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Introducción a la estadística

4.6 Distribución de Poisson

Introducción a la estadística4.6 Distribución de Poisson

Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Muestreo y datos
    1. Introducción
    2. 1.1 Definiciones de estadística, probabilidad y términos clave
    3. 1.2 Datos, muestreo y variación de datos y muestreo
    4. 1.3 Frecuencia, tablas de frecuencia y niveles de medición
    5. 1.4 Diseño experimental y ética
    6. 1.5 Experimento de recopilación de datos
    7. 1.6 Experimento de muestreo
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Resúmalo todo: tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  3. 2 Estadística descriptiva
    1. Introducción
    2. 2.1 Gráficos de tallo y hoja (gráfico de tallo), gráficos de líneas y gráficos de barras
    3. 2.2 Histogramas, polígonos de frecuencia y gráficos de series temporales
    4. 2.3 Medidas de la ubicación de los datos
    5. 2.4 Diagramas de caja
    6. 2.5 Medidas del centro de los datos
    7. 2.6 Distorsión y media, mediana y moda
    8. 2.7 Medidas de la dispersión de los datos
    9. 2.8 Estadística descriptiva
    10. Términos clave
    11. Repaso del capítulo
    12. Repaso de fórmulas
    13. Práctica
    14. Tarea para la casa
    15. Resúmalo todo: tarea para la casa
    16. Referencias
    17. Soluciones
  4. 3 Temas de probabilidad
    1. Introducción
    2. 3.1 Terminología
    3. 3.2 Eventos mutuamente excluyentes e independientes
    4. 3.3 Dos reglas básicas de la probabilidad
    5. 3.4 Tablas de contingencia
    6. 3.5 Diagramas de árbol y de Venn
    7. 3.6 Temas de probabilidad
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Uniéndolo todo: Práctica
    13. Tarea para la casa
    14. Resúmalo todo: tarea para la casa
    15. Referencias
    16. Soluciones
  5. 4 Variables aleatorias discretas
    1. Introducción
    2. 4.1 Función de Distribución de Probabilidad (PDF) para una variable aleatoria discreta
    3. 4.2 Media o valor esperado y desviación típica
    4. 4.3 Distribución binomial
    5. 4.4 Distribución geométrica
    6. 4.5 Distribución hipergeométrica
    7. 4.6 Distribución de Poisson
    8. 4.7 Distribución discreta (experimento con cartas)
    9. 4.8 Distribución discreta (experimento de los dados de la suerte)
    10. Términos clave
    11. Repaso del capítulo
    12. Repaso de fórmulas
    13. Práctica
    14. Tarea para la casa
    15. Referencias
    16. Soluciones
  6. 5 Variables aleatorias continuas
    1. Introducción
    2. 5.1 Funciones de probabilidad continuas
    3. 5.2 La distribución uniforme
    4. 5.3 La distribución exponencial
    5. 5.4 Distribución continua
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  7. 6 La distribución normal
    1. Introducción
    2. 6.1 La distribución normal estándar
    3. 6.2 Uso de la distribución normal
    4. 6.3 Distribución normal (tiempos de vuelta)
    5. 6.4 Distribución normal (longitud del meñique)
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  8. 7 El teorema del límite central
    1. Introducción
    2. 7.1 Teorema del límite central de medias muestrales (promedios)
    3. 7.2 El teorema del límite central para las sumas
    4. 7.3 Uso del teorema del límite central
    5. 7.4 Teorema del límite central (monedas en el bolsillo)
    6. 7.5 Teorema del límite central (recetas de galletas)
    7. Términos clave
    8. Repaso del capítulo
    9. Repaso de fórmulas
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Referencias
    13. Soluciones
  9. 8 Intervalos de confianza
    1. Introducción
    2. 8.1 La media de una población utilizando la distribución normal
    3. 8.2 La media de una población utilizando la distribución t de Student
    4. 8.3 Una proporción de la población
    5. 8.4 Intervalo de confianza (costos de hogares)
    6. 8.5 Intervalo de confianza (lugar de nacimiento)
    7. 8.6 Intervalo de confianza (altura de las mujeres)
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  10. 9 Pruebas de hipótesis con una muestra
    1. Introducción
    2. 9.1 Hipótesis nula y alternativa
    3. 9.2 Resultados y errores de tipo I y II
    4. 9.3 Distribución necesaria para la comprobación de la hipótesis
    5. 9.4 Eventos poco comunes, la muestra, decisión y conclusión
    6. 9.5 Información adicional y ejemplos de pruebas de hipótesis completas
    7. 9.6 Pruebas de hipótesis de una sola media y una sola proporción
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  11. 10 Pruebas de hipótesis con dos muestras
    1. Introducción
    2. 10.1 Medias de dos poblaciones con desviaciones típicas desconocidas
    3. 10.2 Dos medias poblacionales con desviaciones típicas conocidas
    4. 10.3 Comparación de dos proporciones de población independientes
    5. 10.4 Muestras coincidentes o emparejadas
    6. 10.5 Prueba de hipótesis para dos medias y dos proporciones
    7. Términos clave
    8. Repaso del capítulo
    9. Repaso de fórmulas
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Resúmalo todo: tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  12. 11 La distribución chi-cuadrado
    1. Introducción
    2. 11.1 Datos sobre la distribución chi-cuadrado
    3. 11.2 Prueba de bondad de ajuste
    4. 11.3 Prueba de independencia
    5. 11.4 Prueba de homogeneidad
    6. 11.5 Comparación de las pruebas chi-cuadrado
    7. 11.6 Prueba de una sola varianza
    8. 11.7 Laboratorio 1: Bondad de ajuste de chi-cuadrado
    9. 11.8 Laboratorio 2: prueba de independencia de chi-cuadrado
    10. Términos clave
    11. Repaso del capítulo
    12. Repaso de fórmulas
    13. Práctica
    14. Tarea para la casa
    15. Resúmalo todo: tarea para la casa
    16. Referencias
    17. Soluciones
  13. 12 Regresión lineal y correlación
    1. Introducción
    2. 12.1 Ecuaciones lineales
    3. 12.2 Diagramas de dispersión
    4. 12.3 La ecuación de regresión
    5. 12.4 Comprobación de la importancia del coeficiente de correlación
    6. 12.5 Predicción
    7. 12.6 Valores atípicos
    8. 12.7 Regresión (distancia desde la escuela)
    9. 12.8 Regresión (costo de los libros de texto)
    10. 12.9 Regresión (eficiencia del combustible)
    11. Términos clave
    12. Repaso del capítulo
    13. Repaso de fórmulas
    14. Práctica
    15. Tarea para la casa
    16. Resúmalo todo: tarea para la casa
    17. Referencias
    18. Soluciones
  14. 13 Distribución F y análisis de varianza anova de una vía
    1. Introducción
    2. 13.1 ANOVA de una vía
    3. 13.2 La distribución F y el cociente F
    4. 13.3 Datos sobre la distribución F
    5. 13.4 Prueba de dos varianzas
    6. 13.5 Laboratorio: ANOVA de una vía
    7. Términos clave
    8. Repaso del capítulo
    9. Repaso de fórmulas
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Referencias
    13. Soluciones
  15. A Ejercicios de repaso (caps. 3-13)
  16. B Pruebas prácticas (de la 1 a la 4) y exámenes finales
  17. C Conjuntos de datos
  18. D Proyectos de grupos y asociaciones
  19. E Hojas de soluciones
  20. F Oraciones, símbolos y fórmulas matemáticas
  21. G Notas para las calculadoras TI-83, 83+, 84 y 84+
  22. H Tablas
  23. Índice

Hay dos características principales de un experimento de Poisson.

  1. La distribución de probabilidad de Poisson da la probabilidad de que se produzca un número de eventos en un intervalo fijo de tiempo o espacio si estos eventos se producen con una tasa promedio conocida y con independencia del tiempo transcurrido desde el último evento. Por ejemplo, un editor de libros podría estar interesado en el número de palabras escritas incorrectamente en un libro en particular. Puede ser que, en promedio, haya cinco palabras mal escritas en 100 páginas. El intervalo son las 100 páginas.
  2. La distribución de Poisson puede utilizarse para aproximarse a la binomial si la probabilidad de éxito es "pequeña" (del orden de 0,01) y el número de intentos es "grande" (del orden de 1000). Comprobará la relación en los ejercicios de los deberes. n es el número de intentos, y p es la probabilidad de un “acierto".

La variable aleatoria X = el número de ocurrencias en el intervalo de interés.

Ejemplo 4.26

El número promedio de panes colocados en un estante de una panadería en un periodo de media hora es de 12. Es interesante el número de panes que se ponen en la estantería en cinco minutos. El intervalo de tiempo de interés es de cinco minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de panes, seleccionados al azar, puestos en la estantería en cinco minutos sea tres?

Supongamos que X = el número de barras de pan puestas en la estantería en cinco minutos. Si el número promedio de panes colocados en el estante en 30 minutos (media hora) es 12, entonces el número promedio de panes colocados en el estante en cinco minutos es ( 5 30 ) ( 5 30 ) (12) = 2 panes.

La pregunta de probabilidad le pide que halle P(x = 3).

Inténtelo 4.26

El número promedio de peces capturados en una hora es de ocho. Es interesante el número de peces capturados en 15 minutos. El intervalo de tiempo de interés es de 15 minutos. ¿Cuál es el número promedio de peces capturados en 15 minutos?

Ejemplo 4.27

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Un banco espera recibir seis cheques sin fondos al día, en promedio. ¿Cuál es la probabilidad de que el banco reciba menos de cinco cheques sin fondos en un día determinado? El interés es el número de cheques que el banco recibe en un día, por lo que el intervalo de tiempo del interés es un día. Supongamos que X = el número de cheques sin fondos que recibe el banco en un día. Si el banco espera recibir seis cheques sin fondos al día, el promedio es de seis cheques al día. Escriba un enunciado matemático para la pregunta de probabilidad.

Inténtelo 4.27

Una tienda de electrónica espera tener un promedio de diez devoluciones al día. El administrador quiere saber la probabilidad de que la tienda reciba menos de ocho devoluciones en un día determinado. Plantee la pregunta de la probabilidad de forma matemática.

Ejemplo 4.28

Se da cuenta de que un reportero de noticias dice “uh”, en promedio, dos veces por emisión. ¿Cuál es la probabilidad de que el periodista diga “uh” más de dos veces por emisión?

Se trata de un problema de Poisson porque le interesa saber el número de veces que el reportero de las noticias dice “uh” durante una emisión.

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a. ¿Cuál es el intervalo de interés?

b. ¿Cuál es el número promedio de veces que el reportero de noticias dice “uh” durante una emisión?

c. Supongamos que X = ____________. ¿Qué valores toma X?

d. La pregunta de probabilidad es P(______).

Inténtelo 4.28

La sala de urgencias de un determinado hospital recibe un promedio de cinco pacientes por hora. Un médico quiere saber la probabilidad de que Urgencias reciba más de cinco pacientes por hora. Indique la razón por la que se trata de una distribución de Poisson.

Notación para el Poisson: P = Función de distribución de probabilidad de Poisson

X ~ P(μ)

Se lee como “X es una variable aleatoria con una distribución de Poisson”. El parámetro es μ (o λ); μ (o λ) = la media del intervalo de interés. La desviación típica de la distribución de Poisson con media µ es Σ=√μ

Ejemplo 4.29

El contestador automático de Leah recibe unas seis llamadas telefónicas entre las 8 y las 10 a. m. ¿Cuál es la probabilidad de que Leah reciba más de una llamada durante los próximos 15 minutos?

Supongamos que X = el número de llamadas que recibe Leah durante 15 minutos (el intervalo de interés es de 15 minutos o 1 4 1 4 hora)

x = 0, 1, 2, 3, ...

Si Leah recibe, en promedio, seis llamadas telefónicas en dos horas, y hay ocho intervalos de 15 minutos en dos horas, entonces Leah recibe

( 1 8 ) ( 1 8 ) (6) = 0,75 llamadas durante 15 minutos, en promedio. Por tanto, μ = 0,75 para este problema.

X ~ P(0,75)

Calcule P(x > 1). P(x > 1) = 0,1734 (calculadora o computadora)

Uso de las calculadoras TI-83, 83+, 84, 84+

  • Pulse 1 y luego pulse 2.º DISTR.
  • Pulse la flecha hacia abajo y seleccione poissoncdf. Pulse ENTER.
  • Introduzca (0,75,1).
  • El resultado es P(x > 1) = 0,1734.

Nota

Las calculadoras de TI utilizan λ (lambda) para la media.

La probabilidad de que Leah reciba más de una llamada telefónica en los próximos 15 minutos es de 0,1734:
P(x > 1) = 1 - poissoncdf(0,75, 1).

El gráfico de X ~ P(0,75) es:

Este gráfico muestra una distribución de probabilidad de Poisson. Tiene 5 barras que disminuyen en altura de izquierda a derecha. El eje X muestra los valores en incrementos de 1 a partir de 0, que representan el número de llamadas que recibe Leah durante 15 minutos. El eje y va de 0 a 0,5 en incrementos de 0,1.
Figura 4.5

El eje y contiene la probabilidad de x, donde X = el número de llamadas durante 15 minutos.

Inténtelo 4.29

Un centro de atención al cliente recibe unos diez correos electrónicos cada media hora. ¿Cuál es la probabilidad de que el centro de atención al cliente reciba más de cuatro correos electrónicos en los próximos seis minutos? Utilice la calculadora TI-83+ o TI-84 para hallar la respuesta.

Ejemplo 4.30

Según Baydin, una compañía de gestión de correo electrónico, un usuario de correo electrónico recibe, en promedio, 147 correos electrónicos al día. Supongamos que X = el número de correos electrónicos que recibe un usuario por día. La variable aleatoria discreta X toma los valores x = 0, 1, 2 ... La variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson: X ~ P(147). La media es de 147 correos electrónicos.

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  1. ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de correo electrónico reciba exactamente 160 correos electrónicos al día?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de correo electrónico reciba como máximo 160 correos electrónicos al día?
  3. ¿Cuál es la desviación típica?

Inténtelo 4.30

Según una encuesta reciente del Pew Internet Project, las chicas de entre 14 y 17 años envían un promedio de 187 mensajes de texto al día. Supongamos que X = el número de mensajes de texto que una chica de 14 a 17 años envía al día. La variable aleatoria discreta X toma los valores x = 0, 1, 2 ... La variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson: X ~ P(187). La media es de 187 mensajes de texto.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que una adolescente envíe exactamente 175 mensajes de texto al día?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que una adolescente envíe como máximo 150 mensajes de texto al día?
  3. ¿Cuál es la desviación típica?

Ejemplo 4.31

Los usuarios de mensajes de texto reciben o envían un promedio de 41,5 mensajes de texto al día.

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  1. ¿Cuántos mensajes de texto recibe o envía un usuario por hora?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de mensajes de texto reciba o envíe dos mensajes por hora?
  3. ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de mensajes de texto reciba o envíe más de dos mensajes por hora?

Inténtelo 4.31

El aeropuerto internacional Hartsfield-Jackson de Atlanta es el más concurrido del mundo. En promedio, cada día hay 2.500 llegadas y salidas.

  1. ¿Cuántos aviones llegan y salen del aeropuerto por hora?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente 100 llegadas y salidas en una hora?
  3. ¿Cuál es la probabilidad de que haya como máximo 100 llegadas y salidas en una hora?

Ejemplo 4.32

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El 13 de mayo de 2013, a partir de las 4:30 p. m., se informó que la probabilidad de actividad sísmica baja para las próximas 48 horas en Alaska era de 1,02 % aproximadamente. Utilice esta información para los próximos 200 días para hallar la probabilidad de que haya una actividad sísmica baja en diez de los próximos 200 días. Utilice las distribuciones binomial y de Poisson para calcular las probabilidades. ¿Están cerca?

Inténtelo 4.32

El 13 de mayo de 2013, a partir de las 4:30 p. m., se informó de que la probabilidad de actividad sísmica moderada para las próximas 48 horas en las islas Kuriles, frente a la costa de Japón, era de alrededor del 1,43 %. Utilice esta información para los próximos 100 días para hallar la probabilidad de que haya una actividad sísmica baja en cinco de los próximos 100 días. Utilice las distribuciones binomial y de Poisson para calcular las probabilidades. ¿Están cerca?

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