6.1 La distribución normal estándar

Supongamos que X ~ N(5, 6). Esto dice que X es una variable aleatoria normalmente distribuida, con media μ = 5 y desviación típica σ = 6. Supongamos que x = 17. Entonces:

Esto significa que x = 17 está dos desviaciones típicas (2σ) por encima o a la derecha de la media μ = 5.

Observe que: 5 + (2)(6) = 17 (el patrón es μ + zσ = X)

Supongamos ahora que x = 1. Entonces: z = $\frac{x–\mu }{\sigma }$ = $\frac{1–5}{6}$ = –0,67 (redondeado a dos decimales)

Esto significa que x = 1 está 0,67 desviaciones típicas (–0,67σ) por debajo o a la izquierda de la media μ = 5. Observe que: 5 + (-0,67)(6) es aproximadamente igual a uno (esto presenta el patrón μ + (-0,67)σ = 1)

Resumiendo, cuando z es positiva, x está por encima o a la derecha de μ y cuando z es negativa, x está a la izquierda o por debajo de μ. O bien, cuando z es positiva, x es mayor que μ, y cuando z es negativa x es menor que μ.

Algunos médicos creen que una persona puede perder cinco libras, en promedio, en un mes si reduce su consumo de grasas y hace ejercicio de manera constante. Supongamos que la pérdida de peso tiene una distribución normal. Supongamos que X = la cantidad de peso perdida (en libras) por una persona en un mes. Utilice una desviación típica de dos libras. X ~ N(5, 2). Complete los espacios en blanco.

La puntuación z para y = 4 es z = 2. Esto significa que cuatro está z = 2 desviaciones típicas a la derecha de la media. Por lo tanto, x = 17 y y = 4 son dos desviaciones típicas (por sí mismas) a la derecha de sus respectivas medias.

La puntuación z nos permite comparar datos con escalas diferentes. Para entender el concepto, supongamos que X ~ N(5, 6) representa el aumento de peso de un grupo de personas que intentan subir de peso en un periodo de seis semanas y Y ~ N(2, 1) mide el mismo aumento de peso de un segundo grupo de personas. Un aumento de peso negativo sería una pérdida de peso. Como x = 17 y y = 4 están cada una a dos desviaciones típicas a la derecha de sus medias, representan el mismo aumento de peso estandarizado relativo a sus medias.

La estatura media de los hombres de 15 a 18 años de Chile de 2009 a 2010 fue de 170 cm con una desviación típica de 6,28 cm. Se sabe que la altura de los hombres sigue una distribución normal. Supongamos que X = la altura de un hombre de 15 a 18 años de Chile de 2009 a 2010. Entonces X ~ N(170, 6,28).

Supongamos que x tiene una distribución normal con media 50 y desviación típica 6.

• Aproximadamente el 68 % de los valores de x están dentro de una desviación típica de la media. Por lo tanto, aproximadamente el 68 % de los valores de x se encuentran entre –1σ = (–1)(6) = –6 y 1σ = (1)(6) = 6 de la media de 50. Los valores 50 – 6 = 44 y 50 + 6 = 56 están dentro de una desviación típica de la media 50. Las puntuaciones z son –1 y +1 para 44 y 56, respectivamente.
• Aproximadamente el 95 % de los valores de x están dentro de las dos desviaciones típicas de la media. Por lo tanto, aproximadamente el 95 % de los valores de x se encuentran entre –2σ = (–2)(6) = –12 y 2σ = (2)(6) = 12. Los valores 50 – 12 = 38 y 50 + 12 = 62 están dentro de dos desviaciones típicas de la media 50. Las puntuaciones z son –2 y +2 para 38 y 62, respectivamente.
• Aproximadamente el 99,7 % de los valores de x están dentro de las tres desviaciones típicas de la media. Por lo tanto, aproximadamente el 99,7 % de los valores de X se encuentran entre -3σ = (–3)(6) = –18 y 3σ = (3)(6) = 18 de la media de 50. Los valores 50 - 18 = 32 y 50 + 18 = 68 están dentro de las tres desviaciones típicas de la media de 50. Las puntuaciones z son –3 y +3 para 32 y 68, respectivamente.