4.1 Función de Distribución de Probabilidad (PDF) para una variable aleatoria discreta
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Una compañía quiere evaluar su tasa de deserción, es decir, el tiempo que los nuevos empleados permanecen en la compañía. A lo largo de los años han establecido la siguiente distribución de probabilidad.
Supongamos que X = el número de años que un nuevo empleado permanecerá en la compañía.
Supongamos que P(x) = la probabilidad de que un nuevo empleado permanezca en la compañía x años.
Complete la Tabla 4.20 con los datos proporcionados.
| x | P(x) |
|---|---|
| 0 | 0,12 |
| 1 | 0,18 |
| 2 | 0,30 |
| 3 | 0,15 |
| 4 | |
| 5 | 0,10 |
| 6 | 0,05 |
P(x = 4) = _______
¿Cuánto tiempo en promedio espera que un nuevo empleado permanezca en la compañía?
Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: Un panadero está decidiendo cuántos lotes de muffins va a hacer para vender en su panadería. Quiere hacer lo suficiente para venderlos todos y no menos. Mediante la observación, el panadero ha establecido una distribución de probabilidad.
| x | P(x) |
|---|---|
| 1 | 0,15 |
| 2 | 0,35 |
| 3 | 0,40 |
| 4 | 0,10 |
Defina la variable aleatoria X.
¿Cuál es la probabilidad de que el panadero venda exactamente un lote? P(x = 1) = _______
Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios: Ellen tiene práctica de música tres días a la semana. Practica los tres días el 85 % del tiempo, dos días el 8 % del tiempo, un día el 4 % del tiempo y ningún día el 3 % del tiempo. Se selecciona una semana al azar.
Defina la variable aleatoria X.
Sabemos que para que una función de distribución de probabilidad sea discreta, debe tener dos características. Una es que la suma de las probabilidades es uno. ¿Cuál es la otra característica?
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Javier es voluntario en eventos comunitarios cada mes. No realiza más de cinco eventos en un mes. Asiste exactamente a cinco eventos el 35 % del tiempo, a cuatro el 25 % del tiempo, a tres el 20 % del tiempo, a dos el 10 % del tiempo, a uno el 5 % del tiempo y a ninguno el 5 % del tiempo.
¿Qué valores toma x?
Calcule la probabilidad de que Javier sea voluntario en menos de tres eventos al mes. P(x < 3) = _______
Calcule la probabilidad de que Javier sea voluntario en, al menos, un evento cada mes. P(x > 0) = _______
4.2 Media o valor esperado y desviación típica
Complete la tabla de valores esperados.
| x | P(x) | x*P(x) |
|---|---|---|
| 0 | 0,2 | |
| 1 | 0,2 | |
| 2 | 0,4 | |
| 3 | 0,2 |
Halle el valor esperado en la tabla de valores esperados.
| x | P(x) | x*P(x) |
|---|---|---|
| 2 | 0,1 | 2(0,1) = 0,2 |
| 4 | 0,3 | 4(0,3) = 1,2 |
| 6 | 0,4 | 6(0,4) = 2,4 |
| 8 | 0,2 | 8(0,2) = 1,6 |
Calcule la desviación típica.
| x | P(x) | x*P(x) | (x – μ)2P(x) |
|---|---|---|---|
| 2 | 0,1 | 2(0,1) = 0,2 | (2–5,4)2(0,1) = 1,156 |
| 4 | 0,3 | 4(0,3) = 1,2 | (4–5,4)2(0,3) = 0,588 |
| 6 | 0,4 | 6(0,4) = 2,4 | (6–5,4)2(0,4) = 0,144 |
| 8 | 0,2 | 8(0,2) = 1,6 | (8–5,4)2(0,2) = 1,352 |
Identifique el error en la tabla de distribución de probabilidades.
| x | P(x) | x*P(x) |
|---|---|---|
| 1 | 0,15 | 0,15 |
| 2 | 0,25 | 0,50 |
| 3 | 0,30 | 0,90 |
| 4 | 0,20 | 0,80 |
| 5 | 0,15 | 0,75 |
Identifique el error en la tabla de distribución de probabilidades.
| x | P(x) | x*P(x) |
|---|---|---|
| 1 | 0,15 | 0,15 |
| 2 | 0,25 | 0,40 |
| 3 | 0,25 | 0,65 |
| 4 | 0,20 | 0,85 |
| 5 | 0,15 | 1 |
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Un profesor de física quiere saber qué porcentaje de los estudiantes de Física dedicarán los próximos años a la investigación de posgrado. Tiene la siguiente distribución de probabilidad.
| x | P(x) | x*P(x) |
|---|---|---|
| 1 | 0,35 | |
| 2 | 0,20 | |
| 3 | 0,15 | |
| 4 | ||
| 5 | 0,10 | |
| 6 | 0,05 |
Defina P(x) o la probabilidad de x.
Halle la probabilidad de que un estudiante de física haga investigación de posgrado durante cuatro años. P(x = 4) = _______
Calcule la probabilidad de que un estudiante de física haga investigación de posgrado durante un máximo de tres años. P(x ≤ 3) = _______
En promedio, ¿cuántos años espera que un estudiante de física pase haciendo investigación de posgrado?
Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios: A una profesora de ballet le interesa saber qué porcentaje de la clase de cada año continuará en el siguiente, para poder planificar qué clases ofrecer. A lo largo de los años, ha establecido la siguiente distribución de probabilidad.
- Supongamos que X = el número de años que un estudiante estudiará ballet con la maestra.
- Supongamos que P(x) = la probabilidad de que un estudiante estudie ballet x años.
Complete la Tabla 4.28 con los datos proporcionados.
| x | P(x) | x*P(x) |
|---|---|---|
| 1 | 0,10 | |
| 2 | 0,05 | |
| 3 | 0,10 | |
| 4 | ||
| 5 | 0,30 | |
| 6 | 0,20 | |
| 7 | 0,10 |
P(x = 4) = _______
En promedio, ¿cuántos años espera que un niño estudie ballet con esta maestra?
¿Qué suma la columna "x*P(x)" y por qué?
Está en un juego de cartas en el que saca una carta de un mazo estándar y la sustituye. Si la carta es de figura, gana 30 dólares. Si no es una carta de figura, paga 2 dólares. En un mazo de 52 cartas hay 12 cartas de figura. ¿Cuál es el valor esperado del juego?
Está en un juego de cartas en el que saca una carta de un mazo estándar y la sustituye. Si la carta es de figura, gana 30 dólares. Si no es una carta de figura, paga 2 dólares. En un mazo de 52 cartas hay 12 cartas de figura. ¿Debe jugar el juego?
4.3 Distribución binomial
Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios: El Instituto de Investigación de la Educación Superior de la Universidad de California en Los Ángeles (University of California, Los Angeles, UCLA) recopiló datos de 203.967 estudiantes de primer año a tiempo completo de 270 institutos universitarios de cuatro años en EE. UU. El 71,3 % de esos estudiantes respondieron que sí, que creen que las parejas del mismo sexo deberían tener derecho a un estado civil legal. Supongamos que elige al azar a ocho estudiantes de primer año a tiempo completo de la encuesta. Le interesa saber el número de personas que creen que las parejas del mismo sexo deberían tener derecho a un estado civil legal.
X ~ _____(_____,_____)
Construya la Función de Distribución de Probabilidad (PDF).
| x | P(x) |
|---|---|
¿Cuál es la desviación típica (σ)?
¿Cuál es la probabilidad de que, como máximo, cinco de los estudiantes de primer año respondan que “sí”?
¿Cuál es la probabilidad de que, al menos, dos de los estudiantes de primer año respondan que “sí”?
4.4 Distribución geométrica
Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: El Instituto de Investigación de la Educación Superior de la Universidad de California en Los Ángeles (University of California, Los Angeles, UCLA) recopiló datos de 203.967 estudiantes de primer año a tiempo completo de 270 institutos universitarios de cuatro años en EE. UU. El 71,3 % de esos estudiantes respondieron que sí, que creen que las parejas del mismo sexo deberían tener derecho a un estado civil legal. Supongamos que selecciona al azar a un estudiante de primer año del estudio hasta que halle uno que responda “sí”. Le interesa el número de estudiantes de primer año a los que debe preguntar.
X ~ _____(_____,_____)
Construya la Función de Distribución de Probabilidad (PDF). Deténgase en x = 6.
| x | P(x) |
|---|---|
| 1 | |
| 2 | |
| 3 | |
| 4 | |
| 5 | |
| 6 |
En promedio (μ), ¿a cuántos estudiantes de primer año tendría que preguntarles hasta hallar uno que responda “sí”?
¿Cuál es la probabilidad de que tenga que preguntarles a menos de tres estudiantes de primer año?
4.5 Distribución hipergeométrica
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Supongamos que un grupo de estudiantes de Estadística se divide en dos grupos: estudiantes de especialidad en Negocios y estudiantes de especialidad que no son en Negocios. En el grupo hay 16 especialidades en Negocios y siete que no son en Negocios. Se toma una muestra aleatoria de nueve estudiantes. Nos interesa el número de especialidades en Negocios en la muestra.
X ~ _____(_____,_____)
Calcule la desviación típica.
4.6 Distribución de Poisson
Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: en promedio, una tienda de ropa recibe 120 clientes al día.
Supongamos que el evento se produce de forma independiente en un día determinado. Defina la variable aleatoria X.
¿Cuál es la probabilidad de recibir 150 clientes en un día?
¿Cuál es la probabilidad de recibir 35 clientes en las primeras cuatro horas? Supongamos que la tienda está abierta 12 horas al día.
¿Cuál es la probabilidad de que la tienda reciba más de 12 clientes en la primera hora?
¿Cuál es la probabilidad de que la tienda reciba menos de 12 clientes en las dos primeras horas?
¿Qué tipo de distribución se puede utilizar para aproximar el modelo de Poisson? ¿Cuándo lo haría?
Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: en EE. UU. mueren un promedio de ocho adolescentes al día por accidentes de tráfico. Como consecuencia, los estados de todo el país están debatiendo el aumento de la edad para conducir.
Supongamos que el evento se produce de forma independiente en un día determinado. Defina la variable aleatoria X en palabras.
X ~ _____(_____,_____)
Para los valores dados de la variable aleatoria X, rellene las probabilidades correspondientes.
¿Es probable que no haya ningún adolescente muerto por accidente de tráfico en un día determinado en EE. UU.? Justifique su respuesta numéricamente.
¿Es probable que haya más de 20 adolescentes muertos por accidentes de tráfico en un día determinado en EE. UU.? Justifique su respuesta numéricamente.