12.4 Comprobación de la importancia del coeficiente de correlación

COMPROBACIÓN DE LA HIPÓTESIS

• Hipótesis nula: H₀: ρ = 0
• Hipótesis alternativa: H_a: ρ ≠ 0

SIGNIFICADO DE LAS HIPÓTESIS EN PALABRAS:

• Hipótesis nula H₀: El coeficiente de correlación de la población NO ES significativamente diferente de cero. NO HAY ninguna relación lineal significativa (correlación) entre la x y la y en la población.
• Hipótesis alternativa H_a: El coeficiente de correlación de la población ES significativamente DIFERENTE de cero. EXISTE UNA RELACIÓN LINEAL SIGNIFICATIVA (correlación) entre la x y la y en la población.

SACAR UNA CONCLUSIÓN:Hay dos métodos para tomar la decisión. Los dos métodos son equivalentes y dan el mismo resultado.

• Método 1: Utilizar el valor p
• Método 2: Utilizar una tabla de valores críticos

En este capítulo de este libro de texto, utilizaremos siempre un nivel de significación del 5 %, α = 0,05

MÉTODO 2: Utilizar una tabla de valores críticos para tomar una decisión.

Los valores críticos al 95 % de la tabla de coeficientes de correlación de la muestra pueden utilizarse para dar una buena idea de si el valor calculado de $r$ es significativo o no lo es. Compare r con el valor crítico apropiado de la tabla. Si r no está entre los valores críticos positivos y negativos, el coeficiente de correlación es significativo. Si r es significativo, entonces puede utilizar la línea para la predicción.

Ejemplo 12.7

Suponga que ha calculado r = 0,801 utilizando n = 10 puntos de datos. df = n - 2 = 10 - 2 = 8. Los valores críticos asociados a df = 8 son -0,632 y + 0,632. Si r < valor crítico negativo o r > valor crítico positivo, entonces r es significativo. Como r = 0,801 y 0,801 > 0,632, r es significativo y la línea puede utilizarse para la predicción. Si ve este ejemplo en una línea numérica, le ayudará.

Figura 12.14 r es despreciable entre -0,632 y +0,632. r = 0,801 > +0,632. Por lo tanto, r es significativo.

Inténtelo 12.7

Para una línea de mejor ajuste dada, ha calculado que r = 0,6501 utilizando n = 12 puntos de datos y el valor crítico es 0,576. ¿Se puede utilizar la línea para la predicción? ¿Por qué sí o por qué no?

Ejemplo 12.8

Suponga que ha calculado r = -0,624 con 14 puntos de datos. df = 14 - 2 = 12. Los valores críticos son -0,532 y 0,532. Dado que -0,624 < -0,532, r es significativo y la línea puede utilizarse para la predicción.

Figura 12.15 r = -0,624 < -0,532. Por lo tanto, r es significativo.

Inténtelo 12.8

Para una línea de mejor ajuste dada, se calcula que r = 0,5204 utilizando n = 9 puntos de datos, y el valor crítico es 0,666. ¿Se puede utilizar la línea para la predicción? ¿Por qué sí o por qué no?

Ejemplo 12.9

Suponga que ha calculado r = 0,776 y n = 6. df = 6 - 2 = 4. Los valores críticos son −0,811 y 0,811. Dado que -0,811 < 0,776 < 0,811, r es despreciable, por lo que la línea no debería utilizarse para la predicción.

Figura 12.16 -0,811 < r = 0,776 < 0,811. Por lo tanto, r es despreciable.

Inténtelo 12.9

Para una línea de mejor ajuste dada, se calcula que r = -0,7204 utilizando n = 8 puntos de datos, y el valor crítico es = 0,707. ¿Se puede utilizar la línea para la predicción? ¿Por qué sí o por qué no?

EJEMPLO DE TERCER EXAMEN vs. EXAMEN FINAL: método del valor crítico

Considere el ejemplo del tercer examen/examen final. La línea de mejor ajuste es: ŷ = -173,51+4,83x con r = 0,6631 y hay n = 11 puntos de datos. ¿Se puede utilizar la línea de regresión para la predicción? Dada la puntuación del tercer examen (valor x), ¿podemos utilizar la línea para predecir la puntuación del examen final (valor y predicho)?

• H₀: ρ = 0
• H_a: ρ ≠ 0
• α = 0,05

• Utilice la tabla del "valor crítico al 95 %" para r con df = n - 2 = 11 - 2 = 9.
• Los valores críticos son -0,602 y +0,602
• Dado que 0,6631 > 0,602, r es significativo.
• Decisión: rechazar la hipótesis nula.
• Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que existe una relación lineal significativa entre la calificación del tercer examen (x) y la calificación del examen final (y) porque el coeficiente de correlación es significativamente distinto de cero.

Como r es significativo y el diagrama de dispersión muestra una tendencia lineal, la línea de regresión se puede usar para predecir calificaciones del examen final.

Supuestos para comprobar la significación del coeficiente de correlación

La comprobación de la significación del coeficiente de correlación requiere que se cumplan ciertos supuestos sobre los datos. La premisa de esta prueba es que los datos son una muestra de puntos observados tomados de una población mayor. No hemos examinado a toda la población porque no es posible ni factible hacerlo. Estamos examinando la muestra para sacar una conclusión sobre si la relación lineal que vemos entre x y y en los datos de la muestra proporciona una evidencia lo suficientemente contundente como para que podamos concluir que existe una relación lineal entre x y y en la población.

La ecuación de la línea de regresión que calculamos a partir de los datos de la muestra da la línea de mejor ajuste para nuestra muestra particular. Queremos utilizar esta línea de mejor ajuste para la muestra como una estimación de la línea de mejor ajuste para la población. Examinar el diagrama de dispersión y comprobar la importancia del coeficiente de correlación nos permite

Figura 12.17 Los valores de la y para cada valor de la x se distribuyen normalmente alrededor de la línea con la misma desviación típica. Para cada valor de la x, la media de los valores de la y se encuentra en la línea de regresión. Hay más valores de la y cerca de la línea que los que están dispersos más lejos.