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Introducción a la estadística

4.4 Distribución geométrica

Introducción a la estadística4.4 Distribución geométrica

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Muestreo y datos
    1. Introducción
    2. 1.1 Definiciones de estadística, probabilidad y términos clave
    3. 1.2 Datos, muestreo y variación de datos y muestreo
    4. 1.3 Frecuencia, tablas de frecuencia y niveles de medición
    5. 1.4 Diseño experimental y ética
    6. 1.5 Experimento de recopilación de datos
    7. 1.6 Experimento de muestreo
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Resúmalo todo: tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  3. 2 Estadística descriptiva
    1. Introducción
    2. 2.1 Gráficos de tallo y hoja (gráfico de tallo), gráficos de líneas y gráficos de barras
    3. 2.2 Histogramas, polígonos de frecuencia y gráficos de series temporales
    4. 2.3 Medidas de la ubicación de los datos
    5. 2.4 Diagramas de caja
    6. 2.5 Medidas del centro de los datos
    7. 2.6 Distorsión y media, mediana y moda
    8. 2.7 Medidas de la dispersión de los datos
    9. 2.8 Estadística descriptiva
    10. Términos clave
    11. Repaso del capítulo
    12. Repaso de fórmulas
    13. Práctica
    14. Tarea para la casa
    15. Resúmalo todo: tarea para la casa
    16. Referencias
    17. Soluciones
  4. 3 Temas de probabilidad
    1. Introducción
    2. 3.1 Terminología
    3. 3.2 Eventos mutuamente excluyentes e independientes
    4. 3.3 Dos reglas básicas de la probabilidad
    5. 3.4 Tablas de contingencia
    6. 3.5 Diagramas de árbol y de Venn
    7. 3.6 Temas de probabilidad
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Uniéndolo todo: Práctica
    13. Tarea para la casa
    14. Resúmalo todo: tarea para la casa
    15. Referencias
    16. Soluciones
  5. 4 Variables aleatorias discretas
    1. Introducción
    2. 4.1 Función de Distribución de Probabilidad (PDF) para una variable aleatoria discreta
    3. 4.2 Media o valor esperado y desviación típica
    4. 4.3 Distribución binomial
    5. 4.4 Distribución geométrica
    6. 4.5 Distribución hipergeométrica
    7. 4.6 Distribución de Poisson
    8. 4.7 Distribución discreta (experimento con cartas)
    9. 4.8 Distribución discreta (experimento de los dados de la suerte)
    10. Términos clave
    11. Repaso del capítulo
    12. Repaso de fórmulas
    13. Práctica
    14. Tarea para la casa
    15. Referencias
    16. Soluciones
  6. 5 Variables aleatorias continuas
    1. Introducción
    2. 5.1 Funciones de probabilidad continuas
    3. 5.2 La distribución uniforme
    4. 5.3 La distribución exponencial
    5. 5.4 Distribución continua
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  7. 6 La distribución normal
    1. Introducción
    2. 6.1 La distribución normal estándar
    3. 6.2 Uso de la distribución normal
    4. 6.3 Distribución normal (tiempos de vuelta)
    5. 6.4 Distribución normal (longitud del meñique)
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  8. 7 El teorema del límite central
    1. Introducción
    2. 7.1 Teorema del límite central de medias muestrales (promedios)
    3. 7.2 El teorema del límite central para las sumas
    4. 7.3 Uso del teorema del límite central
    5. 7.4 Teorema del límite central (monedas en el bolsillo)
    6. 7.5 Teorema del límite central (recetas de galletas)
    7. Términos clave
    8. Repaso del capítulo
    9. Repaso de fórmulas
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Referencias
    13. Soluciones
  9. 8 Intervalos de confianza
    1. Introducción
    2. 8.1 La media de una población utilizando la distribución normal
    3. 8.2 La media de una población utilizando la distribución t de Student
    4. 8.3 Una proporción de la población
    5. 8.4 Intervalo de confianza (costos de hogares)
    6. 8.5 Intervalo de confianza (lugar de nacimiento)
    7. 8.6 Intervalo de confianza (altura de las mujeres)
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  10. 9 Pruebas de hipótesis con una muestra
    1. Introducción
    2. 9.1 Hipótesis nula y alternativa
    3. 9.2 Resultados y errores de tipo I y II
    4. 9.3 Distribución necesaria para la comprobación de la hipótesis
    5. 9.4 Eventos poco comunes, la muestra, decisión y conclusión
    6. 9.5 Información adicional y ejemplos de pruebas de hipótesis completas
    7. 9.6 Pruebas de hipótesis de una sola media y una sola proporción
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  11. 10 Pruebas de hipótesis con dos muestras
    1. Introducción
    2. 10.1 Medias de dos poblaciones con desviaciones típicas desconocidas
    3. 10.2 Dos medias poblacionales con desviaciones típicas conocidas
    4. 10.3 Comparación de dos proporciones de población independientes
    5. 10.4 Muestras coincidentes o emparejadas
    6. 10.5 Prueba de hipótesis para dos medias y dos proporciones
    7. Términos clave
    8. Repaso del capítulo
    9. Repaso de fórmulas
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Resúmalo todo: tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  12. 11 La distribución chi-cuadrado
    1. Introducción
    2. 11.1 Datos sobre la distribución chi-cuadrado
    3. 11.2 Prueba de bondad de ajuste
    4. 11.3 Prueba de independencia
    5. 11.4 Prueba de homogeneidad
    6. 11.5 Comparación de las pruebas chi-cuadrado
    7. 11.6 Prueba de una sola varianza
    8. 11.7 Laboratorio 1: Bondad de ajuste de chi-cuadrado
    9. 11.8 Laboratorio 2: prueba de independencia de chi-cuadrado
    10. Términos clave
    11. Repaso del capítulo
    12. Repaso de fórmulas
    13. Práctica
    14. Tarea para la casa
    15. Resúmalo todo: tarea para la casa
    16. Referencias
    17. Soluciones
  13. 12 Regresión lineal y correlación
    1. Introducción
    2. 12.1 Ecuaciones lineales
    3. 12.2 Diagramas de dispersión
    4. 12.3 La ecuación de regresión
    5. 12.4 Comprobación de la importancia del coeficiente de correlación
    6. 12.5 Predicción
    7. 12.6 Valores atípicos
    8. 12.7 Regresión (distancia desde la escuela)
    9. 12.8 Regresión (costo de los libros de texto)
    10. 12.9 Regresión (eficiencia del combustible)
    11. Términos clave
    12. Repaso del capítulo
    13. Repaso de fórmulas
    14. Práctica
    15. Tarea para la casa
    16. Resúmalo todo: tarea para la casa
    17. Referencias
    18. Soluciones
  14. 13 Distribución F y análisis de varianza anova de una vía
    1. Introducción
    2. 13.1 ANOVA de una vía
    3. 13.2 La distribución F y el cociente F
    4. 13.3 Datos sobre la distribución F
    5. 13.4 Prueba de dos varianzas
    6. 13.5 Laboratorio: ANOVA de una vía
    7. Términos clave
    8. Repaso del capítulo
    9. Repaso de fórmulas
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Referencias
    13. Soluciones
  15. A Ejercicios de repaso (caps. 3-13)
  16. B Pruebas prácticas (de la 1 a la 4) y exámenes finales
  17. C Conjuntos de datos
  18. D Proyectos de grupos y asociaciones
  19. E Hojas de soluciones
  20. F Oraciones, símbolos y fórmulas matemáticas
  21. G Notas para las calculadoras TI-83, 83+, 84 y 84+
  22. H Tablas
  23. Índice

Hay tres características principales de un experimento geométrico.

  1. Hay uno o más ensayos de Bernoulli con todos los fallos excepto el último, que es un acierto. En otras palabras, sigue repitiendo lo que está haciendo hasta el primer acierto. Entonces se detiene. Por ejemplo, se lanza un dardo a una diana hasta dar en ella. La primera vez que logra dar en la diana es un “acierto”, así que deja de lanzar el dardo. Puede que le lleve seis intentos hasta que acierte en la diana. Puede pensar en las pruebas como fallo, fallo, fallo, fallo, acierto, PARAR.
  2. En teoría, el número de pruebas podría ser eterno. Debe haber, al menos, un ensayo.
  3. La probabilidad, p, de un acierto y la probabilidad, q, de un fallo es igual para cada ensayo. p + q = 1 y q = 1 – p. Por ejemplo, la probabilidad de sacar un tres al lanzar un dado imparcial es 1 6 1 6 . Esto es cierto sin importar cuántas veces se lance el dado. Supongamos que quiere saber la probabilidad de obtener el primer tres en la quinta lanzada. En las lanzadas del uno al cuatro, no se obtiene un lado con un tres. La probabilidad de cada una de las lanzadas es q = 5 6 5 6 , la probabilidad de un fallo. La probabilidad de obtener un tres en la quinta lanzada es ( 5 6 )( 5 6 )( 5 6 )( 5 6 )( 1 6 ) ( 5 6 )( 5 6 )( 5 6 )( 5 6 )( 1 6 ) = 0,0804

X = el número de ensayos independientes hasta el primer acierto.

Ejemplo 4.17

Participa en un juego de azar que puede ganar o perder (no hay otras posibilidades) hasta que pierde. Su probabilidad de perder es p = 0,57. ¿Cuál es la probabilidad de que se necesiten cinco jugadas para perder? Supongamos que X = el número de partidas que juega hasta que pierde (incluye la partida perdida). Entonces X toma los valores 1, 2, 3, ... (podría seguir indefinidamente). La pregunta de probabilidad es P(x = 5).

Inténtelo 4.17

Se lanzan dardos a un tablero hasta dar con la zona central. Su probabilidad de acertar el área central es p = 0,17. Quiere hallar la probabilidad de que se necesiten ocho lanzamientos hasta que acierte al centro. ¿Qué valores toma X?

Ejemplo 4.18

Una ingeniera de seguridad considera que el 35 % de los accidentes laborales en su planta se deben a que los empleados no siguen las instrucciones. Decide mirar los informes de accidentes (seleccionados al azar y sustituidos en la pila después de la lectura) hasta que encuentra uno que muestra un accidente causado por el incumplimiento de las instrucciones por parte de los empleados. En promedio, ¿cuántos informes tendría que mirar la ingeniera de seguridad hasta hallar un informe que muestre un accidente causado por el incumplimiento de las instrucciones por parte de los empleados? ¿Cuál es la probabilidad de que la ingeniera de seguridad tenga que examinar al menos tres informes hasta hallar un informe que muestre un accidente causado por el incumplimiento de las instrucciones por parte de los empleados?

Supongamos que X = el número de accidentes que la ingeniera de seguridad debe examinar hasta hallar un informe que muestre un accidente causado por el incumplimiento de las instrucciones por parte de los empleados. X toma los valores 1, 2, 3, .... La primera pregunta le pide que calcule el valor esperado o la media. La segunda pregunta le pide que calcule P(x ≥ 3). (“Al menos” se traduce en un símbolo “mayor o igual que”).

Inténtelo 4.18

Una instructora considera que el 15 % de los estudiantes obtienen menos de una C en su examen final. Decide revisar los exámenes finales (seleccionados al azar y sustituidos en el montón después de la lectura) hasta que halle uno que muestre una calificación inferior a C. Queremos saber la probabilidad de que la instructora tenga que examinar, al menos, diez exámenes hasta que halle uno con una calificación inferior a C. ¿Cuál es la pregunta de probabilidad enunciada matemáticamente?

Ejemplo 4.19

Supongamos que busca a un estudiante de su instituto universitario que vive a menos de ocho millas de usted. Sabe que el 55 % de los 25.000 estudiantes viven a menos de ocho millas de usted. Contacta al azar con estudiantes del instituto universitario hasta que uno diga que vive a menos de ocho millas de usted. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que contactar cuatro personas?

Este es un problema geométrico porque puede tener varios fallos antes de tener el único acierto que desea. Además, la probabilidad de acierto sigue siendo la misma cada vez que le pregunta a un estudiante si vive a menos de cinco millas de usted. No hay un número definido de ensayos (número de veces que le pregunta a un estudiante).

translation missing: es.problem

a. Supongamos que X = el número de ____________ a los que debe preguntar ____________ uno dice que sí.

b. ¿Qué valores toma X?

c. ¿Qué son p y q?

d. La pregunta de probabilidad es P(_______).

Inténtelo 4.19

Tiene que hallar una tienda que tenga una tinta especial para impresoras. Sabe que de las tiendas que tienen tinta para impresoras, el 10 % tiene la tinta especial. Llame al azar a cada tienda hasta que una tenga la tinta que necesita. ¿Qué son p y q?

Notación para la Geometría: G = Función de distribución de probabilidad geométrica

X ~ G(p)

Lea como “X es una variable aleatoria con una distribución geométrica”. El parámetro es p; p = la probabilidad de acierto de cada ensayo.

Ejemplo 4.20

Supongamos que la probabilidad de un componente informático defectuoso es de 0,02. Los componentes se seleccionan al azar. Calcule la probabilidad de que el primer defecto sea causado por el séptimo componente probado. ¿Cuántos componentes espera probar hasta que se halle uno defectuoso?

Supongamos que X = el número de componentes informáticos probados hasta que se encuentra el primer defecto.

X toma los valores 1, 2, 3, ... donde p = 0,02. X ~ G(0,02)

Calcule P(x = 7). P(x = 7) = 0,0177.

Uso de las calculadoras TI-83, 83+, 84, 84+

Hallar la probabilidad de que x = 7,

  • Introduzca 2nd, DISTR
  • Desplácese hacia abajo y seleccione geometpdf(
  • Pulse ENTER
  • Introduzca 0,02, 7); pulse ENTER para ver el resultado: P(x = 7) = 0,0177

Para hallar la probabilidad de que x ≤ 7, siga las mismas instrucciones EXCEPTO que seleccione E:geometcdf(como la función de distribución.

La probabilidad de que el séptimo componente sea el primer defecto es de 0,0177.

El gráfico de X ~ G(0,02) es:

Este gráfico muestra una distribución de probabilidad geométrica. Consiste en barras que alcanzan su pico máximo a la izquierda y tienen una pendiente descendente con cada barra sucesiva a la derecha. Los valores del eje x cuentan el número de componentes informáticos probados hasta que se encuentra el defecto. El eje y está escalado de 0 a 0,02 en incrementos de 0,005.
Figura 4.3

El eje y contiene la probabilidad de x, donde X = el número de componentes informáticos probados.

El número de componentes que se espera probar hasta hallar el primero defectuoso es la media, μ = 50 μ = 50 .

La fórmula de la media es μ = 1 p 1 p = 1 0,02 1 0,02 = 50

La fórmula de la varianza es σ2 = ( 1 p )( 1 p 1 ) ( 1 p )( 1 p 1 ) = ( 1 0,02 )( 1 0,02 1 ) ( 1 0,02 )( 1 0,02 1 ) = 2.450

La desviación típica es σ = ( 1 p )( 1 p 1 ) ( 1 p )( 1 p 1 ) = ( 1 0,02 )( 1 0,02 1 ) ( 1 0,02 )( 1 0,02 1 ) = 49,5

Inténtelo 4.20

La probabilidad de que haya una varilla de acero defectuosa es de 0,01. Las varillas de acero se seleccionan al azar. Halle la probabilidad de que el primer defecto se produzca en la novena varilla de acero. Utilice la calculadora TI-83+ o TI-84 para hallar la respuesta.

Ejemplo 4.21

translation missing: es.problem

El riesgo de desarrollar cáncer de páncreas a lo largo de la vida es de alrededor de uno de cada 78 (1,28 %). Supongamos que X = el número de personas a las que se pregunta hasta que una dice que tiene cáncer de páncreas. Entonces X es una variable aleatoria discreta con una distribución geométrica: X ~ G ( 1 78 ) ( 1 78 ) o X ~ G(0,0128).

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que se pregunte a diez personas antes de que una diga que tiene cáncer de páncreas?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que preguntar a 20 personas?
  3. Calcule (i) la media y (ii) la desviación típica de X.

Inténtelo 4.21

La tasa de alfabetización de un país mide la proporción de personas mayores de 15 años que saben leer y escribir. La tasa de alfabetización de las mujeres en Afganistán es del 12 %. Supongamos que X = el número de mujeres afganas a las que se pregunta hasta que una dice que sabe leer y escribir.

  1. ¿Cuál es la distribución de probabilidad de X?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que les pregunte a cinco mujeres antes de que una diga que sabe leer y escribir?
  3. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que preguntarles a diez mujeres?
  4. Calcule (i) la media y (ii) la desviación típica de X.
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