Repaso del capítulo

El tipo más básico de asociación es la asociación lineal. Este tipo de relación se puede definir algebraicamente mediante las ecuaciones usadas, numéricamente con los valores de los datos reales o previstos o gráficamente a partir de una curva trazada (las líneas se clasifican como curvas rectas). Algebraicamente, una ecuación lineal suele tener la forma y = mx + b, donde m y b son constantes, x es la variable independiente y es la variable dependiente. En un contexto estadístico, una ecuación lineal se escribe de la forma y = a + bx, donde a y b son las constantes. Esta forma se utiliza para ayudar a los lectores a distinguir el contexto estadístico del contexto algebraico. En la ecuación y = a + bx, la constante b, llamada coeficiente, representa la pendiente. La constante a recibe el nombre de intersección en y.

La pendiente de una línea es un valor que describe la tasa de cambio entre las variables independiente y dependiente. La pendiente nos indica cómo cambia la variable dependiente (y) por cada incremento unitario de la variable independiente (x) , en promedio. La intersección en y se utiliza para describir la variable dependiente cuando la variable independiente es igual a cero.

Los diagramas de dispersión son especialmente útiles cuando queremos ver si existe una relación lineal entre los puntos de datos. Indican tanto la dirección de la relación entre las variables x y las variables y, como la fuerza de la relación. Calculamos la fuerza de la relación entre una variable independiente y una variable dependiente mediante una regresión lineal.

Una línea de regresión, o una línea de mejor ajuste, puede trazarse en un diagrama de dispersión y utilizarse para predecir los resultados de las variables x y y en un conjunto de datos dado o datos de muestra. Hay varias formas de hallar una línea de regresión, pero normalmente se utiliza la línea de regresión por mínimos cuadrados porque crea una línea uniforme. Los residuos, también llamados "errores", miden la distancia entre el valor real de y y el valor estimado de y. La suma de errores al cuadrado, cuando se ajusta a su mínimo, calcula los puntos de la línea de mejor ajuste. Las líneas de regresión pueden utilizarse para predecir valores dentro del conjunto de datos dado, pero no deben utilizarse para hacer predicciones de valores fuera del conjunto de datos.

El coeficiente de correlación r mide la fuerza de la asociación lineal entre x y y. La variable r tiene que estar entre -1 y +1. Cuando r es positivo, la x y la y tenderán a aumentar y disminuir juntas. Cuando r es negativo, x aumentará y y disminuirá, o lo contrario, x disminuirá y y aumentará. El coeficiente de determinación r², es igual al cuadrado del coeficiente de correlación. Cuando se expresa en porcentaje, r² representa el porcentaje de variación de la variable dependiente y que puede explicarse por la variación de la variable independiente x mediante la línea de regresión.

La regresión lineal es un procedimiento para ajustar una línea recta de la forma ŷ = a + bx a los datos. Las condiciones para la regresión son:

• Lineal En la población, existe una relación lineal que modela el valor promedio de la y para distintos valores de la x.
• Independiente Se supone que los residuales son independientes.
• Normal Los valores de la y se distribuyen normalmente para cualquier valor de la x.
• Varianza igual La desviación típica de los valores de la y es igual para cada valor de la x.
• Aleatoria Los datos proceden de una muestra aleatoria bien diseñada o de un experimento aleatorio.

La pendiente b y la intersección a de la línea de mínimos cuadrados estiman la pendiente β y la intersección α de la línea de regresión de la población (verdadera). Para estimar la desviación típica de la población de y, σ, utilice la desviación típica de los residuales, s. $s=\sqrt{\frac{SEE}{n–2}}$. La variable ρ (rho) es el coeficiente de correlación de la población. Para comprobar la hipótesis nula H₀: ρ = valor hipotetizado, utilice una prueba t de regresión lineal. La hipótesis nula más común es H₀: ρ = 0, que indica que no existe una relación lineal entre la x y la y en la población. La función LinRegTTest de las calculadoras TI-83, 83+, 84 u 84+ puede realizar esta prueba (STATS TESTS LinRegTTest).

Después de determinar la presencia de un fuerte coeficiente de correlación y calcular la línea de mejor ajuste, puede utilizar la línea de regresión de mínimos cuadrados para hacer predicciones sobre sus datos.

Para determinar si un punto es un valor atípico, realice una de las siguientes acciones:

1. Introduzca las siguientes ecuaciones en la TI 83, 83+, 84, 84+:

   $\begin{array}{l}{y}_1=a+bx\hfill \\ y_2=a+bx+2s\hfill \\ y_3=a+bx–2s\hfill \end{array}$ donde s es la desviación típica de los residuales

   Si algún punto está por encima de y₂ o por debajo de y₃, se considera un valor atípico.

2. Utilice los residuales y compare sus valores absolutos con 2s, donde s es la desviación típica. Si el valor absoluto de cualquier residual es mayor o igual a 2s, el punto correspondiente es un valor atípico.
3. Nota: La función de la calculadora LinRegTTest (STATS TESTS LinRegTTest) calcula s.