Hay dos características principales de un experimento de Poisson.
- La distribución de probabilidad de Poisson da la probabilidad de que se produzca un número de eventos en un intervalo fijo de tiempo o espacio si estos eventos se producen con una tasa promedio conocida y con independencia del tiempo transcurrido desde el último evento. Por ejemplo, un editor de libros podría estar interesado en el número de palabras escritas incorrectamente en un libro en particular. Puede ser que, en promedio, haya cinco palabras mal escritas en 100 páginas. El intervalo son las 100 páginas.
- La distribución de Poisson puede utilizarse para aproximarse a la binomial si la probabilidad de éxito es "pequeña" (del orden de 0,01) y el número de intentos es "grande" (del orden de 1000). Comprobará la relación en los ejercicios de los deberes. n es el número de intentos, y p es la probabilidad de un “acierto".
La variable aleatoria X = el número de ocurrencias en el intervalo de interés.
Ejemplo 4.26
El número promedio de panes colocados en un estante de una panadería en un periodo de media hora es de 12. Es interesante el número de panes que se ponen en la estantería en cinco minutos. El intervalo de tiempo de interés es de cinco minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de panes, seleccionados al azar, puestos en la estantería en cinco minutos sea tres?
Supongamos que X = el número de barras de pan puestas en la estantería en cinco minutos. Si el número promedio de panes colocados en el estante en 30 minutos (media hora) es 12, entonces el número promedio de panes colocados en el estante en cinco minutos es (12) = 2 panes.
La pregunta de probabilidad le pide que halle P(x = 3).
Inténtelo 4.26
El número promedio de peces capturados en una hora es de ocho. Es interesante el número de peces capturados en 15 minutos. El intervalo de tiempo de interés es de 15 minutos. ¿Cuál es el número promedio de peces capturados en 15 minutos?
Ejemplo 4.27
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Un banco espera recibir seis cheques sin fondos al día, en promedio. ¿Cuál es la probabilidad de que el banco reciba menos de cinco cheques sin fondos en un día determinado? El interés es el número de cheques que el banco recibe en un día, por lo que el intervalo de tiempo del interés es un día. Supongamos que X = el número de cheques sin fondos que recibe el banco en un día. Si el banco espera recibir seis cheques sin fondos al día, el promedio es de seis cheques al día. Escriba un enunciado matemático para la pregunta de probabilidad.
Solución
P(x < 5)
Inténtelo 4.27
Una tienda de electrónica espera tener un promedio de diez devoluciones al día. El administrador quiere saber la probabilidad de que la tienda reciba menos de ocho devoluciones en un día determinado. Plantee la pregunta de la probabilidad de forma matemática.
Ejemplo 4.28
Se da cuenta de que un reportero de noticias dice “uh”, en promedio, dos veces por emisión. ¿Cuál es la probabilidad de que el periodista diga “uh” más de dos veces por emisión?
Se trata de un problema de Poisson porque le interesa saber el número de veces que el reportero de las noticias dice “uh” durante una emisión.
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a. ¿Cuál es el intervalo de interés?
b. ¿Cuál es el número promedio de veces que el reportero de noticias dice “uh” durante una emisión?
c. Supongamos que X = ____________. ¿Qué valores toma X?
d. La pregunta de probabilidad es P(______).
Solución
a. una emisión
b. 2
c. Supongamos que X = el número de veces que el reportero de noticias dice “eh" durante una emisión.
x = 0, 1, 2, 3, ...
d. P(x > 2)
Inténtelo 4.28
La sala de urgencias de un determinado hospital recibe un promedio de cinco pacientes por hora. Un médico quiere saber la probabilidad de que Urgencias reciba más de cinco pacientes por hora. Indique la razón por la que se trata de una distribución de Poisson.
Notación para el Poisson: P = Función de distribución de probabilidad de Poisson
X ~ P(μ)
Se lee como “X es una variable aleatoria con una distribución de Poisson”. El parámetro es μ (o λ); μ (o λ) = la media del intervalo de interés. La desviación típica de la distribución de Poisson con media µ es Σ=√μ
Ejemplo 4.29
El contestador automático de Leah recibe unas seis llamadas telefónicas entre las 8 y las 10 a. m. ¿Cuál es la probabilidad de que Leah reciba más de una llamada durante los próximos 15 minutos?
Supongamos que X = el número de llamadas que recibe Leah durante 15 minutos (el intervalo de interés es de 15 minutos o hora)
x = 0, 1, 2, 3, ...
Si Leah recibe, en promedio, seis llamadas telefónicas en dos horas, y hay ocho intervalos de 15 minutos en dos horas, entonces Leah recibe
(6) = 0,75 llamadas durante 15 minutos, en promedio. Por tanto, μ = 0,75 para este problema.
X ~ P(0,75)
Calcule P(x > 1). P(x > 1) = 0,1734 (calculadora o computadora)
Uso de las calculadoras TI-83, 83+, 84, 84+
- Pulse 1 y luego pulse 2.º DISTR.
- Pulse la flecha hacia abajo y seleccione poissoncdf. Pulse ENTER.
- Introduzca (0,75,1).
- El resultado es P(x > 1) = 0,1734.
Nota
Las calculadoras de TI utilizan λ (lambda) para la media.
La probabilidad de que Leah reciba más de una llamada telefónica en los próximos 15 minutos es de 0,1734:
P(x > 1) = 1 - poissoncdf(0,75, 1).
El gráfico de X ~ P(0,75) es:
El eje y contiene la probabilidad de x, donde X = el número de llamadas durante 15 minutos.
Inténtelo 4.29
Un centro de atención al cliente recibe unos diez correos electrónicos cada media hora. ¿Cuál es la probabilidad de que el centro de atención al cliente reciba más de cuatro correos electrónicos en los próximos seis minutos? Utilice la calculadora TI-83+ o TI-84 para hallar la respuesta.
Ejemplo 4.30
Según Baydin, una compañía de gestión de correo electrónico, un usuario de correo electrónico recibe, en promedio, 147 correos electrónicos al día. Supongamos que X = el número de correos electrónicos que recibe un usuario por día. La variable aleatoria discreta X toma los valores x = 0, 1, 2 ... La variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson: X ~ P(147). La media es de 147 correos electrónicos.
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- ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de correo electrónico reciba exactamente 160 correos electrónicos al día?
- ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de correo electrónico reciba como máximo 160 correos electrónicos al día?
- ¿Cuál es la desviación típica?
Solución
- P(x = 160) = poissonpdf(147, 160) ≈ 0,0180
- P(x ≤ 160) = poissoncdf(147, 160) ≈ 0,8666
- Desviación típica =
Inténtelo 4.30
Según una encuesta reciente del Pew Internet Project, las chicas de entre 14 y 17 años envían un promedio de 187 mensajes de texto al día. Supongamos que X = el número de mensajes de texto que una chica de 14 a 17 años envía al día. La variable aleatoria discreta X toma los valores x = 0, 1, 2 ... La variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson: X ~ P(187). La media es de 187 mensajes de texto.
- ¿Cuál es la probabilidad de que una adolescente envíe exactamente 175 mensajes de texto al día?
- ¿Cuál es la probabilidad de que una adolescente envíe como máximo 150 mensajes de texto al día?
- ¿Cuál es la desviación típica?
Ejemplo 4.31
Los usuarios de mensajes de texto reciben o envían un promedio de 41,5 mensajes de texto al día.
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- ¿Cuántos mensajes de texto recibe o envía un usuario por hora?
- ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de mensajes de texto reciba o envíe dos mensajes por hora?
- ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de mensajes de texto reciba o envíe más de dos mensajes por hora?
Solución
- Supongamos que X = el número de mensajes de texto que un usuario envía o recibe en una hora. El número promedio de mensajes de texto recibidos por hora es ≈ 1,7292.
- X ~ P(1,7292), por lo que P(x = 2) = poissonpdf(1,7292, 2) ≈ 0,2653
- P(x > 2) = 1 – P(x ≤ 2) = 1 – poissoncdf(1,7292, 2) ≈ 1 - 0,7495 = 0,2505
Inténtelo 4.31
El aeropuerto internacional Hartsfield-Jackson de Atlanta es el más concurrido del mundo. En promedio, cada día hay 2.500 llegadas y salidas.
- ¿Cuántos aviones llegan y salen del aeropuerto por hora?
- ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente 100 llegadas y salidas en una hora?
- ¿Cuál es la probabilidad de que haya como máximo 100 llegadas y salidas en una hora?
Ejemplo 4.32
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El 13 de mayo de 2013, a partir de las 4:30 p. m., se informó que la probabilidad de actividad sísmica baja para las próximas 48 horas en Alaska era de 1,02 % aproximadamente. Utilice esta información para los próximos 200 días para hallar la probabilidad de que haya una actividad sísmica baja en diez de los próximos 200 días. Utilice las distribuciones binomial y de Poisson para calcular las probabilidades. ¿Están cerca?
Solución
Supongamos que X = el número de días con actividad sísmica baja.
Mediante la distribución binomial:
- P(x = 10) = binompdf(200, 0,0102, 10) ≈ 0,000039
Mediante la distribución de Poisson:
- Calcule μ = np = 200(0,0102) ≈ 2,04
- P(x = 10) = poissonpdf(2,04, 10) ≈ 0,000045
Esperamos que la aproximación sea buena porque n es grande (más de 20) y p es pequeño (menos de 0,05). Los resultados son muy parecidos: ambas probabilidades son casi 0.
Inténtelo 4.32
El 13 de mayo de 2013, a partir de las 4:30 p. m., se informó de que la probabilidad de actividad sísmica moderada para las próximas 48 horas en las islas Kuriles, frente a la costa de Japón, era de alrededor del 1,43 %. Utilice esta información para los próximos 100 días para hallar la probabilidad de que haya una actividad sísmica baja en cinco de los próximos 100 días. Utilice las distribuciones binomial y de Poisson para calcular las probabilidades. ¿Están cerca?