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Introducción a la estadística

6.2 Uso de la distribución normal

Introducción a la estadística6.2 Uso de la distribución normal

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Índice
  1. Prefacio
  2. 1 Muestreo y datos
    1. Introducción
    2. 1.1 Definiciones de estadística, probabilidad y términos clave
    3. 1.2 Datos, muestreo y variación de datos y muestreo
    4. 1.3 Frecuencia, tablas de frecuencia y niveles de medición
    5. 1.4 Diseño experimental y ética
    6. 1.5 Experimento de recopilación de datos
    7. 1.6 Experimento de muestreo
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Resúmalo todo: tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  3. 2 Estadística descriptiva
    1. Introducción
    2. 2.1 Gráficos de tallo y hoja (gráfico de tallo), gráficos de líneas y gráficos de barras
    3. 2.2 Histogramas, polígonos de frecuencia y gráficos de series temporales
    4. 2.3 Medidas de la ubicación de los datos
    5. 2.4 Diagramas de caja
    6. 2.5 Medidas del centro de los datos
    7. 2.6 Distorsión y media, mediana y moda
    8. 2.7 Medidas de la dispersión de los datos
    9. 2.8 Estadística descriptiva
    10. Términos clave
    11. Repaso del capítulo
    12. Repaso de fórmulas
    13. Práctica
    14. Tarea para la casa
    15. Resúmalo todo: tarea para la casa
    16. Referencias
    17. Soluciones
  4. 3 Temas de probabilidad
    1. Introducción
    2. 3.1 Terminología
    3. 3.2 Eventos mutuamente excluyentes e independientes
    4. 3.3 Dos reglas básicas de la probabilidad
    5. 3.4 Tablas de contingencia
    6. 3.5 Diagramas de árbol y de Venn
    7. 3.6 Temas de probabilidad
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Uniéndolo todo: Práctica
    13. Tarea para la casa
    14. Resúmalo todo: tarea para la casa
    15. Referencias
    16. Soluciones
  5. 4 Variables aleatorias discretas
    1. Introducción
    2. 4.1 Función de Distribución de Probabilidad (PDF) para una variable aleatoria discreta
    3. 4.2 Media o valor esperado y desviación típica
    4. 4.3 Distribución binomial
    5. 4.4 Distribución geométrica
    6. 4.5 Distribución hipergeométrica
    7. 4.6 Distribución de Poisson
    8. 4.7 Distribución discreta (experimento con cartas)
    9. 4.8 Distribución discreta (experimento de los dados de la suerte)
    10. Términos clave
    11. Repaso del capítulo
    12. Repaso de fórmulas
    13. Práctica
    14. Tarea para la casa
    15. Referencias
    16. Soluciones
  6. 5 Variables aleatorias continuas
    1. Introducción
    2. 5.1 Funciones de probabilidad continuas
    3. 5.2 La distribución uniforme
    4. 5.3 La distribución exponencial
    5. 5.4 Distribución continua
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  7. 6 La distribución normal
    1. Introducción
    2. 6.1 La distribución normal estándar
    3. 6.2 Uso de la distribución normal
    4. 6.3 Distribución normal (tiempos de vuelta)
    5. 6.4 Distribución normal (longitud del meñique)
    6. Términos clave
    7. Repaso del capítulo
    8. Repaso de fórmulas
    9. Práctica
    10. Tarea para la casa
    11. Referencias
    12. Soluciones
  8. 7 El teorema del límite central
    1. Introducción
    2. 7.1 Teorema del límite central de medias muestrales (promedios)
    3. 7.2 El teorema del límite central para las sumas
    4. 7.3 Uso del teorema del límite central
    5. 7.4 Teorema del límite central (monedas en el bolsillo)
    6. 7.5 Teorema del límite central (recetas de galletas)
    7. Términos clave
    8. Repaso del capítulo
    9. Repaso de fórmulas
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Referencias
    13. Soluciones
  9. 8 Intervalos de confianza
    1. Introducción
    2. 8.1 La media de una población utilizando la distribución normal
    3. 8.2 La media de una población utilizando la distribución t de Student
    4. 8.3 Una proporción de la población
    5. 8.4 Intervalo de confianza (costos de hogares)
    6. 8.5 Intervalo de confianza (lugar de nacimiento)
    7. 8.6 Intervalo de confianza (altura de las mujeres)
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  10. 9 Pruebas de hipótesis con una muestra
    1. Introducción
    2. 9.1 Hipótesis nula y alternativa
    3. 9.2 Resultados y errores de tipo I y II
    4. 9.3 Distribución necesaria para la comprobación de la hipótesis
    5. 9.4 Eventos poco comunes, la muestra, decisión y conclusión
    6. 9.5 Información adicional y ejemplos de pruebas de hipótesis completas
    7. 9.6 Pruebas de hipótesis de una sola media y una sola proporción
    8. Términos clave
    9. Repaso del capítulo
    10. Repaso de fórmulas
    11. Práctica
    12. Tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  11. 10 Pruebas de hipótesis con dos muestras
    1. Introducción
    2. 10.1 Medias de dos poblaciones con desviaciones típicas desconocidas
    3. 10.2 Dos medias poblacionales con desviaciones típicas conocidas
    4. 10.3 Comparación de dos proporciones de población independientes
    5. 10.4 Muestras coincidentes o emparejadas
    6. 10.5 Prueba de hipótesis para dos medias y dos proporciones
    7. Términos clave
    8. Repaso del capítulo
    9. Repaso de fórmulas
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Resúmalo todo: tarea para la casa
    13. Referencias
    14. Soluciones
  12. 11 La distribución chi-cuadrado
    1. Introducción
    2. 11.1 Datos sobre la distribución chi-cuadrado
    3. 11.2 Prueba de bondad de ajuste
    4. 11.3 Prueba de independencia
    5. 11.4 Prueba de homogeneidad
    6. 11.5 Comparación de las pruebas chi-cuadrado
    7. 11.6 Prueba de una sola varianza
    8. 11.7 Laboratorio 1: Bondad de ajuste de chi-cuadrado
    9. 11.8 Laboratorio 2: prueba de independencia de chi-cuadrado
    10. Términos clave
    11. Repaso del capítulo
    12. Repaso de fórmulas
    13. Práctica
    14. Tarea para la casa
    15. Resúmalo todo: tarea para la casa
    16. Referencias
    17. Soluciones
  13. 12 Regresión lineal y correlación
    1. Introducción
    2. 12.1 Ecuaciones lineales
    3. 12.2 Diagramas de dispersión
    4. 12.3 La ecuación de regresión
    5. 12.4 Comprobación de la importancia del coeficiente de correlación
    6. 12.5 Predicción
    7. 12.6 Valores atípicos
    8. 12.7 Regresión (distancia desde la escuela)
    9. 12.8 Regresión (costo de los libros de texto)
    10. 12.9 Regresión (eficiencia del combustible)
    11. Términos clave
    12. Repaso del capítulo
    13. Repaso de fórmulas
    14. Práctica
    15. Tarea para la casa
    16. Resúmalo todo: tarea para la casa
    17. Referencias
    18. Soluciones
  14. 13 Distribución F y análisis de varianza anova de una vía
    1. Introducción
    2. 13.1 ANOVA de una vía
    3. 13.2 La distribución F y el cociente F
    4. 13.3 Datos sobre la distribución F
    5. 13.4 Prueba de dos varianzas
    6. 13.5 Laboratorio: ANOVA de una vía
    7. Términos clave
    8. Repaso del capítulo
    9. Repaso de fórmulas
    10. Práctica
    11. Tarea para la casa
    12. Referencias
    13. Soluciones
  15. A Ejercicios de repaso (caps. 3-13)
  16. B Pruebas prácticas (de la 1 a la 4) y exámenes finales
  17. C Conjuntos de datos
  18. D Proyectos de grupos y asociaciones
  19. E Hojas de soluciones
  20. F Oraciones, símbolos y fórmulas matemáticas
  21. G Notas para las calculadoras TI-83, 83+, 84 y 84+
  22. H Tablas
  23. Índice

El área sombreada en el siguiente gráfico indica el área a la izquierda de x. Esta área está representada por la probabilidad P(X < x). Las tablas normales, las computadoras y las calculadoras proporcionan o calculan la probabilidad P(X < x).

Este diagrama muestra una curva en forma de campana con la X mayúscula en el extremo derecho del eje X. El eje X también contiene una x minúscula a un cuarto del camino a través del eje X desde la derecha. El área bajo la curva de campana a la derecha de la x minúscula está sombreada. La etiqueta indica: el área sombreada representa la probabilidad P(X < x).
Figura 6.4

El área a la derecha es entonces P ( X > x ) = 1 - P ( X < x ). Recuerde que P ( X < x ) = Área a la izquierda de la línea vertical que pasa por x . P ( X > x ) = 1 - P ( X < x ) = Área a la derecha de la línea vertical que pasa por x . P ( X < x ) es lo mismo que P ( X x ) y P ( X > x ) es lo mismo que P ( X x ) para distribuciones continuas.

Cálculo de probabilidades

Las probabilidades se calculan mediante la tecnología. Se dan las instrucciones necesarias para las calculadoras TI-83+ y TI-84.

NOTA

Para calcular la probabilidad, utilice las tablas de probabilidad proporcionadas en H - TABLASsin utilizar la tecnología. Las tablas incluyen instrucciones para su uso.

Ejemplo 6.7

Si el área de la izquierda es 0,0228, el área de la derecha es 1 - 0,0228 = 0,9772.

Inténtelo 6.7

Si el área a la izquierda de x es 0,012, ¿cuál es el área a la derecha?

Ejemplo 6.8

Las calificaciones del examen final de una clase de estadística se distribuyeron normalmente, con una media de 63 y una desviación típica de cinco.

translation missing: es.problem

a. Halle la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar obtenga más de 65 puntos en el examen.

Uso de las calculadoras TI-83, 83+, 84, 84+

Calcule el percentil de un estudiante con una puntuación de 65:

* Pulse 2nd Distr
* Pulse 2:normalcdf(
* Ingrese el límite inferior, límite superior, media, desviación típica seguido de )
* Pulse ENTER.
Para este ejemplo, los pasos son
2nd Distr
2:normalcdf(65,1,2nd EE,99,63,5) ENTER

La probabilidad de que un estudiante seleccionado haya obtenido una puntuación superior a 65 es de 0,3446.
Para hallar la probabilidad de que un estudiante seleccionado haya obtenido una puntuación superior a 65, reste el percentil a 1.

translation missing: es.problem

b. Calcule la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar obtenga una calificación inferior a 85.

translation missing: es.problem

c. Calcule el percentil 90 (es decir, halle la puntuación k que tiene el 90 % de las puntuaciones por debajo de k y el 10 % de las puntuaciones por encima de k).

Uso de las calculadoras TI-83, 83+, 84, 84+

invNorm pulgada 2nd DISTR. invNorm(área a la izquierda, media, desviación típica)
Para este problema, invNorm(0,90;63;5) = 69,4

translation missing: es.problem

d. Calcule el percentil 70 (es decir, halle la puntuación k tal que el 70 % de las puntuaciones esté por debajo de k y el 30 % de las puntuaciones esté por encima de k).

Inténtelo 6.8

Las puntuaciones de golf de un equipo escolar se distribuyen normalmente, con una media de 68 y una desviación típica de tres.

Calcule la probabilidad de que un golfista seleccionado al azar obtenga una puntuación inferior a 65.

Ejemplo 6.9

Una computadora personal se utiliza para trabajo de oficina en casa, investigación, comunicación, finanzas personales, educación, entretenimiento, redes sociales y un sinfín de cosas más. Supongamos que el número promedio de horas que se utiliza una computadora personal en un hogar para el entretenimiento es de dos horas al día. Supongamos que los tiempos de entretenimiento se distribuyen normalmente y la desviación típica de los tiempos es de media hora.

translation missing: es.problem

a. Calcule la probabilidad de que una computadora personal en un hogar se utilice para el entretenimiento entre 1,8 y 2,75 horas al día.

translation missing: es.problem

b. Calcule el número máximo de horas al día que el cuartil inferior de los hogares utiliza una computadora personal para entretenerse.

Inténtelo 6.9

Las puntuaciones de golf de un equipo escolar se distribuyen normalmente, con una media de 68 y una desviación típica de tres. Calcule la probabilidad de que un golfista obtenga una puntuación entre 66 y 70.

Ejemplo 6.10

En Estados Unidos los usuarios de teléfonos inteligentes con edades comprendidas entre los 13 y los 55 años siguen aproximadamente una distribución normal con una media y una desviación típica aproximadas de 36,9 años y 13,9 años, respectivamente.

translation missing: es.problem

a. Determine la probabilidad de que un usuario aleatorio de teléfono inteligente en el rango de edad de 13 a 55 o más tenga entre 23 y 64,7 años.

b. Determine la probabilidad de que un usuario de teléfono inteligente seleccionado al azar en el rango de edad de 13 a 55 o más tenga como máximo 50,8 años.

c. Calcule el percentil 80 de esta distribución e interprételo en una frase completa.

Inténtelo 6.10

Utilice la información del Ejemplo 6.10 para responder las siguientes preguntas.

  1. Calcule el percentil 30, e interprételo en una frase completa.
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que la edad de un usuario de un teléfono inteligente seleccionado aleatoriamente en el rango de 13 a 55+ sea inferior a 27 años?

Ejemplo 6.11

En Estados Unidos los usuarios de teléfonos inteligentes con edades comprendidas entre los 13 y los 55 años siguen aproximadamente una distribución normal con una media y una desviación típica aproximadas de 36,9 años y 13,9 años, respectivamente. Con esta información, responda a las siguientes preguntas (redondee las respuestas a un decimal)

translation missing: es.problem

a. Calcule el rango intercuartil (IQR).

b. ¿Qué edad tiene el 40 % de los usuarios de teléfonos inteligentes de 13 a 55 años?

Inténtelo 6.11

Dos mil estudiantes hicieron un examen. Las puntuaciones del examen tienen una distribución normal aproximada con una media μ = 81 puntos y una desviación típica σ = 15 puntos.

  1. Calcule las puntuaciones del primer y tercer cuartil de este examen.
  2. ¿El 50 % de las puntuaciones del examen se encuentran entre qué dos valores?

Ejemplo 6.12

Un agricultor de cítricos que cultiva mandarinas comprueba que los diámetros de las mandarinas cosechadas en su finca siguen una distribución normal con un diámetro medio de 5,85 cm y una desviación típica de 0,24 cm.

translation missing: es.problem

a. Calcule la probabilidad de que una mandarina seleccionada al azar de esta finca tenga un diámetro superior a 6,0 cm. Dibuje el gráfico.

b. El 20 % de las mandarinas de esta finca tienen diámetros entre ______ y ______.

c. Calcule el percentil 90 de los diámetros de las mandarinas e interprételo en una frase completa.

Inténtelo 6.12

Utilizando la información del Ejemplo 6.12, responda a lo siguiente:

  1. El 40 % medio de las mandarinas de esta finca está entre ______ y ______.
  2. Calcule el percentil 16 e interprételo en una frase completa.
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