Barbara Illowsky; Susan Dean

El valor esperado suele denominarse media o promedio "a largo plazo". Esto significa que a largo plazo de hacer un experimento una y otra vez, se esperaría este promedio.

Se lanza una moneda y se anota el resultado. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado sea cara? Si lanza una moneda dos veces, ¿la probabilidad le dice que estos lanzamientos darán como resultado una cara y una cruz? Puede lanzar una moneda diez veces y registrar nueve caras. Como aprendió en el 3 - TEMAS DE PROBABILIDAD, la probabilidad no describe los resultados a corto plazo de un experimento. Ofrece información sobre lo que cabe esperar a largo plazo. ¡Para demostrarlo, Karl Pearson lanzó una vez una moneda justa 24.000 veces! Registró los resultados de cada lanzamiento, obteniendo cara 12.012 veces. En su experimento, Pearson ilustró la ley de los grandes números.

La ley de los grandes números establece que, a medida que aumenta el número de ensayos en un experimento de probabilidad, la diferencia entre la probabilidad teórica de un evento y la frecuencia relativa se aproxima a cero (la probabilidad teórica y la frecuencia relativa se acercan cada vez más). Al evaluar los resultados a largo plazo de los experimentos estadísticos, a menudo queremos conocer el resultado del “promedio". Este “promedio a largo plazo” se conoce como la media o valor esperado del experimento y se denota con la letra griega μ. En otras palabras, después de realizar muchos ensayos de un experimento, se esperaría este valor promedio.

NOTA

Para hallar el valor esperado o promedio a largo plazo, μ, basta con multiplicar cada valor de la variable aleatoria por su probabilidad y sumar los productos.

Ejemplo 4.3

Un equipo de fútbol masculino juega al fútbol en cero, en uno o en dos días a la semana. La probabilidad de que jueguen cero días es de 0,2, la de que jueguen un día es de 0,5 y la de que jueguen dos días es de 0,3. Calcule el promedio a largo plazo o el valor esperado, μ, del número de días por semana que el equipo de fútbol masculino juega al fútbol.

Para resolver el problema, primero dejemos la variable aleatoria X = el número de días que el equipo de fútbol masculino juega al fútbol por semana. X toma los valores 0, 1, 2 Construya una tabla PDF añadiendo una columna x*P(x). En esta columna, multiplicará cada valor de x por su probabilidad.

x	P(x)	x*P(x)
0	0,2	(0)(0,2) = 0
1	0,5	(1)(0,5) = 0,5
2	0,3	(2)(0,3) = 0,6

Tabla 4.5 Tabla de valores esperados Esta tabla se denomina tabla de valores esperados. La tabla le ayuda a calcular el valor esperado o promedio a largo plazo.

Añada la última columna x*P(x) para hallar las intersecciones en el promedio a largo plazo o el valor esperado: (0)(0,2) + (1)(0,5) + (2)(0,3) = 0 + 0,5 + 0,6 = 1,1.

El valor esperado es 1,1. El equipo de fútbol masculino tendría, en promedio, que jugar al fútbol 1,1 días por semana. El número 1,1 es el promedio a largo plazo o el valor esperado si el equipo de fútbol masculino juega al fútbol semana tras semana. Decimos que μ = 1,1.

Ejemplo 4.4

Calcule el valor esperado del número de veces que el llanto de un recién nacido despierta a su madre después de medianoche. El valor esperado es el número de veces por semana que el llanto de un recién nacido despierta a su madre después de medianoche. Calcule también la desviación típica de la variable.

x	P(x)	x*P(x)	(x – μ)² ⋅ P(x)
0	P(x = 0) = $\frac{2}{50}$	(0) $(\frac{2}{50})$ = 0	(0 – 2,1)² ⋅ 0,04 = 0,1764
1	P(x = 1) = $(\frac{11}{50})$	(1) $(\frac{11}{50})$ = $\frac{11}{50}$	(1 – 2,1)² ⋅ 0,22 = 0,2662
2	P(x = 2) = $\frac{23}{50}$	(2) $(\frac{23}{50})$ = $\frac{46}{50}$	(2 – 2,1)² ⋅ 0,46 = 0,0046
3	P(x = 3) = $\frac{9}{50}$	(3) $(\frac{9}{50})$ = $\frac{27}{50}$	(3 – 2,1)² ⋅ 0,18 = 0,1458
4	P(x = 4) = $\frac{4}{50}$	(4) $(\frac{4}{50})$ = $\frac{16}{50}$	(4 – 2,1)² ⋅ 0,08 = 0,2888
5	P(x = 5) = $\frac{1}{50}$	(5) $(\frac{1}{50})$ = $\frac{5}{50}$	(5 – 2,1)² ⋅ 0,02 = 0,1682

Tabla 4.6 Se espera que un recién nacido despierte a su madre después de la medianoche 2,1 veces a la semana, en promedio.

Sume los valores de la tercera columna de la tabla para hallar el valor esperado de X:
μ = Valor esperado = $\frac{105}{50}$ = 2,1

Utilice μ para completar la tabla. La cuarta columna de esta tabla le proporcionará los valores que necesita para calcular la desviación típica. Para cada valor x, multiplique el cuadrado de su desviación por su probabilidad. (Cada desviación tiene el formato x – μ).

Añada los valores en la cuarta columna de la tabla:

0,1764 + 0,2662 + 0,0046 + 0,1458 + 0,2888 + 0,1682 = 1,05

La desviación típica de X es la raíz cuadrada de esta suma: σ = $\sqrt{1,05}$ ≈ 1,0247

La media, μ, de una función de probabilidad discreta es el valor esperado.

μ = \sum (x ∙ P (x))

La desviación típica, Σ, de la PDF es la raíz cuadrada de la varianza.

σ = \sqrt{\sum [{(x - μ)}^{2} ∙ Ρ (x)]}

Cuando todos los resultados de la distribución de probabilidad son igualmente probables, estas fórmulas coinciden con la media y la desviación típica del conjunto de resultados posibles.

Inténtelo 4.4

Un investigador de un hospital se interesa por el número de veces que el paciente promedio de posoperatorio llama al personal de enfermería durante un turno de 12 horas. Para una muestra aleatoria de 50 pacientes se obtuvo la siguiente información. ¿Cuál es el valor esperado?

x	P(x)
0	P(x = 0) = $\frac{4}{50}$
1	P(x = 1) = $\frac{8}{50}$
2	P(x = 2) = $\frac{16}{50}$
3	P(x = 3) = $\frac{14}{50}$
4	P(x = 4) = $\frac{6}{50}$
5	P(x = 5) = $\frac{2}{50}$

Tabla 4.7

Ejemplo 4.5

Suponga que juega a un juego de azar en el que se eligen cinco números entre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Una computadora selecciona al azar cinco números del cero al nueve con reemplazo. Usted paga 2 dólares para jugar y podría ganar 100.000 dólares si acierta los cinco números en orden (recupera sus 2 dólares más 100.000 dólares). A largo plazo, ¿cuál es el ganancia que espera obtener del juego?

Para resolver este problema, establezca una tabla de valor esperado para la cantidad de dinero que puede ganar.

Supongamos que X = la cantidad de dinero que se gana. Los valores de x no son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Como le interesa su ganancia (o pérdida), los valores de x son 100.000 dólares y –2 dólares.

Para ganar, debe acertar los cinco números, en orden. La probabilidad de elegir un número correcto es $\frac{1}{10}$ porque hay diez números. Puede elegir un número más de una vez. La probabilidad de elegir los cinco números correctamente y en orden es

(\frac{1}{10}) (\frac{1}{10}) (\frac{1}{10}) (\frac{1}{10}) (\frac{1}{10}) = (1) (10^{- 5}) = 0,00001.

Por lo tanto, la probabilidad de ganar es 0,00001 y la de perder es

1 - 0,00001 = 0,99999.

La tabla de valores esperados es la siguiente:

	x	P(x)	x*P(x)
Pérdidas	-2	0,99999	(-2)(0,99999) = -1,99998
Ganancias	100.000	0,00001	(100000)(0,00001) = 1

Tabla 4.8 Sume la última columna. –1,99998 + 1 = –0,99998

Dado que -0,99998 es aproximadamente -1, esperaría, en promedio, perder aproximadamente $1 por cada juego que juegue. Sin embargo, cada vez que juega, pierde 2 dólares o gana 100.000 dólares. Un dólar es el promedio o la PÉRDIDA esperada por partida después de jugar este juego una y otra vez.

Inténtelo 4.5

Está jugando a un juego de azar en el que se extraen cuatro cartas de una baraja estándar de 52 cartas. Adivine el palo de cada carta antes de que se extraiga. Las cartas se sustituyen en la baraja en cada sorteo. Paga un dólar para jugar. Si adivina el palo correcto todas las veces, le devuelven el dinero y 256 dólares. ¿Cuál es el ganancia que espera obtener del juego a largo plazo?

Ejemplo 4.6

Supongamos que juega una partida con una moneda sesgada. Se juega cada partida lanzando la moneda una vez. P(caras) = $\frac{2}{3}$ y P(cruz) = $\frac{1}{3}$ . Si lanza una cara, paga 6 dólares. Si lanza una cruz, gana 10 dólares. Si juega muchas veces a este juego, ¿saldrá ganando?

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a. Defina una variable aleatoria X.

b. Rellene la siguiente tabla de valores esperados.

	x	____	____
GANA	10	$\frac{1}{3}$	____
PIERDE	____	____	$\frac{–12}{3}$

Tabla 4.9

c. ¿Cuál es el valor esperado, μ? ¿Usted sale ganando?

Solución

a. X = monto de la ganancia

	x	P(x)	xP(x)
GANA	10	$\frac{1}{3}$	$\frac{10}{3}$
PIERDE	-6	$\frac{2}{3}$	$\frac{–12}{3}$

Tabla 4.10

c. Sume la última columna de la tabla. El valor esperado μ = $\frac{– 2}{3}$ . Pierde, en promedio, aproximadamente 67 céntimos cada vez que juega, por lo que no sale ganando.

Inténtelo 4.6

Supongamos que juega un juego con una ruleta. Se juega cada partida haciendo girar la ruleta una vez. P(rojo) = $\frac{2}{5}$ , P(azul) = $\frac{2}{5}$ , y P(verde) = $\frac{1}{5}$ . Si cae en rojo, paga 10 dólares. Si cae en azul, no paga ni gana nada. Si cae en verde, gana 10 dólares. Rellene la siguiente tabla de valores esperados.

	x	P(x)
Rojo			$– \frac{20}{5}$
Azul		$\frac{2}{5}$
Verde	10

Tabla 4.11

Al igual que los datos, las distribuciones de probabilidad tienen desviaciones típicas. Para calcular la desviación típica(σ) de una distribución de probabilidad, halle cada desviación de su valor esperado, elévela al cuadrado, multiplíquela por su probabilidad, sume los productos y calcule la raíz cuadrada. Para entender cómo hacer el cálculo, observe la tabla del número de días por semana que un equipo de fútbol masculino juega al fútbol. Para calcular la desviación típica, sume las entradas de la columna marcada como (x – μ)²P(x) y calcule la raíz cuadrada.

x	P(x)	x*P(x)	(x – μ)²P(x)
0	0,2	(0)(0,2) = 0	(0 – 1,1)²(0,2) = 0,242
1	0,5	(1)(0,5) = 0,5	(1 – 1,1)²(0,5) = 0,005
2	0,3	(2)(0,3) = 0,6	(2 – 1,1)²(0,3) = 0,243

Tabla 4.12

Sume la última columna de la tabla. 0,242 + 0,005 + 0,243 = 0,490. La desviación típica es la raíz cuadrada de 0,49, es decir, σ = $\sqrt{0,49}$ = 0,7

Generalmente, para las distribuciones de probabilidad, utilizamos una calculadora o una computadora para calcular μ y σ para reducir el error de redondeo. Para algunas distribuciones de probabilidad, existen fórmulas abreviadas para calcular μ y σ.

Ejemplo 4.7

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Lance un dado justo de seis caras dos veces. Supongamos que X = el número de caras que muestran un número par. Construya una tabla como la Tabla 4.11 y calcule la media μ y la desviación típica σ de X.

Solución

Lanzar dos veces un dado justo de seis caras tiene el mismo espacio muestral que lanzar dos dados justos de seis caras. El espacio muestral tiene 36 resultados:

(1, 1)	(1, 2)	(1, 3)	(1, 4)	(1, 5)	(1, 6)
(2, 1)	(2, 2)	(2, 3)	(2, 4)	(2, 5)	(2, 6)
(3, 1)	(3, 2)	(3, 3)	(3, 4)	(3, 5)	(3, 6)
(4, 1)	(4, 2)	(4, 3)	(4, 4)	(4, 5)	(4, 6)
(5, 1)	(5, 2)	(5, 3)	(5, 4)	(5, 5)	(5, 6)
(6, 1)	(6, 2)	(6, 3)	(6, 4)	(6, 5)	(6, 6)

Tabla 4.13

Utilice el espacio muestral para completar la siguiente tabla:

x	P(x)	xP(x)	(x – μ)² $\cdot$ P(x)
0	$\frac{9}{36}$	0	(0 – 1)² ⋅ $\frac{9}{36}$ = $\frac{9}{36}$
1	$\frac{18}{36}$	$\frac{18}{36}$	(1 – 1)² ⋅ $\frac{18}{36}$ = 0
2	$\frac{9}{36}$	$\frac{18}{36}$	(1 – 1)² ⋅ $\frac{9}{36}$ = $\frac{9}{36}$

Tabla 4.14 Cálculo de μ y σ.

Sume los valores de la tercera columna para hallar el valor esperado: μ = $\frac{36}{36}$ = 1. Utilice este valor para completar la cuarta columna.

Sume los valores de la cuarta columna y calcule la raíz cuadrada de la suma: σ = $\sqrt{\frac{18}{36}}$ ≈ 0.7071.

Ejemplo 4.8

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El 11 de mayo de 2013 a las 09:30 p. m., la probabilidad de que se produjera una actividad sísmica moderada (un terremoto moderado) en las próximas 48 horas en Irán era de aproximadamente el 21,42 %. Suponga que hace una apuesta a que se producirá un terremoto moderado en Irán durante este periodo. Si gana la apuesta, gana 50 dólares. Si pierde la apuesta, paga 20 dólares. Supongamos que X = el monto de ganancia de una apuesta.

P(ganar) = P(se producirá un terremoto moderado) = 21,42 %

P(pérdida) = P( no se producirá un terremoto moderado) = 100 % - 21,42 %

Si apuesta muchas veces, ¿saldrá ganando? Explique su respuesta en una frase completa utilizando números. ¿Cuál es la desviación típica de X? Construya una tabla similar a la Tabla 4.12 y la Tabla 4.13 para ayudarse a responder a estas preguntas.

Solución

	x	P(x)	x(Px)	(x – μ)²P(x)
gana	50	0,2142	10,71	[50 – (-5,006)]²(0,2142) = 648,0964
pérdida	-20	0,7858	-15,716	[-20 – (-5,006)]²(0,7858) = 176,6636

Tabla 4.15

Media = Valor esperado = 10,71 + (-15,716) = -5,006.

Si hace esta apuesta muchas veces en las mismas condiciones, su resultado a largo plazo será una pérdida promedio de 5,01 dólares por apuesta.

$Desviación típica = \sqrt{648,0964 + 176,6636} \approx 28,7186$

Inténtelo 4.8

El 11 de mayo de 2013 a las 9:30 p. m., la probabilidad de que se produjera una actividad sísmica moderada (un terremoto moderado) en las próximas 48 horas en Japón era de aproximadamente 1,08 %. Al igual que en el Ejemplo 4.8, se apuesta por que se produzca un terremoto moderado en Japón durante este periodo. Si gana la apuesta, gana 100 dólares. Si pierde la apuesta, paga 10 dólares. Supongamos que X = el monto de ganancia de una apuesta. Calcule la media y la desviación típica de X.

Algunas de las funciones de probabilidad discreta más comunes son la binomial, la geométrica, la hipergeométrica y la de Poisson. La mayoría de los cursos elementales no cubren la geométrica, la hipergeométrica y la Poisson. Su instructor le hará saber si desea cubrir estas distribuciones.

Una función de distribución de probabilidad es un patrón. Intente adaptar un problema de probabilidad en un patrón o distribución para realizar los cálculos necesarios. Estas distribuciones son herramientas que facilitan la resolución de problemas de probabilidad. Cada distribución tiene sus propias características especiales. Aprender las características le permite distinguir entre las diferentes distribuciones.

4.2 Media o valor esperado y desviación típica

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Solución

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Solución

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Solución