Barbara Illowsky; Susan Dean

A veces, cuando los problemas de probabilidad son complejos, puede ser útil hacer un gráfico de la situación. Los diagramas de árbol y los diagramas de Venn son dos herramientas que pueden utilizarse para visualizar y resolver las probabilidades condicionales.

Diagramas de árbol

Un diagrama de árbol es un tipo especial de gráfico utilizado para determinar los resultados de un experimento. Consta de “ramas” que se identifican con frecuencias o probabilidades. Los diagramas de árbol pueden hacer que algunos problemas de probabilidad sean más fáciles de visualizar y resolver. El siguiente ejemplo ilustra cómo utilizar un diagrama de árbol.

Ejemplo 3.24

En una urna hay 11 pelotas. Tres pelotas son rojas (R) y ocho azules(B). Saque dos pelotas, una a la vez, con reemplazo. “Con reemplazo” significa que se devuelve la primera pelota a la urna antes de seleccionar la segunda. Luego, el diagrama de árbol con frecuencias que muestra todos los resultados posibles.

Se trata de un diagrama de árbol con ramas que muestran las frecuencias de cada vez que saca una. La primera rama muestra dos líneas: 8B y 3R. La segunda rama tiene un conjunto de dos líneas (8B y 3R) por cada línea de la primera rama. Multiplique a lo largo de cada línea para hallar 64BB, 24BR, 24RB y 9RR.

Figura 3.2 Total = 64 + 24 + 24 + 9 = 121

El primer conjunto de ramas representa la primera pelota que sacó. El segundo conjunto de ramas representa la segunda. Cada uno de los resultados es distinto. De hecho, podemos enumerar cada pelota roja como R1, R2 y R3 y cada pelota azul como B1, B2, B3, B4, B5, B6, B7 y B8. Entonces, los nueve resultados de RR se pueden escribir como:

R1R1; R1R2; R1R3; R2R1; R2R2; R2R3; R3R1; R3R2; R3R3

Los demás resultados son similares.

Hay un total de 11 pelotas en la urna. Saque dos pelotas, una a la vez, con reemplazo. Hay 11(11) = 121 resultados, el tamaño del espacio muestral.

Translation missing: es.problem

a. Enumere los 24 resultados de RB: B1R1, B1R2, B1R3, ...

b. Use el diagrama de árbol y calcule P(RR).

c. Utilizando el diagrama de árbol, calcule P(RB O BR).

d. Utilizando el diagrama de árbol, calcule P(R en la primera extracción Y B en la segunda).

e. Utilizando el diagrama de árbol, calcule P(R en la segunda extracción DADO B en la primera extracción).

f. Use el diagrama de árbol y calcule P(BB).

g. Utilizando el diagrama de árbol, calcule P(B en la segunda extracción dado R en la primera extracción).

Solución

a. B1R1; B1R2; B1R3; B2R1; B2R2; B2R3; B3R1; B3R2; B3R3; B4R1; B4R2; B4R3; B5R1; B5R2; B5R3; B6R1; B6R2; B6R3; B7R1; B7R2; B7R3; B8R1; B8R2; B8R3

b. P(RR) = $(\frac{3}{11}) (\frac{3}{11})$ = $\frac{9}{121}$

c. P(RB O BR) = $(\frac{3}{11}) (\frac{8}{11})$ + $(\frac{8}{11}) (\frac{3}{11})$ = $\frac{48}{121}$

d. P(R en la primera extracción Y B en la segunda) = P(RB) = $(\frac{3}{11}) (\frac{8}{11})$ = $\frac{24}{121}$

e. P(R en la segunda extracción DADO B en la primera extracción) = P(R en la segunda extracción|B en la primera extracción) = $\frac{24}{88}$ = $\frac{3}{11}$

Este problema es condicional. El espacio muestral se ha reducido a los resultados que ya tienen azul en la primera extracción. Hay 24 + 64 = 88 resultados posibles (24 BR y 64 BB). Veinticuatro de los 88 resultados posibles son BR. $\frac{24}{88}$ = $\frac{3}{11}$ .

f. P(BB) = $\frac{64}{121}$

g. P(B en la segunda extracción|R en la primera extracción) = $\frac{8}{11}$

Hay 9 + 24 resultados que tienen R en la primera extracción (9 RR y 24 RB). El espacio muestral es entonces 9 + 24 = 33. 24 de los 33 resultados tienen B en la segunda extracción. La probabilidad es entonces $\frac{24}{33}$ .

Inténtelo 3.24

En un mazo estándar hay 52 cartas. 12 cartas son de figura (evento F) y 40 cartas no lo son (evento N). Saque dos cartas, una a la vez, con reemplazo. Todos los resultados posibles se muestran en el diagrama de árbol como frecuencias. Use el diagrama de árbol y calcule P(FF).

Se trata de un diagrama de árbol con ramas que muestran las frecuencias de cada vez que saca una. La primera rama muestra dos líneas: 12F y 40N. La segunda rama tiene un conjunto de dos líneas (12F y 40N) para cada línea de la primera rama. Multiplique a lo largo de cada línea para hallar 144FF, 480FN, 480NF y 1.600NN.

Figura 3.3

Ejemplo 3.25

En una urna hay tres canicas rojas y ocho azules. Saque dos canicas, una a la vez de la urna, esta vez sin reemplazo. “Sin reemplazo” significa que no se devuelve la primera canica antes de seleccionar la segunda. A continuación se muestra un diagrama de árbol para esta situación. Las ramas se identifican con probabilidades en vez de con frecuencias. Los números de los extremos de las ramas se calculan al multiplicar los números de las dos ramas correspondientes, por ejemplo, $(\frac{3}{11}) (\frac{2}{10}) = \frac{6}{110}$ .

Se trata de un diagrama de árbol con ramas que muestran las probabilidades de cada extracción. La primera rama muestra 2 líneas: B 8/11 y R 3/11. La segunda rama tiene un conjunto de 2 líneas por cada línea de la primera rama. Por debajo de B 8/11 están B 7/10 y R 3/10. Por debajo de R 3/11 están B 8/10 y R 2/10. Multiplique a lo largo de cada línea para hallar BB 56/110, BR 24/110, RB 24/110 y RR 6/110.

Figura 3.4 Total =

\frac{56 + 24 + 24 + 6}{110} = \frac{110}{110} = 1

NOTA

Si saca una roja en la primera extracción de las tres posibilidades rojas, quedan dos canicas rojas para sacar en la segunda extracción. No se vuelve a colocar o reemplazar la primera canica después de haberla sacado. Extraiga sin reemplazo, de modo que en la segunda extracción quedan diez canicas en la urna.

Calcule las siguientes probabilidades y use el diagrama de árbol.

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a. P(RR) = ________

b. Rellene los espacios en blanco:

P(RB O BR) = $(\frac{3}{11}) (\frac{8}{10}) + (___)(___) = \frac{48}{110}$

c. P(R en la segunda|B en la primera) =

d. Complete los espacios en blanco.

P(R en la primera Y B en la segunda) = P(RB) = (___)(___) = $\frac{24}{110}$

e. Calcule P(BB).

f. Calcule P(B en la segunda|R en la primera).

Solución

a. P(RR) = $(\frac{3}{11}) (\frac{2}{10}) = \frac{6}{110}$

b. P(RB O BR) = $(\frac{3}{11}) (\frac{8}{10})$ + $(\frac{8}{11}) (\frac{3}{10})$ = $\frac{48}{110}$

c. P(R en la segunda|B en la primera) = $\frac{3}{10}$

d. P(R en la primera Y B en la segunda) = P(RB) = $(\frac{3}{11}) (\frac{8}{10})$ = $\frac{24}{110}$

e. P(BB) = $(\frac{8}{11}) (\frac{7}{10})$

f. Utilizando el diagrama de árbol, P(B en la segunda|R en la primera) = P(R|B) = $\frac{8}{10}$ .

Si utilizamos probabilidades, podemos identificar el árbol de la siguiente manera general.

Este es un diagrama de árbol para un experimento de dos pasos. La primera rama muestra el primer resultado: P(B) y P(R). La segunda rama tiene un conjunto de 2 líneas para cada línea de la primera rama: la probabilidad de B dado que B = P(BB), la probabilidad de R dado que B = P(RB), la probabilidad de B dado que R = P(BR) y la probabilidad de R dado que R = P(RR).

P(R|R) significa aquí P(R en la 2.ª|R en la 1.ª)
P(B|R) significa aquí P(B en la 2.ª|R en la 1.ª)
P(R|B) significa aquí P(R en la 2.ª|B en la 1.ª)
P(B|B) significa aquí P(B en la 2.ª|B en la 1.ª)

Inténtelo 3.25

En un mazo estándar hay 52 cartas. Doce cartas son de figura (F) y 40 cartas no lo son (N). Saque dos cartas, una a la vez, sin reemplazo. El diagrama de árbol está identificado con todas las probabilidades posibles.

Se trata de un diagrama de árbol con ramas que muestran las frecuencias de cada vez que saca una. La primera rama muestra 2 líneas: F 12/52 y N 40/52. La segunda rama tiene un conjunto de 2 líneas (F 11/52 y N 40/51) para cada línea de la primera rama. Multiplique a lo largo de cada línea para hallar FF 121/2.652, FN 480/2.652, NF 480/2.652 y NN 1.560/2.652.

Figura 3.5

Calcule P(FN O NF).
Calcule P(N|F).
Calcule P(como máximo una carta de figura).
Pista: “Como máximo una carta de figura” significa cero o una carta de figura.
Calcule P(al menos una carta de figura).
Pista: “Al menos una carta de figura” significa una o dos cartas de figura.

Ejemplo 3.26

Una camada de gatitos disponibles para su adopción en la Humane Society tiene cuatro gatitos atigrados y cinco negros. Una familia viene y selecciona al azar dos gatitos (sin reemplazo) para su adopción.

Este es un diagrama de árbol con ramas que muestran las probabilidades de elección de los gatitos. La primera rama muestra dos líneas: T 4/9 y B 5/9. La segunda rama tiene un conjunto de 2 líneas por cada línea de la primera rama. Por debajo de T 4/9 están T 3/8 y B 5/8. Por debajo de B 5/9 están T 4/8 y B 4/8. Multiplique a lo largo de cada línea para hallar las probabilidades de las posibles combinaciones.

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¿Cuál es la probabilidad de que ambos gatitos sean atigrados?

a. $(\frac{1}{2}) (\frac{1}{2})$ b. $(\frac{4}{9}) (\frac{4}{9})$ c. $(\frac{4}{9}) (\frac{3}{8})$ d. $(\frac{4}{9}) (\frac{5}{9})$
¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione un gatito de cada color?

a. $(\frac{4}{9}) (\frac{5}{9})$ b. $(\frac{4}{9}) (\frac{5}{8})$ c. $(\frac{4}{9}) (\frac{5}{9}) + (\frac{5}{9}) (\frac{4}{9})$ d. $(\frac{4}{9}) (\frac{5}{8}) + (\frac{5}{9}) (\frac{4}{8})$
¿Cuál es la probabilidad de que se elija un gatito atigrado como segundo gatito cuando se ha elegido un gatito negro como primero?
¿Cuál es la probabilidad de elegir dos gatitos del mismo color?

Solución

a. c, b. d, c. $\frac{4}{8}$ , d. $\frac{32}{72}$

Inténtelo 3.26

Supongamos que en una caja hay cuatro pelotas rojas y tres amarillas. Se extraen dos pelotas de la caja sin reemplazarlas. ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione una pelota de cada color?

Diagrama de Venn

Un diagrama de Venn es una imagen que representa los resultados de un experimento. Generalmente consiste en un recuadro que representa el espacio muestral S junto con círculos u óvalos. Los círculos u óvalos representan eventos.

Ejemplo 3.27

Supongamos que un experimento tiene los resultados 1, 2, 3, ..., 12 donde cada resultado tiene la misma probabilidad de ocurrir. Supongamos que el evento A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y el evento B = {6, 7, 8, 9}. Entonces A Y B = {6} y A O B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. El diagrama de Venn es el siguiente:

Un diagrama de Venn. Un óvalo que representa el conjunto A contiene los valores 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Un óvalo que representa el conjunto B también contiene el 6, junto con el 7, el 8 y el 9. Los valores 10, 11 y 12 están presentes pero no están contenidos en ninguno de los dos conjuntos.

Figura 3.6

Inténtelo 3.27

Supongamos que un experimento tiene los resultados negro, blanco, rojo, anaranjado, amarillo, verde, azul y morado, donde cada resultado tiene la misma probabilidad de ocurrir. Supongamos que el evento C = {verde, azul, morado} y el evento P = {rojo, amarillo, azul}. Entonces C Y P = {azul} y C O P = {verde, azul, morado, rojo, amarillo}. Dibuje un diagrama de Venn que represente esta situación.

Ejemplo 3.28

Lance dos monedas imparciales Supongamos que A = cruz en la primera moneda. Supongamos que B = cruz en la segunda moneda. Entonces A = {TT, TH} y B = {TT, HT}. Por lo tanto, A Y B = {TT}. A O B = {TH, TT, HT}.

El espacio muestral al lanzar dos monedas imparciales es X = {HH, HT, TH, TT}. El resultado HH no es NI A NI B. El diagrama de Venn es el siguiente:

Esto es un diagrama de Venn. Un óvalo que representa el conjunto A contiene cruz + cara y cruz + cruz. Un óvalo que representa el conjunto B también contiene cruz + cruz, junto con cara + cruz. El universo S contiene cara + cara, pero este valor no está contenido ni en el conjunto A ni en el B.

Figura 3.7

Inténtelo 3.28

Usted lanza un dado imparcial de seis lados. Supongamos que A = se obtiene un número primo de puntos. Supongamos que B = se obtiene un número impar de puntos. Entonces A = {2, 3, 5} y B = {1, 3, 5}. Por lo tanto, A Y B = {3, 5}. A O B = {1, 2, 3, 5}. El espacio muestral para lanzar un dado imparcial es S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Dibuje un diagrama de Venn que represente esta situación.

Ejemplo 3.29

El cuarenta por ciento de los estudiantes de un instituto universitario local pertenece a un club y el 50 % trabaja a tiempo parcial. El cinco por ciento de los estudiantes trabaja a tiempo parcial y pertenece a un club. Dibuje un diagrama de Venn que muestre las relaciones. Supongamos que C = el estudiante pertenece a un club y PT = el estudiante trabaja a tiempo parcial.

Se trata de un diagrama de Venn en el que un conjunto contiene a los estudiantes de los clubes y otro conjunto contiene a los estudiantes que trabajan a tiempo parcial. Ambos conjuntos comparten estudiantes que son miembros de clubes y también trabajan a tiempo parcial. El universo está identificado como S.

Figura 3.8

Si se selecciona un estudiante al azar, calcule

la probabilidad de que el estudiante pertenezca a un club. P(C) = 0,40
la probabilidad de que el estudiante trabaje a tiempo parcial. P(PT) = 0,50
la probabilidad de que el estudiante pertenezca a un club Y trabaje a tiempo parcial. P(C Y PT) = 0,05
la probabilidad de que el estudiante pertenezca a un club dado que el estudiante trabaja a tiempo parcial. $P (C | P T) = \frac{P (C Y P T)}{P (P T)} = \frac{0,05}{0,50} = 0,1$
la probabilidad de que el estudiante pertenezca a un club O trabaje a tiempo parcial. P(C O PT) = P(C) + P(PT) - P(C Y PT) = 0,40 + 0,50 - 0,05 = 0,85

Inténtelo 3.29

El cincuenta por ciento de los trabajadores de una fábrica tiene un segundo empleo, el 25 % tiene un cónyuge que también trabaja, el 5 % tiene un segundo empleo y un cónyuge que también trabaja. Dibuje un diagrama de Venn que muestre las relaciones. Supongamos que W = trabaja en un segundo empleo y S = el cónyuge también trabaja.

Ejemplo 3.30

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Una persona con sangre del tipo O y factor Rh negativo (Rh–) puede donar sangre a cualquier persona con cualquier tipo de sangre. El cuatro por ciento de los afroamericanos tiene sangre del tipo O y un factor RH negativo, entre el 5 y el 10 % de los afroamericanos tiene el factor Rh– y el 51 % tiene sangre del tipo O.

Este es un diagrama de Venn vacío que muestra dos círculos superpuestos. El círculo de la izquierda está identificado como O y el de la derecha como RH–.

Figura 3.9

El círculo “O” representa a los afroamericanos con sangre del tipo O. El óvalo “Rh–” representa a los afroamericanos con el factor Rh–.

Tomaremos el promedio del 5 % y del 10 % y utilizaremos el 7,5 % como el porcentaje de afroamericanos que tienen el factor Rh–. Supongamos que O = afroamericano con sangre tipo O y R = afroamericano con factor Rh–.

P(O) = ___________
P(R) = ___________
P(O Y R) = ___________
P(O O R) = ____________
En el diagrama de Venn, describa con una oración completa la zona de solapamiento.
En el diagrama de Venn, describa con una oración completa el área que se encuentra en el rectángulo pero fuera del círculo y del óvalo.

Solución

a. 0,51; b. 0,075; c. 0,04; d. 0,545; e. El área representa a los afroamericanos que tienen sangre del tipo O y el factor Rh–. f. La zona representa a los afroamericanos que no tienen sangre del tipo O ni el factor Rh–.

Inténtelo 3.30

En una librería, la probabilidad de que el cliente compre una novela es de 0,6, y la de que compre un libro que no es de ficción es de 0,4. Supongamos que la probabilidad de que el cliente compre ambos es de 0,2.

Dibuje un diagrama de Venn que represente la situación.
Calcule la probabilidad de que el cliente compre una novela o un libro que no sea de ficción.
En el diagrama de Venn describa con una oración completa la zona de solapamiento.
Supongamos que algunos clientes solo compran discos compactos. Dibuje un óvalo en su diagrama de Venn que represente este evento.

3.5 Diagramas de árbol y de Venn

Diagramas de árbol

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Solución

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Solución

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Solución

Diagrama de Venn

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Solución