada 200 mujeres de EE. UU., en promedio, una padece anorexia. De un grupo de 600 mujeres de EE. UU. elegidas al azar, determine lo siguiente.
- Defina la variable aleatoria X en palabras.
- Enumere los valores que puede tomar X.
- Dada la distribución de X. X ~ _____(_____,_____)
- ¿Cuántas se espera que sufran anorexia?
- Calcule la probabilidad de que ninguna sufra anorexia.
- Calcule la probabilidad de que más de cuatro sufran anorexia.
La posibilidad de una auditoría del Servicio de Impuestos Internos (Internal Revenue Service, IRS) para una declaración de impuestos con más de 25.000 dólares de ingresos es de alrededor del 2 % al año. Supongamos que se eligen al azar 100 personas con declaraciones de impuestos superiores a 25.000 dólares. Nos interesa el número de personas auditadas en un año. Use una distribución de Poisson para responder las siguientes preguntas.
- Defina la variable aleatoria X en palabras.
- Enumere los valores que puede tomar X.
- Describa la distribución de X. X ~ _____(_____,_____)
- ¿Cuántos se espera que se hayan auditado?
- Calcule la probabilidad de que nadie haya sido auditado.
- Calcule la probabilidad de que, al menos, tres hayan sido auditados.
Aproximadamente el 8 % de los estudiantes de una escuela secundaria local participan en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria. Se elige al azar un grupo de 60 estudiantes de último año. Nos interesa el número de los que participaron en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria.
- Defina la variable aleatoria X en palabras.
- Enumere los valores que puede tomar X.
- Describa la distribución de X. X ~ _____(_____,_____)
- ¿Cuántos estudiantes de último año se espera que hayan participado en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria?
- Basándose en los valores numéricos, ¿le sorprendería que ninguno de los estudiantes del último año participara en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria? Justifique su respuesta numéricamente.
- Basándose en los valores numéricos, ¿es más probable que cuatro o que cinco de los estudiantes del último año hayan participado en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria? Justifique su respuesta numéricamente.
En promedio, Pierre, cocinero aficionado, deja caer tres trozos de cáscara de huevo en cada dos mezclas de pastel que hace. Supongamos que usted compra uno de sus pasteles.
- Defina la variable aleatoria X en palabras.
- Enumere los valores que puede tomar X.
- Describa la distribución de X. X ~ _____(_____,_____)
- En promedio, ¿cuántos trozos de cáscara de huevo espera que haya en el pastel?
- ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ningún trozo de cáscara de huevo en el pastel?
- Supongamos que compra uno de los pasteles de Pierre cada semana durante seis semanas. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ninguna cáscara de huevo en ninguno de los pasteles?
- Basándose en el promedio dado por Pierre, ¿es posible que haya siete trozos de cáscara en el pastel? ¿Por qué?
Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: los gatos de la señora Plum la despiertan por la noche porque quieren jugar un promedio de diez veces a la semana. Nos interesa saber el número de veces que sus gatos la despiertan cada semana.
En palabras, la variable aleatoria X = _________________
- el número de veces que los gatos de la Sra. Plum la despiertan cada semana.
- el número de veces que los gatos de la Sra. Plum la despiertan cada hora.
- el número de veces que los gatos de la Sra. Plum la despiertan cada noche.
- el número de veces que los gatos de la Sra. Plum la despiertan.
Calcule la probabilidad de que sus gatos la despierten no más de cinco veces la próxima semana.
- 0,5000
- 0,9329
- 0,0378
- 0,0671
Notas a pie de página
- 1”Prevalence of HIV, total (% of populations ages 15-49),” The World Bank, 2013. Disponible en línea en http://data.worldbank.org/indicator/SH.DYN.AIDS.ZS?order=wbapi_data_value_2011+wbapi_data_value+wbapi_data_value-last&sort=desc (consultado el 15 de mayo de 2013).