4.3 Distribución binomial

En el Colegio ABC, la tasa de abandono de un curso de Física elemental es del 30 % en cualquier trimestre. Esto implica que, en cualquier trimestre, el 70 % de los estudiantes permanecen en la clase durante todo el trimestre. Un “acierto" podría definirse como un individuo que se retira. La variable aleatoria X = el número de estudiantes que se retiran de la clase de Física elemental seleccionada al azar.

Supongamos que está en un juego en el que solo puede ganar o perder. La probabilidad de que gane cualquier partido es del 55 %, y la de que pierda es del 45 %. Cada partido que se juega es independiente. Si juega el juego 20 veces, escriba la función que describa la probabilidad de que gane 15 de las 20 veces. Aquí, si se define X como el número de victorias, entonces X toma los valores 0, 1, 2, 3, ..., 20. La probabilidad de acierto es p = 0,55. La probabilidad de fallo es q = 0,45. El número de ensayos es n = 20. La pregunta de la probabilidad se puede enunciar matemáticamente como P(x = 15).

Aproximadamente el 70 % de los estudiantes de Estadística hacen sus tareas para la casa a tiempo para que sean recopiladas y calificadas. Cada estudiante lo hace de forma independiente. En una clase de Estadística de 50 estudiantes, ¿cuál es la probabilidad de que, al menos, 40 hagan la tarea para la casa a tiempo? Los estudiantes son seleccionados al azar.

Se ha afirmado que alrededor del 41 % de los trabajadores adultos tienen un diploma de secundaria, pero no siguen ningún tipo de educación. Si se seleccionan al azar 20 trabajadores adultos, halle la probabilidad de que como máximo 12 de ellos tengan un diploma de secundaria, pero no sigan ningún tipo de educación. ¿Cuántos trabajadores adultos espera que tengan un título de secundaria, pero que no sigan estudiando?

Supongamos que X = el número de trabajadores que tienen un diploma de secundaria, pero que no siguen ningún tipo de educación.

X toma los valores 0, 1, 2, ..., 20 donde n = 20, p = 0,41 y q = 1 - 0,41 = 0,59. X ~ B(20, 0,41)

Halle P(x ≤ 12). P(x ≤ 12) = 0,9738. (calculadora o computadora)

La probabilidad de que como máximo 12 trabajadores tengan un diploma de secundaria, pero no sigan ningún tipo de educación es de 0,9738.

El gráfico de X ~ B(20, 0,41) es el siguiente:

Figura 4.2

El eje ycontiene la probabilidad de x, donde X = el número de trabajadores que solo tienen un diploma de secundaria.

El número de trabajadores adultos que se espera que tengan un diploma de secundaria, pero que no sigan ningún tipo de educación es la media, μ = np = (20)(0,41) = 8,2.

La fórmula de la varianza es σ² = npq. La desviación típica es σ = $\sqrt{npq}$.
σ = $\sqrt{\left(20\right)\left(\mathrm{0,41}\right)\left(\mathrm{0,59}\right)}$ = 2.20.

El riesgo de desarrollar cáncer de páncreas a lo largo de la vida es de alrededor de uno de cada 78 (1,28 %). Supongamos que tomamos una muestra aleatoria de 200 personas. Supongamos que X = el número de personas que desarrollarán cáncer de páncreas.

El siguiente ejemplo ilustra un problema que no es binomial. Viola la condición de independencia. El Colegio ABC cuenta con un comité consultivo de estudiantes formado por diez miembros del personal y seis estudiantes. El comité desea elegir un presidente y un secretario. ¿Cuál es la probabilidad de que el presidente y el registrador sean ambos estudiantes? Los nombres de todos los miembros de la comisión se introducen en una urna y se extraen dos nombres sin reemplazo. El primer nombre extraído determina el presidente y el segundo el registrador. Hay dos ensayos. Sin embargo, los ensayos no son independientes porque el resultado del primer ensayo afecta al resultado del segundo. La probabilidad de que un estudiante salga en la primera extracción es $\frac{6}{16}$. La probabilidad de que un estudiante salga en la segunda extracción es $\frac{5}{15}$, cuando en la primera extracción se selecciona a un estudiante. La probabilidad es $\frac{6}{15}$, cuando en la primera extracción se selecciona a un miembro del personal. La probabilidad de sacar el nombre de un estudiante cambia en cada uno de los ensayos y, por tanto, viola la condición de independencia.