Omitir e ir al contenidoIr a la página de accesibilidadMenú de atajos de teclado
Logo de OpenStax
Introducción a la estadística

6.1 La distribución normal estándar

Introducción a la estadística6.1 La distribución normal estándar

Menú
Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Muestreo y datos
    1. Introducción
    2. 1.1 Definiciones de estadística, probabilidad y términos clave
    3. 1.2 Datos, muestreo y variación de datos y muestreo
    4. 1.3 Frecuencia, tablas de frecuencia y niveles de medición
    5. 1.4 Diseño experimental y ética
    6. 1.5 Experimento de recopilación de datos
    7. 1.6 Experimento de muestreo
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Resúmalo todo: tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  3. 2 Estadística descriptiva
    1. Introducción
    2. 2.1 Gráficos de tallo y hoja (gráfico de tallo), gráficos de líneas y gráficos de barras
    3. 2.2 Histogramas, polígonos de frecuencia y gráficos de series temporales
    4. 2.3 Medidas de la ubicación de los datos
    5. 2.4 Diagramas de caja
    6. 2.5 Medidas del centro de los datos
    7. 2.6 Distorsión y media, mediana y moda
    8. 2.7 Medidas de la dispersión de los datos
    9. 2.8 Estadística descriptiva
    10. Términos clave
    11. Repaso del capítulo
    12. Repaso de fórmulas
    13. Práctica
    14. Tarea para la casa
    15. Resúmalo todo: tarea para la casa
    16. Referencias
    17. Soluciones
  4. 3 Temas de probabilidad
    1. Introducción
    2. 3.1 Terminología
    3. 3.2 Eventos mutuamente excluyentes e independientes
    4. 3.3 Dos reglas básicas de la probabilidad
    5. 3.4 Tablas de contingencia
    6. 3.5 Diagramas de árbol y de Venn
    7. 3.6 Temas de probabilidad
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Uniéndolo todo: Práctica
    13. Tarea para la casa
    14. Resúmalo todo: tarea para la casa
    15. Referencias
    16. Soluciones
  5. 4 Variables aleatorias discretas
    1. Introducción
    2. 4.1 Función de Distribución de Probabilidad (PDF) para una variable aleatoria discreta
    3. 4.2 Media o valor esperado y desviación típica
    4. 4.3 Distribución binomial
    5. 4.4 Distribución geométrica
    6. 4.5 Distribución hipergeométrica
    7. 4.6 Distribución de Poisson
    8. 4.7 Distribución discreta (experimento con cartas)
    9. 4.8 Distribución discreta (experimento de los dados de la suerte)
    10. Términos clave
    11. Repaso del capítulo
    12. Repaso de fórmulas
    13. Práctica
    14. Tarea para la casa
    15. Referencias
    16. Soluciones
  6. 5 Variables aleatorias continuas
    1. Introducción
    2. 5.1 Funciones de probabilidad continuas
    3. 5.2 La distribución uniforme
    4. 5.3 La distribución exponencial
    5. 5.4 Distribución continua
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  7. 6 La distribución normal
    1. Introducción
    2. 6.1 La distribución normal estándar
    3. 6.2 Uso de la distribución normal
    4. 6.3 Distribución normal (tiempos de vuelta)
    5. 6.4 Distribución normal (longitud del meñique)
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  8. 7 El teorema del límite central
    1. Introducción
    2. 7.1 Teorema del límite central de medias muestrales (promedios)
    3. 7.2 El teorema del límite central para las sumas
    4. 7.3 Uso del teorema del límite central
    5. 7.4 Teorema del límite central (monedas en el bolsillo)
    6. 7.5 Teorema del límite central (recetas de galletas)
    7. Términos clave
    8. Repaso del capítulo
    9. Repaso de fórmulas
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Referencias
    13. Soluciones
  9. 8 Intervalos de confianza
    1. Introducción
    2. 8.1 La media de una población utilizando la distribución normal
    3. 8.2 La media de una población utilizando la distribución t de Student
    4. 8.3 Una proporción de la población
    5. 8.4 Intervalo de confianza (costos de hogares)
    6. 8.5 Intervalo de confianza (lugar de nacimiento)
    7. 8.6 Intervalo de confianza (altura de las mujeres)
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  10. 9 Pruebas de hipótesis con una muestra
    1. Introducción
    2. 9.1 Hipótesis nula y alternativa
    3. 9.2 Resultados y errores de tipo I y II
    4. 9.3 Distribución necesaria para la comprobación de la hipótesis
    5. 9.4 Eventos poco comunes, la muestra, decisión y conclusión
    6. 9.5 Información adicional y ejemplos de pruebas de hipótesis completas
    7. 9.6 Pruebas de hipótesis de una sola media y una sola proporción
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  11. 10 Pruebas de hipótesis con dos muestras
    1. Introducción
    2. 10.1 Medias de dos poblaciones con desviaciones típicas desconocidas
    3. 10.2 Dos medias poblacionales con desviaciones típicas conocidas
    4. 10.3 Comparación de dos proporciones de población independientes
    5. 10.4 Muestras coincidentes o emparejadas
    6. 10.5 Prueba de hipótesis para dos medias y dos proporciones
    7. Términos clave
    8. Repaso del capítulo
    9. Repaso de fórmulas
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Resúmalo todo: tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  12. 11 La distribución chi-cuadrado
    1. Introducción
    2. 11.1 Datos sobre la distribución chi-cuadrado
    3. 11.2 Prueba de bondad de ajuste
    4. 11.3 Prueba de independencia
    5. 11.4 Prueba de homogeneidad
    6. 11.5 Comparación de las pruebas chi-cuadrado
    7. 11.6 Prueba de una sola varianza
    8. 11.7 Laboratorio 1: Bondad de ajuste de chi-cuadrado
    9. 11.8 Laboratorio 2: prueba de independencia de chi-cuadrado
    10. Términos clave
    11. Repaso del capítulo
    12. Repaso de fórmulas
    13. Práctica
    14. Tarea para la casa
    15. Resúmalo todo: tarea para la casa
    16. Referencias
    17. Soluciones
  13. 12 Regresión lineal y correlación
    1. Introducción
    2. 12.1 Ecuaciones lineales
    3. 12.2 Diagramas de dispersión
    4. 12.3 La ecuación de regresión
    5. 12.4 Comprobación de la importancia del coeficiente de correlación
    6. 12.5 Predicción
    7. 12.6 Valores atípicos
    8. 12.7 Regresión (distancia desde la escuela)
    9. 12.8 Regresión (costo de los libros de texto)
    10. 12.9 Regresión (eficiencia del combustible)
    11. Términos clave
    12. Repaso del capítulo
    13. Repaso de fórmulas
    14. Práctica
    15. Tarea para la casa
    16. Resúmalo todo: tarea para la casa
    17. Referencias
    18. Soluciones
  14. 13 Distribución F y análisis de varianza anova de una vía
    1. Introducción
    2. 13.1 ANOVA de una vía
    3. 13.2 La distribución F y el cociente F
    4. 13.3 Datos sobre la distribución F
    5. 13.4 Prueba de dos varianzas
    6. 13.5 Laboratorio: ANOVA de una vía
    7. Términos clave
    8. Repaso del capítulo
    9. Repaso de fórmulas
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Referencias
    13. Soluciones
  15. A Ejercicios de repaso (caps. 3-13)
  16. B Pruebas prácticas (de la 1 a la 4) y exámenes finales
  17. C Conjuntos de datos
  18. D Proyectos de grupos y asociaciones
  19. E Hojas de soluciones
  20. F Oraciones, símbolos y fórmulas matemáticas
  21. G Notas para las calculadoras TI-83, 83+, 84 y 84+
  22. H Tablas
  23. Índice

La distribución normal estándar es una distribución normal de valores estandarizados llamados puntuaciones z. Una puntuación z se mide en unidades de la desviación típica. Por ejemplo, si la media de una distribución normal es cinco y la desviación típica es dos, el valor 11 está tres desviaciones típicas por encima (o a la derecha) de la media. El cálculo es el siguiente:

x = μ + (z)(σ) = 5 + (3)(2) = 11

La puntuación z es tres.

La media de la distribución normal estándar es cero y la desviación típica es uno. La transformación z = xμ σ xμ σ produce la distribución Z ~ N(0, 1). El valor x en la ecuación dada proviene de una distribución normal con una media μ y una desviación típica σ.

Puntuaciones z

Si X es una variable aleatoria normalmente distribuida y X ~ N(μ, σ), entonces la puntuación z es:

z= x  μ σ z= x  μ σ

La puntuación z indica cuántas desviaciones típicas tiene el valor x por encima (a la derecha) o por debajo (a la izquierda) de la media, μ. Los valores de x que son mayores que la media tienen puntuaciones z positivas, y los valores de x que son menores que la media tienen puntuaciones z negativas. Si x es igual a la media, entonces x tiene una puntuación z de cero.

Ejemplo 6.1

Supongamos que X ~ N(5, 6). Esto dice que X es una variable aleatoria normalmente distribuida, con media μ = 5 y desviación típica σ = 6. Supongamos que x = 17. Entonces:

z= xμ σ = 175 6 =2 z= xμ σ = 175 6 =2

Esto significa que x = 17 está dos desviaciones típicas (2σ) por encima o a la derecha de la media μ = 5.

Observe que: 5 + (2)(6) = 17 (el patrón es μ + = X)

Supongamos ahora que x = 1. Entonces: z = xμ σ xμ σ = 15 6 15 6 = –0,67 (redondeado a dos decimales)

Esto significa que x = 1 está 0,67 desviaciones típicas (–0,67σ) por debajo o a la izquierda de la media μ = 5. Observe que: 5 + (-0,67)(6) es aproximadamente igual a uno (esto presenta el patrón μ + (-0,67)σ = 1)

Resumiendo, cuando z es positiva, x está por encima o a la derecha de μ y cuando z es negativa, x está a la izquierda o por debajo de μ. O bien, cuando z es positiva, x es mayor que μ, y cuando z es negativa x es menor que μ.

Inténtelo 6.1

¿Cuál es la puntuación z de x, cuando x = 1 y X ~ N(12,3)?

Ejemplo 6.2

Algunos médicos creen que una persona puede perder cinco libras, en promedio, en un mes si reduce su consumo de grasas y hace ejercicio de manera constante. Supongamos que la pérdida de peso tiene una distribución normal. Supongamos que X = la cantidad de peso perdida (en libras) por una persona en un mes. Utilice una desviación típica de dos libras. X ~ N(5, 2). Complete los espacios en blanco.

translation missing: es.problem

a. Supongamos que una persona pierde diez libras en un mes. La puntuación z cuando x = 10 libras es z = 2,5 (verifique). Esta puntuación z le indica que x = 10 está a ________ desviaciones típicas a la ________ (derecha o izquierda) de la media _____ (¿Cuál es la media?).

translation missing: es.problem

b. Supongamos que una persona ha ganado tres libras (una pérdida de peso negativa). Entonces z = __________. Esta puntuación z le indica que x = –3 está a ________ desviaciones típicas a la __________ (derecha o izquierda) de la media.

translation missing: es.problem

c. Supongamos que las variables aleatorias X y Y tienen las siguientes distribuciones normales: X ~ N(5, 6) y Y ~ N(2, 1). Si X = 17, entonces z = 2. (Se mostró anteriormente.) Si y = 4, ¿cuál es z?

La puntuación z para y = 4 es z = 2. Esto significa que cuatro está z = 2 desviaciones típicas a la derecha de la media. Por lo tanto, x = 17 y y = 4 son dos desviaciones típicas (por sí mismas) a la derecha de sus respectivas medias.

La puntuación z nos permite comparar datos con escalas diferentes. Para entender el concepto, supongamos que X ~ N(5, 6) representa el aumento de peso de un grupo de personas que intentan subir de peso en un periodo de seis semanas y Y ~ N(2, 1) mide el mismo aumento de peso de un segundo grupo de personas. Un aumento de peso negativo sería una pérdida de peso. Como x = 17 y y = 4 están cada una a dos desviaciones típicas a la derecha de sus medias, representan el mismo aumento de peso estandarizado relativo a sus medias.

Inténtelo 6.2

Complete los espacios en blanco.

Jerome tiene un promedio de 16 puntos por partido con una desviación típica de cuatro puntos. X ~ N(16,4). Supongamos que Jerome anota diez puntos en un partido. La puntuación z cuando X = 10 es -1,5. Esta puntuación nos indica que x = 10 está a _____ desviaciones típicas a la ______(derecha o izquierda) de la media______ (¿Cuál es la media?).

La regla empíricaSi X es una variable aleatoria y tiene una distribución normal con media µ y desviación típica σ, la regla empírica dice lo siguiente:

  • Aproximadamente el 68 % de los valores de x se sitúan entre –1σ y +1σ de la media µ (dentro de una desviación típica de la media).
  • Aproximadamente el 95 % de los valores de x se sitúan entre –2σ y +2σ de la media µ (dentro de dos desviaciones típicas de la media).
  • Aproximadamente el 99,7 % de los valores de x se sitúan entre –3σ y +3σ de la media µ (dentro de las tres desviaciones típicas de la media). Observe que casi todos los valores de x están dentro de las tres desviaciones típicas de la media.
  • Las puntuaciones z para +1σ y –1σ son +1 y –1, respectivamente.
  • Las puntuaciones z para +2σ y –2σ son +2 y –2, respectivamente.
  • Las puntuaciones z para +3σ y –3σ son +3 y –3, respectivamente.

La regla empírica también se conoce como la regla del 68-95-99,7.

Esta curva de frecuencia ilustra la regla empírica. La curva normal se muestra sobre un eje horizontal. El eje está marcado con los puntos –3s, –2s, –1s, m, 1s, 2s, 3s. Las líneas verticales conectan el eje con la curva en cada punto identificado. El pico de la curva se alinea con el punto m.
Figura 6.3

Ejemplo 6.3

La estatura media de los hombres de 15 a 18 años de Chile de 2009 a 2010 fue de 170 cm con una desviación típica de 6,28 cm. Se sabe que la altura de los hombres sigue una distribución normal. Supongamos que X = la altura de un hombre de 15 a 18 años de Chile de 2009 a 2010. Entonces X ~ N(170, 6,28).

translation missing: es.problem

a. Supongamos que un hombre de 15 a 18 años de Chile mide 168 cm entre 2009 y 2010. La puntuación z cuando X = 168 cm es z = _______. Esta puntuación z le indica que x = 168 está a ________ desviaciones típicas a la ________ (derecha o izquierda) de la media _____ (¿Cuál es la media?).

b. Supongamos que la estatura de un hombre de 15 a 18 años de Chile de 2009 a 2010 tiene una puntuación z de z = 1,27. ¿Cuál es la altura de los hombres? La puntuación z (z = 1,27) indica que la estatura de ese hombre se sitúa en ________ desviaciones típicas a la __________ (derecha o izquierda) de la media.

Inténtelo 6.3

Utilice la información del Ejemplo 6.3 para responder a las siguientes preguntas.

  1. Supongamos que un hombre de 15 a 18 años de Chile mide 176 cm entre 2009 y 2010. La puntuación z cuando x = 176 cm es z = _______. Esta puntuación z le indica que x = 176 cm está a ________ desviaciones típicas a la ________ (derecha o izquierda) de la media _____ (¿Cuál es la media?).
  2. Supongamos que la estatura de un hombre de 15 a 18 años de Chile de 2009 a 2010 tiene una puntuación z de z = –2. ¿Cuál es la altura del hombre? La puntuación z (z = –2) indica que la estatura del hombre está a ________ desviaciones típicas a la __________ (derecha o izquierda) de la media.

Ejemplo 6.4

translation missing: es.problem

Entre 1984 y 1985, la estatura media de los hombres de 15 a 18 años de Chile era de 172,36 cm, y la desviación típica era de 6,34 cm. Supongamos que Y = la altura de los hombres de 15 a 18 años de 1984 a 1985. Entonces Y ~ N(172,36; 6,34).

La estatura media de los hombres de 15 a 18 años de Chile de 2009 a 2010 fue de 170 cm con una desviación típica de 6,28 cm. Se sabe que la altura de los hombres sigue una distribución normal. Supongamos que X = la altura de un hombre de 15 a 18 años de Chile de 2009 a 2010. Entonces X ~ N(170, 6,28).

Halle las puntuaciones z para x = 160,58 cm y y = 162,85 cm. Interprete cada puntuación z. ¿Qué puede decir sobre x = 160,58 cm e y = 162,85 cm en comparación con sus respectivas medias y desviaciones típicas?

Inténtelo 6.4

En 2012, 1.664.479 estudiantes realizaron la Prueba de Aptitud Académica (Scholastic Aptitude Test, SAT). La distribución de las puntuaciones en la sección verbal del SAT tenía una media µ = 496 y una desviación típica σ = 114. Supongamos que X = la puntuación de la sección verbal de la prueba SAT en 2012. Entonces X ~ N(496, 114).

Halle las puntuaciones z para x1 = 325 y x2 = 366,21. Interprete cada puntuación z. ¿Qué puede decir sobre x1 = 325 y x2 = 366,21 en comparación con sus respectivas medias y desviaciones típicas?

Ejemplo 6.5

Supongamos que x tiene una distribución normal con media 50 y desviación típica 6.

  • Aproximadamente el 68 % de los valores de x están dentro de una desviación típica de la media. Por lo tanto, aproximadamente el 68 % de los valores de x se encuentran entre –1σ = (–1)(6) = –6 y 1σ = (1)(6) = 6 de la media de 50. Los valores 50 – 6 = 44 y 50 + 6 = 56 están dentro de una desviación típica de la media 50. Las puntuaciones z son –1 y +1 para 44 y 56, respectivamente.
  • Aproximadamente el 95 % de los valores de x están dentro de las dos desviaciones típicas de la media. Por lo tanto, aproximadamente el 95 % de los valores de x se encuentran entre –2σ = (–2)(6) = –12 y 2σ = (2)(6) = 12. Los valores 50 – 12 = 38 y 50 + 12 = 62 están dentro de dos desviaciones típicas de la media 50. Las puntuaciones z son –2 y +2 para 38 y 62, respectivamente.
  • Aproximadamente el 99,7 % de los valores de x están dentro de las tres desviaciones típicas de la media. Por lo tanto, aproximadamente el 99,7 % de los valores de X se encuentran entre -3σ = (–3)(6) = –18 y 3σ = (3)(6) = 18 de la media de 50. Los valores 50 - 18 = 32 y 50 + 18 = 68 están dentro de las tres desviaciones típicas de la media de 50. Las puntuaciones z son –3 y +3 para 32 y 68, respectivamente.

Inténtelo 6.5

Supongamos que X tiene una distribución normal con una media de 25 y una desviación típica de 5. ¿Entre qué valores de x se encuentra el 68 % de los valores?

Ejemplo 6.6

translation missing: es.problem

Entre 1984 y 1985, la estatura media de los hombres de 15 a 18 años de Chile era de 172,36 cm, y la desviación típica era de 6,34 cm. Supongamos que Y = la altura de los hombres de 15 a 18 años en 1984 a 1985. Entonces Y ~ N(172,36; 6,34).

  1. ¿Qué dos valores se encuentran entre el 68 % de los valores de y? Estos valores son ________________. Las puntuaciones z son ________________, respectivamente.
  2. ¿Qué dos valores se encuentran entre el 95 % de los valores de y? Estos valores son ________________. Las puntuaciones z son ________________ respectivamente.
  3. ¿Qué dos valores se encuentran entre el 99,7 % de los valores de y? Estos valores son ________________. Las puntuaciones z son ________________, respectivamente.

Inténtelo 6.6

Las puntuaciones de una prueba de acceso a la universidad tienen una distribución normal aproximada con una media, µ = 52 puntos y una desviación típica, σ = 11 puntos.

  1. ¿Qué dos valores se encuentran entre el 68 % de los valores de y? Estos valores son ________________. Las puntuaciones z son ________________, respectivamente.
  2. ¿Qué dos valores se encuentran entre el 95 % de los valores de y? Estos valores son ________________. Las puntuaciones z son ________________, respectivamente.
  3. ¿Qué dos valores se encuentran entre el 99,7 % de los valores de y? Estos valores son ________________. Las puntuaciones z son ________________, respectivamente.
Solicitar una copia impresa

As an Amazon Associate we earn from qualifying purchases.

Cita/Atribución

¿Desea citar, compartir o modificar este libro? Este libro utiliza la Creative Commons Attribution License y debe atribuir a OpenStax.

Información de atribución
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato impreso, debe incluir en cada página física la siguiente atribución:
    Acceso gratis en https://openstax.org/books/introducci%C3%B3n-estad%C3%ADstica/pages/1-introduccion
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato digital, debe incluir en cada vista de la página digital la siguiente atribución:
    Acceso gratuito en https://openstax.org/books/introducci%C3%B3n-estad%C3%ADstica/pages/1-introduccion
Información sobre citas

© 28 ene. 2022 OpenStax. El contenido de los libros de texto que produce OpenStax tiene una licencia de Creative Commons Attribution License . El nombre de OpenStax, el logotipo de OpenStax, las portadas de libros de OpenStax, el nombre de OpenStax CNX y el logotipo de OpenStax CNX no están sujetos a la licencia de Creative Commons y no se pueden reproducir sin el previo y expreso consentimiento por escrito de Rice University.