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Introducción a la estadística

4.2 Media o valor esperado y desviación típica

Introducción a la estadística4.2 Media o valor esperado y desviación típica

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Muestreo y datos
    1. Introducción
    2. 1.1 Definiciones de estadística, probabilidad y términos clave
    3. 1.2 Datos, muestreo y variación de datos y muestreo
    4. 1.3 Frecuencia, tablas de frecuencia y niveles de medición
    5. 1.4 Diseño experimental y ética
    6. 1.5 Experimento de recopilación de datos
    7. 1.6 Experimento de muestreo
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Resúmalo todo: tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  3. 2 Estadística descriptiva
    1. Introducción
    2. 2.1 Gráficos de tallo y hoja (gráfico de tallo), gráficos de líneas y gráficos de barras
    3. 2.2 Histogramas, polígonos de frecuencia y gráficos de series temporales
    4. 2.3 Medidas de la ubicación de los datos
    5. 2.4 Diagramas de caja
    6. 2.5 Medidas del centro de los datos
    7. 2.6 Distorsión y media, mediana y moda
    8. 2.7 Medidas de la dispersión de los datos
    9. 2.8 Estadística descriptiva
    10. Términos clave
    11. Repaso del capítulo
    12. Repaso de fórmulas
    13. Práctica
    14. Tarea para la casa
    15. Resúmalo todo: tarea para la casa
    16. Referencias
    17. Soluciones
  4. 3 Temas de probabilidad
    1. Introducción
    2. 3.1 Terminología
    3. 3.2 Eventos mutuamente excluyentes e independientes
    4. 3.3 Dos reglas básicas de la probabilidad
    5. 3.4 Tablas de contingencia
    6. 3.5 Diagramas de árbol y de Venn
    7. 3.6 Temas de probabilidad
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Uniéndolo todo: Práctica
    13. Tarea para la casa
    14. Resúmalo todo: tarea para la casa
    15. Referencias
    16. Soluciones
  5. 4 Variables aleatorias discretas
    1. Introducción
    2. 4.1 Función de Distribución de Probabilidad (PDF) para una variable aleatoria discreta
    3. 4.2 Media o valor esperado y desviación típica
    4. 4.3 Distribución binomial
    5. 4.4 Distribución geométrica
    6. 4.5 Distribución hipergeométrica
    7. 4.6 Distribución de Poisson
    8. 4.7 Distribución discreta (experimento con cartas)
    9. 4.8 Distribución discreta (experimento de los dados de la suerte)
    10. Términos clave
    11. Repaso del capítulo
    12. Repaso de fórmulas
    13. Práctica
    14. Tarea para la casa
    15. Referencias
    16. Soluciones
  6. 5 Variables aleatorias continuas
    1. Introducción
    2. 5.1 Funciones de probabilidad continuas
    3. 5.2 La distribución uniforme
    4. 5.3 La distribución exponencial
    5. 5.4 Distribución continua
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  7. 6 La distribución normal
    1. Introducción
    2. 6.1 La distribución normal estándar
    3. 6.2 Uso de la distribución normal
    4. 6.3 Distribución normal (tiempos de vuelta)
    5. 6.4 Distribución normal (longitud del meñique)
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  8. 7 El teorema del límite central
    1. Introducción
    2. 7.1 Teorema del límite central de medias muestrales (promedios)
    3. 7.2 El teorema del límite central para las sumas
    4. 7.3 Uso del teorema del límite central
    5. 7.4 Teorema del límite central (monedas en el bolsillo)
    6. 7.5 Teorema del límite central (recetas de galletas)
    7. Términos clave
    8. Repaso del capítulo
    9. Repaso de fórmulas
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Referencias
    13. Soluciones
  9. 8 Intervalos de confianza
    1. Introducción
    2. 8.1 La media de una población utilizando la distribución normal
    3. 8.2 La media de una población utilizando la distribución t de Student
    4. 8.3 Una proporción de la población
    5. 8.4 Intervalo de confianza (costos de hogares)
    6. 8.5 Intervalo de confianza (lugar de nacimiento)
    7. 8.6 Intervalo de confianza (altura de las mujeres)
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  10. 9 Pruebas de hipótesis con una muestra
    1. Introducción
    2. 9.1 Hipótesis nula y alternativa
    3. 9.2 Resultados y errores de tipo I y II
    4. 9.3 Distribución necesaria para la comprobación de la hipótesis
    5. 9.4 Eventos poco comunes, la muestra, decisión y conclusión
    6. 9.5 Información adicional y ejemplos de pruebas de hipótesis completas
    7. 9.6 Pruebas de hipótesis de una sola media y una sola proporción
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  11. 10 Pruebas de hipótesis con dos muestras
    1. Introducción
    2. 10.1 Medias de dos poblaciones con desviaciones típicas desconocidas
    3. 10.2 Dos medias poblacionales con desviaciones típicas conocidas
    4. 10.3 Comparación de dos proporciones de población independientes
    5. 10.4 Muestras coincidentes o emparejadas
    6. 10.5 Prueba de hipótesis para dos medias y dos proporciones
    7. Términos clave
    8. Repaso del capítulo
    9. Repaso de fórmulas
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Resúmalo todo: tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  12. 11 La distribución chi-cuadrado
    1. Introducción
    2. 11.1 Datos sobre la distribución chi-cuadrado
    3. 11.2 Prueba de bondad de ajuste
    4. 11.3 Prueba de independencia
    5. 11.4 Prueba de homogeneidad
    6. 11.5 Comparación de las pruebas chi-cuadrado
    7. 11.6 Prueba de una sola varianza
    8. 11.7 Laboratorio 1: Bondad de ajuste de chi-cuadrado
    9. 11.8 Laboratorio 2: prueba de independencia de chi-cuadrado
    10. Términos clave
    11. Repaso del capítulo
    12. Repaso de fórmulas
    13. Práctica
    14. Tarea para la casa
    15. Resúmalo todo: tarea para la casa
    16. Referencias
    17. Soluciones
  13. 12 Regresión lineal y correlación
    1. Introducción
    2. 12.1 Ecuaciones lineales
    3. 12.2 Diagramas de dispersión
    4. 12.3 La ecuación de regresión
    5. 12.4 Comprobación de la importancia del coeficiente de correlación
    6. 12.5 Predicción
    7. 12.6 Valores atípicos
    8. 12.7 Regresión (distancia desde la escuela)
    9. 12.8 Regresión (costo de los libros de texto)
    10. 12.9 Regresión (eficiencia del combustible)
    11. Términos clave
    12. Repaso del capítulo
    13. Repaso de fórmulas
    14. Práctica
    15. Tarea para la casa
    16. Resúmalo todo: tarea para la casa
    17. Referencias
    18. Soluciones
  14. 13 Distribución F y análisis de varianza anova de una vía
    1. Introducción
    2. 13.1 ANOVA de una vía
    3. 13.2 La distribución F y el cociente F
    4. 13.3 Datos sobre la distribución F
    5. 13.4 Prueba de dos varianzas
    6. 13.5 Laboratorio: ANOVA de una vía
    7. Términos clave
    8. Repaso del capítulo
    9. Repaso de fórmulas
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Referencias
    13. Soluciones
  15. A Ejercicios de repaso (caps. 3-13)
  16. B Pruebas prácticas (de la 1 a la 4) y exámenes finales
  17. C Conjuntos de datos
  18. D Proyectos de grupos y asociaciones
  19. E Hojas de soluciones
  20. F Oraciones, símbolos y fórmulas matemáticas
  21. G Notas para las calculadoras TI-83, 83+, 84 y 84+
  22. H Tablas
  23. Índice

El valor esperado suele denominarse media o promedio "a largo plazo". Esto significa que a largo plazo de hacer un experimento una y otra vez, se esperaría este promedio.

Se lanza una moneda y se anota el resultado. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado sea cara? Si lanza una moneda dos veces, ¿la probabilidad le dice que estos lanzamientos darán como resultado una cara y una cruz? Puede lanzar una moneda diez veces y registrar nueve caras. Como aprendió en el 3 - TEMAS DE PROBABILIDAD, la probabilidad no describe los resultados a corto plazo de un experimento. Ofrece información sobre lo que cabe esperar a largo plazo. ¡Para demostrarlo, Karl Pearson lanzó una vez una moneda justa 24.000 veces! Registró los resultados de cada lanzamiento, obteniendo cara 12.012 veces. En su experimento, Pearson ilustró la ley de los grandes números.

La ley de los grandes números establece que, a medida que aumenta el número de ensayos en un experimento de probabilidad, la diferencia entre la probabilidad teórica de un evento y la frecuencia relativa se aproxima a cero (la probabilidad teórica y la frecuencia relativa se acercan cada vez más). Al evaluar los resultados a largo plazo de los experimentos estadísticos, a menudo queremos conocer el resultado del “promedio". Este “promedio a largo plazo” se conoce como la media o valor esperado del experimento y se denota con la letra griega μ. En otras palabras, después de realizar muchos ensayos de un experimento, se esperaría este valor promedio.

NOTA

Para hallar el valor esperado o promedio a largo plazo, μ, basta con multiplicar cada valor de la variable aleatoria por su probabilidad y sumar los productos.

Ejemplo 4.3

Un equipo de fútbol masculino juega al fútbol en cero, en uno o en dos días a la semana. La probabilidad de que jueguen cero días es de 0,2, la de que jueguen un día es de 0,5 y la de que jueguen dos días es de 0,3. Calcule el promedio a largo plazo o el valor esperado, μ, del número de días por semana que el equipo de fútbol masculino juega al fútbol.

Para resolver el problema, primero dejemos la variable aleatoria X = el número de días que el equipo de fútbol masculino juega al fútbol por semana. X toma los valores 0, 1, 2 Construya una tabla PDF añadiendo una columna x*P(x). En esta columna, multiplicará cada valor de x por su probabilidad.

x P(x) x*P(x)
0 0,2 (0)(0,2) = 0
1 0,5 (1)(0,5) = 0,5
2 0,3 (2)(0,3) = 0,6
Tabla 4.5 Tabla de valores esperados Esta tabla se denomina tabla de valores esperados. La tabla le ayuda a calcular el valor esperado o promedio a largo plazo.

Añada la última columna x*P(x) para hallar las intersecciones en el promedio a largo plazo o el valor esperado: (0)(0,2) + (1)(0,5) + (2)(0,3) = 0 + 0,5 + 0,6 = 1,1.

El valor esperado es 1,1. El equipo de fútbol masculino tendría, en promedio, que jugar al fútbol 1,1 días por semana. El número 1,1 es el promedio a largo plazo o el valor esperado si el equipo de fútbol masculino juega al fútbol semana tras semana. Decimos que μ = 1,1.

Ejemplo 4.4

Calcule el valor esperado del número de veces que el llanto de un recién nacido despierta a su madre después de medianoche. El valor esperado es el número de veces por semana que el llanto de un recién nacido despierta a su madre después de medianoche. Calcule también la desviación típica de la variable.

x P(x) x*P(x) (xμ)2P(x)
0 P(x = 0) = 2 50 2 50 (0) ( 2 50 ) ( 2 50 ) = 0 (0 – 2,1)2 ⋅ 0,04 = 0,1764
1 P(x = 1) = ( 11 50 ) ( 11 50 ) (1) ( 11 50 ) ( 11 50 ) = 11 50 11 50 (1 – 2,1)2 ⋅ 0,22 = 0,2662
2 P(x = 2) = 23 50 23 50 (2) ( 23 50 ) ( 23 50 ) = 46 50 46 50 (2 – 2,1)2 ⋅ 0,46 = 0,0046
3 P(x = 3) = 9 50 9 50 (3) ( 9 50 ) ( 9 50 ) = 27 50 27 50 (3 – 2,1)2 ⋅ 0,18 = 0,1458
4 P(x = 4) = 4 50 4 50 (4) ( 4 50 ) ( 4 50 ) = 16 50 16 50 (4 – 2,1)2 ⋅ 0,08 = 0,2888
5 P(x = 5) = 1 50 1 50 (5) ( 1 50 ) ( 1 50 ) = 5 50 5 50 (5 – 2,1)2 ⋅ 0,02 = 0,1682
Tabla 4.6 Se espera que un recién nacido despierte a su madre después de la medianoche 2,1 veces a la semana, en promedio.

Sume los valores de la tercera columna de la tabla para hallar el valor esperado de X:
μ = Valor esperado = 105 50 105 50 = 2,1

Utilice μ para completar la tabla. La cuarta columna de esta tabla le proporcionará los valores que necesita para calcular la desviación típica. Para cada valor x, multiplique el cuadrado de su desviación por su probabilidad. (Cada desviación tiene el formato xμ).

Añada los valores en la cuarta columna de la tabla:

0,1764 + 0,2662 + 0,0046 + 0,1458 + 0,2888 + 0,1682 = 1,05

La desviación típica de X es la raíz cuadrada de esta suma: σ = 1,05 1,05 ≈ 1,0247

La media, μ, de una función de probabilidad discreta es el valor esperado.

μ=(xPx)μ=(xPx)

La desviación típica, Σ, de la PDF es la raíz cuadrada de la varianza.

σ=[x  μ2  Ρx] σ=[x  μ2  Ρx] 

Cuando todos los resultados de la distribución de probabilidad son igualmente probables, estas fórmulas coinciden con la media y la desviación típica del conjunto de resultados posibles.

Inténtelo 4.4

Un investigador de un hospital se interesa por el número de veces que el paciente promedio de posoperatorio llama al personal de enfermería durante un turno de 12 horas. Para una muestra aleatoria de 50 pacientes se obtuvo la siguiente información. ¿Cuál es el valor esperado?

x P(x)
0 P(x = 0) = 4 50 4 50
1 P(x = 1) = 8 50 8 50
2 P(x = 2) = 16 50 16 50
3 P(x = 3) = 14 50 14 50
4 P(x = 4) = 6 50 6 50
5 P(x = 5) = 2 50 2 50
Tabla 4.7

Ejemplo 4.5

Suponga que juega a un juego de azar en el que se eligen cinco números entre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Una computadora selecciona al azar cinco números del cero al nueve con reemplazo. Usted paga 2 dólares para jugar y podría ganar 100.000 dólares si acierta los cinco números en orden (recupera sus 2 dólares más 100.000 dólares). A largo plazo, ¿cuál es el ganancia que espera obtener del juego?

Para resolver este problema, establezca una tabla de valor esperado para la cantidad de dinero que puede ganar.

Supongamos que X = la cantidad de dinero que se gana. Los valores de x no son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Como le interesa su ganancia (o pérdida), los valores de x son 100.000 dólares y –2 dólares.

Para ganar, debe acertar los cinco números, en orden. La probabilidad de elegir un número correcto es 110110 porque hay diez números. Puede elegir un número más de una vez. La probabilidad de elegir los cinco números correctamente y en orden es

( 1 10 )( 1 10 )( 1 10 )( 1 10 )( 1 10 )=(1)( 10 5 )=0,00001. ( 1 10 )( 1 10 )( 1 10 )( 1 10 )( 1 10 )=(1)( 10 5 )=0,00001.

Por lo tanto, la probabilidad de ganar es 0,00001 y la de perder es

10,00001=0,99999. 10,00001=0,99999.

La tabla de valores esperados es la siguiente:

x P(x) x*P(x)
Pérdidas -2 0,99999 (-2)(0,99999) = -1,99998
Ganancias 100.000 0,00001 (100000)(0,00001) = 1
Tabla 4.8 Sume la última columna. –1,99998 + 1 = –0,99998

Dado que -0,99998 es aproximadamente -1, esperaría, en promedio, perder aproximadamente $1 por cada juego que juegue. Sin embargo, cada vez que juega, pierde 2 dólares o gana 100.000 dólares. Un dólar es el promedio o la PÉRDIDA esperada por partida después de jugar este juego una y otra vez.

Inténtelo 4.5

Está jugando a un juego de azar en el que se extraen cuatro cartas de una baraja estándar de 52 cartas. Adivine el palo de cada carta antes de que se extraiga. Las cartas se sustituyen en la baraja en cada sorteo. Paga un dólar para jugar. Si adivina el palo correcto todas las veces, le devuelven el dinero y 256 dólares. ¿Cuál es el ganancia que espera obtener del juego a largo plazo?

Ejemplo 4.6

Supongamos que juega una partida con una moneda sesgada. Se juega cada partida lanzando la moneda una vez. P(caras) = 2 3 2 3 y P(cruz) = 1 3 1 3 . Si lanza una cara, paga 6 dólares. Si lanza una cruz, gana 10 dólares. Si juega muchas veces a este juego, ¿saldrá ganando?

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a. Defina una variable aleatoria X.

b. Rellene la siguiente tabla de valores esperados.

x ____ ____
GANA 10 1313 ____
PIERDE ____ ____ –123–123
Tabla 4.9

c. ¿Cuál es el valor esperado, μ? ¿Usted sale ganando?

Inténtelo 4.6

Supongamos que juega un juego con una ruleta. Se juega cada partida haciendo girar la ruleta una vez. P(rojo) = 2 5 2 5 , P(azul) = 2 5 2 5 , y P(verde) = 1 5 1 5 . Si cae en rojo, paga 10 dólares. Si cae en azul, no paga ni gana nada. Si cae en verde, gana 10 dólares. Rellene la siguiente tabla de valores esperados.

x P(x)
Rojo 20 5 20 5
Azul 2 5 2 5
Verde 10
Tabla 4.11

Al igual que los datos, las distribuciones de probabilidad tienen desviaciones típicas. Para calcular la desviación típica) de una distribución de probabilidad, halle cada desviación de su valor esperado, elévela al cuadrado, multiplíquela por su probabilidad, sume los productos y calcule la raíz cuadrada. Para entender cómo hacer el cálculo, observe la tabla del número de días por semana que un equipo de fútbol masculino juega al fútbol. Para calcular la desviación típica, sume las entradas de la columna marcada como (xμ)2P(x) y calcule la raíz cuadrada.

x P(x) x*P(x) (xμ)2P(x)
0 0,2 (0)(0,2) = 0 (0 – 1,1)2(0,2) = 0,242
1 0,5 (1)(0,5) = 0,5 (1 – 1,1)2(0,5) = 0,005
2 0,3 (2)(0,3) = 0,6 (2 – 1,1)2(0,3) = 0,243
Tabla 4.12

Sume la última columna de la tabla. 0,242 + 0,005 + 0,243 = 0,490. La desviación típica es la raíz cuadrada de 0,49, es decir, σ = 0,49 0,49 = 0,7

Generalmente, para las distribuciones de probabilidad, utilizamos una calculadora o una computadora para calcular μ y σ para reducir el error de redondeo. Para algunas distribuciones de probabilidad, existen fórmulas abreviadas para calcular μ y σ.

Ejemplo 4.7

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Lance un dado justo de seis caras dos veces. Supongamos que X = el número de caras que muestran un número par. Construya una tabla como la Tabla 4.11 y calcule la media μ y la desviación típica σ de X.

Ejemplo 4.8

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El 11 de mayo de 2013 a las 09:30 p. m., la probabilidad de que se produjera una actividad sísmica moderada (un terremoto moderado) en las próximas 48 horas en Irán era de aproximadamente el 21,42 %. Suponga que hace una apuesta a que se producirá un terremoto moderado en Irán durante este periodo. Si gana la apuesta, gana 50 dólares. Si pierde la apuesta, paga 20 dólares. Supongamos que X = el monto de ganancia de una apuesta.

P(ganar) = P(se producirá un terremoto moderado) = 21,42 %

P(pérdida) = P( no se producirá un terremoto moderado) = 100 % - 21,42 %

Si apuesta muchas veces, ¿saldrá ganando? Explique su respuesta en una frase completa utilizando números. ¿Cuál es la desviación típica de X? Construya una tabla similar a la Tabla 4.12 y la Tabla 4.13 para ayudarse a responder a estas preguntas.

Inténtelo 4.8

El 11 de mayo de 2013 a las 9:30 p. m., la probabilidad de que se produjera una actividad sísmica moderada (un terremoto moderado) en las próximas 48 horas en Japón era de aproximadamente 1,08 %. Al igual que en el Ejemplo 4.8, se apuesta por que se produzca un terremoto moderado en Japón durante este periodo. Si gana la apuesta, gana 100 dólares. Si pierde la apuesta, paga 10 dólares. Supongamos que X = el monto de ganancia de una apuesta. Calcule la media y la desviación típica de X.

Algunas de las funciones de probabilidad discreta más comunes son la binomial, la geométrica, la hipergeométrica y la de Poisson. La mayoría de los cursos elementales no cubren la geométrica, la hipergeométrica y la Poisson. Su instructor le hará saber si desea cubrir estas distribuciones.

Una función de distribución de probabilidad es un patrón. Intente adaptar un problema de probabilidad en un patrón o distribución para realizar los cálculos necesarios. Estas distribuciones son herramientas que facilitan la resolución de problemas de probabilidad. Cada distribución tiene sus propias características especiales. Aprender las características le permite distinguir entre las diferentes distribuciones.

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