Hay cinco características de un experimento hipergeométrico.
- Se toman muestras de dos grupos.
- Le interesa un grupo de interés, llamado primer grupo.
- Se toma una muestra sin reemplazo de los grupos combinados. Por ejemplo, quiere elegir un equipo de softball entre un grupo combinado de 11 hombres y 13 mujeres. El equipo está formado por diez jugadores.
- Cada elección de un jugador no es independiente, ya que el muestreo es sin reemplazo. En el ejemplo del sóftbol, la probabilidad de elegir primero a una mujer es . La probabilidad de elegir a un hombre en segundo lugar es si se eligió a una mujer primero. Es si se eligió a un hombre primero. La probabilidad de la segunda elección depende de lo que haya ocurrido en la primera.
- No se trata de ensayos de Bernoulli.
Los resultados de un experimento hipergeométrico se ajustan a una distribución de probabilidad hipergeométrica. La variable aleatoria X = el número de elementos del grupo de interés.
Ejemplo 4.22
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Un plato de caramelos contiene 100 gominolas y 80 chicles. Se eligen 50 caramelos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que 35 de los 50 sean chicles? Los dos grupos son gominolas y pastillas de goma. Como la pregunta de probabilidad pide la probabilidad de seleccionar un chicle, el grupo de interés (primer grupo) es el de los chicles. El tamaño del grupo de interés (primer grupo) es de 80. El tamaño del segundo grupo es de 100. El tamaño de la muestra es de 50 (gominolas o chicles). Supongamos que X = el número de chicles en la muestra de 50. X toma los valores x = 0, 1, 2, ..., 50. ¿Cuál es el enunciado de la probabilidad escrito matemáticamente?
Solución
P(x = 35)
Inténtelo 4.22
Una bolsa contiene fichas de letras. Cuarenta y cuatro de las fichas son vocales y 56 son consonantes. Se eligen siete fichas al azar. Quiere saber la probabilidad de que cuatro de las siete fichas sean vocales. ¿Cuál es el grupo de interés, el tamaño del grupo de interés y el tamaño de la muestra?
Ejemplo 4.23
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Supongamos que se sabe que un envío de 100 reproductores de DVD tiene diez reproductores defectuosos. Un inspector elige al azar 12 para la inspección. Le interesa determinar la probabilidad de que, entre los 12 reproductores de DVD, a lo sumo dos estén defectuosos. Los dos grupos son los 90 reproductores de DVD no defectuosos y los 10 reproductores de DVD defectuosos. El grupo de interés (primer grupo) es el grupo defectuoso porque la pregunta de probabilidad pide la probabilidad de que haya como máximo dos reproductores de DVD defectuosos. El tamaño de la muestra es de 12 reproductores de DVD. (Pueden estar o no defectuosos.). Supongamos que X = el número de reproductores de DVD defectuosos en la muestra de 12. X toma los valores 0, 1, 2, ..., 10. X no puede tomar los valores 11 o 12. El tamaño de la muestra es de 12, pero solo hay 10 reproductores de DVD defectuosos. Escriba el enunciado de la probabilidad matemáticamente.
Solución
P(x ≤ 2)
Inténtelo 4.23
Una caja de huevos contiene 144 huevos. Se sabe que una caja en particular tiene 12 huevos rotos. Un inspector elige al azar 15 para la inspección. Quiere saber la probabilidad de que, entre los 15, a lo sumo tres estén agrietados. ¿Qué es X y qué valores adquiere?
Ejemplo 4.24
Usted es el presidente de una organización de eventos especiales en el campus. Necesita un comité de siete estudiantes para planificar una fiesta de cumpleaños especial para el presidente del instituto universitario. Su organización está formada por 18 mujeres y 15 hombres. Le interesa el número de hombres en su comité. Si los miembros del comité se seleccionan al azar, ¿cuál es la probabilidad de que su comité tenga más de cuatro hombres?
Se trata de un problema hipergeométrico porque se está eligiendo el comité entre dos grupos (hombres y mujeres).
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a. ¿Está eligiendo con o sin reemplazo?
b. ¿Cuál es el grupo de interés?
c. ¿Cuántos hay en el grupo de interés?
d. ¿Cuántos hay en el otro grupo?
e. Supongamos que X = _________ en el comité. ¿Qué valores toma X?
f. La pregunta de probabilidad es P(_______).
Solución
a. sin
b. los hombres
c. 15 hombres
d. 18 mujeres
e. Supongamos que X = el número de hombres del comité. x = 0, 1, 2, ..., 7
f. P(x > 4)
Inténtelo 4.24
Una paleta tiene 200 cartones de leche. De los 200 cartones, se sabe que diez de ellos se filtraron y no se pueden vender. Un empleado de almacén elige al azar 18 para su inspección. Quiere saber la probabilidad de que entre los 18, no haya más de dos cartones con fugas. Dé cinco razones por las que este es un problema hipergeométrico.
Notación para el hipergeométrico: H = Función de distribución de la probabilidad hipergeométrica
X ~ H(r, b, n)
Léala como "X es una variable aleatoria con una distribución hipergeométrica". Los parámetros son r, b y n; r = el tamaño del grupo de interés (primer grupo), b = el tamaño del segundo grupo, n = el tamaño de la muestra elegida.
Ejemplo 4.25
El comité escolar se elegirá al azar entre seis hombres y cinco mujeres. Si el comité está formado por cuatro miembros elegidos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que dos de ellos sean hombres? ¿Cuántos hombres espera que haya en el comité?
Supongamos que X = el número de hombres del comité de cuatro. Los hombres son el grupo de interés (primer grupo).
X toma los valores 0, 1, 2, 3, 4, donde r = 6, b = 5 y n = 4. X ~ H(6, 5, 4)
Calcule P(x = 2). P(x = 2) = 0,4545 (calculadora o computadora)
NOTA
Actualmente, la TI-83+ y la TI-84 no tienen funciones de probabilidad hipergeométrica. Hay varios paquetes informáticos, como Microsoft Excel, que lo hacen.
La probabilidad de que haya dos hombres en el comité es de aproximadamente 0,45.
El gráfico de X ~ H(6, 5, 4) es:
El eje ycontiene la probabilidad de X, donde X = el número de hombres en el comité.
Es de esperar que haya m = 2,18 (unos dos) hombres en el comité.
La fórmula de la media es
Inténtelo 4.25
Se elegirá un equipo de baloncesto intramuros al azar entre 15 chicos y 12 chicas. El equipo tiene diez plazas. Quiere saber la probabilidad de que ocho de los jugadores sean chicos. ¿Cuál es el grupo de interés y la muestra?