Barbara Illowsky; Susan Dean

Una tabla de contingencia proporciona una forma de representar los datos que puede facilitar el cálculo de probabilidades. La tabla ayuda a determinar las probabilidades condicionales con bastante facilidad. La tabla muestra los valores de la muestra en relación con dos variables diferentes que pueden ser dependientes o contingentes entre sí. Más adelante volveremos a utilizar las tablas de contingencia, pero de otra manera.

Ejemplo 3.20

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Supongamos que un estudio sobre infracciones de velocidad y conductores que utilizan teléfonos móviles arroja los siguientes datos ficticios:

	Infracción por exceso de velocidad durante el año anterior	Ninguna infracción por exceso de velocidad durante el año anterior	Total
Utiliza el teléfono móvil mientras conduce	25	280	305
No utiliza el teléfono móvil mientras conduce	45	405	450
Total	70	685	755

Tabla 3.2

El número total de personas de la muestra es de 755. Los totales de las filas son 305 y 450. Los totales de las columnas son 70 y 685. Tome en cuenta que 305 + 450 = 755 y 70 + 685 = 755.

Use la tabla para calcular las siguientes probabilidades.

a. Calcule P(El conductor es un usuario de teléfono móvil).
b. Calcule P(el conductor no tuvo ninguna infracción durante el año pasado).
c. Calcule P(El conductor no tuvo ninguna infracción durante el año pasado Y era usuario de teléfono móvil).
d. Calcule P(El conductor es un usuario de teléfono móvil O el conductor no tuvo ninguna infracción durante el año pasado).
e. Calcule P(El conductor es un usuario de teléfono móvil DADO que el conductor tuvo una infracción durante el año pasado).
f. Calcule P(El conductor no tuvo ninguna infracción el año pasado DADO que el conductor no usaba el teléfono móvil).

Solución

a. $\frac{número de usuarios de teléfonos móviles}{número total en el estudio} = \frac{305}{755}$

b. $\frac{número que no tenía ninguna infracción}{número total en el estudio} = \frac{685}{755}$

c. $\frac{280}{755}$

d. $(\frac{305}{755} + \frac{685}{755}) - \frac{280}{755} = \frac{710}{755}$

e. $\frac{25}{70}$ (El espacio de la muestra se reduce al número de conductores que tuvieron una infracción).

f $\frac{405}{450}$ (El espacio muestral se reduce al número de conductores que no eran usuarios de teléfonos móviles).

Inténtelo 3.20

La Tabla 3.3 muestra el número de atletas que hacen estiramientos antes del ejercicio y cuántos tuvieron lesiones durante el año pasado.

	Lesión durante el año pasado	Ninguna lesión durante el año pasado	Total
Hace estiramientos	55	295	350
No hace estiramientos	231	219	450
Total	286	514	800

Tabla 3.3

¿Qué es P(el atleta se estira antes de hacer ejercicio)?
¿Qué es P(el atleta se estira antes de hacer ejercicio|no se ha lesionado durante el año pasado)?

Ejemplo 3.21

La Tabla 3.4 presenta una muestra aleatoria de 100 excursionistas y las zonas de excursión que prefieren.

Sexo	La costa	Cerca de lagos y arroyos	En los picos de las montañas	Total
Mujeres	18	16	___	45
Hombres	___	___	14	55
Total	___	41	___	___

Tabla 3.4 Preferencia de zona de excursión

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a. Rellene la tabla.

Solución

a.

Sexo	La costa	Cerca de lagos y arroyos	En los picos de las montañas	Total
Mujeres	18	16	11	45
Hombres	16	25	14	55
Total	34	41	25	100

Tabla 3.5 Preferencia de zona de excursión

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b. ¿Los eventos “ser mujer” y “preferir la costa” son eventos independientes?

Supongamos que F = ser mujer y supongamos que C = preferir la costa.

Calcule P(F Y C).
Calcule P(F)P(C)

¿Estos dos números son iguales? Si lo son, entonces F y C son independientes. Si no lo son, entonces F y C no son independientes.

Solución

b.

P(F Y C) = $\frac{18}{100}$ = 0,18
P(F)P(C) = $(\frac{45}{100}) (\frac{34}{100})$ = (0,45)(0,34) = 0,153

P(F Y C) ≠ P(F)P(C), por lo que los eventos F y C no son independientes

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c. Calcule la probabilidad de que una persona sea hombre dado que prefiere ir de excursión cerca de lagos y arroyos. Supongamos que M = ser hombre, y supongamos que L = prefiere ir de excursión cerca de lagos y arroyos.

¿Qué palabra le dice que es un condicional?
Rellene los espacios en blanco y calcule la probabilidad: P(___|___) = ___.
¿El espacio muestral para este problema son los 100 excursionistas? Si no es así, ¿qué es?

Solución

c.

La expresión “dado que” indica que se trata de una condición.
P(M|L) = $\frac{25}{41}$
No, el espacio muestral para este problema son los 41 excursionistas que prefieren lagos y arroyos.

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d. Calcule la probabilidad de que una persona sea mujer o prefiera ir de excursión en los picos de las montañas. Supongamos que F = ser mujer, y supongamos que P = prefiere los picos de las montañas.

Calcule P(F).
Calcule P(P).
Calcule P(F Y P).
Calcule P(F O P).

Solución

d.

P(F) = $\frac{45}{100}$
P(P) = $\frac{25}{100}$
P(F Y P) = $\frac{11}{100}$
P(F O P) = $\frac{45}{100}$ + $\frac{25}{100}$ - $\frac{11}{100}$ = $\frac{59}{100}$

Inténtelo 3.21

La Tabla 3.6 presenta una muestra aleatoria de 200 ciclistas y las rutas que prefieren. Supongamos que M = hombres y H = camino de colinas.

Sexo	Lake Path	Hilly Path	Wooded Path	Total
Mujeres	45	38	27	110
Hombres	26	52	12	90
Total	71	90	39	200

Tabla 3.6

Entre los hombres, ¿cuál es la probabilidad de que el ciclista prefiera un camino de colinas?
¿Los eventos “ser hombre” y “preferir el camino de colinas” son eventos independientes?

Ejemplo 3.22

El ratón Muddy vive en una jaula con tres puertas. Si Muddy sale por la primera puerta, la probabilidad de que sea atrapado por la gata Alissa es $\frac{1}{5}$ y la probabilidad de que no sea atrapado es $\frac{4}{5}$ . Si sale por la segunda puerta, la probabilidad de que sea atrapado por Alissa es $\frac{1}{4}$ y la probabilidad de que no sea atrapado es $\frac{3}{4}$ . La probabilidad de que Alissa atrape a Muddy saliendo por la tercera puerta es $\frac{1}{2}$ y la probabilidad de que no atrape a Muddy es $\frac{1}{2}$ . Es igualmente probable que Muddy elija cualquiera de las tres puertas por lo que la probabilidad de elegir cada puerta es $\frac{1}{3}$ .

Atrapado o no	Puerta uno	Puerta dos	Puerta tres	Total
Atrapado	$\frac{1}{15}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{6}$	____
No atrapado	$\frac{4}{15}$	$\frac{3}{12}$	$\frac{1}{6}$	____
Total	____	____	____	1

Tabla 3.7 Elección de la puerta

La primera entrada $\frac{1}{15} = (\frac{1}{5}) (\frac{1}{3})$ es P(Puerta uno Y atrapado)
La entrada $\frac{4}{15} = (\frac{4}{5}) (\frac{1}{3})$ es P(Puerta uno Y no Atrapado)

Verifique las entradas restantes.

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a. Rellene la tabla de contingencia de probabilidades. Calcule las entradas para los totales. Compruebe que la entrada de la esquina inferior derecha es 1.

b. ¿Cuál es la probabilidad de que Alissa no atrape a Muddy?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que Muddy elija la puerta uno o la puerta dos dado que Muddy es atrapado por Alissa?

Solución

a.

Atrapado o no	Puerta uno	Puerta dos	Puerta tres	Total
Atrapado	$\frac{1}{15}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{19}{60}$
No atrapado	$\frac{4}{15}$	$\frac{3}{12}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{41}{60}$
Total	$\frac{5}{15}$	$\frac{4}{12}$	$\frac{2}{6}$	1

Tabla 3.8 Elección de la puerta

b. $\frac{41}{60}$

c. $\frac{9}{19}$

Ejemplo 3.23

La Tabla 3.9 contiene el número de delitos por cada 100.000 habitantes de 2008 a 2011 en EE. UU.

Año	Robo con violencia	Robo	Violación	Vehículo
2008	145,7	732,1	29,7	314,7
2009	133,1	717,7	29,1	259,2
2010	119,3	701	27,7	239,1
2011	113,7	702,2	26,8	229,6
Total

Tabla 3.9 Índices de criminalidad en Estados Unidos por cada 100.000 habitantes de 2008 a 2011

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TOTAL de cada columna y cada fila. Datos totales = 4.520,7

Calcule P(2009 Y Robo).
Calcule P(2010 Y Robo con allanamiento de morada).
Calcule P(2010 O Robo con allanamiento de morada).
Calcule P(2011|Violación).
Calcule P(Vehículo|2008).

Solución

a. 0,0294, b. 0,1551, c. 0,7165, d. 0,2365, e. 0,2575

Inténtelo 3.23

La Tabla 3.10 relaciona los pesos y las alturas de un grupo de personas que participan en un estudio de observación.

Peso/Estatura	Alto	Medio	Bajo
Obeso	18	28	14
Normal	20	51	28
Bajo peso	12	25	9
Totales

Tabla 3.10

Calcule el total de cada fila y columna
Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar de este grupo sea alta.
Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar de este grupo sea obesa y alta.
Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar de este grupo sea alta dado que es obesa.
Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar de este grupo sea obesa, dado que es alta.
Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar de este grupo sea alta y de bajo peso.
¿Los eventos obeso y alto son independientes?

3.4 Tablas de contingencia

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Solución

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Solución

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Solución

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Solución

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Solución

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Solución

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Solución